动量和冲量动量定理

一、动量和冲量·动量定理 一、动量、冲量

1.动量：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量.即p＝mv.是矢量，方向与v的方向相同.两个动量相同必须是大小相等，方向相同。

注意：动量、动能和速度都是描述物体运动的状态量.动量和动能的关系是：p2＝2mEk.

2.冲量：力和力的作用时间的乘积Ft，叫做该力的冲量.即I＝Ft.

冲量也是矢量，它的方向由力的方向决定.如果在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就是力的方向。 二、动量定理

物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化.Ft＝p′－p或Ft＝mv′－mv

【说明】 (1)上述公式是一矢量式，运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向.譬如，一质量为m的乒乓球以速度v水平地飞向墙后原速弹回，其动能的变化量为零，但其动量的变化量却是2mv。

(2)动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统.对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力.系统内力的作用不改变整个系统的总动量.

(3)动量定理是根据牛顿第二定律F＝ma和运动学公式vt＝v0＋at，在设力是恒定的情况下推导出来的。因此，用牛顿第二定律和运动学公式能解的恒力作用下的匀变速直线运动的问题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便。

但是，动量定理不仅适用于恒力作用的过程，也适用于随时间变化的力作用的过程.对于变力，动量定理中的力F应当理解为变力在作用时间内的平均值.

(4)根据F＝ma得：F＝ma＝mtpptvv

即：F＝tp

这是牛顿第二定律的另一种表达形式：合外力F等于物体动量的变化率tp

三、用动量定理解释现象

用动量定理解释的现象一般可分为两类：

一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小.分析问题时，要把哪个量变化搞清楚. ●疑难辨析

1、Δp＝p′－p指的是动量的变化量，不要理解为是动量，它的方向可以跟初动量的方向相同(同一直线，动量增大)；可以跟初动量的方向相反(同一直线，动量减小)；也可以跟初动量的方向成某一角度，但动量变化量(p′－p）的方向一定跟合外力的冲量的方向相同.

2、（1）应用动量定理I=Δp求变力的冲量：如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用Ft求变力的冲量，而应求出该力作用下物体动量的变化Δp，等效代换变力的冲量I.例如质量为m的小球用长为r的细绳的一端系住，在水平光滑的平面内绕细绳的另一端做匀速圆周运动，速率为v，周期为T.向心力F＝Rvm2在半个周期的冲量不等于22TRvm，因为向心力是个变力(方向时刻在变).因为半个周期的始、末线速度方向相反，动量的变化量是2mv，根据动量定理可知，向心力在半个周期的冲量大小也是2mv，方向与半个周期的开始时刻线速度的方向相反.

（2）应用Δp=F·Δt求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量的变化（Δp=p2-p1）需要应用矢量运算方法，比较麻烦，如果作用力是恒力，可以求出恒力的冲量等效代换动量的变化.如平抛运动中动量的变化问题.

3、用动量定理解题的基本思路 (1)确定研究对象.在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象仅限于单个物体.

(2)对物体进行受力分析.可以先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先求合力，再求其冲量.

(3)抓住过程的初末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号.

(4)根据动量定理列方程.如有必要，还需要其他补充方程式.最后代入数据求解。

●典例剖析

［例1］两个同样的物块，从同一高度自由下落.甲落在软垫上，乙落在水泥地上，均不再弹起，试分析比较两个物块和地面撞击时所受平均力的大小。

解：因两物块从同一高度下落，它们落地前的速度(v=gh2)一样，则初动量相同；落地后均静止，末动量也相同.所以两物块的动量的变化量Δp相等.因物块落在软垫上和软垫作用的时间长，落在水泥地上作用时间短，根据动量定理Ft=Δp可知，物块落在软垫上时

受的平均作用力小，落在水泥地上受的平均作用力大。

【思考】(1)在“跳高”和“跳远”的比赛中，运动员为什么要落在沙坑中?

(2)“跳伞”运动员着地时，为什么要有“团身”动作?

(3)在球类项目的体育课上，传球和接球时为什么要有缓冲动作?

【思考提示】 （1）、（2）、（3）中所列现象均是通过延长作用时间来减小相互作用力.

［例2］据报道，1980年一架英国战斗机在威尔士上空与一只秃鹰相撞，飞机坠毁.小小的飞鸟撞坏庞大、坚实的飞机，真难以想象.试通过估计，说明鸟类对飞机飞行的威胁，设飞鸟的质量m=1 kg，飞机的飞行速度为v=800 m/s，若两者相撞，试估算鸟对飞机的撞击力。

解：以鸟为研究对象，和飞机相撞前其速度可忽略，相撞后可认为鸟和飞机一起运动，速度为v=800 m/s.撞击过程中，设鸟相对于飞机因挤压变形而减小的距离为L=20 cm（可认为是鸟的尺寸），则撞击时间约为： t=vL 由动量定理得：Ft=mv

所以，鸟对飞机平均撞击力的大小约为

F=2.0800122Lmvtm N≈3×106 N

由此可见，鸟对飞机的威胁很大，所以，在大型机场附近，都设有驱赶鸟的装置.

【说明】 在求解有关现实生活的题目时，虽然有些条件题目中没有给出，应学会正当的取舍和合理的假设，如本题中鸟的长度、质量、初末速度等。

练习

1、下列对几种物理现象的解释中，正确的是

A．击钉时不用橡皮锤，是因为橡皮锤太轻

B．跳高时，在沙坑里填沙，是为了减小冲量

C．在推车时推不动，是因为合外力冲量为零

D．动量相同的两个物体受相同的制动力的作用，质量小的先停下来

解：根据Ft=Δp，可知A项中橡皮锤与钉作用时间长，作用力小；B项中冲量相同，减小的是冲力而不是冲量；C项中车不动，其动量变化量为零；D项中两物体Δp、F相同，故t应相同。【答案】 C

2、下列各种说法中，不能够成立．．．．的是

A．某一段时间内物体动量的增量不为零，而其中某一时刻物体的动量可能为零

B．某一段时间内物体受到的冲量为零，而其中某一时刻物体的动量可能不为零

C．某一段时间内物体受到的冲量不为零，而动量的增量可能为零

D．某一时刻物体的动量为零，而动量对时间的变化率不为零

解： 由Ft=p′－p知，Ft与Δp相等，Ft不为零，Δp也不为零，但与p′、p无直接关系。又由F=tpp可知：p′或p为零。 tpp即动量对时间的变化率不为零.故A、Ｂ、Ｄ选项能成立.C不能成立。【答案】 C

3、某物体受到一个－6 N·s的冲量作用，则

A.物体的动量一定减小

B.物体的末动量一定是负值

C.物体动量增量的方向一定与规定的正方向相反

D.物体原来动量的方向一定与这个冲量的方向相反

解：矢量的符号是表示方向的，取“＋”取“－”是以和所选正方向相同或相反决定的，而与初动量的方向无确定关系，可相同或相反。【答案】 C

4、一物体从某高处自静止释放，设所受空气阻力恒定，当它下落h时的动量大小为p1,当它下落2h时的动量大小为p2，那么p1∶p2等于

A、1∶1 B、1∶2 C、1∶2 D、1∶4

解：物体下落时由于受到的重力和阻力恒定，物体做匀加速直线运动，由vt2-v02=2as得，物体下落h和2h时的速度分别为

v12=2ah

v22=2a·2h

所以 2121vv

则相应的动量分别为

2121pp 【答案】 B

5、质量为m的小球从h高处自由下落，与地面碰撞时间为Δt，地面对小球的平均作用力为F，取竖直向上为正方向，在与地面碰撞过程中

A．重力的冲量为mg(tgh2） B．地面对小球作用力的冲量为F·Δt

C．合外力对小球的冲量为(mg+F)·ΔtD．合外力对小球的冲量为(mg-F)·Δt

解：在与地面碰撞过程中，取竖直向上为正方向.重力的冲量为－mgΔt，合外力对小球的冲量为(F-mg)Δt。【答案】 B

6、物体A初动量大小是7.0 kg·m/s，碰撞某物体后动量大小是4.0 kg·m/s.那么物体碰撞过程动量的增量Δp的大小范围是 。

解：选初动量的方向为正方向，则末动量有两种可能，即：4.0 kg·m/s或

－4.0 kg·m/s.故动量的增量Δp的大小范围是：3 kg·m/s≤Δp≤11 kg·m/s.

【答案】 3 kg·m/s≤Δp≤11 kg·m/s

7、如图，质量分别为mA、mB的木块叠放在光滑的水平面上，在A上施加水平恒力F，使两木块从静止开始做匀加速运动，A、B无相对滑动，则经过t s，木块A所受的合外力的冲量为________，木块B的动量的增量Δp为________

解：因A、B之间无相对运动，可把A、B看作一个整体，由牛顿第二定律F=(mA+mB)a得：a=BAmmF

木块A所受的合外力FA＝BAAmmFm

木块A所受合外力的冲量IA＝BAAmmFtm

木块B动量的增量ΔpB＝BABmmFtm

【答案】

BAAmmFtm；BABmmFtm.

8、两物体质量之比为m1∶m2=4∶1，它们以一定初速度沿水平面在摩擦力作用下做减 速滑行到停下来的过程中

（1）若两物体的初动量相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为________；

（2）若两物体的初动量相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为________；

（3）若两物体的初速度相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为________；

（4）若两物体的初速度相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为________.

解：（1）由动量定理得

-Fft=0-p

t=fFp

由于Ff和p均相同，所以 t1∶t2=1∶1

（2）由动量定理得

-μmg·t=0-p

t=mgp

由于p、μ均相同，所以t与m成反比.故

t1∶t2=m2∶m1=1∶4

（3）由动量定理得

-Fft=0-mv

t=fFmv

由于Ff、v均相同，所以t与m成正比，故

t1∶t2=m1∶m2=4∶1

（4）由动量定理得

-μmgt=0-mv t=gv

由于μ、v均相同，所以

t1∶t2=1∶1