高中数学苏教版必修4教案：第二章平面向量第11课时2.5向量的应用

专题十平面向量的线性运算
邵伯高级中学赵仁军
教学目标：
1．平面向量的线性运算
1加法、减法、数乘运算．
2三角形法那么、平行四边形法那么．
2．两个定理
1向量共线定理
如果存在一个实数λ，使b＝λaa≠0，那么b与a是共线向量；反之，如果b与aa≠0是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa
2平面向量根本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
教学重点：
向量的基底运算
教学难点：
三角形和四边形中向量的运算．
教学方法：
复习课、启发式——引导发现、合作探究．
教学过程：
一、问题情境
我们已经学过平面向量的运算及其性质，知道：
建立坐标系是解决平面向量问题的一个好方法。

那么，在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算．基底是指平面内两个不共线向量，在几何图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量．
二、建构数学
1．平面向量的根本概念填写下表：
2．共线向量．
如果平面向量表示的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
共线向量或平行向量．平行于记作
例2 如图10－2，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，CA ＝CB ＝2，假设错误!错误!，n ∈R ，那么m 2
＋n －22
的取值范围为________．
O
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．平面向量的定义与运算法那么；
2．平面向量的一维共线问题；
3．平面向量要注重数形结合，注重培养我们的想象能力．。

2.5 向量的应用1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 向量的应用阅读教材P 91～P 92的全部内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行.( ) (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多.( ) 【解析】 (1)可能AC →·CB →＝0或BA →·AC →＝0，故错误. (2)AB →∥CD →，AB ，CD 亦可能在一条直线上，故错误. (3)W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ，故错误. 【★答案★】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]向量在物理中的应用如图2-5-1所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.图2-5-1【精彩点拨】 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.【自主解答】 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|sin 30°＝12×300＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.[再练一题]1.已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0).(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功. 【解】 (1)AB →＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J).∴合力F 对质点所做的功为－102 J.向量在平面几何中的应用求证：AF ⊥DE .【导学号：48582116】图2-5-2【精彩点拨】 法一：选取基底，并证明DE →·AF →＝0. 法二：建立平面直角坐标系证明AF →·DE →＝0.【自主解答】 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a2， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2 ＝－12a 2－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0， 故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2).因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法：建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.[再练一题]2.如图2-5-3，已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，求证：O 为△ABC 的垂心.图2-5-3【证明】 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则BC →＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a ，由题设：|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，化简：a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2，得c·b ＝a·c ＝b·a ， 从而AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b·c －a·c ＝0，∴AB →⊥OC →. 同理BC →⊥OA →，CA →⊥OB →， 所以O 为△ABC 的垂心.[探究共研型]平面向量在解析几何中的应用000方程？【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →∥a ，∴y －y 0＝k (x －x 0).探究2 如何利用向量求经过点P 0(x 0，y 0)，且与a ＝(1，k )垂直的直线l 的方程？【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →⊥a ，∴(x －x 0)＋k (y －y 0)＝0.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F分别为边BC ，CA ，AB 的中点.(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程.【精彩点拨】 (1)先求出D ，E ，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解.【自主解答】 (1)由已知得点 D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)， 设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →.DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程. 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为 x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程.利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.[再练一题] 3.已知点A (2，－1).(1)求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程； (2)求过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程.【解】 (1)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1).由题意知AP →∥a ，即(x －2)－5(y ＋1)＝0，即x －5y －7＝0. 故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1). 由题意知，AP →⊥a ，即AP →·a ＝0， 即5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0.1.已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝________.【解析】 由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2). 【★答案★】 (1,2)2.飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是______km/h.【解析】 由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300×cos 30°＝1503(km/h).【★答案★】 150 33.在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 【导学号：48582117】【解析】 如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1).在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.【★答案★】 44.过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是________. 【解析】 设P (x ，y )为直线上的任意一点， ∴AP →＝(x －3，y ＋2)，AP →⊥n ， ∴5(x －3)－3(y ＋2)＝0， 即5x －3y －21＝0.【★答案★】 5x －3y －21＝05.如图2-5-4，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明)图2-5-4【证明】 连结OP ， 设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且P A →＝OA →－OP →＝a －b ， PB →＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴P A →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴P A →⊥PB →，即∠APB ＝90°.。

苏教版高中高二数学必修4《向量的应用》教案及教学反思一、教学目标1.了解向量的概念，能够准确描述向量的特征和性质。

2.掌握向量的基本运算法则，能够正确地进行加、减、数乘运算。

3.掌握向量的点积和叉积运算，能够熟练地进行计算，并理解其几何意义。

4.熟悉向量的应用，能够解决空间中向量问题。

5.培养学生的空间直观思维和数学思想，提高学生的数学素养和学习能力。

二、教学内容1. 向量的概念（1）向量的定义向量是大小有方向的量，通常用有向线段表示。

（2）向量的特征和性质向量具有大小和方向两个特征，可以进行加、减、数乘等运算。

（3）向量的表示方式向量可以通过起点和终点、坐标表示、列向量等方式表示。

2. 向量的基本运算（1）向量的加减法向量的加减法遵循平行四边形法则。

（2）向量的数乘向量的数乘是将向量的大小乘以一个实数。

3. 向量的点积和叉积运算（1）向量的点积运算向量的点积是将两个向量按位相乘后加起来得到的标量。

（2）向量的叉积运算向量的叉积是将两个向量按照一定的顺序进行叉积运算而得到的向量。

4. 向量的应用（1）向量的共线和平面判定通过向量的数乘和叉积可以判断两个向量是否共线以及三个向量是否在同一平面内。

（2）向量的投影和正交分解向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，在实际问题中经常用到。

（3）空间中向量的运用空间中向量的应用丰富多彩，例如在力学、几何、物理等领域都有广泛的应用。

三、教学方法1. 案例教学法通过具体生活案例介绍向量的概念和特点，从而引导学生理解和掌握向量的基本概念和性质。

2. 案例分析法通过实际问题的分析引导学生掌握向量的应用技巧和解题方法，提高学生的数学解决实际问题能力。

3. 讨论式教学法通过小组讨论的形式，引导学生探讨向量相关问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力。

4. 演示法通过演示和实例解析等方式，让学生更直观地理解和掌握向量的基本运算法则和应用技巧。

四、教学反思在这次教学中，我采用了多种教学方法，例如案例教学法、案例分析法、讨论式教学法等。

课堂练习
如图，△ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作
DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、H，试推断EF
与结G论H:是EF否∥平G行H .
A
E F G PH
B
D
C
课堂小结
1.用向量方法解决平面几何问题的基本思
路：几何问题向量化
向量运算关系
化2.用向量方向法量研关究系几几何何问化题. ，需要用向量
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
的观点看问题，将几何问题化归为向量问
题来解决.它既是一种数学思想，也是一种
数学能力.其中合理设置向量，并建立向量
关系，是解决问题的关键.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/27
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