2017年天津市南开区高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版)

U AB ð等于（{0,1,2}．已知(3,1)a =，(2,5)b =-，则32a b -=（ ）B ．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）答 案一、选择题.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1~5．ABCBD 6~10．ABABA 11~15．CADDB 16~20．BBACD 21~25．CCBCD 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上. 26．③． 27．36，24． 28．2． 29．1．30．30x +=或34150x y ++=．解析一、选择题.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集的定义求出C U B再利用交集的定义求A∩C U B【解答】解：∵U={0，1，2，3}，B={0，2，3}，∴C U B═{1}，∴A∩C U B={1}，故选A．2．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用函数y=Acos（ωx+φ）的周期为，求得结果．【解答】解：∵y=cos（2x﹣），∴函数y=cos（2x﹣）的最小正周期T==π．故选：B．3．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由=（3，1），=（﹣2，5），利用平面向量坐标运算法则能求出3﹣2．【解答】解：∵=（3，1），=（﹣2，5），∴3﹣2=（9，3）﹣（﹣4，10）=（13，﹣7）．故选：C．4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．【解答】解：====﹣1+i．故选B．5．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据对数函数、指数函数、幂函数和反比例函数的单调性，便可找出在区间（0，+∞）上是减函数的选项．【解答】解：函数在区间（0，+∞）上都是增函数；函数y=x﹣1在（0，+∞）上为减函数．故选D．6．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由题意求出cosα的值，然后求出正切值．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴cosα===，∴tanα===．故选：A．7．【考点】程序框图．【分析】通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．【解答】解；经过第一次循环得到a=12+2=3经过第一次循环得到a=32+2=11不满足判断框的条件，执行输出11故选B8．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过点O（0，0）时，z最大值即可．【解答】解：作出可行域如图，由z=x+2y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最小值时，目标函数取得最小值．由得O（0，0）．结合可行域可知当动直线经过点O（0，0）时，目标函数取得最小值z=0+2×0=0．故选：A．9．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式把要求的式子化为cos45°，从而可得结果．【解答】解：由二倍角公式可得1﹣2sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，故选B．10．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4，满足题意．故选：A．11．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的准线方程求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2的准线方程为y=1，∴﹣=1，解得a=﹣4，故选：C12．【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质得到a8等于a5的与q3的积，把已知的a5和a8的值代入即可求出q3的值，然后再利用等比数列的性质得到a11为a8与q3的积，将a8及求出的q3的值代入即可求出值．【解答】解：根据等比数列的性质得：a8=a5q3，由a5=﹣16，a8=8，得到q3==﹣，则a11=a8q3=8×（﹣）=﹣4．故选A13．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．14．【考点】等差数列的前n项和．【分析】结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6．【解答】解：∵，S4=20，∴S4=2+6d=20，∴d=3，∴S6=3+15d=48．故选D．15．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】首先计算出所以基本事件总数为：C52=10，再计算出这两个数字之和为奇数的取法，进而计算出事件发生的概率．【解答】解：由题意可得：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字共有不同的取法有：C52=10．则这两个数字之和为奇数的取法有：（1，2），（1，4）．（2，3），（2，5），（3，4），4，5）；共有6中取法．所以这两个数字之和为奇数的概率为：．故选B．16．【考点】斜率的计算公式．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．17．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先管仔细观察给出几何体的主视图和侧视图便可知该几何体为圆锥，根据圆锥表面积公式的求法便可求出该几何体的全面积．【解答】解：仔细观察几何体的主视图侧视图可知该几何体为圆锥，由图象可知：圆锥的圆心角为60°，圆锥的母线L长为2，半径为1．根据圆锥表面积公式的求法：S=πRL+πRR=π×1×2+π×1×1=3π，故选B．18．【考点】充要条件．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．19．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到的新函数的解析式要在x上减去平移的大小，再用诱导公式得到结果．【解答】解：∵将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，∴解析式为y=cos2（x﹣）=cos（）=sin2x故选C．20．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，B，C，写出所有可能，对于D，根据线面垂直的性质，可得a∥b．【解答】解：若a∥b、a∥α，则b∥α或b⊂α，故A错误；如果a⊥l，b⊥l，则a∥b或a，b相交、异面，故B错误；如果a∥α，b⊥a，则b⊥α、相交、平行，都有可能，故C错误；如果a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质，可得a∥b，故D正确．故选：D．21．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵b=（）﹣0.2=20.2＜21.2=a，∴a＞b＞1．∵c=2log52=log54＜1，∴a＞b＞c．故选：C．22．【考点】几何概型．【分析】本题是几何概型问题，欲求点M在球O内的概率，先由正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的内切球O，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．【解答】解：本题是几何概型问题，设正方体的棱长为：2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的内切球O的半径是其棱长的一倍，其体积为：V1=π×13=，则点M在球O内的概率是=故选：C．23．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的圆心与半径，利用已知条件，求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程．【解答】解：圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，设圆的圆心（0，r），半径为r．则：=r．解得r=5．所求圆的方程为：x2+（y﹣5）2=25．即x2+y2﹣10y=0．故选：B．24．【考点】直线与平面所成的角．【分析】要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．【解答】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4∴C1O⊥B1D1∴C1O⊥平面DBB1D1在Rt△BOC1中，∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为故选C．25．【考点】函数的图象；二次函数的性质．【分析】若函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则函数有正数零点，结合一次函数和二次函数的图象和性质，分类讨论，可得答案．【解答】解：当k=0时，函数f（x）=﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点满足条件；当k≠0时，若函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则函数有正数零点，当k＜0时，函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象开口朝下，且过（0，1）点，此时必有正数零点，当k＞0时，函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象开口朝上，且过（0，1）点，对称轴在y轴右侧，若函数有正数零点，则，解得：a∈（0，]，综上可得：实数k的取值范围为（﹣∞，]，故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上.26．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据所给的线性回归方程，当x增加1时，y要增加90元，当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，这里的值是平均增加90元．【解答】解：∵回归直线方程为=60+90x，∴当x增加1时，y要增加90元，∴当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，故答案为：③．27．【考点】基本不等式．【分析】利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：f′（x）=4﹣==，（x＞0，a＞0）．可知：x=时，函数f（x）取得最小值，∴3=，解得a=36．f（3）=12+=24．故答案为：36，24．28．【考点】余弦定理．【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b即可．【解答】解：由余弦定理可知b2=a2+c2﹣2accosB=22+﹣2×2×2×=4．因为b是三角形的边长，所以b=2．故答案为：2．29．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】通过对函数f（x）求导，根据函数在x=1处有极值，可知f'（1）=0，解得m的值，再验证可得结论．【解答】解：求导函数可得f'（x）=3x2﹣4mx+m2，∴f'（1）=3﹣4m+m2=0，解得m=1，或m=3，当m=1时，f'（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），函数在x=1处取到极小值，符合题意；当m=3时，f'（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），函数在x=1处取得极大值，不符合题意，∴m=1，故答案为：1．30．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，一下分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在，显然x=﹣3满足题意；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k 表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线方程．【解答】解：由圆的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=5，∵直线被圆截得的弦长为8，∴弦心距==3，若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然x=﹣3满足题意；若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，∴所求直线的方程为y+=k（x+3），∴圆心到所设直线的距离d==3，解得：k=﹣，此时所求方程为y+=﹣（x+3），即3x+4y+15=0，综上，此弦所在直线的方程为x+3=0或3x+4y+15=0．故答案为：x+3=0或3x+4y+15=0。

2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =--，集合{}2|4B x Z x x =∈≤，则R A B ⋂=ð（ ）A. {}|03x x ≤≤B. {}0,1,2,3C. {}10,1,2,3-，D. {}1,2 【答案】B【解析】因为{}()()()2230={|(310},13,A x x x x x x =---+>=-∞-⋃+∞，{}(){}2|4{Z |40}0,1,2,3,4B x Z x x x x x =∈≤=∈-≤=，所以()1,3R A =-ð，{}0,1,2,3R A B ⋂=ð；故选B.点睛：在利用描述法表示集合时，要注意代表元素的限制条件，以免导致错误，如本题中{}(){}2Z|4{Z |40}0,1,2,3,4B x x x x x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的整数解， {}()[]2R|4{|40}0,4B x x x x R x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的实数解.2．设变量,x y 满足约束条件20{2360,3290x y x y x y -+≥+-≥+-≤则目标函数2z x y =-的最大值是（ ）A. -2B. 2C. -6D. 6 【答案】D【解析】将2z x y =-化为2y x z =-，作出可行域和目标函数基准直线2y x =，当直线2y x z =-向左上方平移时，直线2y x z =-在y 轴上的截距z -增大，即z 减小，由图象，得当直线2y x z =-过点()3,0A 时， z 取得最大值236⨯=；故选D.3．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】试题分析：输入1=a ，则0=k ，1=b ； 进入循环体，21-=a ，否，1=k ，2-=a ，否，2=k ，1=a ，此时1==b a ，输出k ，则2=k ，选B. 【考点】算法与程序框图4．在6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中， 3x 项的系数为（ ）A. 540B. -540C. 20D. -20【答案】B 【解析】6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()()6216123166313kk kkkk k k T C xx C x----+=⋅-=-⋅，令1233k -=，得3k =，则3x 项的系数为()333613540C -⋅=-；故选B.5．已知,m n 是两条互相垂直．．．．的直线， α是平面，则//n α是m α⊥的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】D【解析】若,//m n n α⊥，则,m α可能垂直、平行、在面内或相交，即n // α不是m⊥ α的充分条件，若,m n m α⊥⊥，则,n α可能平行、线在面内，即n // α不是m ⊥ α的必要条件，即n // α是m ⊥ α的既不充分也不必要条件；故选D.6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，， ,A B 为双曲线的左右顶点，若点M 在双曲线上，且满足ABM ∆为一个顶角为120︒的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. =y x ±B. =yC. =2y x ±D. =y x ± 【答案】A【解析】由题意，设()()(),0,,0,,A a B a M x y -，则0tan 30{tan 60AM BM y k x ay k x a==+==-，则2221y x a=-，即双曲线的方程为222x y a -=，其渐近线方程为y x =±；故选A.7．设实数,,a b c 分别满足2322,log 1a a b b +==， 5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >> 【答案】C【解析】令()322f x x x =+-，则()322f x x x =+-在R 上单调递增，且()()012110f f ⋅=-⨯=-<，即()0,1a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题.8．若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. ()0,+∞ C. ()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】显然，当1x =时，()3112x k x x -=-+成立，若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则()3112x k x x -=-+有且只有一个不为1的根，当1x >时， ()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x -=-+，即()()2112x x k=-+，令()()()212h x x x =-+，则()()()3110h x x x =+->'在()1,+∞成立，即10k->，解得0k >；当1x <时，()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x --=-+，即()()2112x x k-=-+，令()()()212h x x x =-+，令()()()3110h x x x =+->'，则1x <-或1x >，则()()()212h x x x =-+在(),1-∞-单调递增，在()1,1-上单调递减，则()114h k-<-=， 解得14k <-，即实数k 的取值范围是()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；故选C. 点睛：处理两函数图象的交点个数问题，往往将函数的零点、方程的解联系在一起进行处理，如本题中将问题转化为()3112x k x x -=-+的根的个数问题.二、填空题9．设i 为序数单位，则()211ii i+--=-__________． 【答案】1522i -+ 【解析】()()()()(2i)1i 2i 13151i 1i i 1i=i 1i (1i)1i 2222+++--=--=+-+-+--+. 10．已知抛物线的参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若EF MF =，点M 横坐标为6，则p =__________．【答案】4【解析】参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数）的抛物线的标准方程为22y px =（如图所示），设(M ，因为EF MF =62p=+，截得4p =.点睛：在处理涉及抛物线的焦点弦或焦半径的大小时，往往利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.【答案】1π【解析】由三视图，可知该几何体是由两个共底面的正四棱锥组合而成的正八面体，其底面边长为1，四棱锥的高为2，则该几何体的体积为121323V =⨯⨯=，而该几何体的外接球的球心为底面的中心，半径为2，体积为324π3V =⨯=⎝⎭则这个几何体的体积与其外接球体积之比为121:πV V =.12．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a =__________． 【答案】3【解析】设等差数列的公差为()0d d ≠，则112141,2,46S a S a d S a d==+=+，因为124,,S S S 成等比数列，所以()()2111246a d a a d +=+，即()120d d a -=，解得12d a =，则211111123a a d a a a a a ++===. 13．函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线与函数()2g x x =围成的图形的面积等于__________． 【答案】43【解析】因为()321f x x x x =-++，所以()2321f x x x '=-+， ()12f '=，则函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线为()221y x -=-，即2y x =，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为()2223200142d |33S x x x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.14．已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=，则co s C =__________．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=，所以456OA OB OC +=-，则222162540c o s 36R R R A O B R ++∠=，即8c o s A O B ∠=-，即()282cos 11C -=-，解得cos C =.三、解答题15．已知函数()()2f x xcosx cos x m m R =-+∈的图象过点,0.12M π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,.a b c 若cos cos 2cos ,c B b C a B +=求()f A 的取值范围.【答案】（Ⅰ）12m =; （Ⅱ）1,1]2-（. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，代点求m 值；（Ⅱ）利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，进而求出π3B =，再利用角A 的范围和三角函数的性质进行求解.试题解析：（Ⅰ）由()()111cos2sin 2262f x x x m x m π⎛⎫=-++=-+- ⎪⎝⎭ 因为点,012M π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以11sin 20,12622m m ππ⎛⎫⋅-+-== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）因为cos cos 2cos ,c B b C a B += 所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B +=所以()sin 2sin cos ,B C A B +=即sin 2sin cos A A B = 又因为()0,,A π∈所以sin 0A ≠ ,所以1cos 2B = 又因为()0,,B π∈所以2,33B A C ππ=+=所以270,23666A A ππππ<<-<-<；令2623A A πππ-==，得()0,,3f A π⎛⎤∴↑ ⎥⎝⎦， ()2,,33f A ππ⎛⎫↓ ⎪⎝⎭， ()1210,1,2332f f f ππ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1sin 2,162A f A π⎛⎫⎛⎤-∈-∴ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的取值范围是1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦. 16．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级. 【答案】（Ⅰ）13; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）一年中平均有120天的空气质量达到一级. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用频率来估计概率即可；（Ⅱ）利用超几何分布的概率公式进行求解，再列表得到分布列；（Ⅲ）利用二项分布的特点和期望公式进行判定. 试题解析：（Ⅰ）设B =这天空气质量为1级， ()51153P B == （Ⅱ）1553N M n ===，，， ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：()()35103150,1,2,3.k kC C P k k C ξ-===（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为,η则1360,3B η⎛⎫- ⎪⎝⎭， 13601203E η∴=⨯=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级.17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 11,1,2AC BC AC BC AA D ⊥===是棱1AA 上的点， 1.DC BD ⊥（Ⅰ）求证： D 为1AA 中点；（Ⅱ）求直线1BC 与平面BDC 所成角正弦值大小；（Ⅲ）在ABC ∆边界及内部是否存在点M 使得1B M ⊥面,BDC 存在，说明M 位置，不存在，说明理由【答案】（Ⅰ）见解析; （2；（3）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用共线向量进行判定；（Ⅱ）求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用夹角公式进行求解；（Ⅲ）先根据题意设出点的坐标，再利用该直线的方向向量和平面的法向量平行进行求解.试题解析：（1）根据题意以1,,AC BC CC 所在直线为,,x y z 轴()()()()11,0,,0,0,2,0,1,0,0,1,2D h C B B ∴ ()()11,0,2,1,1,DC h BD h ∴=--=-()1201h h h ∴-+-=⇒= D ∴为1AA 中点. （2）()10,1,2BC =-设面BDC 法向量()1111,,n x y z =1111100{{00n CB x z y n CD ⋅=+=∴⇒=⋅=，设()1111,0,1x n =⇒=-11cos ,BC n ∴==（3）设(),,0,01,01,1M x y x y x y ≤≤≤≤+≤()()111,1,21,0,1B M x y B M BDC B M λ∴=--⊥∴=-2{10{112x x y x y λλ==⇒-=⇒⇒>=-=-M ∴不存在18．设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点(),P a b 满足212PF F F =．(Ⅰ) 求椭圆的离心率e ；(Ⅱ) 设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，若直线2PF 与圆()(22116x y ++=相交于M ，N 两点，且58MN AB =，求椭圆的方程．【答案】(Ⅰ) 12e =(Ⅱ) 2211612x y +=【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用|PF 2|=|F 1F 2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）先把直线PF 2与椭圆方程联立求出A ，B 两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程试题解析：(Ⅰ)设()1,0F c -，()2,0F c ． 因为212PF F F =2c =，222240a ac a c -+-=，由c e a =，有24220e e +-=，即2210e e +-=，1e =-（舍去）或12e =． 所以椭圆的离心率为12e =．(Ⅱ) 解．因为12e =，所以2a c =，b =．所以椭圆方程为2223412x y c +=．直线2PF 的斜率bk a c==-，则直线2PF 的方程为)y x c =-． ,A B 两点的坐标满足方程组)2223412,.x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理得2580x cx -=．则10x =，285x c =． 于是110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 228,5.x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,B ．所以165AB c ==．于是528MN AB c ==．圆心()1,3-到直线2PF的距离d ==，因为22242MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()2232164c c ++=，即2712520c c +-=， 解得2607c =-<（舍去），或2c =．于是24a c==，b ==． 所以椭圆的方程为2211612x y +=． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质19．记{}1,2,100U = ，对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集,T 若T =∅，定义0T S =，若{}12,,,,k T t t t = 定义12k T t t t S a a a =++ 例如： {}1,3.66T =时，1366.r S a a a =++现设{}()•n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时,30T S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,,,T k ⊆ 求证： 1T k S a +<； （Ⅲ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,T k = ，记数列1T S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为H ，求证： 32H <【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈; （2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先由数列为等比数列和当{}2,4T =时, 30T S =求出1a ，再进一步求出数列的通项公式；（Ⅱ）利用等比数列的通项公式和前n 项和公式以及放缩法进行证明；（Ⅲ）利用裂项抵消法和放缩法进行证明. 试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈， 于是当{}2,4T =时， 2411132730.T S a a a a a =+=+=又30,T S =故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{}1*1,2,,,30,n n T k a n N -⊆=>∈ ，所以()11211333132k kk T k S a a a -≤+++=+++=-< . 因此， 1T k S a +＜. （3）1312kT k S a a -=++=()()()1123112313131k k k k T S ++-⇒==--- ()()1112311331313131k k k k k +++⋅⎛⎫<=- ⎪----⎝⎭1111111332882631312k k H +⎛⎫∴-+-++-< ⎪--⎝⎭ ＜法二： ()()111112123312310313331331k k k kk k k k k -----⋅-+-⋅+-==<---11311212313k T k k k T S a a S --=++=⇒=<- 111331213k H ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭∴<<-点睛：对于新定义型数列问题，首先要理解所给新定义和所学知识的联系，能准确利用所学知识解释新定义，是解决此类问题的关键. 20．已知函数32(),()ln f x x x b g x a x =-++=. （1）若()f x 在1[,1)2x ∈-上的最大值为38，求实数b 的值；（2）若对任意[1,]x e ∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（1）的条件下，设(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由。

2017年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，2}，集合B＝{﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，则B＝（）A．{1}B．{﹣2}C．{﹣1，﹣2}D．{﹣1，0}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y+1的最大值为（）A．11B．10C．9D．8.53．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题4．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为（）A．3B．2C．4D．6．（5分）若（﹣）n的展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x的系数为（）A．15B．10C．﹣15D．﹣107．（5分）设F是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．（5分）已知函数f（x）＝x﹣[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f（x）＝kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数z＝∈R，则实数a的值是．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．11．（5分）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是．12．（5分）已知直线C1：（t为参数），C2：（θ为参数），当α＝时，则C1与C2的交点坐标为．13．（5分）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝60°，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AB＝2，AD＝，则＝．14．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A与C 不相邻，则不同的排法共有种．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若x＝x0（x0∈[0，]）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（13分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：直线AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（Ⅲ）当＝λ时，异面直线DE和AC所成的角为90°，求CE的长．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，{b n}为等差数列，且a1＝b1，a2（b2﹣b1）＝a1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．19．（14分）已知点F是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，点M在椭圆E上，以M为圆心的圆与x轴切于点F，与y轴交于A、B两点，且△ABM 是边长为2的正三角形；又椭圆E上的P、Q两点关于直线l：y＝x+n对称．（I）求椭圆E的方程；（II）当直线l过点（0，）时，求直线PQ的方程；（III）若点C是直线l上一点，且∠PCQ＝，求△PCQ面积的最大值．20．（14分）函数f（x）＝2（a﹣1）ln（e x﹣1）+e x，g（x）＝（4a﹣2）x，其中a为常数（a＞），f′（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ）当a＝时，证明f′（x）≥4；（Ⅱ）当a＝时，x0满足f（x0）＝4x0，证明：当x＞x0时，f（x）＞4x；（Ⅲ）设x1，x2分别是函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的极大值点和极小值点，且x2﹣x1＞ln2，求a的取值范围．2017年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，2}，集合B＝{﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，则B＝（）A．{1}B．{﹣2}C．{﹣1，﹣2}D．{﹣1，0}【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，集合B＝{﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，﹣1∈A，且2﹣（﹣1）＝3∉A，故1∈B；0∈A，但2﹣0＝2∈A，不满足题意；2∈A，但2﹣2＝0∈A，不满足题意；故B＝{1}，故选：A．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y+1的最大值为（）A．11B．10C．9D．8.5【解答】解：做出可行域如图所示：将目标函数转化为，欲求z的最大值，只需求直线l：在y轴上的截距的最大值即可．作出直线l0：，将直线l0平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y轴上的截距最大，此时z最大．由可求得A（3，1），将A点坐标代入z＝2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1＝10故选：B．3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x ≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件．因为x＝﹣1⇒x2﹣5x ﹣6＝0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故选：D．4．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．【解答】解：由曲线y＝和曲线y＝x2可得交点坐标为（0，0），（1，1），则曲线y＝和曲线y＝x2围成的封闭图形的面积为S＝（﹣x2）dx＝（﹣x3）＝﹣＝．故选：D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为（）A．3B．2C．4D．【解答】解：∵cos C＝，∴sin C＝＝，又∵a＝3，b＝2，∴S＝ab sin C＝＝4．△ABC故选：C．6．（5分）若（﹣）n的展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x的系数为（）A．15B．10C．﹣15D．﹣10【解答】解：（﹣）n的展开式中各项系数绝对值之和与的展开式中各项系数之和相等．对，令x＝1，则其展开式中各项系数之和＝4n．∴4n＝1024，解得n＝5．∴的通项公式T r+1＝＝（﹣3）r，令＝1，解得r＝1．∴展开式中x的系数＝﹣3×＝﹣15．故选：C．7．（5分）设F是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意得F（，0），准线为x＝﹣，设双曲线的一条渐近线为y＝x，则点A（，），由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即＝+，∴＝1，e＝＝，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝x﹣[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f（x）＝kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝x﹣[x]的图象如下图所示：y＝kx+k表示恒过A（﹣1，0）点斜率为k的直线若方程f（x）＝kx+k有3个相异的实根．则函数f（x）＝x﹣[x]与函数f（x）＝kx+k的图象有且仅有3个交点由图可得：当y＝kx+k过（2，1）点时，k＝，当y＝kx+k过（3，1）点时，k＝，当y＝kx+k过（﹣2，1）点时，k＝﹣1，当y＝kx+k过（﹣3，1）点时，k＝﹣，则实数k满足≤k＜或﹣1＜k≤﹣．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数z＝∈R，则实数a的值是．【解答】解：∵z＝＝∈R，∴3﹣4a＝0，即a＝．故答案为：．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1011．（5分）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是36+128π．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一平放的直三棱柱，下部为圆柱体的组合体．上部一平放的直三棱柱形状如图，底面三角形一边为3，对应的高为4．直三棱柱高为4其体积V1＝S1h1＝＝36下部圆柱体的体积V2＝S2h2＝π××8＝128π所以V＝V1+V2＝36+128π故答案为：36+128π12．（5分）已知直线C1：（t为参数），C2：（θ为参数），当α＝时，则C1与C2的交点坐标为（1，0），（，﹣）．【解答】解：（Ⅰ）当α＝时，C1的普通方程为y＝（x﹣1），C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0），（，﹣）．故答案为（1，0），（，﹣）．13．（5分）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝60°，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AB＝2，AD＝，则＝．【解答】解：过B作BM⊥DC于M，故AB＝DM＝2，因为BM＝AD＝，∠BCD＝60°，故CM＝1，＝（+）•（+）＝•+•＝××（﹣1）+2×＝，故答案为：14．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A与C 不相邻，则不同的排法共有36种．【解答】解：依题意，可分三步，先排D，E，有种方法，产生3个空位，将AB捆绑，看作一个元素，插入三个空位之一，有3种方法，再将AB松绑，有种方法，这时AB、D、E产生四个空位，最后将C插入与A不相邻的三个空位之一，有3种方法，根据分步乘法计数原理得：共有•••＝36种，故答案为：36．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若x＝x0（x0∈[0，]）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x+sin（x+）sin（x﹣），x∈R化简可得：f（x）＝cos2x+sin2x+sin（x﹣）cos（x﹣），＝﹣cos2x+sin2x+sin﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x+＝2sin（2x﹣）．（Ⅰ）∴f（x）的最小正周期T＝值域为：[，]．（Ⅱ）令f（x0）＝0，可得sin（2x0﹣）＝＜0∵x0∈[0，]，∴2x0﹣∈[﹣，0]，cos（2x0﹣）＝那么：sin2x0＝sin[（2x0﹣）﹣]＝sin（2x0﹣）cos（）﹣cos（2x0﹣）sin＝．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2＝1，解得a＝0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2＝3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2＝4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：．17．（13分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：直线AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（Ⅲ）当＝λ时，异面直线DE和AC所成的角为90°，求CE的长．【解答】解：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，连接B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG为二面A﹣A1D﹣B的平面角，在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝，又∵AG＝＝AB1＝，∴sin∠AFG＝，所以二面角A﹣A1D﹣B的正弦值：（Ⅲ）：取BC中点O，连接AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以0为原点，OB，OO1 ，OA的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），，.∵异面直线DE和AC所成的角为90°，∴，解得λ＝2．即∴，∴CE的长为18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，{b n}为等差数列，且a1＝b1，a2（b2﹣b1）＝a1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝（）﹣（）＝，﹣1经验证当n＝1时，此式也成立，所以，从而b1＝a1＝1，，又因为{b n}为等差数列，所以公差d＝2，∴b n＝1+（n﹣1）•2＝2n﹣1，故数列{a n}和{b n}通项公式分别为：，b n＝2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以+（2n﹣1）•2n﹣1①①×2得+（2n﹣3）•2n ﹣1+（2n﹣1）•2n②①﹣②得：﹣（2n﹣1）•2n＝＝1+2n+1﹣4﹣（2n﹣1）•2n＝﹣3﹣（2n﹣3）•2n．∴数列{c n}的前n项和．19．（14分）已知点F是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，点M在椭圆E上，以M为圆心的圆与x轴切于点F，与y轴交于A、B两点，且△ABM 是边长为2的正三角形；又椭圆E上的P、Q两点关于直线l：y＝x+n对称．（I）求椭圆E的方程；（II）当直线l过点（0，）时，求直线PQ的方程；（III）若点C是直线l上一点，且∠PCQ＝，求△PCQ面积的最大值．【解答】解：（I）由题意可知：M（c，2）且c为正三角形的高，所以c＝将点M坐标代入椭圆方程可得：与a2＝b2+3联立可得：a2＝9，b2＝6，所以椭圆方程为：（II）设PQ：y＝﹣x+m代入椭圆方程2x2+3y2＝18整理得5x2﹣6mx+3m2﹣18＝0△＝36m2﹣4•5•（3m2﹣18）＞0，则令P（x1，y1），Q（x2，y2），故，则P、Q的中点为由于l方程为，故，得m＝﹣1则直线PQ的方程为y＝﹣x﹣1（III）[1+（﹣1）2]＝的最大值为则当m＝0时，S△POQ20．（14分）函数f（x）＝2（a﹣1）ln（e x﹣1）+e x，g（x）＝（4a﹣2）x，其中a为常数（a＞），f′（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ）当a＝时，证明f′（x）≥4；（Ⅱ）当a＝时，x0满足f（x0）＝4x0，证明：当x＞x0时，f（x）＞4x；（Ⅲ）设x1，x2分别是函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的极大值点和极小值点，且x2﹣x1＞ln2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝时，由e x﹣1＞0得f（x）的定义域是（0，+∞），则f′（x）＝e x﹣1++2≥2+2＝4；（Ⅱ）证明：构造函数F（x）＝f（x）﹣4x＝ln（e x﹣1）+e x﹣4x，∵f（x0）＝4x0，∴F（x0）＝0，由（Ⅰ）得F′（x）＝+e x﹣4≥0，故F（x）在定义域内是增函数，∴x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，故f（x）＞4x；（Ⅲ）∵h（x）＝2（a﹣1）ln（e x﹣1）+e x﹣（4a﹣2）x，∴h′（x）＝2（a﹣1）+e x﹣（4a﹣2），令h′（x）＝0，化简得：e2x﹣（2a+1）e x+（4a﹣2）＝0，解得：x＝ln2或ln（2a﹣1），①2a﹣1＞2即a＞时，x1＝ln2，x2＝ln（2a﹣1），∵x2﹣x1＞ln2，∴ln（2a﹣1）﹣ln2＞ln2，∴a＞；②2a﹣1＜2即a＜时，x1＝ln（2a﹣1），x2＝ln2，∵x2﹣x1＞ln2，∴ln2﹣ln（2a﹣1）＞ln2，∴＜a＜1，③2a﹣1＝2即a＝时，无极值点，不满足题意，综上，a的范围是（，+∞）或（，1）．。

2017年天津市南开区高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+2i，i为虚数单位，则z1z2=（）A．1﹣2i B．5i C．﹣5 D．52．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）若x，y∈R，则“x2＞y2”是“x＞y”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4]D．（4，+∞）5．（5分）在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）A．24﹣πB．24﹣3πC．24+πD．24﹣2π7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4 B．C．﹣4 D．﹣8．（5分）已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则|m﹣n|的值为．10．（5分）（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是．11．（5分）已知向量，，||=，||=2，（+）⊥，则向量，的夹角为．12．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且，则sinC的值为．13．（5分）过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是．14．（5分）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则2﹣4a2﹣b2的最大值是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小周期；（2）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g （x）=﹣f（x）．求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．16．（13分）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价﹣生产成本﹣检验费﹣调试费）；（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣A的余弦值．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=1﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（14分）已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值；（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．2017年天津市南开区高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+2i，i为虚数单位，则z1z2=（）A．1﹣2i B．5i C．﹣5 D．5【解答】解：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+2i，∴z2=﹣1+2i．∴z1•z2=（1+2i）（﹣1+2i）=﹣5．故选：C．2．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．3．（5分）若x，y∈R，则“x2＞y2”是“x＞y”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若x，y∈R，则“x2＞y2”推不出“x＞y”，如：x=﹣3，y=2，若“x＞y”也推不出“x2＞y2”，如：x=2，y=﹣3，故“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4]D．（4，+∞）【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A5．（5分）在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间上任选两个数x和y，区域的面积为，满足y＜sinx的区域的面积为=（﹣cosx）=1，∴所求概率为．故选C．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）A．24﹣πB．24﹣3πC．24+πD．24﹣2π【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个球的．∴该几何体的表面积=3×22+3×+=24﹣π．故选：A．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4 B．C．﹣4 D．﹣【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．）的直线的斜率为k=．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；令g′（x）=0得x=kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[0，3π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，3π]上共有3个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上共有6个交点，故f（x）=g（x）有6个零点．故选C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则|m﹣n|的值为4．【解答】解：由题意可得：m+n+5+6+4=25，m+n=10，根据方差公式得（m﹣5）2+（n﹣5）2=8，设m=5+t，n=5﹣t，则2t2=8，解得t=±2，∴|m﹣n|=2|t|=4，故答案为：4．10．（5分）（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是1120．【解答】解：（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数，展开式共有9项，故n=8．==•（﹣（x﹣）n 即（x﹣）8，它的展开式的通项公式为T r+12）r•x8﹣2r，令8﹣2r=0，求得r=4，则展开式中的常数项是•（﹣2）4=1120．故答案为：1120．11．（5分）已知向量，，||=，||=2，（+）⊥，则向量，的夹角为．【解答】解：∵（+）⊥，||=，||=2，∴（+）•=+•=+||•||cos＜，＞=3+2cos＜，＞=0，∴cos＜，＞=﹣，∵向量和的夹角的范围[0，π]∴向量和的夹角为故答案为：．12．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且，则sinC的值为．【解答】解：设AB=a，则∵∴在△ABD中，∴∴在△BDC中，∴=故答案为：13．（5分）过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是3．【解答】解：由双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程y=±x，可得直线l的方程为y=x+3b，即bx﹣ay+3ab=0，由双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，可得直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，即有≥b，化简可得8a2≥b2，8a2≥c2﹣a2，即c2≤9a2，即有c≤3a，可得离心率e=≤3．则离心率的最大值为3．故答案为：3．14．（5分）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则2﹣4a2﹣b2的最大值是．【解答】解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，∴2﹣4a2﹣b2=•﹣[（2a）2+b2]≤•﹣=﹣=，当且仅当a=，b=时，等号成立，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小周期；（2）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g （x）=﹣f（x）．求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+sin2x化简可得：f（x）=（cos2xcos﹣sin2xsin+sin2x）=cos2x﹣sin2x cos2x=﹣sin2x∴函数f（x）的最小周期T=；（2）当x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x）．即g（x）=（sin2x）=sin2x．当x∈[﹣，0]时，由于g（x+）=g（x），则（x+）∈[0，]那么：g（x）=sin2（x+）=sin2x．当x∈[﹣π，﹣]时，则（x+π）∈[0，]可得：g（x）=sin2（x+π）=sin2x．∴函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式为f（x）=16．（13分）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价﹣生产成本﹣检验费﹣调试费）；（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件A，则，所以每台仪器能出厂的概率．（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率：．（Ⅲ）X可取3800，3500，3200，500，200，﹣2800．，，，，，．X的分布列为：．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣A的余弦值．【解答】解：（I）证明：取CD的中点O，连结PO，OA，∵△PDC是正三角形，∴PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=O，PO⊂平面PCD，∴PO⊥平面ABCD，∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，∴△ACD是等边三角形，∴OA⊥CD，以O为原点建立空间直角坐标系如图所示：则A（3，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣，0），B（3，2，0），C（0，，0），∵M是PC的中点，∴M（，，），∴=（3，0，﹣3），=（0，2，0），=（，2，），∴=0，=0，∴PA⊥DC，PA⊥DM，又DC∩DM=M，DC⊂平面DCM，DM⊂平面DCM，∴PA⊥平面DCM．（II）=（，0，），=（3，﹣，0），设平面CAM的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，，﹣1），又PA⊥平面DCM，∴=（3，0，﹣3）是平面DCM的一个法向量，∴cos＜＞===．∴二面角D﹣MC﹣A的余弦值为．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=1﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由2S1=1﹣a1得：．当n≥2时，2S n=1﹣a n①；2S n﹣1=1﹣a n﹣1②，上面两式相减，得：．所以数列{a n}是以首项为，公比为的等比数列．∴．…（6分）（Ⅱ）=．=．…（10分）∴T n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣．（12分）19．（14分）已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）①x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．②x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上①②知﹣＜m＜0．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值；（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．。