(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结

平方差公式和完全平方公式一、平方差公式：设有两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2例如，对于任意两个实数a和b，有(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab这个公式的应用十分广泛，对于二次方程的因式分解、求根等问题有很大的帮助。

通过平方差公式，可以将一个二次方程因式分解为两个一次方程的乘积，从而简化计算过程。

举个例子，假设有一个二次方程x^2+5x+6=0，我们可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，然后求解得到x=-2或x=-3通过平方差公式，我们可以简化计算过程，直接得到因式分解的结果。

二、完全平方公式：完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。

设有一个二次三项式x^2 + bx + c，完全平方公式可以表示为：x^2 + bx + c = (x + m)^2 + n其中m和n是常数。

通过完全平方公式，我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方的形式，从而进行进一步的求解。

举个例子，假设有一个二次三项式x^2+6x+9，根据完全平方公式可以将其表示为(x+3)^2通过完全平方公式，我们可以快速得到该二次三项式的解为x=-3与平方差公式类似，完全平方公式也是简化计算的重要工具。

通过完全平方公式，我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方，从而更方便地进行求解。

总结：平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，用于求解一元二次方程。

平方差公式使我们能够将一个二次方程进行因式分解，简化计算过程。

完全平方公式用于将一个二次三项式转化为一个完全平方，进一步求解。

这两个公式在数学的教学和实际应用中有着重要的作用，帮助我们更方便地求解问题，提高计算的效率。

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3．公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4．公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

八年级数学完全平方公式和平方差公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!八年级数学：完全平方公式和平方差公式数学是一门充满挑战和乐趣的学科，而在八年级，我们将深入研究完全平方公式和平方差公式。

平方差公式及完全平方公式一、知识点讲解 （一）平方差公式：1、概念及公式推导：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

()()b a b a b a 22-=-+2、公式特点：（1）左边的两个二项式中，其中一项（a ）完全相同，另一项（b 和b -）互为相反数（2）右边是相同项的平方减去符号相反项的平方（3）公式中的b a ,可以是具体数字，也可以是单项式或多项式3、变形归纳：（1）位置变化 ()()()()b a b a b a a b a b 22-=-+=++-（2）符号变化 ()()()b a b a b a b a 2222-=-=--+--（3）系数变化 ()()()()yx x x y x y x 943222223232-=-=-+（4）指数变化()()()()n m n m n m n m 4622232323-=-=-+（5）增项变化 ()()()c b a c b a c b a 22-=-++++（6）增因式变化()()()()()()b a b a b a b a b a b a 2222-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+---- （7）连用公式变化()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 8844444422224422-=+-=++-=++-+例1、计算：（1）()()b a b a 2323-+ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21212222x x（4）()()12001200-+ （4）()()z y x z y x -+++（二）完全平方公式1、概念及公式推导：两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数的积的两倍。

()()bab a b a b ab a b a 22222222+-=++=-+2、公式特点：（1）只有一个符号不同（2）公式中的b a ,可以是数，也可以是单项式或多项式 （3）注意()b a ab 222=与(),2222b ab a b a ++=+()b a b a 222+=+（是错误的做法）3、变形归纳：（1）()ab b a b a 2222-=++（2）()ab b a b a 2222+=+-（3）()()b a b a ab 2222+-=+（4）()()b a b a ab --+=2222（5）()()ab b a b a 422+=-+ （6）()()ab b a b a 422-=+-例2、化简：（1）()b a +32（2）()y x 32+-（4）()n m --2（4）()()c b c b --+例3、已知：.3,4-==-ab b a 求（1）b a 22+ （2）()b a +2二、题型剖析题型一 平方差公式及完全平方公式的运用 例1、计算：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b b a 313122 （2）6.94.10⨯（2）()()()3932++-x x x （4）()()a b b a ---33（5）()()z y x z y x 3232-++- （6）()c b a ++22（7）()()y x y x 323222+-题型二 利用公式简化计算 例2、计算：（1）2016220172015-⨯ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛601602（3）8.92 （4）29930122+题型三 推广公式的逆用 例3、计算：（1）()()z y x z x y 3232-----（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-••⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2016432222211111111题型四 与完全平方公式有关的开放题例4、多项式192+x 加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是例5、（1）求代数式的322++m m 的最小值（2）求代数式4332++-m m 的最大值题型五 解决实际问题例6、某住宅小区的花园，起初被设计成边长为a m 的正方形，后应道路的原因，设计修改为北边往南平移2.5m ，而东边往东平移2.5m ，则修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？巩固提升1．平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（ ）A ．只能是数B ．只能是单项式C ．只能是多项式D ．以上都可以 2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b ）C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ）3．下列计算中，错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4； ②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2； ③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2． 4．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－5 5.（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2． 6．（－2x+y ）（－2x －y ）=______． 7．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．9.下列展开结果是n m mn 222--的式子是（ ） A. ()n m +2B.()n m +-2B. ()n m --2D.()n m +-210.下列计算：①()b a b a 222+=+ ②()b a b a 222-=-③()b ab a b a 2222+-=- ④()bab a b a 2222+----=.其中正确的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个11. 小明在做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了x 21+x ，看不清x 前面的数字是什么，只知道这个二次三项式能配成一个完全平方式，这个被墨水污染了的数字是12.计算 （1）2023×2113． （2）（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）（3）9.1992 （4）7655.0469.27655.02345.122⨯++（5）2012（6）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－40163212. 已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值13. 已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

第03讲平方差和完全平方公式1.掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题知识点1：平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b+-=-语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2=x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2知识点3：完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b+=++2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab=-+()()224a b a b ab+=-+知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc=+++++（a+b+c）222112a a a±=+±（a ）2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=± ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【题型1平方差公式运算】【典例1】（2023春•渭南期中）计算（3a +2）（3a ﹣2）＝9a 2﹣4．【答案】9a 2﹣4．【解答】解：（3a +2）（3a ﹣2）＝9a 2﹣4．故答案为：9a 2﹣4．【变式1-1】（2023春•蕉城区校级月考）若a +b ＝1，a ﹣b ＝2022，则a 2﹣b 2＝2022．【答案】2022．【解答】解：∵a +b ＝1，a ﹣b ＝2022，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝1×2022＝2022．故答案为：2022．【变式1-2】（2023春•双峰县期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝16a2﹣b2．【答案】16a2﹣b2．【解答】解：原式＝（4a）2﹣b2＝16a2﹣b2．故答案为：16a2﹣b2．【变式1-3】（2023春•埇桥区期末）计算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝4x2﹣9y2．【答案】4x2﹣9y2．【解答】解：（2x﹣3y）（3y+2x）＝（2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2．故答案为：4x2﹣9y2．【典例2】（2023春•佛冈县期中）19992﹣1998×2002．【答案】﹣3995．【解答】解：原式＝（2000﹣1）2﹣（2000﹣2）×（2000+2）＝20002﹣4000+1﹣20002+4＝﹣3995．【变式2-1】（2023•皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024．【答案】4．【解答】解：20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．【变式2-2】（2023春•安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023．【答案】1．【解答】解：20222﹣2021×2023．＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．【变式2-3】（2023春•渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1．【答案】810000．【解答】解：899×901+1＝（900﹣1）×（900+1）+1＝9002﹣1+1＝810000．【题型2平方差公式的逆运算】【典例3】（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是3．【答案】3．【解答】解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，∴x﹣2y＝3．故答案为：3．【变式3-1】（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，∴m﹣n＝（m2﹣n2）÷（m+n）＝6÷3＝2，∴n﹣m＝﹣2，故答案为：﹣2．【变式3-2】（2023春•广饶县期中）已知实数a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，则a+b的值为10．【答案】10．【解答】解：∵a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40，∵a﹣b＝4，∴a+b＝10．故答案为：10．【变式3-3】（2023春•甘州区校级期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝1．【答案】1．【解答】解：∵m2﹣n2＝6，m+n＝3，∴（m﹣n）（m+n）＝6，则m﹣n的值是2，∴＝1．故答案为：1．【题型3平方差公式的几何背景】【典例4】（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：B．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②计算：；【答案】（1）B；（2）a﹣b＝4；（3）．【解答】解：（1）第一个图形面积为a2﹣b2，第二个图形的面积为（a+b）（a ﹣b），∴可以验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B；（2）∵a+b＝7，a2﹣b2＝28，∴（a+b）（a﹣b）＝28，即7（a﹣b）＝28，∴a﹣b＝4；（3）原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×...×（1﹣）×（1+）＝××××××...××＝×＝．【变式4-1】（2023春•高明区月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是D．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝2；（3）运用你所得到的公式，计算下列各题：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【答案】（1）D；（2）2；（3）①1；②332．【解答】解：（1）如图，图1中阴影面积为a2﹣b2，图2的阴影面积为（a+b）（a﹣b），∴图1到图2的操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：D；（2）∵4m2＝12+n2，∴4m2﹣n2＝12即（2m+n）（2m﹣n）＝12，∵2m+n＝6，∴2m﹣n＝2，故答案为：2；（3）①20232﹣2022×2024＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1）＝20232﹣20232+1＝1；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（38﹣1）×（38+1）×（316+1）+1＝（316﹣1）×（316+1）+1＝332﹣1+1＝332．【变式4-2】（2023春•清远期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：C（选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a2+ab＝a（a+b）；C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：（1）计算：2022×2024﹣20232；（2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【答案】（1）C；（2）①﹣1，2128．＝a2﹣b2.根据图2知：S阴影＝（a+b）（a 【解答】解：（1）根据图1知：S阴影﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．（2）①原式＝（2023﹣1）（2023+1）﹣20232＝20232﹣12﹣20232＝﹣1．②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（2128﹣1）+1＝2128．【变式4-3】（2023春•屏南县期中）乘法公式的探究及应用：如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．（1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）利用上述乘法公式计算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①4；②4m2+4mn+n2﹣p2．【解答】解：（1）两个图形中阴影部分面积一致，大小正方形面积之差等于等腰梯形的面积，且等腰梯形的高为大小正方形边长差，故；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①1002﹣98×102＝1002﹣（100﹣2）（100+2）＝1002﹣（1002﹣22）＝1002﹣1002+22＝4②（2m+n﹣p）（2m+n+p）＝（2m+n）2﹣p2＝4m2+4mn+n2﹣p2．【题型4完全平方公式】【典例5】（2023春•砀山县校级期末）计算：（x+4）2﹣x2＝8x+16．【答案】8x+16．【解答】解：（x+4）2﹣x2＝x2+8x+16﹣x2＝8x+16，故答案为：8x+16．【变式5-1】（2023春•威宁县期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，则（x﹣y）2＝6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x2+y2＝10，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝10﹣4＝6．故答案为：6．【变式5-2】（2023春•东港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，则n的值为±12．【答案】±12．【解答】解：∵（2x﹣m）2＝4x2﹣4mx+m2，∴m2＝9，∴m＝±3，∴n＝﹣4m＝±12．故答案为：±12．【变式5-3】（2023春•未央区校级月考）计算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【答案】3x+6．【解答】解：原式＝x2+4x+4+2+x﹣2x﹣x2＝3x+6．【题型5完全平方公式下得几何背景】【典例6】（2023秋•绿园区校级月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积：＝（m﹣n）2；方法一：S小正方形＝（m+n）2﹣4mn；方法二：S小正方形（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系为（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【答案】（1）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）①1；②5．【解答】解：（1）方法1：；方法2：，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，（m﹣n）2+4mn＝m2﹣2mn+n2+4mn＝m2+2mn+n2，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）①a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，＝52+4×（﹣6）＝25+（﹣24）＝1；②＝12+4＝1+4＝5．【变式6-1】（2023春•甘州区校级期中）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于x﹣y．（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：（x﹣y）2；方法2：（x+y）2﹣4xy．（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝4，xy＝3，则（x﹣y）2＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝x﹣y；故答案为：（x﹣y）；（2）方法①（x﹣y）2；方法②（x+y）2﹣4xy；故答案为：（x﹣y）2，（x+y）2﹣4xy；（3）（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy；故答案为：（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy；（4）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣12＝4故答案为：4．【变式6-2】（2023•永修县校级开学）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2．（2）根据（1）的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b ＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【答案】（1）（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（2）代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系可表示为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）±4．【解答】解：（1）由题意得，图②中阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（2）由（1）题可得，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，∴代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系可表示为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）由（2）题结果可得，（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，∴a﹣b＝±，∴当a+b＝6，ab＝5时，a﹣b＝±＝±＝＝±4．【变式6-3】（2023春•湖州期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b．则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解决问题：（1）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x．分别以FC、CE为边在矩形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若矩形CEPF的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．【答案】（1）﹣；（2）384．【解答】解：（1）设2021﹣x＝a，x﹣2008＝b．则a+b＝3，而（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020＝a2+b2，∴（2020﹣x）（x﹣2018）＝ab＝＝＝﹣；（2）由AB＝20，BC＝12，BE＝DF＝x，则CE＝12﹣x，CF＝20﹣x，∵矩形CEPF的面积为160平方单位，∴（12﹣x）（20﹣x）＝160，∴S＝CE2+FC2＝（12﹣x）2+（20﹣x）2，阴影部分设12﹣x＝m，20﹣x＝n，则mn＝160，m﹣n＝﹣8，∴S＝CE2+FC2＝（12﹣x）2+（20﹣x）2，阴影部分＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝64+320＝384，即阴影部分的面积为384．【题型6完全平方公式的逆运算】【典例7】（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【答案】（1）；（2）2；（3）．【解答】解：（1）∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4，∵a2+b2＝3，∴3+2ab＝4，∴ab＝；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4×＝2；（3）a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝（a2+b2）2﹣2（ab）2＝32﹣2×（）2＝9﹣＝．【变式7-1】（2023春•都昌县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【答案】（1）13；（2）42．【解答】解：（1）因为m+n＝6，mn＝﹣3，所以（m+2）（n+2）＝mn+2m+2n+4＝mn+2（m+n）+4＝﹣3+2×6+4＝13．（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．【变式7-2】（2023春•周村区期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵（x+3）（y+3）＝12，∴xy+3x+3y+9＝12，则xy+3（x+y）＝3，将x+y＝2代入得xy+6＝3，则xy＝﹣3；（2）当xy＝﹣3、x+y＝2时，原式＝（x+y）2+xy＝22+（﹣3）＝4﹣3＝1．【变式7-3】（2022秋•大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．【答案】（1）44；（2）﹣12．【解答】解：（1）因为m﹣n＝6，mn＝4，所以m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝62+2×4＝36+8＝44；（2）因为m﹣n＝6，mn＝4，所以（m+2）（n﹣2）＝mn﹣2m+2n﹣4＝mn﹣2（m﹣n）﹣4＝4﹣2×6﹣4＝﹣12．1．（2023•深圳）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a6【答案】D【解答】解：A，a3•a2＝a3+2＝a5，故A选项错误，不合题意；B，4ab﹣ab＝3ab，合并同类项结果错误，故B选项错误，不合题意；C，（a+1）2＝a2+2a+1，故C选项错误，不合题意；D，（﹣a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确，符合题意；故选：D．2．（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（）A．13B．8C．﹣3D．5【答案】A【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，x2﹣4﹣2x＝1，x2﹣2x＝5，所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13，故选：A．3．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2【答案】A【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．故选：A．4．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2【答案】A【解答】解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．故选：A．5．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是±2．【答案】±2．【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2）y+1＝（y+1）2，∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2，∴m＝±2．故答案为：±2．6．（2023•雅安）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为2．【答案】2．【解答】解：∵a+b＝2，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×1＝2．故答案为：2．7．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝2a+1．【答案】2a+1．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案为：2a+1．8．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为8．【答案】8．【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2＝8，故答案为：8．9．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝4．【答案】4．【解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴m﹣n＝4，故答案为：4．10．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为或﹣．．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可得，（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，即2t﹣1＝±4，解得：t＝或t＝．故答案为：或﹣．11．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为90．【答案】90．【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．故答案为：90．12．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝4．【答案】4．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9，∴两式相减得：4xy＝16，则xy＝4．故答案为：413．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．【答案】x2﹣3y．【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）＝x2﹣4y2﹣3y+4y2＝x2﹣3y．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积a2﹣M；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．【答案】（1）a2﹣M；（2）50．【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，即a2﹣M，故答案为：a2﹣M；（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝10×5＝50，答：A比B多出的使用面积为50．1．（2023春•市南区校级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．（x+1）（﹣x﹣1）C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）【答案】D【解答】解：∵（2a+b）（2b﹣a）不符合平方差公式的特点，∴选项A不符合题意；∵（x+1）（﹣x﹣1）＝﹣（x+1）2，∴选项B不符合题意；∵（3x﹣y）（﹣3x+y）＝﹣（3x﹣y）2，∴选项C不符合题意；∵（﹣m+n）（﹣m﹣n）＝（﹣m）2﹣n2，∴选项D符合题意；故选：D．2.（2022秋•睢阳区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【答案】D【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为：（2b+2a）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．3．（2022秋•嵩县期末）已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（）A．42B．28C．54D．66【答案】B【解答】解：∵x+y＝8，xy＝12，∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝82﹣3×12＝64﹣36＝28．故选：B．4．（2022秋•海口期末）等式（﹣a﹣1）（）＝a2﹣1中，括号内应填入．A．a+1B．﹣1﹣a C．1﹣a D．a﹣1【答案】C【解答】解：结合题意，可知相同项是﹣a，相反项是1和﹣1，∴空格中应填：1﹣a．故选：C．5．（2022秋•离石区期末）若二次三项式x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A．4B．﹣4C．±2D．±4【答案】D【解答】解：中间项为加上或减去x和2乘积的2倍，故k＝±4．故选：D．6．（2023春•攸县期末）若x2﹣y2＝3，则（x+y）2（x﹣y）2的值是（）A．3B．6C．9D．18【答案】C【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，∴原式＝32＝9，故选：C．7．（2022秋•邹城市校级期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2【答案】B【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，∴2（m﹣1）＝±6，解得：m＝4或m＝﹣2，故选：B．8．（2022秋•渝北区校级期末）化简：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）．【答案】﹣2x2+2xy+5y2．【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（3x2﹣xy+3xy﹣y2）＝x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2＝﹣2x2+2xy+5y2．9．（2023春•渭滨区期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201；例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391．（1）9992；（2）20222﹣2021×2023．【答案】（1）998001；（2）1．【解答】解：（1）原式＝（1000﹣1）2＝10002﹣2×1000×1+1＝1000000﹣2000+1＝998001；（2）20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222﹣+1＝1．10．（2022秋•龙湖区期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14．求：①a+b的值；②a2﹣b2的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab，（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）①∵a2+b2＝53，ab＝14，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝53+2×14＝81，∴a+b＝±9，又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9．②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝53﹣2×14＝25∴a﹣b＝±5又∵a＞b＞0，∴a﹣b＝5∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9×5＝45．11．（2022秋•高安市期末）已知a+b＝7，ab＝﹣2．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．【答案】（1）53．（2）57．【解答】解：（1）∵a+b＝7，ab＝﹣2，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝a2+b2+（﹣4）＝49．∴a2+b2＝53．（2）∵a+b＝7，ab＝﹣2，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣（﹣4）＝53+4＝57．12．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．【答案】（1）5；（2）47．【解答】解：（1）∵＝，∴＝＝＝﹣4x•＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．13．（2022秋•阳城县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是C；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：．【答案】（1）C；（2）；（3）．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），∴12＝4（x﹣2y），得：x﹣2y＝3，联立，①+②，得2x＝7，解得：x＝；②＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝＝×＝．14．（2023春•威海期中）利用简便方法计算：（1）501×499+1；（2）0.125×104×8×104．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝（500+1）×（500﹣1）+1＝5002﹣1+1＝5002＝250000；（2）原式＝（0.125×8）×（104×104）＝108．15．（2022秋•南昌期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．【答案】答：（1）4a﹣4b；（2）（a﹣b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）m+n＝±2；＝．（4）S阴影【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b，故答案为：4a﹣4b；（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a ﹣b）2，大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）2，因此（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）由（2）可知：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，已知m﹣n＝4，mn＝﹣3，所以（m+n）2＝16+4×（﹣3）＝4，所以m+n＝±2；故m+n的值为±2；（4）设AC＝a，BC＝b，因为AB＝8，S1+S2＝26，所以a+b＝8，a2+b2＝26，因为（a+b）2＝a2+b2+2ab，所以64＝26+2ab，解得ab＝19，由题意：∠ACF＝90°，＝ab＝．所以S阴影16．（2022秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac ＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）＝（a+b+c）2，各小矩形部分的面积之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，∴等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45．（3）如图所示。

树人阁教育一对一个性化辅导教案第三讲、乘法公式知识点讲义知识点：(一）、平方差公式:（a+ｂ）(ａ-b)=b a 22- 两数 与这两 差的积,等于它们的 。

1、即:(a ＋b ）(a-b) = 相同符号项的平方 － 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：b a 22-=（ａ＋b)（ａ-b ）。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即:(ａ+b ）(a －ｂ)或(ａ+b)(b-ａ)②有两数和的相反数与两数差的积 即:（－ａ-b)(a-ｂ)或(a+b)(ｂ－a) ③有两数的平方差 即:b a 22- 或a b 22+-(二）、完全平方公式：)(2b a +=a 2＋2ab+b 2 )(2b a -=a 2-２ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加上(或减去）它们的积的 。

1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2＝)(2b a + a 2－2ab+b 2=)(2b a - 2、能否运用完全平方式的判定①有两数和(或差）的平方即:)(2b a +或 )(2b a -或 )(2b a --或)(2b a +-②有两数平方,加上(或减去)它们的积的2倍,且两数平方的符号相同。

即:a 2+2ａｂ+b 2或a 2－2ab+b 2 a -2-2a ｂb -2或 a -2＋2a ｂ－b 2 基础训练:一、选择题1、下列各式中,能用平方差公式计算的是（ )ﻩA 、()()p q p q +--ﻩﻩ B 、()()p q q p -- Ｃ、(5)()x y y x +-335ﻩ D 、()()2332a b a b +- 2、与()72x y -之积等于y x4249-的因式为 （ ） ﻩＡ、(７x －y 2)ﻩﻩＢ、（7x ＋ｙ2） Ｃ、(－７ｘ-y ２) D 、(y 2－7x )3、下列等式能够成立的是 （ ）ﻩA 、()242222x y x x y y -=-+ﻩB 、()x y x y +=+222 ﻩＣ、()1214222a b a a b b -=-+ﻩＤ、()11222x x x x +=+ ４、要使式子4ａ2—12ａ 成为一个完全平方式的结果,则应加上 ( ）Ａ、3 ﻩ Ｂ、９ﻩﻩ C 、２．25 D 、1.55、()73322x +等于 ( ) A 、737322x x ++ﻩ B 、49972942x x ++ ﻩC 、4997942x x ++ﻩﻩﻩD 、7372942x x ++ ６、[][]()()()()x y x y x y x y +-+-所得结果是 ( ） ﻩＡ、x y 44- ﻩﻩ B 、x x y y 4224-+ C 、x ４+y 4 D 、x x yy 42242-+7、()a b -2加上如下哪一个后得()a b +2 ( ) A 、2ab ﻩﻩB 、３abﻩ C 、４ａb ﻩﻩ D 、0 ８、()()x y x x y y +++222等于( ） A 、x y 33+ﻩﻩＢ、x y 33- C 、()x y +3ﻩﻩD 、以上答案都不对 ９、下列各式不能用立方差公式计算的 ( )A 、()()-+-+aa a 112ﻩﻩB 、()(5)a a a 212552-++ C 、()()312932142a a a -++ D 、()()3312aa a +-+ 10、下面四个式子与(ａ-b )相乘所得的积中是二项式的有 （ ）①a +b ﻩ②a a b b 22++ ﻩ③a a b b 22-+ ﻩ④a a b b222-+ ﻩA 、①和④ﻩＢ、②和③ﻩ C 、①和② ﻩＤ、③和④ 二、填空题1、()()x y x y+=+33 2、a a b b a b 2223-+=-() 3、()()ab b a -=-121422 ４、()+=++m n 2245、()()4144983432233x x y y x y++=- ６、()()x x x -++=112227、()()x y x x y y n m n n m m +-+=22 8、(.)0222a a +=++9、()()()343422x y x y -+=+10、()()---+=x y x x y y 22解答题、1、四个连续偶数a 、b 、c 、d 中最后一个数是第m ＋2个正偶数,如果b d a c -=412,求这四个数2、已知x y x y +=-=1016，求下列各式的值ﻩ求①x y 22+ﻩ ②()x y -2ﻩﻩ③()()x y ++22④x x yy 22-+3、13122a a a a +=+求４、1)1)(1)(1)(12(222842+++++5、b ab b 22a .6,5a +-=-=+求已知：。

完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。

例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。

例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。

6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。

7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。

第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。

专题1.5-6平方差公式和完全平方公式典例体系（本专题共76题33页）一、知识点（1）平方差公式：()()22a b a b a b +-=-即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；（2）完全平方公式：222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；（3）添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；二、考点点拨与训练考点1：平方差公式的适用条件典例：（2020·山西左权·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（　）A ．(a+b)(a-2b)B ．(x+2y)(x-2y)C ．（-a+2b)(a-2b)D ．（-2m-n ）（2m+n ）【答案】B【解析】A ：()()2a b a b +-无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；B ：()()22x y x y +-符合平方差公式的形式，故其可以用平方差公式计算；C ：()()22a b a b -+-无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；D ：()()22m n m n --+无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；故选：B.方法或规律点拨本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键.巩固练习1．（2019·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）A ．(2)(2)a b a b -+B ．(5)(5)a a -+--C ．(21)(12)x x --+D ．(2)(2)x y x y ---【答案】C 【解析】解：C 、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；A 、B 、D 中均存在相同和相反的项，故选：C ．2．（2020·河南舞钢·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）A ．()()m n m n ---B ．()()11mn mn -++C ．()()m n m n -+-D ．23)(3)(2m m -+【答案】C【解析】∵()()m n m n ---=()()m n m n --+=()2222m nmn -=-+-，∴A 不符合题意，∵()()11mn mn -++=()221mn -=221m n -，∴B 不符合题意，∵()()m n m n -+-=()()()2m n m n m n ---=--∴C 符合题意，∵23)(3)(2m m -+=222(2)349m m -=-，∴D 不符合题意．故选C ．3．（2020·江苏梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．(2)(2)x a x a +-B ．(12)(12)a a --+C ．(5)(5)b c c b +-D ．(2)(2)x y x y +-+【答案】B【解析】解：A 、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B 、（1-2a ）（-1+2a ）=-（1-2a ）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；C 、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；D 、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；故选：B ．4．（2020·安徽临泉·期末）能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y -+-B ．()()x y x y -++C ．()2(1)x x +-D ．()23(32)x x +-【答案】B【解析】解：A ．不能用平方差公式计算，该项不符合题意；B ．可以用平方差公式计算，该项符合题意；C ．不能用平方差公式计算，该项不符合题意；D ．不能用平方差公式计算，该项不符合题意；故选：B ．5．（2020·达州市通川区第八中学期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()(+)x y x y --B ．()(+)x y x y ---C ．()()ab c ab c +-D ．(0.3)(0.3)x y y x ---【答案】A【解析】A. 含x 、y 的项都符号相反，不能用平方差公式计算；B. 含x 的项符号相同，含y 的项符号相反，能用平方差公式计算；C. 含y 的项符号相同，含x 的项符号相反，能用平方差公式计算；D. 含y 的项符号相同，含x 的项符号相反，能用平方差公式计算．故选:A.6．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x ）(5x+2ab);②(ax －y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】解：①（-2ab+5x ）(5x+2ab)= （5x -2ab ）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正确;②(ax －y)(-ax-y) =- (ax －y)( ax+y)，符合平方差公式，故②正确;③(-ab-c)(ab-c)=- (a+-c)(ab-c) ，符合平方差公式，故③正确;④(m+n)(-m-n)=- (m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④错误.正确的有①②③.故选B.7．（2020·西藏日喀则·期末）下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（ ）A ．（x+1）（x ﹣1）B ．（x+1）（﹣x+1）C ．（﹣x+1）（﹣x ﹣1）D ．（x+1）（﹣x ﹣1）【答案】D【解析】解：选项A ：(x+1)(x-1)=x 2-1，故选项A 可用平方差公式计算，不符合题意，选项B ：(x+1)(-x+1)=1-x 2，故选项B 可用平方差公式计算，不符合题意，选项C ：(-x+1)(-x-1)=x 2-1，故选项C 可用平方差公式计算，不符合题意，选项D ：(x+1)(-x-1)=-(x+1)2，故选项D 不可用平方差公式计算，符合题意，故选：D ．考点2：应用平方差公式进行计算典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）1122xy xy æöæö÷çç---=÷çç÷ççèøè______．【答案】2214x y -【解析】()2222111*********xy xy xy xy xy x y æöæöæöæöæö÷ççççç---=-+--=--=-÷ççççç÷çççççèøèøèøèøèø方法或规律点拨本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．巩固练习1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若245a a +=，则代数式2(2)(1)(1)a a a a +-+-的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】D【解析】解：2(2)(1)(1)a a a a +-+-22241a a a =+-+241,a a =++245a a +=Q ，\ 上式51 6.=+=故选D ．2．（2020·湖南涟源·初一期末）计算()()2323a b a b -+的正确结果是（ ）A ．2249a b +B ．2249a b -C ．224129a ab b ++D ．224129a ab b -+【答案】B【解析】()()2323a b a b -+2249a b =-．故选：B ．3．（2020·绍兴市文澜中学期中）若2210m n -=，且4m n -=，则m n +=_____【答案】2.5【解析】∵2210m n -=，4m n -=，∴m n +=(22m n -)÷(m n -)= 2.54．（2020·河南洛宁·月考）计算：(4(4´=__________．【答案】9【解析】根据平方差公式可得(4(4´=2241679-=-=，故答案为9.5．（2020·山东中区·初一期末）若5a b +=，3a b -=，则22a b -=_____．【答案】15【解析】解：∵5a b +=，3a b -=，∴22a b -()()a b a b =+-53=´15=故答案为156．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）44q q p p æöæö÷÷çç---+=÷÷çç÷÷ççèøèø________．【答案】2216q p -【解析】解：22224444416q q q q q q p p p p p p æöæöæöæöæö÷÷÷÷÷ççççç---+=---+=--=-÷÷÷÷÷ççççç÷÷÷÷÷çççççèøèøèøèøèø故答案为：2216q p -．7．（2020·吉林延边·初二期末）计算：+-=____________．【答案】4【解析】解：+-22=-4=，故答案为：4．8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）()()()()()224488a b a b a ba b a b -++++【答案】1616a b -【解析】解：原式＝22224488(-)()()()a b a b a b a b +++＝444488(-)()()a b a b a b ++＝8888(-)()a b a b +＝1616-a b ．考点3：乘法公式与图形面积典例：（2020·北京通州·初一期中）将边长为a 的正方形的左上角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．（1）设图1中阴影部分的面积为S ₁，图2中阴影部分的面积为S ₂，请用含a ．b 的式子表示：S ₁＝ ，S ₂＝ ；（不必化简）（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．【答案】（1）a 2﹣b 2，（a ＋b ）（a ﹣b ）；（2）（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2；（3）1．【解析】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S ₁＝a 2﹣b 2，S ₂＝（a ＋b ）（a ﹣b ）故答案为：a 2﹣b 2，（a ＋b ）（a ﹣b ）；（2）以上结果可以验证的乘法公式是a 2﹣b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）．故答案为：（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2．（3）20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）×（2020＋1）＝20202﹣（20202﹣1）＝20202﹣20202＋1＝1．方法或规律点拨本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．巩固练习1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．22(1)(1)a b -=+【答案】A【解析】如图，拼成的等腰梯形如下：上图阴影的面积s ＝a 2−b 2，下图等腰梯形的面积s ＝2（a ＋b ）（a−b ）÷2＝（a ＋b ）（a−b ），两面积相等所以等式成立a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ）．这是平方差公式．故选：A ．2．（2020·福建省惠安科山中学月考）如下图所示，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A ．222()2a b a ab b -=-+B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()()a b a b a b -=+-D ．2()a ab a a b +=+【答案】C【解析】解：正方形中，S 阴影=a 2-b 2；梯形中，S 阴影=12（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ）；故所得恒等式为：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．故选：C ．3．（2020·广东禅城·期末）在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（a >b 〉）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A ．2()a ab a a b -=-B ．()2222a b a ab b +=++C ．()2222a b a ab b -=-+D ．()22()a b a b a b -=+-【答案】D【解析】解：左图的阴影部分的面积为（a ＋b ）（a−b ），右图的阴影部分的面积为a 2−b 2，因此有为a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ），故选：D ．4．（2018·河南汝阳·初二期末）图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A. abB.()2a b +C. ()2a b -D. 22a b -【答案】C【解析】由题意可得，正方形的边长为a b +，故正方形的面积为()2a b +。