四川省成都市第七中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.C ∆AB 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3πB =，1a =，b =，则A =（ ）A ．150 B ．30 C ．60 D ．120 2.平面内已知向量()2,1a=-，若向量b 与a 方向相反，且25b =，则向量b =（ ） A ．()2,4- B ．()4,2- C ．()4,2- D ．()2,4- 3.已知数列{}n a 的前n 项和为31n n S =-（n *∈N ），则5a =（ ） A ．242 B ．160 C ．162 D ．486 4.若0xy >>，m n >，则下列不等式正确的是（ ）A ．xm ym >B ．x m y n -≥-C ．x yn m>D ．x >5.等差数列{}n a 中，4791232a a a a +++=，则能求出值的是（ ）A ．12SB ．13SC ．15SD ．14S 6.C ∆AB中，若)sinC sin cos =A +A B ，则（ ）A ．3πB =B ．2b a c =+C ．C ∆AB 是直角三角形D ．222a b c=+或2C B =A +7.数列2014，2015，1，2014-，⋅⋅⋅；从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则该数列的前2015项之和等于（ ）A ．2014B ．2015C ．1D ．08.在等腰C ∆AB 中，C 90∠BA =，C 2AB =A =，C 2D B =B ，C 3A =AE ，则D A ⋅BE 的值为（ ） A ．43-B ．13-C ．13D ．4310.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面下方，O 为C H 与水平地面ABO 的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A 、B 两地相距100米，C 60∠BA =，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为C 15∠OA =，A 地测得最高点H 的仰角为30∠HAO =，则该仪器的垂直弹射高度C H 为（ ）A ．210米 B ． C ．D ．210米11.已知数列{}n a 的各项都是正数，11a =，对任意的k *∈N ，21k a -、2k a 、21k a +成等比数列，公比为k q ；2k a 、21k a +、22k a +成等差数列，公差为k d ，且12d =，则数列{}k d 的通项公式为（ ） A ．1k k + B ．1k + C ．32k + D ．1k k + 12.设O 是C ∆AB 的外心，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知2220b b c -+=，则C B ⋅AO 的范围是（ ）A ．1,24⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．12,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．12,4⎛⎤- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.23sin702cos 10-=- ． 14.与向量()3,4a=，()4,3b =的夹角相等的单位向量是 ．15.单位圆O （O 是坐标原点）与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭，C α∠AO =．若C 1B =，则2sincos2222ααα--的值为 ． 16.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若23n nS S N ≤-≤M 对n *∈N 恒成立，则M -N 的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）已知∆OAB 的顶点坐标为()0,0O，()2,1A ，()4,3B -，且λAP =PB ，点Q 是直线OB 上一点．（1）若1λ=，且Q 0P ⋅OP =，求点Q 的坐标；（2）若已知点()3,2M ，向量OP 与OM 夹角为锐角，求λ的取值范围．18.（本小题12分）已知点()1,0A ，()0,1B ，C 2sin ,cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且C CA =B ．（1）求tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若0,42ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值．19.（本小题12分）已知等比数列{}n a 的首项18a =，公比为q （1q ≠），n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若3S ，42S ，53S 成等差数列，求{}n a 的通项公式n a ；（2）令2log nn b a =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若3T 是数列{}n T 中的唯一最大项，求q 的取值范围．20.（本小题12分）C ∆AB 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，tan 1tan A +=B （1）求A 的大小；（2）若C ∆AB 为锐角三角形，求函数22sin 2sin cosC y =B -B 的取值范围； （3）现在给出下列三个条件：①1a=；②)210c b -+=；③45B =，试从中再选择两个条件以确定C ∆AB ，求出所确定的C ∆AB 的面积．21.（本小题12分）已知数列{}n a 满足：114a =，()1112n n nn a a a --=--（2n ≥，n *∈N ），设()11nnnb a =+-． （1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列32n n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．22.（本小题12分）数列{}n x 的前n 项和为n S ，且满足：若3122n n S x =-（x *∈N ）．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）设数列{}n a 的各项为正，且满足11n n n n n x a a x a --≤+，11a =，求证：11223398n n a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+<．成都七中2015-2016学年度下学期半期考试高一年级数学试卷参考答案一、选择题11、解：21k a -，2k a ，21k a +成公比为k q 的等比数列，21k a +，22k a +，23k a +成公比为1k q +的等比数列∴212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++=，又2k a ，21k a +，22k a +成等差数列， ∴212222k k k a a a ++=+．又10a >，2d =，可求得：12q =，1111q =-所以，11k k q =-，1k k q k +=．221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k ka a k k q +==+，所以，2121k k k d a a k +=-=+．12、解：设O 是C ∆AB 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心， 如图所示，延长AO 交外接圆于D ．D A 是O 的直径，∴CD D 90∠A =∠AB =，C cos C D D A ∠A =A ，cos D DAB∠BA =A ， ∴()111C D C D C D 222AO ⋅B =A ⋅A -AB =A ⋅A -A ⋅AB()2222222211111111C 222222224b c b b b b b b ⎛⎫=A -AB =-=--=-=-- ⎪⎝⎭2220c b b =->，∴02b <<，令()21124f b b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以当12b =时，有最小值14-． ()00f =，()22f =，所以()124f b -≤<，所以C B ⋅AO 的范围是1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 二、填空题13.214.⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪⎝⎭15.513 16.2512三、解答题 17.解：（1）由1λ=，知P 是AB 的中点，所以点()3,1P -．设点()Q 4,3x x -，则()Q 43,31x x P =--+，又()3,1OP=-，则由Q 0P ⋅OP =，得()()23433103x x x ---+=⇒=，所以点8Q ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由λAP =PB ，可得2413,11λλλλ+-⎛⎫P ⎪++⎝⎭，因为向量OP 与OM 夹角为锐角，所以0⎧OP ⋅OM >⎪⇒⎨OP OM ⎪⎩与不共线24133201124132311λλλλλλλλ+-⎧⨯+⨯>⎪⎪++⎨+-⎪⨯≠⨯⎪++⎩， 求得1λ>-或43λ<-且117λ≠-，故λ的取值范围为1λ>-且117λ≠-或43λ<-18.解：（1）()1,0A ，()0,1B ，C 2sin ,cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴C 2sin 1,cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫A =--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 2sin ,cos 144ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫B =--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C CA =B∴=化简得2sin cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 04πθ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭（若cos 0θ=，则sin 14πθ⎛⎫-=±⎪⎝⎭，上式不成立），所以1tan 42πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭……6分 （2）由0,42ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，1tan 42πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，知0,46ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以5,412ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan tan44tan tan 3441tan tan 44ππθππθθππθ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+== ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以cos 10θ=…………………12分 19.解：（1）由题意，43543S S S =+，得453a a =，13q =，所以1183n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭……………6分（2）()22log 31log nn b a n q ==+-，{}n b 成等差数列()()2221log 6log 2n q n q n ⎡⎤T =⋅+-⎣⎦ 3T 是数列{}n T 中的唯一最大项，所以2log 0q <且3224032log 033log 00b q q b >+>⎧⎧⇒⎨⎨+<<⎩⎩解得：142q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，q的取值范围是1,42⎛⎫⎪⎝⎭………………………12分20.解：（1）因为tan 1tan A +=B ()sin sin cos 1cos sin cos sin A +B A B +==A B A B因为C πA +B +=，()sinsinC A +B =，所以sinC cos sin =A B所以cos 2A =，30A =………………………3分（2）因为C πA +B +=，6πA =，所以5C 6πB +=2512sin 2sin cosC 1cos22sin cos sin 2662y ππ⎛⎫⎛⎫=B -B =-B +B -B =B -+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又C ∆AB 为锐角三角形，5232266πππππ<B <⇒<B -<所以13sin 21,622y π⎛⎫⎛⎫=B -+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………7分（3）方案一：选择①②，可确定C ∆AB ，因为30A =，1a=，)210c b -+=由余弦定理，得：2221112222b b b b ⎛⎫++=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭整理得：22b=，b =，2c +=所以C 1111sin 22224S bc ∆AB ++=A =⋅=方案二：选择①③，可确定C ∆AB ，因为135B =，C 15=或45B =，C 105=又()62sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin604+=+=+= 由正弦定理sinC 1sin1056sinsin302a c⋅+===A或2c -=………………………10分所以C 111sin 122224S ac ∆AB ++=B =⋅⋅⋅=或C14S ∆AB -=………12分 （选择②③不能确定三角形） 21.解：（1）由114a =，()1112n n n n a a a --=--（2n ≥，n *∈N ） 得：()()1111121n n n n a a --⎡⎤+-=-+-⎢⎥⎣⎦，所以12n n b b -=-（2n ≥） 又()1111130b a =+-=≠，所以12n n b b -=-（2n ≥）所以数列{}n b 是等比数列．()132n n b -=⨯-（2n ≥），13b =故()132n nb -=⨯-（n *∈N ），()()111321nn n a --=⨯-+-（n *∈N ）………………………6分（2）()1323232n n n n b ---=⨯-()()()()1211473232323232n n n S --=+++⋅⋅⋅+⨯-⨯-⨯-⨯-()()()()()12311147353223232323232n n n n n S ----=+++⋅⋅⋅++⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-两式相减，()()()()()1231311111321232222232nn n n n S n --⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=-⋅- ⎪⎝⎭----⨯-故1132n n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭………………………12分22.解：（1）由3122nn S x =-……①，得：113122S x =-，110x =≠ 当2n ≥时，113122n n S x --=-……②，①-②可得：113n n x x -=（2n ≥），113n n x -⎛⎫= ⎪⎝⎭………………………4分（2）11n n n n n x a a x a --≤+，而0n a >，0n x >，∴1111n n n a x a -≥+⇒1111n n n a a x --≥， ∴12311111n na a x x x -≥++⋅⋅⋅+，11a =， ∴2123111131113332n n n n a x x x --≥+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+= ∴231n n a ≤-………………………8分 设112233n n n S a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，11223312121211183269313n n n n n S a x a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+≤⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯- 当1n =时，1918S =< 当2n =时，21139112128S ≤+=<， 当3n ≥时，()2112222122122213323333313n n n n n n n n n n a x -------≤<=<-⋅+-- ∴23111111791799112999729728n n n S --⎛⎫<++++⋅⋅⋅+=-<< ⎪⎝⎭………………………12分。