概率论补充题部分选解

0
即两个边缘分布分别服从正态分布
X ~ N 1,12
Y~N
2
,
2 2
与相关系数 无关
可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布
例
设(
,
)服从N
(a1
,
a2
,
2 1
,
2 2
,
)分布的二维
正态随机变量，求p ( x y)、p ( y x)。
解
p( x, y) p ( x y) p ( y)
xy
0 x 1,1 y 3
1
0
其它
求：
f X |Y (x | y 2)
fY
|
X
(
y
|
x
1 3
)
1
解：先求 f X |Y (x | y 2)
第一步，求y的边缘密度函数，
fY ( y)
y, 4
y [1,3]
第二步，再求条件密度函数， 对于 0 x 1
有：
f X |Y (x | y 2)
1 )2
2 1
2
(x
1 )( y 1 2
2 )
(
y 2 )2 22
]
分别积分，可得两个边缘密度函数为：
fX (x)
1
( x1 )2
e 2
2 1
2 1
fY ( y)
1
( x2 )2
e 2
2 2
2 2
例 (X,Y)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二元正
态分布,证明X,Y相互独立的充要条件是ρ ＝0。
25
P{ i 2} P{ i} 1
5
(2) P{ i} 1

/ n
200
由于 u 1.875u1 1.645, 从而否定原假设 H 0 , 接受备择假设 H1, 即认为新工艺事
实上提高了灯管的平均寿命.
11
2．方差 2 未知情形 例 3 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是 50kg, 某日开工后随机抽查了 9 袋, 称得重量如下:
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常 ( 0.05)?
解 (1) 建立假设 H0 : 50, H1 : 50.
(2) 选择统计量T X 0 ~ t(n 1). Sn / n 1
(3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{| T |k} 查 t 分布表得 k t1 /2 t0.975 (8) 2.306, 从而拒绝域为 | t | 2.306.
570, 2 82 ; 今换了一批材料, 从性能上看估计折断力的方差 2 不会有什么变化 (即
仍有 2 82 ), 但不知折断力的均值 和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为:
578 572 570 568 572 570 570 572 596 584
取 0.05, 试检验折断力均值有无变化?
本例中 0 21.5, n 6, 对于给定的显著性水平 0.05, 查附表得
t1 (n 1) t0.95 (5) 2.015.
再据测得的 6 个寿命小时数算得: x 20, sn*2 10.
由此计算 t x 0 20 21.5 6 1.162.
sn* / n
10
因为 t 1.162 2.015 t0.95 (5), 所以不能否定原假设 H 0 , 从而认为这种类型电池的

1.设事件,A B 满足()0.6,()0.5,()0.2P A P B P AB ===，则()P A B ＝ 。

2. 假设每个公用电话一天内的使用人数服从泊松分布，根据统计资料，每个公用电话一天中有人使用和无人使用的概率相等，则一个公用电话一天中仅有一人使用的概率是 。

3.设三次独立试验中,事件A 发生的概率相等.若已知A 至少发生一次的概率为78,则事件A 在一次试验中发生的概率为 。

4.进行一系列独立的试验, 每次试验成功的概率为p , 直到成功两次停止试验, 则在成功两次之前已经失败3次的概率为 。

0.8 ; 2ln 21; 1/2 ; 234(1)p p - 5. （ ）以A 表示“概率考试及格且英语不及格”，则A 表示概率不及格或英语及格。

6.（ ）设A 与B 为任意随机事件，则()A B B A -= 。

7.（ ）若事件A 、B 、C 相互独立，则A 与B ∪C 独立。

8.（ ）设事件A , B 相互独立，且有()0,()0P A P B >>，则A , B 一定是互斥的。

9.（ ）设,A B 为两个事件, 则事件A 与事件AB 互斥。

（√ ）; （ × ）; （ √ ）; （ × ）; （ × ）10.已知1)(0<<B P ，且()()()B A P B A P B A A P 2121+= ，则下列选项正确的是 ( )（A ）()()()B A P B A P B A A P 2121+=（B ）()()()B A P B A P B A B A P 2121+= （C ）()()()B A P B A P A A P 2121+=（D ）()()()()2211)(A B P A P A B P A P B P +=11.向单位圆122<+y x 内随机地投下3点，这3点中恰有2点落在第一象限的概率为 ( )(A)161 (B)643 (C)649 (D)41 12.设A 、B 为两个事件，则事件 A ∪B 表示 ( )(A) A 与B 同时发生 (B) A 与B 不同时发生(C) A 与B 恰有一个发生 (D) A 与B 至少有一个发生13.已知(),(),(),P A a P B b P A B c ==⋃=则()P AB 为 ( )（A ）(1)a b - （B ）a b - （C ）c b - （D ）(1)a c -14.设A 、B 为两个互斥事件，且有()0,()0P A P B >>，则下列结论中一定成立的是 ( )(A) A 与B 为对立事件 (B) ,A B 为互斥事件(C) A 与B 不独立 (D) A 与B 相互独立( B )；( C ); ( B ); ( C ); ( C )1. 某工厂有3个车间生产同一种产品，产量分别占总产量的25％，30％，45％，又各个车间的不合格品率依次为0.04，0.05及0.02。

《概率论与数理统计》第二单元补充题一、 填空题：1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是12），）2、随机变量X 的分布律为5110321210PX ，则2X 的分布律为__________,2X +1的分布律为__________3、设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,21}{===k k X P k，则随机变量X Y 2sin π=的分布律为4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= .5、设随机变量X 的概率密度函数为，则P (0<X <3π/4)= .6、随机变量)31,10(~b X ，则{}0P X ==，{}1P X ≥=7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5a P X k k ===，（， 则a =，(2.5)F =8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1133P X <<=，则b =9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{}1P X ==，{}1P X ≤=二、选择题：1、下列命题正确的是 。

（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________（ A ） 32,55a b ==- （ B ） 22,33a b ==- ( C ） 13,22a b =-= （ D ） 13,22a b =-=-三、计算题1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}.2、已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Axx x F 求：（1）、系数A; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、 概率密度φ(x ).4、设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}.5、已知离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,32}{===n n X P n ，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数.6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2xX f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。