高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作天水一中2015-2016学年第二学期高三（2013级）第四次检测考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（ ） A （0，3） B （0，2） C （0，1） D （1，2） 2.已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数22z a i =+的模等于（ ） A ．2 B ．11 C ．3 D ．64.向量,a b 均为非零向量，(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π5.各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则27211log log a a +的值 为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16.已知实数x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 7.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．433 B ．533 C ．23 D ．8338.如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．3?k > B ．4?k > C ．5?k > D ．6?k >9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：(4)(2)0f f =-=，在区间(,3)-∞-与[]3,0-上分别递增和递减，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,2)(2,4)-- C ．(,4)(2,0)-∞-- D ．(,4)(2,0)(2,4)-∞--10.已知点12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A B 、两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．4 C ．13 D ．1511.三棱锥P ABC -中，15,6,AB BC AC PC ===⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A ．253π B ．252π C ．833π D ．832π 12.一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数22(0)1xy x x=>+的图像上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）A ．πB ．3π C ．4π D ．2π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共四小题，每小题5分）13．记集合，构成的平面区域分别为M ，N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为．_____. 14.已知43cos()sin 65παα-+=，则7sin()6απ+的值是________． 15. 已知点(0,2)A ，抛物线21:(0)C y ax a =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若:1:5FM MN =，则a 的值等于________． 16.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a nππ=-，其前n 项和为n S ，则30S =________． 三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共10分.）17.（本小题满分12分）已知函数22()23sin cos 3sin cos 2f x x x x x =--+．（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足sin(2)3,22cos()sin b A C A C a A+==++，求()f B 的值．18.（本小题满分12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数48 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？ （2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．19．（满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，CD=，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，且PM=3MC ．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）求二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小．20. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知00(,)R x y 是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点,P Q ．（1）若R 点在第一象限，且直线,OP OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线,OP OQ 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的值； 21.（本小题满分12分）已知函数ln(2)()x f x x=．（1）求()f x 在[]1,(1)a a >上的最小值； （2）若关于x 的不等式2()()0f x mf x +>只有两个整数解，求实数m 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分. 22. （本小题满分 10分）ACB ∠的平已知C 点在O 直径BE 的延长线上，CA 切O 于A 点，CD 是分线且交AE 于点F ，交AB 于点D ． （1）求ADF ∠的度数；（2）若AB AC =，求ACBC的值．23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为13x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AOB ∆的面积．24. （本小题满分10分） 设函数()22f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|64x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围．数学理科参考答案一、选择题1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A 二、填空题13.． 14．45-15．263 16 ．47017．解：（1）222()23sin cos 3sin cos 23sin 22sin 13sin 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x x x x π=--+=-+=+=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴712,,sin(2),166662x x ππππ⎡⎤⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴[]()1,2f x ∈-．．．6分 （2）∵由题意可得[]sin ()2sin 2sin cos()A A C A A A C ++=++有，sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++，化简可得：sin 2sin C A = ∴由正弦定理可得：2c a =，∵3b a =，∴余弦定理可得：222222431cos 2222a c b a a a B ac a a +-+-===，∵0B π<< ∴3B π=， 所以 ()1f B =18. 18．（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==； 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==．．．．2分 （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． 6分 ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，ξξ 29 30 31 32 33 3435P0.10.1 0.2 0.2 0.2 0.10.1()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，．12分19.（Ⅰ）证明：连结BQ ，∵四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AD=2BC ，Q 为AD 的中点， ∴四边形ABDQ 为平行四边形，又∵CD=，∴QB=，∵△PAD 是边长为2的正三角形，Q 是AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，PQ=，在△PQB 中，QB=，PB=，有PQ 2+BQ 2=PB 2，∴PQ ⊥BQ ，∵AD ∩BQ=Q ，AD 、BQ ⊂平面ABCD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，又∵PQ ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）解：由（I ）可知能以Q 为原点，分别以QA 、QB 、QP 为x 、y 、z 轴建立坐标系如图，则Q （0，0，0），B （0，，0），∵BC=1，CD=，Q 是AD 的中点，∴PQ===，QC===2，∴PC===，又∵PM=3MC ，∴M（﹣，，），∴=（0，，0），=（﹣，，），设平面MBQ的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，即，令z=，得=（1，0，），又=（0，0，1）为平面BCQ的一个法向量，∴==，∴二面角M ﹣BQ ﹣C为．20．（1）由圆R 的方程知圆R 的半径22r =，因为直线,OP OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以24OR r ==，即22016x y += ①又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ② 联立①②，解得002222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，所求圆R 的方程为22(22)(22)8x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R 相切，所以10021221k x y k-=+，20022221k x y k-=+，化简得20122088y k k x -=-，因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以220012412x y +=， 即22001122y x =-，所以21220141282x k k x -==--． 21．解：（1）21ln(2)()x f x x -'=，令()0f x '>得()f x 的递增区间为(0,)2e； 令()0f x '<得()f x 的递减区间为(,)2e+∞，．2分 ∵[]1,x a ∈，则当12ea ≤≤时，()f x 在[]1,a 上为增函数，()f x 的最小值为(1)ln 2f =；．．．．．．．．．．．3分当2e a >时，()f x 在1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，在,2e a ⎛⎤⎥⎝⎦上为减函数，又ln 4(2)ln 2(1)2f f ===， ∴若22e a <≤，()f x 的最小值为(1)ln 2f =，．．．4分若2a >，()f x 的最小值为ln 2()af a a=，．．．．．．5分综上，当12a ≤≤时，()f x 的最小值为(1)ln 2f =；当2a >，()f x 的最小值为ln 2()af a a=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知，()f x 的递增区间为(0,)2e ，递减区间为(,)2e +∞，且在(,)2e+∞上ln 2ln 10x e >=>，又0x >，则()0f x >．又1()02f =．∴0m >时，由不等式2()()0f x mf x +>得()0f x >或()f x m <-，而()0f x >解集为1(,)2+∞，整数解有无数多个，不合题意；．．．．．．．8分，0m =时，由不等式2()()0f x mf x +>得()0f x ≠，解集为11(0,)(,)22+∞，整数解有无数多个，不合题意；0m <时，由不等式2()()0f x mf x +>得()f x m >-或()0f x <，∵()0f x <解集为1(0,02无整数解，若不等式2()()0f x mf x +>有两整数解，则(3)(1)(2)f m f f ≤-<=，∴1ln 2ln 63m -<≤-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 综上，实数m 的取值范围是1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（1）∵AC 为O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又DC 是ACE ∠的平分线，∴ACD DCB ∠=∠．由B DCB EAC ACD ∠+∠=∠+∠，得ADF AFD ∠=∠，又090BAE ∠=，∴01452ADF BAE ∠=∠=．（2）∵，∴ACE BCA ∆∆∴AC AEBC AB=，又0180ACE ABC CAE BAE ∠+∠+∠+∠=，∴030B ACB ∠=∠=．在Rt ABE ∆中，∴03tan 303AC AE BC AB ===． 23．解：（1）由曲线C 的极坐标方程是：22cos sin θρθ=，得22sin 2cos ρθρθ=． ∴由曲线C 的直角坐标方程是：22y x =．由直线l 的参数方程13x ty t =+⎧⎨=-⎩，得3t y =+代入1x t =+中消去t 得：40x y --=，所以直线l 的普通方程为：40x y --=．．5分 （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程22y x =，得2870t t -+=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所2212121222()4284762AB t t t t t t =-=+-=-⨯=，因为原点到直线40x y --=的距离42211d -==+，所以AOB ∆的面积是1162221222AB d =⨯⨯=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）∵226x a a -+≤，∴262x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-，3362342a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a =- ∴33322aa x -≤≤-.()6f x ≤的解集为64x x -≤≤，（2）由（1）得()224f x x =+-．∴2224(1)5x k x +-≤--，化简2221(1)x k x ++≤- 令23,1()22121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()y g x =的图象如要使不等2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，需212k ->，或211k -≤-，∴k 的取值范是{}|330k k k k ><-=或或．。
