正切和余切(一)

直角三角形的正切与余切直角三角形是数学中常见的三角形之一，由于其特殊的性质，我们可以利用其中的角度关系来求解一些问题。

本文将重点讨论直角三角形中正切和余切的定义、性质以及求解实际问题的应用。

一、正切与余切的基本定义在直角三角形中，我们可以定义正切和余切的概念。

1. 正切（tangent）的定义：对于直角三角形ABC，若∠B为直角，则∠A为锐角或钝角，AC 为对边，AB为邻边，我们定义正切为：tan(A) = AC/AB2. 余切（cotangent）的定义：对于直角三角形ABC，若∠B为直角，则∠A为锐角或钝角，AB 为邻边，AC为对边，我们定义余切为：cot(A) = AB/AC二、正切和余切的性质在直角三角形中，正切和余切具有一些重要的性质，下面我们将逐一阐述。

1. 值域和定义域：正切函数的定义域是所有∠A为锐角或钝角的直角三角形上，其中的∠A∈(-π/2, π/2)，值域为实数集R。

余切函数的定义域是所有∠A为锐角或钝角的直角三角形上，其中的∠A∈(0, π)，值域为实数集R。

2. 正切和余切的关系：对于直角三角形ABC，由于∠B为直角，则∠A和∠C为锐角或钝角的补角关系，即∠A + ∠C = 90°。

则有 tan(A) = AC/AB = BC/AC = 1/cot(A)。

3. 正切和余切的性质：a. 正切函数和余切函数都是周期函数，其周期为π。

b. 当∠A为锐角时，tan(A) > 0，cot(A) > 0。

当∠A为钝角时，tan(A) < 0，cot(A) < 0。

c. 在同一个直角三角形中，正切和余切是变化相反的函数，即当∠A增大时，tan(A)增大，cot(A)减小。

三、正切和余切的应用正切和余切在实际中有着广泛的应用，以下将介绍一些常见的应用场景。

1. 测量高度：在实际测量中，我们可以利用正切的性质，通过测量一个物体的底边和顶部与测量点的连线之间的夹角，以及测量点到物体底边的距离，来计算物体的高度。

《正切和余切》数学教案第一章：正切和余切的定义与性质1.1 教学目标了解正切和余切的定义掌握正切和余切的基本性质能够运用正切和余切解决简单问题1.2 教学内容引出正切和余切的定义讲解正切和余切的性质举例说明正切和余切的运用1.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的定义和性质通过例题演示正切和余切的运用引导学生进行分组讨论和练习1.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的定义和性质的理解练习题：让学生运用正切和余切解决实际问题第二章：正切和余切的图像与性质2.1 教学目标了解正切和余切的图像特点掌握正切和余切的基本性质能够运用正切和余切图像解决简单问题2.2 教学内容讲解正切和余切的图像特点分析正切和余切的性质与图像的关系举例说明正切和余切图像的运用2.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的图像特点通过例题演示正切和余切图像的运用引导学生进行分组讨论和练习2.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切图像特点的理解练习题：让学生运用正切和余切图像解决实际问题第三章：正切和余切的三角函数值3.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数值能够运用正切和余切的三角函数值解决简单问题理解正切和余切三角函数值的应用范围3.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数值分析正切和余切三角函数值的运用举例说明正切和余切三角函数值的运用3.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数值通过例题演示正切和余切三角函数值的运用引导学生进行分组讨论和练习3.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数值的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数值解决实际问题第四章：正切和余切的三角函数公式4.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数公式能够运用正切和余切的三角函数公式解决简单问题理解正切和余切三角函数公式的应用范围4.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数公式分析正切和余切三角函数公式的运用举例说明正切和余切三角函数公式的运用4.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数公式通过例题演示正切和余切三角函数公式的运用引导学生进行分组讨论和练习4.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数公式的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数公式解决实际问题第五章：正切和余切的三角函数应用5.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数应用能够运用正切和余切的三角函数解决实际问题理解正切和余切三角函数应用的实际意义5.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数应用分析正切和余切三角函数应用的实例举例说明正切和余切三角函数应用的实际问题5.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数应用通过例题演示正切和余切三角函数应用的实际问题引导学生进行分组讨论和练习5.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数应用的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数解决实际问题第六章：正切和余切的三角函数化简6.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数化简方法能够运用正切和余切的三角函数化简实际问题理解正切和余切三角函数化简的实际意义6.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数化简方法分析正切和余切的三角函数化简实例举例说明正切和余切的三角函数化简的实际问题6.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数化简方法通过例题演示正切和余切的三角函数化简的实际问题引导学生进行分组讨论和练习6.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数化简的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数化简解决实际问题第七章：正切和余切的三角函数变换7.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数变换方法能够运用正切和余切的三角函数变换解决实际问题理解正切和余切三角函数变换的实际意义7.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数变换方法分析正切和余切的三角函数变换实例举例说明正切和余切的三角函数变换的实际问题7.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数变换方法通过例题演示正切和余切的三角函数变换的实际问题引导学生进行分组讨论和练习7.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数变换的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数变换解决实际问题第八章：正切和余切的三角函数在几何中的应用8.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数在几何中的应用方法能够运用正切和余切的三角函数解决几何问题理解正切和余切三角函数在几何中的实际意义8.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数在几何中的应用方法分析正切和余切的三角函数在几何中的应用实例举例说明正切和余切的三角函数在几何中的实际问题8.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数在几何中的应用方法通过例题演示正切和余切的三角函数在几何中的应用实例引导学生进行分组讨论和练习8.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数在几何中的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数解决几何问题第九章：正切和余切的三角函数在物理中的应用9.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数在物理中的应用方法能够运用正切和余切的三角函数解决物理问题理解正切和余切三角函数在物理中的实际意义9.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数在物理中的应用方法分析正切和余切的三角函数在物理中的应用实例举例说明正切和余切的三角函数在物理中的实际问题9.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数在物理中的应用方法通过例题演示正切和余切的三角函数在物理中的应用实例引导学生进行分组讨论和练习9.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数在物理中的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数解决物理问题第十章：正切和余切的三角函数在工程中的应用10.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数在工程中的应用方法能够运用正切和余切的三角函数解决工程问题理解正切和余切三角函数在工程中的实际意义10.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数在工程中的应用方法分析正切和余切的三角函数在工程中的应用实例举例说明正切和余切的三角函数在工程中的实际问题10.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数在工程中的应用方法通过例题演示正切和重点和难点解析一、正切和余切的定义与性质1. 环节重点：理解正切和余切的定义，掌握它们的基本性质。

正切和余切的转换公式正切和余切是三角函数中的两个重要概念，它们常常用来描述角度和线段之间的关系。

在三角学中，我们经常需要将正切和余切互相转换，以便在不同的问题中应用。

本文将详细介绍正切和余切的定义、性质以及它们之间的转换公式。

首先，我们来了解正切和余切的定义。

在一个直角三角形中，正切是指直角边上的长度与相邻的直角边上的长度之比。

如果我们将直角边对边称为邻边，直角边上的边称为对边，那么正切可以表示为邻边与对边的比值。

通常，我们用符号"tan"来表示正切，例如tan(θ)，其中θ表示角度。

同样，在直角三角形中，余切是指直角边上的长度与对边的长度之比。

也就是说，余切可以表示为邻边与对边的比值。

我们用符号"cot"来表示余切，例如cot(θ)。

接下来，我们讨论正切和余切的性质。

首先，正切和余切都是周期函数，周期为π。

也就是说，当角度增加或减小π的整数倍时，正切和余切的值会重复出现。

其次，正切和余切都可以表示为其他三角函数的比值。

例如，我们可以将正切表示为正弦和余弦的比值：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)类似地，余切可以表示为余弦和正弦的比值：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)这些关系式对于计算正切和余切的值非常有用，特别是在没有计算器的情况下。

然后，我们来介绍正切和余切的转换公式。

首先是正切转换为余切的公式。

假设我们有一个角度为θ的正切值，我们可以通过以下公式将其转换为余切：cot(θ) = 1 / tan(θ)这个公式非常简单，只需要将正切的倒数作为余切的值即可。

同样地，我们也可以将余切转换为正切。

假设我们有一个角度为θ的余切值，我们可以通过以下公式将其转换为正切：tan(θ) = 1 / cot(θ)这个公式和前一个公式的思路一样，只需要将余切的倒数作为正切的值即可。

通过这两个转换公式，我们可以很方便地在正切和余切之间进行转换。

这在解决一些复杂的三角函数问题时非常有帮助。

第八讲 正切与余切（1）【基础知识精讲】1、正切、余切概念：(1) 在ABC Rt ∆中，A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。

即 的邻边的对边A A A ∠∠=t a n（或b a A =tan ）(2) 在ABC Rt ∆中，A ∠的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作A cot ， 即 的对边的邻边A A A ∠∠=cot （或a b A =cot ）2．A tan 与A cot 的关系A A cot 1tan =（或AA tan 1cot =， 1cot tan =⋅A A ） 3、 特殊角的正弦值与余弦值：3330tan =； 145tan = ； 360tan =； 330cot = ； 145cot = ； 3360cot = ． 【例题巧解点拨】例1：在ABC Rt ∆中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、。

3=a ，4=c ，求A tan ，A cot ，B tan ，B cot例2：求下列各式的值：（1）45cot 30tan 330sin 2++； （2）．︒+︒︒︒--︒-︒60tan 45cot 30cot 45tan 160cot 130tan 22b例3：填空：（1）若3tan =A ，则.______=∠A （2）.__________35cot 45tan 35tan =⋅⋅ （3）若1cot 47tan =⋅β ，则锐角._________=β【同步达纲练习】A 组一、选择题：1. ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，则ba叫A ∠的（ ）A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切2. 在ABC ∆中，33tan =A ，1cot =B ，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 3. 在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，下列关系式中正确的有（ ）（1）A a b tan ⋅= （2）B b a cot ⋅= （3）B a b tan ⋅= （4）A b a cot ⋅=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ）（A ）43 （B ）34 （C ）43或37 （D ）不同于以上 5．计算22)31(45tan 60sin ---⋅，结果正确的是（ ） A ．49 B ．49- C ．411 D ．411- 二、填空:6、 在ABC ∆中，︒=∠90C ，3=a ，5=c ，则A t a n =_________，A cot =__________ 7．在ABC ∆中，C ∠为直角，已知15=a ，30=∠A ，则b =_______. 8．在_________,1,2tan ,,===∠=∠∆b a B Rt C ABC Rt 则若中9．等腰梯形腰长为6，底角的正切为42，下底长为212，则上底长为 ，高为 。

正切和余切（一）教学目的一（知识）使学生了解正切、余切的概念，能够正确的用tanA 、cotA 表示直角三角形（其中一个锐角为∠A ）中两边的比，了解tanA 与cotA 成倒数关系，熟记30º、45º、60º角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出各角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系二（能力）逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.三（德育）培养学生独立思考、勇于创新的精神重点难点重点是了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值；难点是了解正切和余切的概念.教学手段投影仪教学过程（一）明确目标1．什么是锐角∠A 的正弦、余弦？（结合图6-5回答）C B3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系？4．当角度在0º~90º变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习正切和余切.因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口1．引入正切、余切概念①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？（图6-9）述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切.”②给出正切、余切概念如图6-5，在Rt ⊿ABC 中，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA . 即 tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边并把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA .即 cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边2.tanA 与cotA 的关系请学生观察tanA 与cotA 的表达式，得结论tanA ×cotA=1(或cotA=1/tanA,tanA=1/cotA). 这个关系式极重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tanA=cot(90º-A)区别开.3．锐角三角函数由上图，sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=b a ,cotA=ab ,把锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数.锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目.问：锐角三角函数能否为负数？学生回答这个问题很容易.请同学观察2块三角板可知30º、45º、60º角的正切、余切值.tan30º=30º角的对边/30º角的邻边==31=33 tan45º=45º角的对边/45º角的邻边=11=1 tan60º=60º角的对边/60º角的邻边=13=3 cot30º=030tan 1=13=3 cot45º=054tan 1=1; cot60º=006tan 1=31=33 5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系.结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.即 tgA=ctg(90º-A),ctgA=tg(90º-A).4．特殊角的三角函数练习：1）请学生回答tan45º与cot45º得值各是多少？tan60º与cot30º？tan30º与cot60º呢? tan60º与cot60º有何关系?为什么？tan30º与cot30º呢?2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：(1)tan52º;(2)tan 36º20’;(3)t an 75º17’;(4)c ot19º;(5)cot 24º48’;(6)c ot 15º23’.6.例题例1 求下列各式的值：(1)2sin30º+3tan30º+cot45º;(2)cos²45º+tan60ºcos30º.解：(1)2sin30º+3tan30º+cot45º=2×21+3×33+1 =2+3；(2)cos²45º+tan60ºcos30º=（22）²+3×23 =21+23 =2.练习：求下列各式的值：(1) sin30º-3tan30º+2cos30º+cot90º;(2)2cos30º+tan60º-6cot60º;(3)5cot30º-2cos60º+2sin60º+tan30º;(4)cos²45º+sin²45º;(5)(sin60º-cot45º)/(tan60º-2tan45º).学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力(四)总结扩展请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及tanA与cotA的关系.知道特殊角的正切、余切值及互为余角的正切值与余切值的关系.本节课用到了数形结合的数学思想.。

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