陕西专升本(高等数学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
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陕西专升本（高等数学）模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1． 下列极限存在的是( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：应选择D.
2． 设则f(x)的间断点为( )．
A．x=0
B．x=1
C．x=0和x=1
D．不存在
正确答案：C
解析：的间断点为x=0和x=1，应选择C.
3． 设=( )．
A．2
B．7
C．1 2
D．15
正确答案：D
解析：故选D.
4． 设平面2x+5y+3z=3与平面x+ky一2z=10垂直，则k=( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：两平面垂直时，两平面的法向量也垂直，所以n1.n2={2，5，3).(1，k，一2)=2+5k一6=0解得所以选择C.
5． 二元函数的定义域是( )．
A．{(x，y)｜0≤x≤1，且0≤y≤2}
B．{(x，y)｜0≤z≤2，且0≤y≤2}
C．{(x，y)｜0≤y≤2，且x≥y}
D．{(x，y)1 0≤y≤2，且y≥x}
正确答案：C
解析：解得0≤y≤2，且≥y，应选择C.
填空题
6． 设f(x)的一个原函数为，则∫xf’(x)dx=__________．
正确答案：
解析：
7． =_________．
正确答案：∫axf(t)dt+xf(x)
解析：因为被积函数中含有变量x，不能直接用变上限定积分的求导公式，但∫axxf(t)dt中积分变量是t，所以X可以提到积分号外面，然后再用乘积的求导法则．即
8． 由曲线y=4一x2及y=0所围成的图形绕直线x=3旋转一周，所得旋转体的体积V=
正确答案：64π
解析：如图所
示．
9． 交换积分次序，则=__________.
正确答案：
解析：由题知，积分区域D为，如图6—21所示，可将积分分为两部分，即
10． 若L为右图中所示A(0,a)与B之间的一段圆弧，则∫
Lxds=__________．
正确答案：
解析：
综合题
11． 求极限：
正确答案：
12． 设参数方程
正确答案：
13． 试问a为何值时，函数处取得极值，它是极大值还是极小值?并求出此极值．
正确答案：f’(x)=acosx+cos3x
14． 设函数，其中函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，求
正确答案：令ex+y为第1变量，为第2变量
15． 设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且f(0)=f’(0)=0，求g’(0)．
正确答案：因为f(0)=f’(0)=0，所以
16． 计算不定积分
正确答案：
17． 已知函数f(x)具有二阶连续导数，且满足求∫01x2f’’(2x)dx.
正确答案：
18． 计算曲线积分I=∮L(一x2y)dx+xy2dy，其中L是区域D一((x，y)｜x2+y2≤2y)的正向边界曲线．
正确答案：
19． 求幂级数26的收敛区间及和函数，并计算级数的和．
正确答案：
20． 设，其中f(x)为连续函数，求f(x)．
正确答案：
证明题
21． 在曲线y=lnx上求一点(x0，y0)，(2＜x0＜6)使曲线在该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围平面图形面积最小．
正确答案：设曲线y=lnx在区间(2，6)内一点为t，过点(t，lnt)的切线方程为令S’(t)=0，得t=4，又当t＜4时，S’(t)＜0，而当t＞4时，S’(t)＞0，所以t=4为极小值点，根据题意也就是最小值点。故曲线y=lnx在区间(2，6)内取点x=4时，该点切线与直线x=2，x=6以及y=1所围平面图形面积最小．
22． 设f(x)在区间[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在一点ε∈
(a，b)，使得f’(ε)+3ε2f(e)=0．
正确答案：设 F(x)=exf(x)，则F(x)在f[a，b]上连续，(a，b)内可导，且F(a)=eaf(a)=0，f(a)=eb.f(b)=0由罗尔定理可知，至少存在点ε∈(a，b)，使得F’(ε)=0，即F’(t)=ex2f’(ε)+ex2f’(ε).3ε2=0而ex2≠0，故f’(e)+3ε2f(ε)=0．
