主成分分析原理——数学建模竞赛

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：139C01所属学校（请填写完整的全名）：浙江工贸职业技术学院参赛队员(打印并签名)：1.郑济明2.王庆松3.朱松祥指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王积建日期：2012年9月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：脑卒中发病环境因素分析及干预摘要关键词：一、问题重述21世纪人类倡导人与自然和谐发展，环境因素成为影响健康的重要因素。

脑卒中（俗称脑中风）就是与环境因素紧密相关且威胁人类生命的疾病之一。

这种疾病的诱发已经被证实与环境因素有关，其中与气温和湿度存在着密切的关系。

对脑卒中的发病的环境因素进行分析，其目的是为了进行疾病的风险评估，对脑卒中高危人群能够及时采取干预措施，也让尚未得病的健康人，或者亚健康人了解自己得脑卒中风险程度，进行自我保护。

同时，通过数据模型的建立，掌握疾病发病率的规律，对于卫生行政部门和医疗机构合理调配医务力量、改善就诊治疗环境、配置床位和医疗药物等都具有实际的指导意义。

第一讲主成分分析在数学建模中的应用1．学习目的1. 理解主成分分析的基本思想；2会用SA澈件编写相关程序，对相关数据进行主成分分析；3. 会用SAS软件编程结合主成分分析方法解决实际问题。

2．学习要求1.理解主成分分析的基本原理，掌握主成分分析的基本步骤；2会用SAS软件编写相关程序，对相关数据进行分析处理和假设检验；3. 撰写不少于3000字的小论文；4. 精读一篇优秀论文。

3. 理论基础3. 1 基本思想在实际问题的研究中，往往会涉及众多的变量。

但是，变量太多不但会增加计算的复杂性，而且也给合理地分析问题和解释问题带来困难。

一般来说，虽然每个变量提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。

因而人们希望对这些变量加以“改造” ，用为数较少的互不相关的新变量来反映原来变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。

主成分分析就是在这种降维的思想下产生的处理高维数据的方法。

3.2 基本原理（1）.总体的主成分定义1设X （X i,X2，…,X p）'为P维随机向量，称Z i a；X为X的第i主成分（i=1,2,*X iX i E(X i ) Var(X i )X i(i 1,2,…,p)…P ),如果：(1) a 'a i 1(i1,2,…,p )；(2)当 i>1 时，a ' a j 0(j 1,2,…i-1 );(3) Var(Z i )1,max Var (a X)a a 1,a a j 0( j 1/' i-1 )定理 1.设 X (X 1,X 2,…,X p )'是P 维随机向量，且D(X),的特征值为1 2…p 0,a 1, a 2,■ …，a p 为相应的单位正交特征向量，则 X 的第 i 主成分为Z i a ；x(i 1,2,…,p).p m p定义 2.我们称k /i为主成分Z k 的贡献率；又称k /i 为主成分i 1k 1i 1Z 1,…,Zm (m p)的累计贡献率。

现代统计学1.因子分析(Faｃｔor Ａｎalysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息.运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。

2．主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的.主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。

(screeninｇ the daｔa)，b，和ｃｌuｓteｒ aｎaｌysｉs一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。

（ｒeduce dimensiｏｎality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。

主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。

2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。

３、主成分分析中不需要有假设(ａｓｓｕｍptions）,因子分析则需要一些假设。

因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（speｃific fａct ｏr）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关.４、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。

５、在因子分析中,因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。

2022年数模国赛论文B题-2“互联网+”时代的出租车资源配置摘要关键词：主成分分析法、供求平衡阀法、对比比值法一、问题的重述二、问题分析三、模型的假设与符号说明1、模型假设2、符号说明四、模型建立与求解2.2.1指标体系的建立城市出租车合理运力规模万人拥有量里程利用率空载率居民出行量居民出行量乘客平均等乘客平均车时间等车时间1）万人拥有量:该项指标反映了城市出租车的客观需求。

依据国内外各大城市的经验,城市出租车万人拥有量应介于20-30辆之间,此时能表现出较好的市场接受度。

2）里程利用率:指出租车正常运营过程中一定时间内载客行驶里程占总行驶里程的百分比,其计算公式为:里程利用率=营运载客里程100%总行驶里程3）出租车空载率:是反映出租车营运状况的一个重要指标,其计算公式为:出租车空载率=出租车空车数量100%行驶中的出租车总量4）乘客平均等车时间:指乘客在选择出租车出行的时候等候出租车辆的平均时间,单位为min,其计算公式为:乘客平均等车时间=等车时间总候车次数5）居民出行量：指居民在单位时间内出行人数主成分分析法也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

2、主成分分析法的算法步骤2.1原始指标数据的标准化设有n个样本,p项指标,可得数据矩阵某(某ij)n某p,i1,2,...,n 表示n个样本,j=1,2,...,p表示p个指标,某ij表示第i个样本的第j 项指标值.用Zcore法对数据进行标准化变换:Zij(某ij某j)/Sj式中,某j(某)/niji1nSj(某ij某j)21/(n1)2i1ni1,2,...,nj1,2,...,p2.2求指标数据的相关矩阵R(rjk)p某pj1,2,...,pk1,2,...,prjk为指标j与指标k的相关系数.1nrjk[(某ij某j)/Sj][(某ik某k)2/Sk]n1i11n即rjkZijZjk有rij1，rjkrkjn1i1i1,2,...,nj1,2,...,pk1,2,...,p2.3求相关矩阵R的特征根特征向量,确定主成分由特征方程式Ip,可求得的p个特征根g(g1,2,...,p),1将其按大小顺序排列为12p,它是主成分的方差,它的大小描述了各个主成分在描述对象上所起作用的大小。

主成分分析原理范文1.主成分分析的基本思想2.主成分分析的数学模型设有m个样本和n个变量的数据集X，其中每个样本由一个n维向量表示。

我们的目标是将这个n维向量转化为一个k维向量，其中k远远小于n。

假设变换后的向量为Y，有Y=AX，其中A是n×k的矩阵，X是n维向量，Y是k维向量。

3.主成分分析的基本步骤（1）去除均值：对原始数据进行中心化处理，即将每个变量减去其均值，使得数据的均值为0。

（2）计算协方差矩阵：计算去除均值后的数据的协方差矩阵C，其中C的第i行第j列的元素表示第i个变量与第j个变量之间的协方差。

（3）计算特征值和特征向量：对协方差矩阵C进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

（4）排序特征值：将特征值按照从大到小的顺序排序，并选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

（5）计算主成分：将原始数据X投影到前k个特征向量上，即Y=AX。

（6）重建数据：通过逆变换将Y重建为近似的原始数据X。

4.主成分分析的意义和应用（1）数据降维：主成分分析可以将高维数据降低到较低的维度，从而方便数据的可视化和分析。

（2）特征提取：主成分分析将数据转化为一组新的变量，这些变量具有原始变量的其中一种组合关系，可以提取出数据中的主要特征。

（3）数据压缩：主成分分析可以将原始数据进行压缩，从而减少存储空间和计算时间。

（4）数据预处理：主成分分析可以用于数据预处理，去除数据中的噪声和冗余信息。

总结：主成分分析是一种常见的数据降维方法，通过线性变换将原始数据转化为一组新的变量，使得数据在新的变量上的方差最大化。

它可以用于数据降维、特征提取、数据压缩和数据预处理等领域。

主成分分析的基本步骤包括去除均值、计算协方差矩阵、计算特征值和特征向量、排序特征值、计算主成分和重建数据。

通过主成分分析，我们可以减少数据的维度，提取出数据中的主要特征，并去除冗余信息。

主成分分析实用主成分分析是一种常用的数学建模方法，它可以用来降低多变量数据集的维度，同时保留最重要的信息。

在实际应用中，主成分分析具有广泛的应用，包括数据压缩、特征提取、数据可视化等领域。

本文将详细介绍主成分分析的原理和实用性。

主成分分析的原理是通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得在新的坐标系中数据的方差最大化。

具体来说，主成分分析通过寻找数据集中的主成分，来解释数据的变异性。

主成分是基于输入变量之间的协方差构建的，并且在计算过程中，主成分之间是正交的。

主成分分析可以通过求解数据协方差矩阵的特征值和特征向量来实现。

主成分分析在数学建模中具有广泛的实用性。

首先，它可以用来降低数据集的维度。

对于高维数据集，主成分分析可以将数据映射到低维空间中，减少了数据的维度。

这样可以极大地简化数据分析的复杂性，同时也可以避免维度灾难的问题。

其次，主成分分析可以用来提取数据中的重要特征。

通过保留数据方差较大的主成分，主成分分析可以帮助我们剥离出数据中的噪声和冗余信息，提取出最为重要的特征。

这对于模型建立和预测分析非常重要。

此外，主成分分析还可以提供数据的可视化效果。

通过将数据集映射到二维或三维空间，我们可以更直观地观察数据之间的关系，探索数据集的结构和模式。

主成分分析的实际应用非常丰富。

在金融领域，主成分分析可以用于资产组合管理和风险管理。

通过将资产收益率数据映射到主成分空间中，我们可以更好地理解不同资产之间的相关性，从而帮助投资者进行有效的资产配置和风险控制。

在图像处理领域，主成分分析可以用于图像压缩和人脸识别。

通过将图像数据映射到主成分空间中，我们可以使用较少的主成分表示图像，从而减少图像的存储和传输成本。

同时，主成分分析还可以捕捉人脸图像的主要特征，用于人脸识别和认证。

在生物信息学领域，主成分分析可以用于基因表达数据的分析。

通过将基因表达数据映射到主成分空间中，我们可以发现不同基因在表达模式上的差异，从而探索基因的功能和调控机制。

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主成分分析学习王强 S10120100030 管理科学与工程35班参考论文 1. 我国各地区环境状况的主成分分析 郭莹 盐城师范学院 现代商贸工业 2010年第21期本文利用了多元统计分析中的主成分分析的方法，对全国31个地区的环境污染状况进行了评价，并且根据主成分给出了环境污染状况的综合得分。

它的步骤是：（1） 原始指标数据的标准化设有n 个样本，p 项指标，可得数据矩阵()ij n p X X ⨯=，i=1,2,3…n ，表示n 个样本，j=1,2,3…p ，表示p 个指标，ij X 表示第i 个样本的第j 项指标值。

对数据进行标准化变换：()/j ij ij j z x x s =-. （2）求指标数据的相关矩阵()jk p p R r ⨯=，j=1,2,3…p ， k=1,2,3…p ， jk r 为指标j 与指标k 的相关系数2211()/()/1nj k jk ijj ik k i r x x S x x S n =⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∑（3）求相关矩R 的特征根特征向量，确定主成分由特征方程式0Ip R λ-=，可求得的p 个特征值(1,2,3,...)g g p λ=，它是主成分的方差，它的大小描述了各个主成分在描述被评价对象上所起作用的大小。

由特征方程式，每个特征根对应一个特征向量12(,,...,)1,2,...g g g g gp L L L L L g p ==，将标准化后的指标变量转换为主成分：1122...(1,2,...)g g g gp p F l Z l Z l Z g p =+++=，1F 称为第一主成分，2F 称为第二主成分，p F 称为第p 主成分。

（4）求方差贡献率，确定主成分个数选取尽量少的k 个主成分（k ＜p ）来进行综合评价，同时还要使损失的信息量尽可能少。

Ｋ值由方差贡献率11/85%pkg g g g λλ==≥∑∑决定。

（5）对k 个主成分进行综合评价先求每一个主成分的线性加权值1122...1,2,...g g g gp pF l Z l Z l Z g k=+++=再对k 个主成分进行加权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分得方差贡献率：1/pg g g λλ=∑，11(/)pkggg g g F F λλ===∑∑。