2009年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
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2009年陕西省专升本（高等数学）真题试卷 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1． 当x→0时，函数f(x)=sinax与g(x)=ln(1—2x)为等价无穷小，则常数a的值为 ( )．
A．一1
B．1
C．一2
D．2
正确答案：C
解析：因为f(x)与g(x)为等价无穷小量．所以又x→0时，sinax～ax，ln(1—2x)～一2x，所以a=一2．
2． 已知函数f(x)=sinx，则f(2009)(x)=( )．
A．sinx
B．cosx
C．—sinx
D．—cosx
正确答案：B
解析：f’(x)=cosx，f’’(x)=一sinx，f’’(x)=一cosx，f(4)(x)=sinx，周期为4．因为2009=2008+1，f(2009)(x)=f’(x)=cosx．
3． 已知∫(x)dx=2x+C，则=( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：
4． 幂级数的收敛域为( )．
A．(一2，2)
B．[一2，2)
C．(一2，2]
D．[-2，2]
正确答案：B
解析：
5． 已知闭曲线L：x2+y2=4，则对弧长的曲线积∮L(4x2+4y2－6)ds=( )．
A．40π
B．12π
C．6π
D．4π
正确答案：A
解析：
填空题
6． 定积分∫-11(3x2+4sinx)dx的值为__________．
正确答案：2
解析：
7． 极限的值为________．
正确答案：e—1
解析：
8． 过点(1，1，1)且与向量a={1，1，0}和b={一1，0，1)都垂直的直线方程为_________．
正确答案：
解析：设所求直线方向向量为(x，y，z)，则由题意可求得x=1，y=-1，z=1，所以(1，一1，1)为直线方向向量．又因为过点(1，1，1)，所以直线方程为
9． 微分方程的通解为__________．
正确答案：
解析：，所以，所以，两边积分，lny=一lnx+C1所以lnx+lny=C1，lnxy=C1，所以xy=eC1，所以
10． 已知函数z=sin(x2y)，则dz｜(1,π)___________．
正确答案：—2ndx—dy
解析：
综合题
11． 设函数在x=0处连续，求常数a的值．
正确答案：
12． 设参数方程确定函数y=y(x)，求
正确答案：
13． 求函数f(x，y，z)=ln(x2+y2+z2)在点P(-1，1，一1)处沿从点P到点Q(-2，一1，1)的方向的方向导数．
正确答案：其方向余弦为
14． 设函数z=f(xy，x2一y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求
正确答案：
15． 设方程∫0xetdt—∫0yetdt一sin(xy)=0确定函数y=y(x)，求
正确答案：方程两边对x求导数，有
16． 求函数的单调区间和极值．
正确答案：f(x)的定义域为解得x=1是f(x)的驻点，x=0是f(x)不可导的点当x∈(一∞，0)时，f’(x)＞0，f(x)在(一∞，0]内单调增加。当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，f(x)在[0，1]上单调减少当x∈(1，+∞)时，f’(x)＞0，f(x)在[1，+∞)内单调增加从而 f(x)在点x=0处取得极大值f(x)在点x=1处取得极大值f(1)=0．
17． 计算二重积分其中D是由直线y=x，曲线及x轴在第一象限内所围成的区域．
正确答案：
18． 计算对坐标的曲线积分I=∫L(3x2+2y)dx+(12x+y)dy，其中L是从点B(2，0)经过点A(1，2)到点O(0，0)的折线段．
正确答案：设直线段OB为L1：y=0(0≤x≤2)令P=3x2+2y Q=12x+y；D是以O，B，A为顶点的三角形区域由格林公式可得
19． 将函数展开为(x一1)的幂级数．
正确答案：
20． 求微分方程y’’一y=ex的通解．
正确答案：首先求y’’一y=0。的通解Y(x)特征方程为r2一1=0，特征根为r1=1，r2=一1；Y(x)=C1ex+C2e-x其次求y’’一y=ex的特解y*(x)设y*(x)=axex，y*(x)=a(x+1)ex；y*(x)=a(x+2)ex，代入微分方程并消去ex，
证明题
21． 求由曲线y=e-x与该曲线过原点的切线和y轴所围图形的面积．
正确答案：设切点为(x0，y0)，y’=一e-x所以所求切线方程为y=一e-xx由解得切点坐标为(一1，e)从而切线为y=一ex所求面积
22． 设函数F(x)=∫1xsinx.f(t)ft，其中f(t)在[1，π]上连续，求F’(x)并证明在(1，π)内至少存在一点ε，使得cosε.∫1εf(x)dx+sinε.f(ε)=0．
正确答案：因为F(x)在[1，π]上连续，在(1，π)内可导，且F(1)=F(π)=0由罗尔定理知，在(1，π)内至少有一点ε，使F’(ε)=0即
