【金版优课】高中数学人教A版选修1-1课时作业：第2章习题课3(含答案解析)

高中数学选修1-1（全册）习题（答案详细讲解）目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ?不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

高中数学第三章导数及其应用习题课（2）课时作业（含解析）新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用习题课（2）课时作业（含解析）新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章导数及其应用习题课（2）课时作业（含解析）新人教A版选修1-1的全部内容。

习题课(2）一、选择题1．［2013·福建高考]设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0）是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是（）A. ∀x∈R，f（x）≤f（x0）B. －x0是f（－x）的极小值点C。

－x0是－f(x)的极小值点D. －x0是－f(－x)的极小值点解析：极大值点不一定为最大值点,故A错；y＝f（－x）与y＝f（x)关于y轴对称，故－x为f(－x）的极大值点，B错；y＝f(x)与y＝－f（x)关于x轴对称，故x为－f（x)的极小值点，－x0不一定为－f(x）的极小值点,C错;y＝－f(－x)与y＝f(x）关于原点对称，∴－x0是－f(－x)的极小值点，故D对．答案：D2．函数y＝f（x)的定义域为R，导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f（x）( )A. 无极大值点，有四个极小值点B. 无极小值点，有四个极大值点C。

有两个极大值点，两个极小值点D. 有三个极大值点，一个极小值点解析：f′（x)＝0的根分别如题图a、c、e、g。

x<a时，f′（x)〉0，a<x<c时f′(x）〈0，∴a为极大值点．又c〈x<e时,f′(x）〉0知c为极小值点，e<x〈g时，f′（x)<0知e为极大值点,g〈x时，f′（x)>0知g为极小值点．故选C.答案：C3．若x＝－2与x＝4是函数f(x）＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有（）A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4解析:f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－2a3＝－2＋4,错误!＝－2×4,解得a＝－3，b＝－24。

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．命题及其关系的关注点(1)命题的四种形式的转换，方法是首先确定原命题的条件和结论，然后对条件与结论进行交换、否定，就可以得到各种形式的命题．(2)命题真假的判断，依据是命题所包含的知识点，判断的正确与否反映了对这一知识点的掌握情况，还可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断．2．充分条件与必要条件的注意点(1)在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．(2)证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．3．简单的逻辑联结词的两个关注点(1)正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．(2)有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．4．否命题与命题的否定的注意点否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p ，则q”，其否命题形式为“若綈p ，则綈q”，其否定为“若p ，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p ，结论q ，改写成“若p ，则q”的形式再判断．专题一 命题及其关系对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点．命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观推断，这也是最基本的数学逻辑思维方式．[例1] (1)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd}是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4(2)已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则对它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真解析：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以{a n }是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n ，此时{na n }不是递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n ，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递减数列，所以p 3为假命题；因为a n＋3nd＝4dn＋a1－d，所以{a n＋3nd}是递增数列，所以p4为真命题．(2)因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．答案：(1)D(2)D归纳升华1．判断一个命题是真命题还是假命题，关键是看能否由命题的条件推出命题的结论，若能推出，则是真命题，否则为假命题．2．还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行判断，即当一个命题的真假不易判断时，可以先把它转换成与它等价的命题(逆否命题)，再进行判断．[变式训练]给出下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；④若sin α＋cos α＞1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________(请把所有真命题的序号都填上)．解析：②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．答案：①③专题二充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定是高考考查的热点内容，在高考试题中主要以选择题的形式出现．解决此类问题的关键是充分利用充分条件、必要条件与充要条件的定义，同时，丰富的数学基础知识是做好此类题目的前提．[例2](1)若向量a＝(x，3)(x∈R)，则“|a|＝5”是“x＝4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x≠－1或y≠－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)|a|＝x2＋32＝5得x＝4或x＝－4.反之当x＝4时，|a|＝42＋32＝5，故“|a|＝5”是“x＝4”的必要不充分条件．(2)由逆否命题：若綈q，则綈p，则x＝－1＝y⇒x＋y＝－2正确，但x＋y＝－2 x ＝y＝－1，即綈q是綈p的充分不必要条件．答案：(1)B(2)A归纳升华判断充分条件和必要条件的方法1．定义法：根据充分条件和必要条件的定义直接判断．如本例中(1)．2．集合法：运用集合思想判断充分条件和必要条件也是一种很有效的方法，主要是通过集合范围的大小判断．3．等价命题法：利用原命题与它的逆否命题是等价命题的结论，有时可以很快地判断．如本例中(2)．[变式训练] 已知p ：x 2－8x －33＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：解不等式x 2－8x －33＞0，得p ：A ＝{x|x ＞11或x ＜－3}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0，得q ：B ＝{x|x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明AB.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a≤11，1－a ＞－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ＜11，1－a≥－3，解得0＜a≤4，所以正实数a 的取值范围是0＜a≤4.专题三 含逻辑联结词的命题用逻辑联结词“且”“或”“非”正确地表述数学内容是学习数学的基本要求．本内容在高考试题中，既可以以选择题、填空题的形式单独出现，又可以渗透到解答题中．掌握本部分内容的关键是弄清含“且”“或”“非”命题的真假判断方法，即“p ∧q”有假则假，“p ∨q ”有真则真．綈p 与p 真假相反．[例3] 已知命题p ：幂函数y ＝x 1－a 在(0，＋∞)上是减函数，命题q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1＞0恒成立．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：若命题p 真，1－a ＜0⇒a ＞1，若命题q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0或a ＝0⇒0≤a ＜4. 因为p ∧q 假，p ∧q 真，所以 命题p 与q 一真一假．当命题p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＜0或a≥4⇒a ≥4. 当命题p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a ＜4，⇒0≤a ≤1. 所以 所求a 的取值范围是[0，1]∪[4，＋∞)．归纳升华解答这类问题的一般步骤1．求出命题p ，q 为真时参数的条件；2．根据命题p ∧q ，p ∨q 的真假判定命题p ，q 的真假；3．根据p ，q 的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．[变式训练] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x|≥0.q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则下列命题为真命题为( )A ．p ∧(綈q)B ．(綈p)∧qC ．(綈p)∧(綈q)D ．p ∧q解析：由题意，知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题．由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q)是真命题．答案：A专题四 转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化、归结为在已学知识范围内可以解决的问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题都是在不断的转化中获得解决的．即使是数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想也都是转化思想的一种表现形式．[例4] 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解：因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以 p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m≤x≤1＋m ，所以 q ：Q ＝{x|1－m≤x≤1＋m}，由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x≤10， 所以 p ：P ＝{x|－2≤x≤10}，因为p 是q 的充分而不必要条件，所以 PQ ，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m≤－2，1＋m ＞10， 即m≥9或m ＞9.所以 实数m 的取值范围是m≥9.归纳升华对于条件或结论是否定式的命题一般应用等价法．这里要注意“原命题⇔逆否命题”，对于本题綈p 是綈q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件，进而转化为研究p ，q 对应的集合之间的关系，求出实数m 的取值范围．[变式训练] 若r(x)：sin x ＋cos x ＞m ，s(x)：x 2＋mx ＋1＞0，如果对∀x ∈R ，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m 的取值范围．解：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]， 所以 如果对∀x ∈R ，r(x)为假命题，即对∀x ∈R ，不等式sin x ＋cos x ＞m 不恒成立， 所以 m≥－ 2.又对∀x ∈R ，s(x)为真命题，即对∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1＞0恒成立，所以 m 2－4＜0，即－2＜m ＜2.所以 如果对∀x ∈R ，r(x)为假命题且s(x)为真命题，应有－2≤m ＜2.。

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提示]1．关于切线的留意点在确定曲线在某点处切线的方程时，肯定要首先确定此点是否为切点，若此点是切点，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不是切点，则需应先设切点，再求斜率，写出直线的方程．2．求函数单调区间的两个关注点单调区间的求解过程中，应关注两点：(1)不要忽视y＝f(x)的定义域；(2)增(减)区间有多个时，用“，”或者用“和”连接，切不行用“∪”连接．3．函数单调性与导数的关系的留意点若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明．f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不肯定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．4．可导函数的极值与导数的关系的留意点x0为极值点能推出f′(x0)＝0，但反之不肯定．f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0点两侧导数异号．5．函数的最值与极值的留意点(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、微小值是比较极值点四周的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．(2)在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较，不行直接用极大(小)值替代最大(小)值．专题一导数的运算与导数的几何意义在导数的运算中，要娴熟把握基本导数公式和运算法则．由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．[例1](1)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．(2)若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．解析：(1)由曲线y＝ax2＋bx过点P(2，－5)，可得－5＝4a＋b2.①y ′＝2ax －b x 2，则曲线在点P 处的切线斜率为4a －b 4，由题意可知4a －b4＝－72.②由①②解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.(2)设P (x 0，y 0)．由于y ＝x ln x ，所以y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ．所以1＋ln x 0＝2，解得x 0＝e ，所以y 0＝eln e ＝e.所以点P 的坐标是(e ，e)．答案：(1)－3 (2)(e ，e) 归纳升华1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数为f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，f (x 0))的切线方程：设切点Q (x 1，f (x 1))，则切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，把点P 的坐标代入切线方程解得x 1，再回代到切线方程中．[变式训练] 已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：(1)点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 由于f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又由于直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 专题二 利用导数争辩函数的性质把导数作为数学工具，求解单调区间，争辩函数的极大(小)值，以及求在闭区间[a ，b ]的最大(小)值是本章的重点．利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时肯定要娴熟它们的求解方法．[例2] 设函数f (x )＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f (x )的单调区间； (2)争辩f (x )的极值．解：由已知得f ′(x )＝6x 2－6(a －1)x ＝6x [x －(a －1)]． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝a －1.(1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0，列表如下：x (－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)＋0＋f(x)↗1↗由于f(x)是连续函数，所以f(x)在R上单调递增．当a＞1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，f(x)与f′(x)随x的变化状况如下表：x (－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗1↘1－(a－1)3↗由上表可知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(a－1，＋∞)，单调递减区间为(0，a－1)．(2)由(1)，知当a＝1时，函数f(x)没有极值；当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在x＝a－1处取得微小值f(a－1)＝1－(a－1)3.归纳升华1．利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(4)不等式的解集与定义域取交集；(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间．2．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得微小值；否则，此根不是f(x)的极值点．3．求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤：(1)求f(x)与(a，b)内的极值．(2)将极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．特殊地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或微小)值，则可以判定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．[变式训练]已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有微小值－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在闭区间[－2，2]上的最大值和最小值．解：(1)f′(x)＝3x2－6ax＋2b，由于f(x)在点x＝1处有微小值－1，所以⎩⎨⎧f′（1）＝0，f（1）＝－1，即⎩⎨⎧3－6a ＋2b ＝0，1－3a ＋2b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－12.所以 f (x )＝x 3－x 2－x ，f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＞0，得x ＞1或x ＜－13；令f ′(x )＜0，得－13＜x ＜1.所以 函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－13，1.(2)由(1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状况如下表所示：x －2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－13－13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1，2) 2 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )－10↗527↘－1↗2由表中数据知，函数f (x )在x ＝2处取得最大值2，在x ＝－2处取得最小值－10，所以 函数f (x )在闭区间[－2，2]上的最大值为2，最小值为－10. 专题三 利用导数求参数的取值范围导数中的参数问题实质上是利用导数求解切线问题、单调性问题、极值问题的逆向思维型问题，此类问题主要是利用导数的几何意义及导数与函数的单调性、极值的关系，并结合函数与方程思想、分类争辩思想等来解答的．[例3] 已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．解：由已知得a ＞1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln xx 2.由于x ＞1，所以g ′(x )＜0.所以g (x )＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减，所以g (x )＜g (1)，即g (x )＜1在区间(1，＋∞)内恒成立．故a ≥1. 归纳升华已知函数的单调性求参数的取值范围可转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0[或f ′(x )≤0]恒成立，用分别参数求最值或函数性质求解，留意验证使f ′(x )＝0的参数是否符合题意．[变式训练] 设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求全部的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注：e 为自然对数的底数．解：(1)由于f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－（x －a ）（2x ＋a ）x .由于a ＞0，所以f (x )的递增区间为(0，a )， 递减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎨⎧f （1）＝a －1≥e －1，f （e ）＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.专题四 分类争辩思想高考将对分类争辩思想的考查放在了比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求大家理解什么样的问题需要分类争辩、为什么要分类、如何分类以及最终如何整合，由此突出考查思维的严谨性和周密性．本章中的题型，如求单调区间、求参数的取值范围、求极值和最值以及恒成立问题，经常用到分类争辩思想．[例4] 设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax .争辩函数f (x )的单调区间和极值． 解：由已知得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x.①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是递增的，无极值． ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的．所以当x ＝1a时，f (x )有极大值，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝－ln a －1.综上所述，当a ≤0时，f (x )的递增区间为(0，＋∞)，无极值；当a ＞0时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，极大值为－ln a－1.归纳升华分类争辩的原则和步骤1．原则：要有明确的分类标准；2．分类争辩的一般步骤：先明确争辩对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最终归纳总结得出结论．[变式训练] 已知a ，b 为常数且a ＞0，f (x )＝x 3＋32(1－a )x 2－3ax ＋b .(1)函数f (x )的极大值为2，求a ，b 间的关系式；(2)函数f (x )的极大值为2，且在区间[0，3]上的最小值为－232，求a ，b 的值．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋3(1－a )x －3a ＝3(x －a )·(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a ， 由于a ＞0，所以x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状况见下表：x (－∞，－1)－1 (－1，a ) a (a ，＋∞)f ′(x )＋－＋↗↘↗所以当x ＝－1时，f (x )有极大值2， 即3a ＋2b ＝3.(2)①当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0，a )上为减函数，在[a ，3]上为增函数， 所以f (a )为最小值，f (a )＝－12a 3－32a 2＋b .即－12a 3－32a 2＋b ＝－232，又有b ＝3－3a 2，于是有a 3＋3a 2＋3a －26＝0，即(a ＋1)3＝27， 解得a ＝2，b ＝－32.②若a ＞3，f (x )在[0，3]上单调递减， 则在x ＝3处取得最小值，f (3)＝27＋32×(1－a )×9－9a ＋b ＝－232.又由于3a ＋2b ＝3，解得a ＝3516＜3与a ＞3冲突．综上：a ＝2，b ＝－32.。