高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1232

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.了解向量的实际背景．

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．

3.理解向量的几何表示．

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

【重点知识梳理】

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

(1)交换律：a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的

相反向量

－b的和的 a－b＝a＋(－b) 运算叫做

a与b的差

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．

【高频考点突破】

考点一 平面向量的有关概念

【例1】给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中正确命题的序号是()

A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④

【答案】A 【规律方法】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．

【变式探究】给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③若λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；

④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误命题的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

考点二 平面向量的线性运算

【例2】 (1)在△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝()

A.13a－13b B.23a－23b

C.35a－35b D.45a－45b

(2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________．

【答案】(1)D(2)2

规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．

【变式探究】 (1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()

A．a－12b B.12a－b

C．a＋12b D.12a＋b

(2)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()

A.AD→＋BE→＋CF→＝0

B.BD→－CF→＋DF→＝0

C.AD→＋CE→－CF→＝0

D.BD→－BE→－FC→＝0

【答案】(1)D(2)A

考点三 共线向量定理的应用

【例3】设两个非零向量a与b不共线．

(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．

【变式探究】 (1)已知向量i与j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()

A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1

C．mn＝1 D．mn＝－1 (2)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，则1n＋1m的值为________．

【答案】(1)C(2)3

考点五 方程思想在平面向量的线性运算中的应用

数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．

【例4】如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.

【真题感悟】

1.【高考安徽，文15】ABC是边长为2的等边三角形，已知向量ba、满足aAB2，baAC2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）

①a为单位向量；②b为单位向量；③ba；④BCb//；⑤BCba)4(。

【答案】①④⑤

1．（·辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )

A．p∨q B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)

【答案】A

2．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．

【答案】90°

3．（·四川卷）平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )

A．－2 B．－1

C．1 D．2

【答案】2

4．（·江苏卷）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

【答案】12

5．（·陕西卷）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C

6．（·四川卷） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2A－B2cos B－sin (A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－35.

(1)求cos A的值；

(2)若a＝4 2，b＝5，求向量BA→在BC→方向上的投影．

7．（·四川卷）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________．

【答案】2

8．（·重庆卷）在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|＜12，则|OA→|的取值范围是( )

A.0，52 B.52，72

C.52，2 D.72，2

【答案】D

【押题专练】

一、选择题

1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是 ()

A．一条线段 B．一段圆弧

C．两个孤立点 D．一个圆

【答案】D

2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是 ()

A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a

【答案】B

3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()

A．a＝－b B．a∥b

C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|

【答案】C

4．在△ABC中，AD→＝2DC→，BA→＝a，BD→＝b，BC→＝c，则下列等式成立的是 ()

A．c＝2b－a B．c＝2a－b

C．c＝3a2－b2 D．c＝3b2－a2

【答案】D 5．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为 ()

A.12

B.13 C.14 D．1

【答案】A

6．向量e1，e2不共线，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．

【答案】④

7．在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________(用a，b表示)．

【答案】－14a＋14b

8．设a，b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．

【答案】－1

9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？