2020届浙江省普通高中金考卷高三新高考考前原创冲刺卷(一)数学试题(解析版)

2020届浙江省名校高三高考预测冲刺卷（一）数学试题一、单选题1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{}2|2B x x =≤，则A B =（ ）．A ．{1,1}-B ．{2,4}C ．{1,1,2}-D ．{4}【答案】A【解析】解不等式确定集合B ，再由交集定义求解． 【详解】由题可得集合{|22}B x x =-≤≤，故{1,1}A B =-，故选：A ． 【点睛】本题考查集合的交集运算．考查解一元二次不等式，确定集合的元素是解题关键． 2．已知三个不同的平面,,αβγ和直线,m n ，若m αγ=，n βγ=，则“//αβ”是“//m n ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据面面平行的性质定理，可判断充分性；反之，当//m n 时，,αβ可能相交，故必要性不成立． 【详解】根据面面平行的性质定理，可知当“//αβ”时，有“//m n ”，故充分性成立； 反之，当//m n 时，,αβ可能相交（如图），故必要性不成立．所以“//αβ”是“//m n ”的充分不必要条件． 故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，同时考查面面平行的性质定理，属于基础题． 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．()42π+B ．()4228π++ C ．()422π+D ．()428π++【答案】B【解析】根据三视图判断出原图的结构，由此求得几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为上面是半圆锥，下面是半圆柱，底面是半径为2的半圆，半圆锥的高为2，半圆柱的高为1，所以该几何体的表面积是()214224241224122482222S ππππ⨯⨯⨯⨯⨯=++++⨯=++. 故选：B .【点睛】本题考查几何体的三视图､圆锥､圆柱的表面积.由三视图求表面积的关键是能想象出立体几何图形，并记住相关公式.4．已知双曲线2222:1(0)(1)y x C m m m -=>+，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(1,2)D ．(1,3)【答案】A【解析】首先根据题意得到2222(1)(1)m m e m ++=+，再令1m t +=，得到221(1)1e t=-+，利用二次函数的性质即可得到答案. 【详解】因为222222c a b e a a+==，所以2222(1)(1)m m e m ++=+， 令1m t +=，则1t >，即222222(1)1212(1)1t t e t t t t+-==-+=-+， 因为1t >，所以1(0,1)t∈，故2(1,2)e ∈，所以e ∈， 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的取值范围，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 5．在()()8511x y ++的展开式中，记32x y 的系数为m ，53x y 的系数为n ，则m n +=（ ） A ．1260 B ．1120 C ．840 D ．630【答案】B【解析】分别求得由二项式()81x +和()51y +展开式的通项，分别找出满足条件的项，代入即可求解. 【详解】由二项式()81x +展开式的通项为18r rr T C x +=，（其中0,1,,8r =），二项式()51y +展开式的通项为15R RR T C y +=，（其中0,1,,5R =）令3,2r R ==，可得332232328585C x C y C C x y =，即3285C C m =， 令5,3r R ==，可得553353538585C x C y C C x y =，即5385C C n =，所以5605601120m n +=+=. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，找到满足条件的项来正确计算求解是解答本题的关键，着重考查了计算能力.6．函数2sin cos y x x =⋅在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由1x =时的函数值排除一个，可得正确选项． 【详解】sin y x =是奇函数，2cos y x =是偶函数，∴函数2sin cos y x x =⋅是奇函数，因此排除A ，C 选项，又21(1)sin1cos1sin 2122f ==⋅<，排除B 选项， 故选：D ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图形，解题时可用排除法，通过研究函数的性质，特殊的函数值，函数值的变化趋势等排除错误选项，得出结论．7．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在直线:3l x =-上，当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =（ ）A ．34B ．12C．3D【答案】D【解析】当点P 在直线l 运动时，若过点P ，1F ，2F 的圆与直线l 相切于点P ，则12F PF ∠最大，从而可得圆心坐标和点P的坐标，再利用两点间的距离公式可得1PF =，2PF =12PF PF 的值.【详解】解：要使12F PF ∠最大，则过P ，1F ，2F 三点的圆必定与直线l 相切于点P ，又因为该圆的圆心在y 轴上，所以半径为3，故圆心的坐标为 (0,±，此时点P的坐标为(3,-±，即有1PF =，2PF =122PF PF =， 故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆、圆的基本性质，考查运算能力，属于中档题．8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，对*n N ∈且4n >时有820S =，2129116n n S S ---=，则n a =（ ）A ．6B ．172C ．39D ．78【答案】B【解析】根据题意求得数列{}n a 中前21n -项中前8项与末8项的和，利用等差中项的性质可求得n a 的值. 【详解】 由题知12820a a a +++=，且2129282721116n n n n n S S a a a ------=+++=，故121201161728n n a a a -++===，所以172n a =， 故选：B. 【点睛】本题考查等差中项的求解，考查计算能力，属于中等题.9．如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<【答案】B【解析】根据异面直线所成角定义可知11B AD ∠即为α，由正三角形知60α=︒，可证2AB ，1B C 分别为平面22A BCD 和平面11ABC D 的垂线，视作平面法向量，利用其夹角可得二面角β，即可求解. 【详解】连接111,AB B D ,如图，在长方体内知12//AB D C ,所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α， 易知11AB D 为等边三角形， 所以60α︒=，因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ⊂平面22ABB A ， 所以22A D ⊥2AB 又22AB A B ⊥，2222A D A B A =所以2AB ⊥平面22A BCD ， 同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，则2AB →，1B C →可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=︒ 故2AB →与1B C →的夹角为60︒， 所以60β︒=或120β︒=，即sin sin αβ=， 故选：B 【点睛】求解二面角的常见方法有定义法、垂面法、投影面积法、空间向量法等，其中空间向量法是利用二面角与两平面法向量夹角的关系，通过求向量夹角来达到求二面角的目的． 10．已知0a <,且()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立,则a 的值是（ ）A ．2e -B ．e -C ．21e -D ．1e-【答案】B【解析】因式分解化简可得()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥恒成立.进而可知1y ax =+ 与ln y ax x =-有相等的实数根即可求得a .【详解】 由题可知()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立,又1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点, 故1a -是函数ln y ax x =-的零点,故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得a e =-. 故选：B . 【点睛】本题考查不等式恒成立问题､函数与不等式的关系.属于中档题.二、双空题11．已知复数z 满足(43)|34|i z i -=+，i 为虚数单位，则z 的实部是________，z 的共轭复数z =________．【答案】45 4355i - 【解析】化简复数4355z i =+，再根据复数的实部、共轭复数概念，即可得到答案；【详解】因为(43)|34|i z i -=+，所以|34|5(43)4343(43)(43)55i i z i i i i ++===+--+，所以z 的实部是45，z 的共轭复数4355z i =-． 故答案为：45；4355i -.【点睛】本题考查复数的概念、复数的模、共轭复数、复数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.12．设实数x ，y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+的最大值是________，()222x y -+的最小值是________．【答案】252【解析】如图所示：作出可行域，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】作出可行域如图中阴影部分所示（包含边界）， 2z x y =+，则122z y x =-+，2z表示直线在y 轴的截距， 根据目标函数的几何意义知2z x y =+在点(0,1)处有最大值2，221(2)z x y =-+表示可行域内的点到()2,0的距离的平方，故目标函数221(2)z x y =-+在11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭处有最小值52．故答案为：2；52.【点睛】本题考查线性规划问题的最优解，确定目标函数的几何意义是解答本题的关键． 13．在ABC 中，已知30,2,6A AB BC =︒==，则cos ACB ∠=________，AC =_________．【答案】30635【解析】根据知30,2,6A AB BC =︒==sin ACB ∠，进而得到cos ACB ∠，然后再利用余弦定理222||||||3cos 2||||2AB AC BC A AB AC +-==⋅求解AC . 【详解】 根据正弦定理sin sin BC ABA ACB=∠，得sin 6ACB ∠=，又2AB BC =<=∴ACB ∠为锐角，故cos 6ACB ∠=，又因为222||||||cos 2||||AB AC BC A AB AC +-===⋅即220AC --=，解得AC =AC =（舍去）．故答案为：①6【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．若非零向量a 和b 满足2a b b +==,则a 的取值范围是________,a b -的取值范围是________.【答案】(0,4] [2,6]【解析】(1)根据平面向量的三角不等式求解a 的取值范围即可. (2)根据2b =结合平面向量的三角不等式可得4||||4a b a b -≤--+≤与||||4a b a b -++,再根据2a b +=求解a b -的取值范围即可.【详解】(1)因为||||||||||||||4a b b a a b b a b b +-≤=+-≤++=,又a 是非零向量,所以||a 的取值范围是(0,4].(2)因为||||2||()()||||||a b a b b a b a b a b a b -++=+----+,所以4||||4a b a b -≤--+≤,||||4a b a b -++,又||2a b +=,解得||a b -的取值范围是[2,6].故答案为：(0,4]；[2,6] 【点睛】本题考查平面向量加减法的几何意义､向量三角不等式运算.需要根据所给的向量构造合适的三角不等式,属于中档题.三、填空题 15．已知随机变量(),X B n p ，若()()0.6D X E X =，则p =________.【答案】0.4【解析】因为随机变量X 服从二项分布，所以()E X np =，()()1D X np p =- 【详解】解：因为随机变量X 服从二项分布，所以()E X np =，()()1D X np p =-，又()()0.6D X E X =，所以0.4p =.故答案为：0.4 【点睛】本题考查随机变量的期望和方差，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，属于基础题. 16．已知实数a ，b ，c 满足20a b c ++=，222441a a b c +++=，则a 的最大值为________．【答案】26-+ 【解析】因为20a b c ++=，可知(2)c a b =-+，代入222441a a b c +++=，可得22248410b ab a a +++-=，看作关于b 的一元二次方程，根据一次二次方程有实根0∆≥，即可求得a 的最大值.【详解】由20a b c ++=，可知(2)c a b =-+，代入222441a a b c +++=，可知22244(2)1a a b a b ++++=， 即22248410b ab a a +++-=（看作关于b 的一元二次方程），当a 取合理值时，关于b 的一元二次方程22248410b ab a a +++-=有实根 由此可知()221688410a a a ∆=-+-≥， 化简得26410a a +-≤，解得26--26a -+≤≤，∴a 的最大值为26-+．故答案为：2106-+. 【点睛】本题考查判别式法求最值，解题关键是掌握别式法求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．已知()()()2x x t f x x x t ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若存在实数t ，使函数()y f x a =-有两个零点，则t 的取值范围是________． 【答案】(,0)(0,1)-∞【解析】函数()y f x a =-有两个零点,即函数()y f x =与y a =有两个交点.再对t 分三种情况讨论数形结合分析得解. 【详解】联立得2y x y x⎧=⎨=⎩得交点为(0,0),(1,1).函数()y f x a =-有两个零点,即函数()y f x =与y a =有两个交点. 由题意知函数()f x 在定义域上不单调，如图，当0t =或1t 时，()f x 在R 上均单调递增，所以函数()y f x =与y a =不可能有两个交点；当0t <时，在(,)t -∞上()f x 单调递增，且()0f x <，在(,0)t 上()f x 单调递减，且()0f x >，在(0,)+∞上()f x 单调递增，且()0f x >．此时存在实数t ，使得函数()y f x =与y a =有两个交点；当01t <<时，在(,)t -∞上()f x 单调递增，在(,)t +∞上()f x 单调递增. 此时存在实数t ，使得函数()y f x =与y a =有两个交点.则t 的取值范围为(,0)(0,1)-∞．故答案为：(,0)(0,1)-∞.【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.四、解答题18．如图，A ，B 是单位圆O 上的两个动点，且1AB =．（Ⅰ）若A ，B 两点都在第一象限内运动，设A x ，B x 分别为A ，B 的横坐标，求-B A x x 的取值范围；（Ⅱ）若点C 是单位圆与x 轴负半轴的交点，当A ，B 两点在单位圆上运动时，求ABC 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）132A B x x ⎛-∈ ⎝⎭；（Ⅱ）()max 23ABC S +=【解析】（Ⅰ）用三角函数表示出A ，B 点的横坐标，再利用两角和的正弦公式及正弦函数的单调性求解；（Ⅱ）易知30ACB ︒∠=，余弦定理表示出cos ACB ∠，利用基本不等式即可求得23AC BC ⋅≤+，代入三角形面积公式1sin 2ABCSAC BC ACB =⋅⋅∠即可求得最大值. 【详解】（Ⅰ）连接OA ，OB ，不妨设()030BOx αα︒︒∠=<<，则60AOx α︒∠=+，cos B x α=，()cos 60A x α︒=+，∴()cos cos 60B A x x αα︒-=-+13cos 22αα=+()sin 30α︒=+． 又030α︒︒<<，所以303060α︒︒︒<<+，()13sin 30,22α︒⎛+∈ ⎝⎭，即13,22A B x x ⎛-∈ ⎝⎭．（Ⅱ）由圆的性质可知30ACB ︒∠=， 利用余定理与基本不等式可知，22221cos 22AC BC AB AC BC ACB AC BC AC BC+-⋅⋅-∠=≥⋅⋅⋅⋅，当且仅当AC BC =时取等号， 化简得23AC BC ⋅≤+，所以123sin 24ABCSAC BC ACB +=⋅⋅∠≤， 当且仅当AC BC =时，()max234ABC S +=【点睛】本题考查三角恒等变换、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式，属于中档题. 19．如图，在平行四边形ABCD 中，沿其对角线BD 将BDC 折起至BDC '，使得点C '在平面ABCD 内的射影恰为点B ，点E 为AC '的中点．（Ⅰ）求证：//'CC 平面BDE ；（Ⅱ）若AD BD =，求C D '与平面BDE 所成的角． 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）30︒．【解析】（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，证得//OE CC '，再结合线面平行的判定定理，即可证得//'CC 平面BDE ；（Ⅱ）通过线面垂直来证明面面垂直，结合根据面面垂直的性质定理来得到线面垂直，从而得到C DK '∠是C D '与平面BDE 所成的角，在C DF '∆中，即可求解． 【详解】（Ⅰ）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，则O 为AC 的中点， 连接OE ，因为点E 为AC '的中点，则//OE CC '，且OE ⊂平面BDE ，CC '⊄平面BDE ，所以CC //'平面BDE ． （Ⅱ）因为点C '在平面ABCD 内的射影恰为点B ，所以C B BD '⊥，从而可知90ADB DBC ︒∠=∠=，故AD BD ⊥，AD C B '⊥且BD C B B '⋂=， 所以AD ⊥平面BDC '，则有AD DC '⊥， 不妨设1AD =，则3BE =，3EC '=3DE =，1BD BC '==，则C BE DBE '≌，如图所示，在平面DBE 与平面C BE '上分别过点D ，C '作BE 的垂线，垂足重合，记为F ，所以BE ⊥平面FDC '且BE ⊂平面BDE ，故平面FDC '⊥平面BDE , 过点C '作C K DF '⊥于点K ，则C DK '∠是C D '与平面BDE 所成的角， 在C DF '∆中，6DF C F '==2C D '=3cos C DK '∠=，又由[0,90]C DK '∠∈，所以直线C D '与平面BDE 所成的角为30︒．【点睛】本题主要考查了线面平行、线面垂直和面面垂直的判定或性质定理的应用，以及直线与平面所成的角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及直线与平面所成角的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 20．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且23)3)n S n n =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}na ne的前n 项和nT ．【答案】（Ⅰ）ln3n a n =；（Ⅱ）1313424n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列的前n 项和． 【详解】（Ⅰ）∵23)3)n S n n =+， ∴当2n ≥时，1n n n a S S -=-223)3)3)(1)(ln 3)(1)n n n n =+----ln3n =，当1n =时，11ln3a S ==符合上式， ∴*ln 3()n a n n N =∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）得ln 33n a n n ne ne n ==⋅，则1231323333nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯…，①234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯…，②-①②得1231233333n n n T n +-=++++-⋅…()1113()331332132n n n n n ++=-⋅=-⋅---，则1313424n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查数列的递推关系、错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题．21．如图，已知抛物线24x y =，直线1y kx =+交抛物线于A ，B 两点，P 是抛物线外一点，连接PA ，PB 分别交抛物线于点C ，D ，且//CD AB ．（Ⅰ）若1k =，求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若2PC AC =，求PAB △面积的最小值． 【答案】（Ⅰ）2(1)x y =<；（Ⅱ）103. 【解析】（Ⅰ）联立直线与抛物线，利用韦达定理、定比分点坐标公式、导数的几何意义可求得点P 的横坐标为定值，再根据点P 在抛物线外可得点P 的纵坐标的范围，从而可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）和弦长公式求解． 【详解】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=， 则121244x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩，（）因为CDAB ，所以可设PC CA λ=，PD DB λ=，所以由定比分点公式得201014(,)11y x x x C λλλλ++++，220024(,)11x y x x D λλλλ+⋅+++，将,C D 的坐标代入抛物线方程，得2201014411y x x x λλλλ++⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭，2202924()411x y x x λλλλ++=⋅++， 化简得221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=，222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=所以12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 联立（）式得120244x x x k +===，解得02x =．设过抛物线上点2,4t E t ⎛⎫⎪⎝⎭的切线与AB 平行，因为24x y =，所以2x y '=，则12x t t y ==='，即2t =，1E y =，所以点P 的轨迹方程为2(1)x y =<． （Ⅱ）设AB 的中点为M ，则2212122212124M x x y y k y ⎛⎫+=⋅= ⎪⎝+=+⎭，由（Ⅰ）知200124(1)4y x x x λλ+-==-，因为2PC AC =，所以2λ=，又024x k =，得20233k y =-，又12x x -==所以12012PABM Sx x y y =-⋅- 3103=， 显然当0k =时，PAB S 取得最小值103． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、定比分点的坐标公式、导数的几何意义、韦达定理．考查了运算求解能力，属于难题. 22．已知函数()ln f x ax x =+，其中0a >． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1x ，2x 是方程()1ln xf x x '=+的两个不同的实数根，求证：1222121ln 1ln 0x x x x --+>． 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,)+∞上单调递增．；（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）对函数求导，1()f x a x'=+由定义域和已知即可判断()f x 的单调性； （Ⅱ）根据已知条件列出等式，利用分析法证明即可． 【详解】解：（Ⅰ）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+， 由于0a >，0x >，所以()0f x '>恒成立， 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． （Ⅱ）因为1x ，2x 是方程()1ln xf x x '=+， 即方程ln ax x =的两个不同的实数根，所以1122ln ln ax x ax x =⎧⎨=⎩，所以1212ln ln x x a x x ==， 证法一：设1122ln 1ln x x p x x ==>， 则112ln ln lnx x p x p p==， 可得1ln ln 1p p x p =-，2ln ln 1px p =-， 要证1222121ln 1ln 0x x x x --+>， 只需证()22121212ln ln 0x x x x x x +-+>，只需证121221ln ln x x x x x x +>+， 只需证1(1)ln (1)1p p p p p p ++>>-， 只需证()21(1)ln 0(1)p p p p p +--<+， 考虑到22(1)12p p ++>， 只需证21ln 0(1)2p p p p--<>．（） 令21()ln (1)2p h p p p p-=->， 则22(1)()0(1)2p h p p p -'=-<>， 所以()h p 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h p h <=，所以（）式成立，所以原命题成立． 证法二：由1212ln ln x x a x x ==，得12121212122ln ln ln ln x x x x x x x x x x -+<=<+-+，所以12ln ln x x +<=（）． 又要证1222121ln 1ln 0x x x x --+>， 只需证()22121212ln ln 0x x x x x x +-+>， 只需证121221ln ln x x x x x x +>+，结合（）式，只需证1221x x x x +>1t =>，只需证明2211t t t t+>+， 构造函数1()g x x x=+，只需求证()2()g t g t >， 由于1t >，则2t t >，所以()2()g t g t >成立，所以得证． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质．考查分析法在证明不等式中的应用，属于难题.。

绝密★启封前2020浙江省高考压轴卷数 学 理 科数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、 解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ． 6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ． 10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+u u u r u u u r 的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+u u u u r u u u u r u u u u r （﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x （f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把 答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点． （1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

2020年浙江省高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设∪=R，P={x|x2＜1}，Q={x|x≥0}，则P∩（∁U Q）=（）2．（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：由图解出两个边界直线对应的方程，由二元一次不等式与区域的对应关系从选项中选出正确选项．解答：解：由图知，一边界过（0，1），（﹣1，0）两点，故其直线方程为x﹣y+1=0另一边界直线过（0，2），（﹣2，0）两点，故其直线方程为x﹣y+2=0由不等式与区域的对应关系知区域应满足x﹣y+1≤0与x﹣y+2≥0，且x≤0，y≥0．故区域对应的不等式组为．故选A．点评：考查用两点法求直线方程与二元一次方程与区域的对应关系，是基本概念应用的题型．3．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．3B．6C．8D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图复原的几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意三视图复原的几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，上底边长为1，下底边长为2，高为2的梯形，棱柱的高为2，并且是直棱柱，所以棱柱的体积为：=6．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键．4．（5分）已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题错误的是（）A．若a＞0，b＞0，则B．若，则a≥0，b≥0C．若a≠b，则D．若，则a≠b考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由基本不等式可得A正确；选项B，有意义可得ab不可能异号，结合可得ab不会同为负值；选项C，可举反例说明错误；选项D平方可得（a﹣b）2＞0，显然a≠b解答：解：选项A，由基本不等式可得：若a＞0，b＞0，则，故A正确；选项B，由有意义可得ab不可能异号，结合可得ab不会同为负值，故可得a≥0，b≥0，故正确；选项C，需满足a，b为正数才成立，比如举a=﹣1，b=2，显然满足a≠b，但后面的式子无意义，故错误；选项D，由平方可得（a﹣b）2＞0，显然可得a≠b，故正确．故选C点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及基本不等式的知识，属基础题．5．（5分）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（x∈R）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．1考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．解答：解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，∴，，所以．故选C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．M N与CC1垂直B．M N与AC垂直C．M N与BD平行D．M N与A1B1平行考点：棱柱的结构特征．专题：证明题．分析：先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，故排除A、B、C选D解答：解：如图：连接C1D，BD，在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确；∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，D错误故选D点评：本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键7．（5分）（2020•浙江模拟）已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：等差数列与等比数列．分析：可举﹣1，，…，说明不充分；举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…说明不必要，进而可得答案．解答：解：可举a=﹣1，q=，可得数列的前几项依次为﹣1，，…，显然不是递减数列，1故由“0＜q＜1”不能推出“{a n}为递减数列”；可举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…显然为递减数列，但其公比q=2，不满足0＜q＜1，故由“{a n}为递减数列”也不能推出“0＜q＜1”．故“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，举反例是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若不等式f（ax﹣1）＜f（2+x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣2，2）C．D．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数图象关于原点对称，得f（x）在[0，+∞）上单调增且在（﹣∞，0]上是单调减函，由此结合2+x2是正数，将原不等式转化为|ax﹣1|＜2+x2恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）是偶函数，图象关于y轴对称∴f（x）在[0，+∞）上的单调性与的单调性相反由此可得f（x）在（﹣∞，0]上是减函数∴不等式f（ax﹣1）＜f（2+x2）恒成立，等价于|ax﹣1|＜2+x2恒成立即不等式﹣2﹣x2＜ax﹣1＜2+x2恒成立，得的解集为R∴结合一元二次方程根的判别式，得：a2﹣4＜0且（﹣a）2﹣12＜0解之得﹣2＜a＜2故选：B点评：本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题．9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．（2，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．解答：解：如图所示，过点F2（c，0）且与渐近线平行的直线为，与另一条渐近线联立解得，即点M．∴|OM|==．∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞c，∴，解得．∴双曲线离心率e=．故双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选D．点评：熟练掌握平行线与向量的关系、双曲线的渐近线、两点间的距离计算公式、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．10．（5分）已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f：M→N，且点A（0，f（0）），B（i，f（i）），C（i+1，f（i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC的内切圆圆心为I，且R），则满足条件的函数有（）A．10个B．12个C．18个D．24个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：由+=λ，（λ∈R）知△ABC是以B为顶点的等腰三角形，且A点是4×4的格点第一列中的点，当i=1与i=2时，得到点B，点C的位置，数一数B为顶点的等腰三角形的个数即可得到答案．解答：解：+=λ，（λ∈R）知△ABC是以B为顶点的等腰三角形，A点是4×4的格点第一列中的点．当i=1时，B点是第二列格点中的点，C点是第三列格点中的点，此时腰长为、、的△ABC分别有6个、4个、2个，当i=2时，B点是第三列格点中的点，C点是第四列格点中的点，如图：此时腰长为的△ABC分别有6个，满足条件的△ABC共有18个．故选C点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，依题意判断△ABC是以B为顶点的等腰三角形是关键，也是难点，考查分类讨论思想与数形结合思想的综合应用，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣4）=﹣2．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质即可得出f（﹣4）=﹣f（4），再利用对数的运算法则即可得出．解答：解：∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，∴f（﹣4）=﹣f（4）=﹣log24=﹣2．故答案为﹣2．点评：熟练掌握奇函数的性质、对数的运算法则是解题的关键．12．（4分）（2020•嘉定区二模）设i是虚数单位，则=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式．解答：解：∵===1+i，∴=1+i，故答案为：1+i．点评：本题考查复数的除法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要一定要得分的题目．13．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a的值为﹣1．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i a是否继续循环循环前0 1 1/第一圈1 2 0 是第二圈1 3﹣1 是第三圈0 4 1 是第四圈1 5 0 是第五圈1 6﹣1 是…依此类推，a的值呈周期性变化：1，0，﹣1，1，0，﹣1，…第2012圈1 2013﹣1否故最终的输出结果为：﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件．属于基础题．14．（4分）各项都是正数的等比数列{a n}中，首项a1=2，前3项和为14，则a4+a5+a6值为112．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，且各项都是正数，由首项a1=2，前3项和为14列式求出公比，则a4+a5+a6值可求．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=2，前3项和为14，得：，所以q2+q﹣6=0，解得：q=﹣3或q=2．因为等比数列的各项都是正数，所以q=2．则a4+a5+a6=．故答案为112．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，解答时注意公比是否有可能等于1，此题是基础题．15．（4分）已知（x2+）n的展开式的各系数和为32，则展开式中x的系数为10．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：先令x=1，求得n的值，进而可得展开式的通项，再令x的指数为1，即可求得结论．解答：解：令x=1，得展开式的各项系数和为2n=32，∴n=5∴展开式的通项为：T r+1=令10﹣3r=1，则r=3，∴展开式中x的系数为故答案为：10．点评：本题考查二项式系数的性质，考查展开式的通项，考查计算能力，属于基础题．16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，其内切圆切AC边于D点，O为圆心．若，则=﹣3．考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用条件以及圆的切线性质求得A、B、C、O的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得的值．解答：解：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（0，0）、O（1，1）、A（3，0）．设直角三角形内切圆与AB边交与点E，与CB边交于点F，则由圆的切线性质性质可得BE=BF，设BE=BF=m，则有勾股定理可得CB2+CA2=AB2，即（x+1）2+9=（x+2）2，解得x=3，故B（0，4）．∴=（1，﹣3）（﹣3，0）=﹣3﹣0=﹣3，故答案为﹣3．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，圆的切线性质，属于中档题．17．（4分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则k的值±．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x，y0），由抛物线定义得|AF|=，根据斜率公式由两点间距离公式把表示出来并进行适当变形，即可求得答案．解答：解：设A（x，y0），则M（﹣，0），由抛物线定义得，|AF|=，因为，所以=，两边平方并化简得，即=，所以k==，故答案为：．点评：本题考查直线斜率公式、两点间距离公式抛物线定义等基础知识，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（14分）（2020•杭州一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC ﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）由已知利用两角和的余弦公式展开整理，cos（B+C）=﹣．可求B+C，进而可求A （2）由sin，可求cos=，代入sinB=2sin cos可求B，然后由正弦定理，可求b解答：解：（1）由2cos（B﹣C）=4sinBsinC﹣1 得，2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣．…4分∵0＜B+C＜π∴B+C=，故A=．…6分（2）由题意可得，0＜B＜π∴，由sin，得cos=，∴sinB=2sin cos=．…10分由正弦定理可得，∴，解得b=．…12分．点评：本题主要考查了两角和三角公式的应用，由余弦值求解角，同角基本关系、二倍角公式、正弦定理的应用等公式综合应用．19．（14分）一个口袋中有红球3个，白球4个．（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求恰好第2次中奖的概率；（Ⅱ）从中有放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数的数学期望E（）．考点：离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）恰好第2次中奖的情况是第一次摸到的2个白球，第二次至少有1个红球，由此能求出恰好第2次中奖的概率P．（Ⅱ）由条件知～B（4，p），算出摸一次中奖的概率p，由此能求出的分布列和E．解答：解：（I）“恰好第2次中奖“即为“第一次摸到的2个白球，第二次至少有1个红球”，其概率为=；（II）摸一次中奖的概率为p==，由条件知～B（4，p），∴E=np=4×=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．20．（14分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，E、F分别为线段CD、AB上的点，且EF∥AD．将梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF，折后BD与平面ADEF所成角正切值为．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）求平面BCEF与平面ABD所成二面角（锐角）的大小．考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）设DE=a，则BE=，易得tan∠DBE==，可解得a=1，可得F为AB的中点，可得BC⊥BE，BC⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）取BC中点可证∠DME即平面BCEF与平面ABD所成的二面角，在三角形中可得角的大小．解答：证明：（Ⅰ）∵DE⊥EF，平面ADEF⊥平面BCEF，∴DE⊥平面BCEF，∴∠DBE是BD与平面ADEF所成的角，∴tan∠DBE=，设DE=a，则BE=，由tan∠DBE===，可解得a=1，∴F为AB的中点，可得BC⊥BE，又DE⊥平面BCEF，可得BC⊥DE，又BE∩DE=E，∴BC⊥平面BDE；（Ⅱ）取BC中点M，连接MB、MD，易知MB∥AD，∴平面ABMD即平面ABD，∵DE⊥平面BCEF，∴DE⊥MB，∴MB⊥平面CDE，可得DM⊥BM，又MB⊥EC，∴∠DME即平面BCEF与平面ABD所成的二面角，由DE=EM=1可得∠DME=45°故平面BCEF与平面ABD所成二面角为45°点评：本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求解，属中档题．21．（15分）已知圆O：，直线l：y=kx+m与椭圆C：相交于P、Q两点，O为原点．（Ⅰ）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程；（Ⅱ）如图，若△POQ重心恰好在圆上，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用圆心O到直线l的距离d==即可求得k，从而可得直线l的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，利用韦达定理可求得x1+x2=﹣，又△POQ重心恰好在圆x2+y2=上，可求得+=4，化简可求得m2=，△＞0⇒1+2k2＞m2，二者联立即可求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）左焦点坐标为F（﹣1，0），设直线l的方程为y=k（x+1），由∠AOB=60°得，圆心O到直线l的距离d=，又d=，∴=，解得k=±．∴直线l的方程为y=±（x+1）．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．由△＞0得：1+2k2＞m2…（⊕），且x1+x2=﹣．∵△POQ重心恰好在圆x2+y2=上，∴+=4，即+=4，即（1+k2）+4km（x1+x2）+4m2=4．∴﹣+4m2=4，化简得：m2=，代入（⊕）式得：k≠0，又m2==1+=1+．∵k≠0，∴m2＞1，∴m＞1或m＜﹣1．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查点到直线间的距离公式，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与逻辑思维与运算能力，属于难题．22．（15分）已知．（Ⅰ）判断曲线y=f（x）在x=0的切线能否与曲线y=e x相切？并说明理由；（Ⅱ）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；（Ⅲ）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求证：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在x=0的切线方程，假设切线与曲线y=e x相切，设出切点，由斜率相等及切点在切线上联立推出矛盾；（Ⅱ）求出函数f（x）的导函数，由导函数的零点对定义域分段，利用函数的单调性求出函数在[a，2a]上的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数f（x）先增后减，有最大值，若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），则最大值大于0，又f（a）＞0且a＜alna，所以得到x2﹣x1＞alna﹣a，把x1，x2代入原函数得到，，作比后利用放缩可证得要求证的不等式．解答：（Ⅰ）解：由，得：，则，f（0）=﹣1．∴曲线y=f（x）在x=0的切线l的方程为．若l与曲线y=e x相切，设切点为（x0，y0），则①．由a＞0，得：0＜，∴x0＜0，由①得．与x0＜0矛盾．∴曲线y=f（x）在x=0的切线不能与曲线y=e x相切．（Ⅱ）解：令f ′（x ）=0，得，即x=alna ．由f ′（x ）＞0，得x ＜alna ，由f ′（x ）＜0，得：x ＞alna ．∴f （x ）在（﹣∞，alna ]上为增函数，在[alna ，+∞）上为减函数． ∴当a ＞alna ，即a ＜e 时，f （x ）max =f （a ）=a ﹣e ． 当a ≤alna ≤2a ，即e ≤a ≤e 2时，f （x ）max =f （alna ）=alna ﹣a ． 当2a ＜alna ，即a ＞e 2时，．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知f （x ）max =f （alna ）=alna ﹣a ． ∵f （x 1）=f （x 2）=0，∴f （x ）max =f （alna ）=alna ﹣a ＞0． ∴lna ＞1，得：a ＞e ，∴f （a ）=a ﹣e ＞0，且f （alna ）＞0． 得x 2﹣x 1＞alna ﹣a ，又，， ∴．点评： 本题考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，利用了分类讨论的数学思想，特别是（Ⅲ）的证明涉及到放缩法的思想，是该题的难点所在，此题属有一定难度问题．高考模拟数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。