第一章~~第三章
一、极限
数列极限lim n n x ->∞
函数极限lim ()x f x ->∞
，lim ()x f x →+∞
，lim ()x f x →-∞
lim ()x x f x ->，0
lim ()x x f x -->，0
lim ()x x f x +->
求极限（主要方法）：
（１）1
00
sin 1
lim
1,lim(1),lim(1)x x
x x x x
e x e x x
->->∞->=+=+=
（２）等价无穷小替换（P76）。当()0x ϕ→时，
代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,
,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞）
，只有0,0∞
∞
可以直接用罗比达法则。 幂指函数求极限：()
lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；
或，令()
()
v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则
()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。 二、连续 0
0lim ()()x x f x f x ->=
左、右连续 0
00lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==
函数连续⇔函数既左连续又右连续
闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。 三、导数 0
000000()()()()
'()lim
lim x x x f x f x f x x f x f x x x x
->->-+-==- 左导数 0
000000()()()()
'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x
-
--->->-+-==-
右导数 0
000000()()()()
'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x
+
++->->-+-==- 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==
可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导
求导数：
（１） 复合函数链式法则
[]()
'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx
====
[()]
''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠
（２） 隐函数求导法则
两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。 （3）参数方程求导
'()()()
/'()
dy dy dx t x t y t dx dt dt t ψϕψϕ====
22
'()()()
'()
'()d t d dy d y dt t dt dx dx dx t dt
ψϕϕ== 四、导数的应用
（１）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题） （２）单调性（导数符号），极值（第一充分条件和第二充分条件），最值。 （3）凹凸性（二阶导数符号），拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同
凹凸性）。
第四章 不定积分
原函数 (())()F x f x '=→ 不定积分 ()()f x dx F x C =+⎰
基本性质
[()]()d f x dx f x dx =⎰ 或 [()]()d
f x dx f x dx =⎰
()()F x dx F x c '
=+⎰或()().dF x F x C =+⎰
[()()dx dx d ]()()f x g x f x g x x +=+⎰⎰⎰ (分项积分)
d (()d )k f x x k f x x =⎰⎰
基本积分公式 (1)
d k x kx C =+⎰; (2)
1
1 (1d )1
x x x C αααα+=
+=-/+⎰
(3)
1ln ||dx x C x
=+⎰ (4) dx x
x
e e
C =+⎰
(5) x ln d x
x
a a C a
=+⎰ (6) d cos sin x x x C =+⎰ (7)
d sin cos x x x C =-+⎰ (8) 2
sec ta d n x x x C =+⎰
(9) 2
d csc cot x x x C =-+⎰ (10) d s x ec tan sec x x x C =+⎰
(11)
dx csc cot csc x x x C =-+⎰ (12)
arcsin x C =+
(13)
2
arctan 1d x
x C x =++⎰
除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式 1. tan ln |cos |;xdx x C =-+⎰ 2. cot ln |sin |;xdx x C =+⎰ 3. sec ln |sec tan |;xdx x x C =++⎰ 4. csc ln |csc cot |;xdx x x C =-+⎰
5.
22
11arctan ;x
dx C a x a a
=++⎰
6. arcsin
;x
C a
=+⎰
7. 2
2
11ln ;2x a
dx C x a a x a
-=+-+⎰ 8. 2arcsin ;2a x C a =
9.
ln |.x C =++
求不定积分的方法
1． 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。 2． 换元法：第一类换元法（凑微分法）
(())()()()(()d ).f x x x f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰
第二类换元法（变量代换法）
()(())()()[()].d d f x x f t t t F t C F x C ϕϕψ'==+=+⎰⎰（注意回代）
换元的思想：
()
(())()()
()(())()()()(()).d d x t f t t dt
t x f x x
f t t t
g t dt F t C
F x C ϕϕϕψϕϕψ'=='=
=
=+=+⎰⎰⎰
主要有幂代换、三角代换、倒代换 3． 分部积分法
uv dx udv uv vdu uv u vdx ''==-=-⎰⎰⎰⎰
v '的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幂函数
