【高考复习】2018届高考数学(文)二轮专题复习习题：第5部分 小题提速练 5-1-9 Word版含答案

小题提速练(十) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,5}，B ＝{1,3,4}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5}B [由题意得，∁U B ＝{2,5,6}，所以A ∩(∁U B )＝{2,5}．] 2．若a －ii＝b ＋2i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a ＋b 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A [由a －ii ＝b ＋2i ，得－1－a i ＝b ＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，所以a ＋b ＝－3.]3．设命题p ：∀x ＞0,2x＞1，则﹁p ：( )A ．∀x ＞0,2x≤1 B ．∃x 0＜0,2x 0＞1 C ．∀x ＜0,2x ≤1D ．∃x 0＞0,2x 0≤1D [全称命题的否定是特称命题，将“∀”变为“∃”，结论中的“>”变为“≤”，即可得命题﹁p .故选D.]4．从1,2,3,4,5中任取2个数字，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是( ) A.15 B.25 C.35D.45C [十位数分别是1,2,3,4,5的两位数各有4个，所以共有20个两位数，其中大于30的两位数有12个，所以所求概率P ＝1220＝35.]5．某程序框图如图1所示，则运行该程序后输出的值是( )【导学号：04024208】图1A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017D [运行程序得到的S 组成一个摆动数列：2 017,2 016，2 017，2 016，….程序共运行2 015次，故程序结束时输出的S ＝(－1)2 016＋2 016＝2 017.]6．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x ，y 线性相关，回归方程为y ＝0.7x ＋a ，估计该制药厂6月份生产的甲胶囊为( )【导学号：04024209】A ．8.1万盒B ．8.2万盒C ．8.9万盒D ．8.6万盒A [由已知得x ＝3，y ＝6，所以a ^＝y －0.7x ＝3.9，所以y ^＝0.7x ＋3.9，所以当x ＝6时，y ^＝0.7×6＋3.9＝8.1.故选A.]7．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．29 B ．31 C ．33D ．35B [依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝2a 1，a 1q 3＋2a 1q 6＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12，所以S 5＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.]8．若|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a ，b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°A [设a ，b 的夹角为θ(θ∈[0，π]，则由a ⊥(a －b )得，a·(a －b )＝0，即a 2－a·b ＝0，所以|a |2－|a|·|b |cos θ＝0，所以cos θ＝|a |2|a|·|b |＝12＝22，故θ＝45°.]9．如图2所示，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )图2A ．8＋6πB ．4＋6πC ．4＋12πD ．8＋12πA [该几何体是由半圆柱和四棱锥组合而成的，其中半圆柱的体积为12×π×22×3＝6π，四棱锥的体积为13×3×4×2＝8，所以该几何体的体积为8＋6π.]10．在球内有相距1 cm 的两个平行截面，截面面积分别是5π cm 2和8π cm 2，球心不在截面之间，则球的表面积是( ) A ．36π cm 2B ．27π cm 2C ．20π cm 2D ．12π cm 2A [设球的半径为R ，利用几何关系容易得到球心到两截面的距离分别为R 2－5，R 2－8.由于球心不在截面之间，所以R 2－5－R 2－8＝1，解得R 2＝9，所以球的表面积为4πR 2＝36π(cm 2)．]11．在平面直角坐标系xOy 中，已知x 21－ln x 1－y 1＝0，x 2－y 2－2＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5B [根据题意，原问题等价于求曲线y ＝x 2－ln x 上一点到直线x －y －2＝0的距离的最小值的平方．因为y ′＝2x －1x ，令2x －1x＝1，得x ＝1，可得与直线x －y －2＝0平行的曲线y ＝x 2－ln x 的切线与曲线相切于点(1,1)，所以切线方程为x －y ＝0.直线x －y ＝0与直线x －y －2＝0之间的距离为|2|2＝2，，即曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的距离的最小值为2，所以曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的距离的最小值的平方为2，所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为2.]12．设P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，O 是坐标原点，若以OP 为直径的圆与直线y ＝bax 的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率e 的取值范围是( )【导学号：04024210】A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)B [设P (x 0，y 0)，交点为A (x A ，y A )，则l PA ：y －y 0＝－a b ·(x －x 0)，与y ＝b ax 联立，得A ⎝⎛⎭⎪⎫a ax 0＋by 0a 2＋b 2，b ax 0＋by 0a 2＋b 2.若要点A 始终在第一象限，则需ax 0＋by 0＞0，即a b x 0＞－y 0恒成立．若点P 在第一象限，则此不等式显然成立，故只需当点P 在第四象限或坐标轴上时此不等式也成立即可，此时y 0≤0，所以a 2b 2x 20＞y 20，而y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 2－b 2a 2x 20＞－b 2恒成立，所以a 2b 2－b 2a2≥0，即a ≥b ，所以1<e ≤ 2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，2x，x ＞1，则f (log 23)＝________.[解析] 因为log 23＞log 22＝1，所以f (log 23)＝2log 23＝3. [答案] 314．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，当直线2x －3y －z ＝0过点B 时，z ＝2x －3y取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝3，可得点B 的坐标为(3,4)，所以z 的最小值为2×3－3×4＝－6.][答案] －615．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，x ∈(－∞，λ]对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是________．[解析] 依题意知，当x ∈(－∞，λ]时，x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12恒成立，由函数f (x )＝x 2＋12x的图象(图略)知，当x ∈(－∞，－1]时，不等式恒成立，所以λ∈(－∞，－1]． [答案] (－∞，－1]16．在平面直角坐标系中，已知点P (3,0)在圆C ：(x －m )2＋(y －2)2＝40内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为20，则实数m 的取值范围是________.【导学号：04024211】[解析] 因为点P (3,0)在圆内，所以(m －3)2＋22<40，解得－3<m <9，当△ABC 的面积取最大值20时，△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°，此时圆心C (m,2)到直线AB 的距离为25，由题可得|PC |≥25，即(m －3)2＋22≥20，解得m ≤－1或m ≥7.综上，可得m ∈(－3，－1]∪[7,9)．[答案] (－3，－1]∪[7,9)。

小题提速练(二) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x ≥4}，B ＝{x |－1≤2x －1≤0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(4，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 D ．(1,4]B [因为A ＝{x |x ≥4}，所以∁R A ＝{x |x ＜4}，又B ＝{x |－1≤2x －1≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，所以(∁R A )∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，故选B.] 2．复数5＋3i4－i对应的点在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [因为5＋3i4－i ＝＋＋4－i4＋i＝17＋17i17＝1＋i ，所以该复数对应的点为(1,1)，故选A.]3．已知命题p ：x ＋y ≥2xy ，命题q ：在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .则下列命题为真命题的是( ) A ．p B ．﹁q C ．p ∨qD ．p ∧qC [当x ，y 中至少有一个负数时，x ＋y ≥2xy 不成立，所以命题p 是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题q 是真命题．所以p ∨q 是真命题．]4.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则下列向量与2a ＋b 平行的是( ) A ．(1，－2)B ．(1，－3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23 D ．(0,2)C [因为a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，所以2a ＋b ＝(3,1)，而1×2－3×23＝0，故选C.]5．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，x －2y ＋3≥0，则z ＝yx的最大值为( )【导学号：04024176】A ．3B ．2C ．1D.12B [作出不等式组表示的平面区域，如图所示，yx的几何意义是区域内(包括边界)的点P (x ，y )与原点连线的斜率，由图可知，当P 移动到点B (1,2)时，yx取得最大值2.]6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [由题知，函数f (x )的最小正周期为π，故A 不正确；令x ＝π4，求得f (x )＝22，故函数f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故排除B ；将f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，函数f (x )单调递减，故排除D.]7．执行图1中的程序框图(其中[x ]表示不超过x 的最大整数)，则输出的S 值为( )图1A ．5B ．7C ．9D ．12C [程序运行如下：(1)S ＝0＋[]0＝0，n ＝0＜5；(2)S ＝0＋[]1＝1，n ＝1＜5；(3)S ＝1＋[2]＝2，n ＝2＜5；(4)S ＝2＋[3]＝3，n ＝3＜5；(5)S ＝3＋[4]＝5，n ＝4＜5；(6)S ＝5＋[5]＝7，n ＝5；(7)S ＝7＋[6]＝9，n ＝6＞5，循环结束，故输出S ＝9.] 8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为( )【导学号：04024177】图2A.43B.52C.73D.53A [由三视图知，该几何体为一个由底面相同的三棱锥与三棱柱组成的组合体，其体积V ＝13×12×2×1×1＋12×2×1×1＝43.] 9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙丁戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( ) A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 B [设所成等差数列的首项为a 1，公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin A sin C ＋sin 2C －sin 2A ＝12sin B sin C ，则sin A ＝( )A.14B.34C.114D.154D [由已知得b 2＝ac ，ac ＋c 2－a 2＝12bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝12bc ，所以cos A ＝14，所以sin A＝154.] 11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 的右支交于点A .若|OF |＝|OA |(O 为坐标原点)，则C 的离心率e 为( )【导学号：04024178】A. 2 B ．2 C. 5D ．5C [不妨设一条渐近线为l ：y ＝bxa，作FA ⊥l 于点B (图略)，因为|OF |＝|OA |，所以B 为线段FA 的中点．设双曲线的右焦点为F ′，连接F ′A ，因为O 为线段FF ′的中点，所以F ′A ⊥FA .易得直线FA ，F ′A 的方程分别为y ＝－a b (x ＋c )，y ＝b a(x －c )，解方程组可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 2c，－2ab c .因为该点在双曲线C 上，所以b 2－a 22a 2c 2－4a 2b 2b 2c2＝1，结合c 2＝a2＋b 2，整理得5a 2＝c 2，即5a ＝c ，所以e ＝c a＝ 5.]12．如图3所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝π2，AC ＝1，BC 边在x 轴上，有一个半径为1的圆P 沿x 轴向△ABC 滚动，并沿△ABC 的表面滚过，则圆心P 的大致轨迹是(虚线为各段弧所在圆的半径)( )图3D [当圆在点B 的左侧滚动时，圆心P 的运动轨迹是一条线段；当圆在线段AB 上滚动时，圆心P 的运动轨迹也是一条线段；当圆与点A 接触并且绕过点A 时，圆心P 的轨迹是以点A 为圆心，1为半径的圆弧；当圆在线段AC 上和点C 右侧滚动时，与在线段AB 上和点B 的左侧滚动时的情况相同．结合各选项中的曲线知，选项D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图4所示是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则a 1，a 2的大小关系是________．图4[解析] 由题意可知a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84，a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，所以a 2＞a 1.[答案] a 2＞a 114．若直线l ：x 4＋y3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的内切圆的方程为________．[解析] 由题意，设圆心为(a ，a )，则有|3a ＋4a －12|5＝a ，解得a ＝1或a ＝6(舍去)，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. [答案] (x －1)2＋(y －1)2＝115．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝－1e x 平行的切线，则实数m 的取值范围为________.【导学号：04024179】[解析] 由已知得f ′(x )＝e x －m ，由曲线C 不存在与直线y ＝－1e x 平行的切线，知方程ex－m ＝－1e 无解，即方程m ＝e x ＋1e 无解．因为e x ＞0，所以e x＋1e ＞1e，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e .[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e16．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝4，AB ＝23，则该球的表面积为________．[解析] 依题意，把三棱锥D ­ABC 扩展为直三棱柱，则上、下底面中心的连线的中点O 与A 之间的距离为球的半径(图略)．设△ABC 的中心为E ，因为AD ＝4，AB ＝23，△ABC 是正三角形，所以AE ＝2，OE ＝2，所以AO ＝22，所以该球表面积S ＝4π×(22)2＝32π. [答案] 32π。

小题提速练(四)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i解析：选D.因为a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.2．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜2x＜4}，B ＝{x |x －1＞0}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |1＜x ＜2} C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |1≤x ＜2}解析：选A.A ＝{x |1＜2x＜4}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x －1＞0}＝{x |x ＞1}，则∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝{x |0＜x ≤1}．3．已知命题p ：∀x ≥0,2x≥1；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧﹁q C ．﹁p ∧﹁qD ．﹁p ∨q解析：选B.命题p ：∀x ≥0,2x≥1为真命题，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2为假命题(如x ＝0，y ＝－3)，故﹁q 为真命题，则p ∧﹁q 为真命题．4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：选B.∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数的周期是4，∵f (x )在R 上是奇函数，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为( )A.312π B ．36πC.34π D ．33π 解析：选A.由三视图可知几何体为圆锥的14，圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴圆锥的高度为3，∴V ＝14×13×π×12×3＝3π12.6．在区间[－2,4]上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为56，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选D.如图区间长度是6，区间[－2,4]上随机取一个数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为56，所以m ＝9.7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：选A.f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.8．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6,8,0，则输出a 和i 的值分别为( )A ．0,4B ．0,3C ．2,4D ．2,3解析：选C.模拟执行程序框图，可得a ＝6，b ＝8，i ＝0，i ＝1，不满足a ＞b ，不满足a ＝b ，b ＝8－6＝2，i ＝2，满足a ＞b ，a ＝6－2＝4，i ＝3，满足a ＞b ，a ＝4－2＝2，i ＝4，不满足a＞b ，满足a ＝b ，输出a 的值为2，i 的值为4.9．已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( ) A ．－35B ．－45C.35D ．45解析：选B.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得T 2＝πω＝π2， ∴ω＝2.由sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得cos φ＝－45，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.10．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A.3－1 B ．11－1 C.3＋1D ．11＋1解析：选 A.由|CP →|＝1及C (0，－2)可得点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ－2，∴OA →＋OB →＋OP →＝(2＋cos θ，sin θ－1)，|OA →＋OB →＋OP →|2＝(2＋cos θ)2＋(sin θ－1)2＝2＋22cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ－2sin θ＋1＝4＋23cos(θ＋φ)≥4－23⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝63，sin φ＝33，∴|OA →＋OB →＋OP →|≥3－1.11．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3C ．2D ． 5解析：选C.如图，因为FB →＝2FA →，所以A 为线段FB 的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2＋∠4＝2∠2＝∠3，故∠2＋∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒b a＝3.∴e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝4⇒e ＝2.12．已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B ．36 C.23D ．22解析：选A.根据题意作出图形，设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC .∵CO 1＝23×32＝33， ∴OO 1＝63，∴SD ＝2OO 1＝263， ∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC ＝34，∴V ＝13×34×263＝26. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5∶4∶3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的高中二年级学生的人数是________．解析：用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为240的样本，则应从所抽取的高中二年级学生的人数45＋4＋3×240＝80.答案：8014．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，2x ＋y －4≥0，y ≤2，则x y的取值范围是________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分，则由图象知x ＞0，则设k ＝y x，则z＝x y ＝1k，则k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA 的斜率最大，OC 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，2x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，2x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝1，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，则OA 的斜率k ＝2，OC 的斜率k ＝132＝23，则23≤k ≤2，则12≤1k ≤32，则12≤x y ≤32，即x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 15．设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有4S n ＝a 2n ＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：当n ＝1时，由4S 1＝a 21＋2a 1，a 1＞0，得a 1＝2，当n ≥2时，由4a n ＝4S n －4S n －1＝(a 2n ＋2a n )－(a 2n －1＋2a n －1)，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1＝2，故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，代入n ＝1得a 1＝2符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：2n16．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 中点到抛物线准线的距离为________．解析：令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中点D (x 0，y 0)，F (1,0)，由AF →＝2FB →得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x 2－，－y 1＝2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2x 2＝3，y 1＋2y 2＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝3－x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－y 22，∵⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝y 2x 2－1，又k FB ＝y 2x 2－1，∴k AB ＝k FB ，∴4y 1＋y 2＝y 2x 2－1， ∴y 2(y 1＋y 2)＝4(x 2－1)，即－y 22＝4(x 2－1)，又－y 22＝－4x 2，∴4(x 2－1)＝－4x 2，得x 2＝12，∴x 0＝3－x 22＝54，AB 中点到抛物线准线距离d ＝x 0＋1＝94.答案：94。

小题提速练(四)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i解析：选D.因为a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.2．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜2x＜4}，B ＝{x |x －1＞0}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |1＜x ＜2} C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |1≤x ＜2}解析：选A.A ＝{x |1＜2x＜4}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x －1＞0}＝{x |x ＞1}，则∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝{x |0＜x ≤1}．3．已知命题p ：∀x ≥0,2x≥1；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧﹁q C ．﹁p ∧﹁qD ．﹁p ∨q解析：选B.命题p ：∀x ≥0,2x≥1为真命题，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2为假命题(如x ＝0，y ＝－3)，故﹁q 为真命题，则p ∧﹁q 为真命题．4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：选B.∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数的周期是4，∵f (x )在R 上是奇函数，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为( )A.312π B ．36πC.34π D ．33π 解析：选A.由三视图可知几何体为圆锥的14，圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴圆锥的高度为3，∴V ＝14×13×π×12×3＝3π12.6．在区间[－2,4]上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为56，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选D.如图区间长度是6，区间[－2,4]上随机取一个数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为56，所以m ＝9.7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：选A.f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.8．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6,8,0，则输出a 和i 的值分别为( )A ．0,4B ．0,3C ．2,4D ．2,3解析：选C.模拟执行程序框图，可得a ＝6，b ＝8，i ＝0，i ＝1，不满足a ＞b ，不满足a ＝b ，b ＝8－6＝2，i ＝2，满足a ＞b ，a ＝6－2＝4，i ＝3，满足a ＞b ，a ＝4－2＝2，i ＝4，不满足a＞b ，满足a ＝b ，输出a 的值为2，i 的值为4.9．已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( ) A ．－35B ．－45C.35D ．45解析：选B.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得T 2＝πω＝π2， ∴ω＝2.由sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得cos φ＝－45，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.10．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A.3－1 B ．11－1 C.3＋1D ．11＋1解析：选 A.由|CP →|＝1及C (0，－2)可得点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ－2，∴OA →＋OB →＋OP →＝(2＋cos θ，sin θ－1)，|OA →＋OB →＋OP →|2＝(2＋cos θ)2＋(sin θ－1)2＝2＋22cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ－2sin θ＋1＝4＋23cos(θ＋φ)≥4－23⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝63，sin φ＝33，∴|OA →＋OB →＋OP →|≥3－1.11．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3C ．2D ． 5解析：选C.如图，因为FB →＝2FA →，所以A 为线段FB 的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2＋∠4＝2∠2＝∠3，故∠2＋∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒b a＝3.∴e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝4⇒e ＝2.12．已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B ．36 C.23D ．22解析：选A.根据题意作出图形，设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC .∵CO 1＝23×32＝33， ∴OO 1＝63，∴SD ＝2OO 1＝263， ∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC ＝34，∴V ＝13×34×263＝26. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5∶4∶3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的高中二年级学生的人数是________．解析：用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为240的样本，则应从所抽取的高中二年级学生的人数45＋4＋3×240＝80.答案：8014．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，2x ＋y －4≥0，y ≤2，则x y的取值范围是________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分，则由图象知x ＞0，则设k ＝y x，则z＝x y ＝1k，则k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA 的斜率最大，OC 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，2x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，2x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝1，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，则OA 的斜率k ＝2，OC 的斜率k ＝132＝23，则23≤k ≤2，则12≤1k ≤32，则12≤x y ≤32，即x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 15．设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有4S n ＝a 2n ＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：当n ＝1时，由4S 1＝a 21＋2a 1，a 1＞0，得a 1＝2，当n ≥2时，由4a n ＝4S n －4S n －1＝(a 2n ＋2a n )－(a 2n －1＋2a n －1)，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1＝2，故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，代入n ＝1得a 1＝2符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：2n16．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 中点到抛物线准线的距离为________．解析：令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中点D (x 0，y 0)，F (1,0)，由AF →＝2FB →得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x 2－，－y 1＝2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2x 2＝3，y 1＋2y 2＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝3－x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－y 22，∵⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝y 2x 2－1，又k FB ＝y 2x 2－1，∴k AB ＝k FB ，∴4y 1＋y 2＝y 2x 2－1， ∴y 2(y 1＋y 2)＝4(x 2－1)，即－y 22＝4(x 2－1)，又－y 22＝－4x 2，∴4(x 2－1)＝－4x 2，得x 2＝12，∴x 0＝3－x 22＝54，AB 中点到抛物线准线距离d ＝x 0＋1＝94.答案：94。