1. 大数定律为数理统计应用于统计学搭起了连接的纽带。大量观察法是现代统计学的基本方法之一，而大数定律又是大量观察法的基础。统计学若没有大量观察法的支撑，则统计分析中的基本指标——平均数与相对数，则失去其应有的作用和意义，可见数理统计在统计方法中的基础地位不容置疑。
2.中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路。用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明+只要样本容量足够地大，得自未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。
中心极限定理（林得贝格--莱维定理）意义：
如果一个随机现象是由众多的随机因素引起的，而各个因素在总的变化中所处的地位差不多，就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布。
科技应用与管理
大数定律和中心极限定理的应用
李红英
遵义师范学院数计学院，贵州遵义５６３００２
摘要：大数定律与中心极限定理是概率论中重要的内容，是概率与统计承上启下的章节，其理论丰富抽象，应用也极其广泛。
本文总结了大数定理和中心极限定理的应用，以丰富课程教学内容和应用意识的培养。
关键词：大数定律：中心极限定理
中图分类号：Ｏ２１１．４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１．５７８０（２０１５）０２－００３８－０１
大数定律与中心极限定理是概率统计中重要的研冗课
题，是概率统计承上启下的桥梁，其理论抽象，应用广泛。
大数定律揭示了在大量的随机现象，偶然性背后呈现着稳定
的规律，并通过以概率收敛的形式表现出来，目前常见的有
伯努利大数定律、马尔科夫大数定律、辛钦大数定律。中心
极限定理揭示的是在大量的随机现象中，一切非正态分布或
不知道分布类型的总体都依分布收敛于正态分布，常见的有
独立同分布的、独立不同分布的中心极限定理。
大数定理和中心极限定理的应用加深了对理论的理解，
也渗透到其他的学科领域。
１大数定律的应用
例１．设｛ ）为一列独立同分布随机变量
，都服从（０，１）
上的均匀分布，若 （尽
，
证明 ｃ（ｃ为常数）
，并求出ｃ。
证明：｛ ｝为一列独立同分布随机变量
。则｛ｈ１ ｝也为 证明
：Ｌ．， Ｊ为一列独立同分布随机变量。则Ｌ～ Ｊ也为
独立同分布随机变量序列，且
Ｅ ＝Ｉ ｌｎｘｄｘ＝一１
由辛钦大数定律知｛ｈ ｝服从大数定律
，即有
Ｉｎ －－）一１ 鲁
，令 （ ）＝ｅｘ
，则 （ ）是直线上的连
１ｎ毒Ｐ
．
续函数，故（是 ） ＝ Ｐ一＝ｃ
例２．己知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平
均值是７３００，均方差是７００，利用切比雪夫不等式估计每毫
升血液含白细胞数在５２００ ９４００之间的概率。
解设ｘ表示每毫升血液中含白细胞个数，则
ＥＸ：７３００，ｏ－（ｘ）＝√面＝７００
⼤数定律与中⼼极限定理⽬录随机变量序列的两种收敛性
依概率收敛：设{X
n}为⼀随机变量序列，X为⼀随机变量，若对于任意ϵ>0,有
P(|X
n−X|≥ϵ)→0(n→∞)
则称序列{X
n}依概率收敛于X，记作X
nP
→X
依概率收敛的性质：若
X
nP
→
a
Y
nP
→
b
则：
X
n±Y
nP
→
a±b
X
nY
nP
→
ab
X
n÷Y
nP
→
a÷b
弱收敛（按分布收敛）：随机变量X,X
1,X
2…的分布函数为F(x),F
1(x),F
2(x)…，若对于F(x)的任意⼀个连续点x，有
lim
n→∞F
n(x)=F(x)
则称分布函数序列{F
n(x)}弱收敛于F(x),记作
F
n(x)W
→
F(x)
也称{X
n}按分布收敛于X,记作
X
nL
→
X特征函数
特征函数：设X是⼀个随机变量，则
φ(t)=E(eitX
)为X的特征函数。常⽤分布的特征函数
0-1分布：φ(t)=peit
+q
泊松分布:
φ(t)=∑
eitxλk
e−λ
k!
=e−λ∑(λeit
)k
k!
=eλ(eit−1)
均匀分布:
φ(t)=∫b
aeitx
b−a
dx=eitb
−eita
it(b−a)
标准正态分布:
φ(t)=e−1
2t2
证明：
φ(t)=∫∞
−∞eitx1
√2π
e
−1
2x2
dx
=1
√2π
∫∞
−∞∞
∑
n=0(itx)n
n!
e
−1
2x2
dx
=∞
∑
n=0(it)n
n!
[∫∞
−∞xn1
√2π
e
−1
2x2
]dx
=∞
∑
n=0(it)n
n!
E(Xn
)
当n为奇数时，
E(Xn
)=∫∞
−∞xn1
√2π
e
−1
2x2
dx=0
当n为偶数时，
E(Xn
)=E(X2m
)=∫∞
−∞x2m1
√2π
e
−1
2x2
dx
=1
√2π
∫∞
−∞−x2m−1d(e
−1
2x2
)
=1
√2π
(2m−1)∫∞
−∞x2m−2e
−1
2x2
dx
=(2m−1)(2m−3)…1∫∞
−∞1
√2π
e
−1
2x2
dx
=(2m−1)!!
=2m!
2m
(m−1)!
故φ(t)=∞
∑
m=0(it)2m
(2m)!
E(X2m
)
=∞
∑
m=0(it)2m
(2m)!2m!
2m
(m−1)!
=∞
∑
m=0(−t2
* *
第四章 大数定律与中心极限定理
教学目的与教学要求：了解特征函数的定义和常用分布的特征函数；理解并能应用大数定律；掌握依概率收敛和按分布收敛的概念；掌握并能应用独立同分布下的中心极限定理。
教学重点：大数定律、依概率收敛和按分布收敛的概念、中心极限定理。
教学难点：大数定律和中心极限定理的应用。
教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。
教学时数：12学时
教学过程：
§4.1 特征函数
特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：
(1) 可将求独立随机变量和的分布的卷积运算化成乘法运算；
(2) 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；
(3) 可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题等。
§4.1.1 特征函数的定义
定义4.1.1 设X是一个随机变量，称
()()itXtEe ()t
其中i为虚数单位，为X的特征函数。
注：因为||1itXe，所以()itXEe总是存在的，即任一随机变量的特征函数总* *
是存在的。
特征函数的求法：
(1) 当离散随机变量X的分布列为
()kkppXx (1,2,3,)k
则X的特征函数为
1()kitxkktep ()t；
(2) 当连续随机变量X的密度函数为()px，则X的特征函数为
()()itxtepxdx ()t。
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：
(1) 欧拉公式：cos()sin()itxetxitx；
(2) 复数的共轭：abiabi；
(3) 复数的模：22||abiab。
例4.1.1 常用分布的特征函数
(1) 单点分布：()1pXa，其特征函数为()itate；
(2) 01分布：1()(1)xxpXxpp(0,1)x，其特征函数为()ittpeq；
