八年级数学上册14.1勾股定理公开课课件华师大版

可以发现，按（1）（3）所画的三角形都是直角三角 形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不 是直角三角形.
这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都
满足a2+b2=c2.
对于直角三角形的判定，有一般的结论： 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
直角边： a 和 b 斜边 ： c
探索直角三角形三边的关系 A
b
c
C
a
B
想一想
如图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图 中用阴影画出的三个正方形， 两个小正方形P、 Q的面积之和与 大正方形R的面积有什么关系?
（1）三个正方形的面积关系： Sp + SQ = SR
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2+ BC2 = AB2 (直角边)2 + (直角边)2 = (斜边)2
练一练 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶
上方4 km处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km.这
一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
解：在Rt△ABC中，
BC2 =52 -42 =9，
BC>0
4
BC=3(km)
C
B
4
答：飞机飞过的距离是 A
3 km.
如图，△ABC中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D， AC=12，BC=9， 求：CD的长.
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被
选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
做一做 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的

5
实践是检验真理的唯一标准
A
S3
S1
C
B
S2
S1 = S2 = 1 S3 = 2 S1+S2=S3
在直角△ABC里面即有：
AC2 + BC2 = AB2
6
A
s1
C
S3
B
s2
图2
S1= 9 S2= 9 S3= 18 S1+S2=S3
在直角△ABC里面即有：
AC2 + BC2 = AB2
7
正方形P的面积＝ 9 平方厘米；
19
b
毕达哥拉斯定理：
“勾股定理”在国外，尤其在西方 被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定 理”．
毕达哥拉斯
相传这个定理是公元前500多年时 古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。 他发现勾股定理后高兴异常，命令他的 学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发 现，因此勾股定理又叫做“百牛定理” ．
毕达哥拉斯（Pythagoras，前572～前497），西方
b
Ⅱ
b
c
证
法a
Ⅰ
二
Ⅲ
a
如图，有8张同样的直角三角形纸片，设直角边分别
为a和b，斜边为c；有两个边长为（a+b）的正方形。
现在我把其中的4个直角三角形纸片摆在第一个图内；
c
a + b = c a
把另外的4个直2角三角2形纸片2摆在第二个图内。请同
学们观察两个图形中的Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ三个小正方形的
面积之间有什么关系？说说你的发现。
23
小结：
1、勾股定理：在Rt∆ABC中，∠C=90°
a2 b2 c2
2、勾股定理的证明方法：
（1）实践操作（面积法） （2）理论证明：赵爽证法 毕氏证法 总统证法

勾股定理的逆定理指出：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这 个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。

知1－讲
例5 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边
上的点，且AB＝4，CE＝
1 4
BC，F为CD的中
点，连结AF，AE，EF，问：△AEF是什么三
角形？请说明理由．
知1－讲
导引：直接判断EF2＋AF2与AE2的关系不太容易， 1
但由于“AB＝4，CE＝ 4 BC，F为CD的中 点”，因此可以很容易求出AF，EF，AE的 长，然后判断EF2＋AF2与AE2的关系，从而 得到三角形的形状．
知1－讲
解： (1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠B＝180°－25°－65°＝90°， ∴△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202 ＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C为直角．
(3)∵三角形的三边长满足b2－a2＝c2， 即b2＝a2＋c2， ∴此三角形是直角三角形，且b是斜边长．
知2－讲
解： ∵AB2 + BC2 = (n2 －1)2 + (2n)2 =n4 － 2n2 + 1 + 4n2 =n4 + 2n2 + 1 =(n2 + 1) 2

想一想，为什么 选择AB2 + BC2 ？ AB、BC、CA的 大小关系是怎样 的？
=AC 2
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
导引：先将等式两边同时分解因式，然后通过对分 解后的式子的讨论，得出△ABC的形状．
解：
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
知1－讲
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
(1)当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2.

正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理

点拨：至少的反面是没有！
当堂练习
1.试说出下列命题的反面： （1）a是实数; a不是实数 （2)a大于2; a小于或等于２ （3）a小于2; a大于或等于２ （4）至少有2个; 没有两个 （5）最多有一个; 一个也没有 （6）两条直线平行; 两直线相交 2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b . 3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个 三角形不是等腰三角形”的第一步假设这个三角形是等腰三角形 .
4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定 是（ C ） A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角
5.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设 为（ D ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三
角形呢？请说明理由.
A
探究： （1）假设它是一个直角三角形; （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知 b 条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直角三 C
角形.
c
a
B
探究发现
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： (1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、 定义或已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。
以考虑用反证法.
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A',
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一

解： 在 Rt△ABC 中， 斜边不确定， 这就需要分情况讨论： 若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从 而 AB＝17； 若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2 ＝AB2＋BC2，即 AB2＝AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB ＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
图 14－1－3
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
重难互动探究
探究问题一 理解勾股定理 (1)求出如图 14－1－4 所示直角三角形中未知边的长度； (2)在直角三角形 ABC 中， ∠C ＝ 90°， BC ＝ 12， AC ＝ 9，求 AB 的长； (3)已知：图 14－1－5 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 A 的面积是多少？ (4)已知：图 14－1－6 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 B 的边长是多少？
图 14－1－4
图 14－1－5
图 14－1－6
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
解：(1)如图 14－1－4，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝15， BC＝8.由勾股定理， 得 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289， ∴ AB＝17. (2)∵∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9 ，∴ AB2＝BC2 ＋AC2＝122＋92＝225, ∴AB＝15. (3) 由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方 形的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 A 的面积是 37＋63＝100. (4)由勾股定理可知： 直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积， 故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.

想一想
这说明在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和 等于斜边的平方. 那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是 否等于斜边的平方呢？
试一试
A
R Q
C
图2
B
P
A
Q
C
图3
R
B
P
(每一小方格表示 1 平方厘米)
P 的面 Q 的面 R 的面 积(单 积(单 积(单 位长度) 位长度) 位长度)
图2 9
16
25
图3 9
4 13
P、Q、
R 面积 关系
SP + SQ = SR
直角三 BC2 + பைடு நூலகம்C2 = AB2
角形三 边关系
BC2 + AC2 = AB2
把 R 看作是四个直 角三角形的面积 + 小正方形面积.
R Q
P
R
Q
P
R Q
P
R
Q
P
S正方形R
72 4 1 34 2
25
把 R 看作是大正方形面 积减去四个直角三角形
这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？ 在这三组数据中，(1)、(3) 两组数据恰好都满足 a2 + b2 = c2. 对于任意一个三角形，若三边长满足 a2 + b2 = c2，则该 三角形是直角三角形吗？
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2 + b2= c2， 那 么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角.
练一练
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口
答）：
100
x
17
225

A
D
B
G
EC
概括：找出图中的直角三角形，用勾股定理求出 未知边。 怎么求EF？做垂线，构造直角三角形。
总结：怎么应用勾股定理解决折叠问题？
1.抓住折叠前后的图形是全等形，找出图 中的直角三角形（可做垂线段构造直角三角 形）。
2.设未知数，找等量关系，根据直角三角形 的三边关系列方程（组）。
课堂练习：
折叠问题中的勾股定理
引入：
勾股定理反应的是直角三角形三边 的关系。应用勾股定理由已知边求出 未知边。
这节课应用勾股定理来解决折叠中 的诸多问题
请按下列要求折叠矩形纸片ABCD 并画出折叠后的几何图形
• 1：把矩形边AB折在边AD上。 • 2：把矩形ABCD边AB 折在对角线AC上。 • 3：把矩形ABCD沿对角线AC对折。 • 4: 使矩形的顶点B恰好与点D重合。
Ｄ１Ｅ的长。 （３）求四边形ＡＢＣＥ的面积。
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｄ１
Ｃ
AB=AB1=CD=BE=6, B1D=EC=2,
A
B1
D
AE2=AB2+BE2 =62+62=72
AE= 72
B
E
C
问题2：边AB落在AC上，你能提出哪 些问题？你能求出哪些线段长？
A
提示：ΔABE折叠到哪？AB折 在何处？
Dபைடு நூலகம்B1
∠B折在何处？图中又产生哪
些直角三角形？
B
C
E
思考：在哪个直角三角形中，有已知边，且 未知边之间有数量关系，可利用勾股定理求 出未知边呢？
ｘ２＋４２=（８－ｘ）２
得ｘ=３．
∴ＤＢ=５
课后作业：
１，如图，在长方形纸片ＡＢＣＤ中，ＡＢ= １２，ＢＣ=５，点Ｅ在ＡＢ上将ΔＡＤＥ沿 ＤＥ折叠，使点Ａ落在对角线ＢＤ上的点Ａ１ 处，则ＡＥ的长为多少？

锐角三角形
（，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据 勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点 勾股定理的逆定理：
所对的直角边是斜边的一半 ； (6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°。 反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
直角三角形的判定 X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；

D
A
B
图1
CD
13
C
5
4
12
A3 B
图2
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
例4 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于
1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条 边所对的角是直角？请说明理由
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
课堂小结
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第2课时
学习目标
情境引入
1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
A 2 E 2 D △FCB均为直角三角形. 1 F 由勾股定理，知
4
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
3 BF2=32+42=25，
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2. ∴ △BEF是直角三角形.
课堂小结
一定是直 角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的 三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）
有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆

C. a 1， 2a，a 1
D. a 1， 2a，a 1
当堂检测
5.若三角形ABC的三a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断
△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2.
“直角三角形”为条件，数量关系a2+ b2= c2 数量关系a2+ b2= c2为条件，“直角三角形”
为结论. 是直角三角形的性质.
为结论. 是直角三角形的判定.
联系
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
讲授新课
典例精析
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指
∴△ABC直角三角形.
当堂检测
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经
验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判
断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250 海里; 在△ABC中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702 =BC2 即AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.

试一试
观察图14. 1. 2,如果每一小方格表示1平 方厘米， 那么可以得到： 正方形P的面积= 平方厘米；
知1－导
正方形Q的面积=
正方形R的面积=
平方厘米；
平方厘米.
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是 . 由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关 系
是
.
知1－导
做一做
画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形， 然后用刻度尺量 出斜边的长，并验证上述关系对这个直角 三角形是否成立.
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
第 1 课时
直角三角形三边的关系 --- 认识勾股定理
1
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
勾股定理 勾股定理与面积的关系
2
课堂 小结
作业 提升
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM-
2002)吗?在这次大 会上，到处可以看到一个简洁优美、
远看像旋转的纸风车的图案，它就是大 会的会标. 会标采用了 1700多年前中国古代数学家赵爽用来证 明勾股定理的弦图.
2
，S2＝π•
π•
AB 1 2 2
2
BC 1 2 2
2
，S3＝
，另外由勾股定理可知AC2＋BC2
＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直
角三角形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知 两个小半圆形的面积和＝大半圆形的面积，所
∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝ 5.
知1－讲
例3 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第 三边的长．
错解：第三边的长为

米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什 么吗？
58
我们通常所说的29英
寸或74厘米的电视机，
46
是指其荧屏对角线的
长度
∵ 582 462 5480 742 5476
∴荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错。 灿若寒星
课堂小结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2、运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
观察图2
(1)正方形P中含有（） 个小9方格，即P的面积 是（）平方厘米。9
(2)正方形Q中含有（） 小方1格6 ，即Q的面积 是（）平方厘米。16
（每一格表示1平方厘米）
图2
(3)正方形R中含有（）2个5 小方格，即R的面积 是（）平方2厘5 米。
灿若寒星
SP=1
SR=2
你能发现图1中三个正方
形P，Q，R的面积之间有
灿若寒星
规律：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度 尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
画BC=5cmAC=12cm
量得AB=13cm
C
B
因为52+122=132
所以BC2+AC2=AB2
即：直角三角形两 直角边的平方和等 于斜边的平方。
灿若寒星
课堂练习
1.在Rt△ABC中，已知∠A=90°,AB=c,BC=，AC=b
（1）已知=a10，b=6，求c；
B
（2）已知ba=5，c=6，求.
a
a C=?6
=1?0
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得