《概率论》第5章习题解(中国农业出版社 刘金山主编)
- 格式：doc
- 大小：273.00 KB
- 文档页数：6
习题5解答
1．设X 为随机变量，EX μ=，2DX σ=，试估计{}
3P X μσ-<． 解:由切比雪夫不等式,有
{}218311(3)99
DX P X μσσ-<≥-=-=. 2．某路灯管理所有20000只路灯，夜晚每盏路灯开的概率为0.6，设路灯开关是相互独立的，试用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的路灯数在11000-13 000盏之间的概率． 解: 记X 为晚上开着的路灯数，则~(20000,0.6)X B ，因此
200000.612000EX =⨯=,
200000.6(10.6)4800DX =⨯⨯-=.
由切比雪夫不等式有
{}{}2
48000110001300012000100010.99521000P X P X <<=-<≥-=. 3．在n 重伯努利试验中，若已知每次试验中事件A 出现的概率为0.75，请利用切贝雪夫不等式估计n ，使A 出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90.
解:假设
1,0,i A X A ⎧=⎨⎩
出现,不出现., 1,2,,i n = . 1n
i i X X ==∑,则EX np =, DX npq =,其中0.75p =,所以
{}2
0.0110.9(0.01)npq P X np n n -<>-
≥. 解得18750n ≥. 4．某批产品合格率为0．6，任取10000件，其中合格品在5980件到6020件之间的概率是多少？
解: 假设X 表示任取10000件产品中,合格品的数量,则
4~(10,0.6)X B .
即6000,2400EX DX ==,
根据中心极限定理
(0,1)N ,则
{}{}59806020600020
P X P X P <<=-<=< 210.3182
≈Φ-=. 5．某保险公司有3000个同一年龄段的人参加人寿保险，在一年中这些人的死亡率为0.1%．参加保险的人在一年的开始交付保险费100元，死亡时家属可从保险公司领取10000元．求：
(1)保险公司一年获利不少于240000元的概率；
(2)保险公司亏本的概率．
解:假设X 表示一年内死亡的人数,则
~(3000,0.001)X B .
且3, 2.997EX DX ==,并根据中心极限定理,
近似服从标准正态分布(0,1)N ,则 (1)保险公司一年内获利不少于240000元的概率为:
{}{}54531010 2.41060.958
P X P X ⨯-⨯>⨯=<=Φ≈. (2)保险公司亏本的概率为:
{}{}543101003010
P X P X ⨯-⨯<=>=-Φ≈. 6．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布，
(1)将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9？
解: 假设i X 表示每次计算时,所得到的误差,则
~(0.5,0.5)i X U -,1,2,,1500i = ,
15001i i X X ==∑表示1500个数相加,所得到误差总和,15000,12512
EX DX ==
=,根据中心极限定理
, X 近似服从标准正态分布, (1) {}{
}1511515222(10.9099)0.1802P X P X >=--<<≈-Φ=-= (2)假设最多可有n 个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90: 1100.90n i i P X =⎧⎫<>⇒⎨⎬⎩⎭
∑
11010n i n i i X P X P =⎧⎫⎪⎪⎧⎫-<<=<<⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
∑∑
210.9=Φ-> 解得443n =.
7．对敌人的防御地带进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个均值为2，方差为1.69的随机变量．求在100次轰炸中有180到220颗炸弹命中目标的概率． 解:假设
i i 1,0,i X ⎧=⎨⎩,
第次击中目标,第次没有击中目标,1,2,,100i = 则1001i i X X
==∑表示100次轰炸中,击中目标的总次数,则200,169EX DX ==,根据中心极
限定理
,则有 {
}180220P X P <<=<< 202120.938210.876413⎛⎫=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭
. 8．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30根短于3米的概率．
解: 设i 3i 31,0,i X ⎧=⎨⎩第根木柱短语米,第根木柱长于米.
,1,2,,100i = ，则1001i i X X ==∑表示100根木柱中,
短于3米的数目,且
~(100,0.2)X B ,20,16EX DX ==,
{}2010301(2.5)10.993790.006214
4X P X P -⎧⎫>=>=-Φ=-=⎨⎬⎩⎭. 9．分别用切比雪夫不等式与德莫弗-拉普拉斯定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次才能保证出现正面的频率在0.4和0.6之间的概率不少于0.9？
解: 设10i X ⎧=⎨⎩
出现正面,出现反面.，，,1,2,,i n = ，则1n i i X X ==∑表示掷n 次硬币,正面向上的次数,0.250.5,EX p DX n ===,这里1X X n
=是出现正面的频率．下面分别用切比雪夫不等式和德莫弗-拉普拉斯定理估计n,
(1)由切比雪夫不等式:
{}
210.40.60.50.110.90.1n i i DX P n X n P X =⎧⎫<<=-<≥-=⎨⎬⎩⎭∑. 30.250.1250n n
⇒
=⇒=. (2)由德莫弗-拉普拉斯定理 {}
10.40.60.50.1n i i P n X n P X =⎧⎫<<=-<⎨⎬⎩⎭∑
210.9P ⎫=<=Φ-=. 67.24n ⇒>,即n 至少要取68.
10．已知在某十字路口，一周内事故发生数的数学期望为2.2，标准差为1.4，
(1)以X 表示一年内(52周计)此十字路口事故发生数的算术平均，使用中心极限定理求X 的近似分布，并求{}2P X <；
(2)求一年内事故发生数小于100的概率．
解:(1)经计算2
1.4
2.2,52
EX DX ==,根据中心极限定理, X 近似服从期望为2.2,方差
为2
1.452
的正态分布,即2~(2.2,1.4/52)X N .且 {
}2(11(1.03)0.1515.
X P X P <=<=Φ=-Φ=-Φ= (2)一年内事故发生数少于100的概率为
:
525211 2.210010.0764.i i i X P X P =⎧⎫-⎪⎪⎧⎫≥=≥⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
=-Φ=∑∑ 11．为检验一种新药对某种疾病的治愈率为80%是否可靠，给10个患该疾病的病人同时服药，结果治愈人数不超过5人，试判断该药的治愈率为80%是否可靠．
解:假设1i 0i X ⎧=⎨⎩
，第个人被治愈，否则,1,2,,i n = .则{}10.8i P X ==,101i i X X ==∑表示10个服用该药的患者的治愈人数,则根据德莫弗-拉普拉斯定理X 近似服从(8,1.6)N ,所以
()10101851 2.370.0089i i i X P X P =⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎛<=<=Φ=-Φ=⎨⎬ ⎝⎩⎭⎪⎪⎩⎭
∑∑. 由此可以看出假定治愈率为80%是不可靠的.
12．一公寓有200个住户，一户住户拥有汽车辆数X 的分布律为
问需要多少车位，才能使每辆汽车都有一个车位的概率至少为0.95？
解：假设i X 表示第i 户人家拥有的汽车数，则00.110.620.3 1.2i EX =⨯+⨯+⨯=, 2222200.110.620.3 1.20.36i i i DX EX EX =-=⨯+⨯+⨯-=,根据中心极限定理,
2001i i X
=∑近似服从(1.2200,0.36200)N ⨯⨯,所以假设需要n 个车位,才能使每辆汽车都具有
一个车位的概率至少为0.95,即
20020012400.95i i i X P X n P =⎧⎫-⎪⎪⎧⎫≤=≤≥⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
∑∑
. 0.95⇒Φ=
1.64⇒=254n ⇒=. 13．甲、乙两个戏院在竞争1000名观众，假设每个观众可随意选择戏院，观众之间相互独立，问每个戏院应该设有多少座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%．
解:假设i i 10i X ⎧=⎨⎩第名观众选择甲戏院,第名观众选择乙戏院.
，，,1,2,,1000i = .则10001i i X X ==∑表示1000
名观众中选择甲戏院的人数,根据题意已知
{}{}100.5i i P X P X p =====,
于是
500,250EX np DX npq ====.
根据德莫弗-拉普拉斯定理,X 近似服从(500,250)N .由假设每个戏院设有n 个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%,即
10001000150010.01i i i X P X n P =⎧⎫-⎪⎪⎧⎫>=>=-Φ<⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
∑∑
. 0.9 2.33537n ⇒Φ==⇒=.。
