八年级数学下册 1.4 角平分线 角的平分线的性质课标要求素材 (新版)北师大版

学必求其心得，业必贵于专精

1 如何利用角平分线证明点到直线的距离相等？

难易度：★★★★★

关键词：角平分线 —点到直线的距离相等

答案：

利用角平分线的性质定理和判定定理，找到所需的关系,再结合其它知识求证点到直线的距离相等。

【举一反三】

典例:如图,△ABC中∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交与点O，求证：点O到三边AB、BC、CA所以在距离相等。

思路导引：当题目涉及到角的平分线时,可先考虑角平分线性质的应用，然后再考虑其他的方法. 本题已知角的平分线，可以考虑角平分线性质的解决问题

标准答案 ：

证明：分别作OF⊥AB交AB的延长线于点F，OG⊥BC交BC的延长线于G,OH⊥AC于H。

∵点O在△ABC的∠ABC平分线上,OF⊥AB，OG⊥BC，

∴OF=OG，

∵点O在∠ACB外角的平分线上，OH⊥AC，OG⊥BC，

∴OG=OH，

∴OF=OG=OH，

∴点O到三边AB、BC、CA的距离相等。

角平分线

一、角平分线的性质定理

1. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

2. 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

二、角平分线的判定定理

在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。

三、关于三角形三条角平分线的定理

1. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。

2. 三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）。

1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．

故选C．

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（ ）

A．50° B．45° C．40° D．35°

解：∵E在∠C的平分线上，

∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，

∵E在∠B的外角的平分线上，

∴E点到CB的距离等于E到AB的距离，

∴E点到AC的距离等于E到AB的距离，

∴AE是∠A的外角的平分线．

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，，

∵EB是∠B的外角的平分线，

∴∠ABE=60°，

∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．

故选B．

3．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）

角的平分线的性质教材分析

本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等．

角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法．因此它既是对前面所学知识的应用,又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用.因此本节课在教材中占有非常重要的地位．

基于以上分析,确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质．

教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质．

尊敬的读者：

本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our

busy schedule. We proofread the content carefully before the release of

this article, but it is inevitable that there will be some

unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I

1.4 角平分线的性质

教学目标

1．角的平分线的性质

2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

教学重难点

重点：角平分线的性质及其应用．

难点：灵活应用两个性质解决问题．

教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．

Ⅱ．导入新课

角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．

折出如图所示的折痕PD、PE．

画一画

按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．

结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

由已知事项推出的事项：PD=PE．

于是我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？(出示投影)

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL)．于是可得∠PDE=∠POD．

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．