下载文档原格式
2.线段垂直平分线教学目标1．掌握线段垂直平分线的性质与判定．2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．教学重难点重点：掌握线段垂直平分线的性质与判定．难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．教学过程 一、情境导入如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意他的判断吗？二、合作探究探究点一：线段垂直平分线的性质△BDCA．10 ．16 ．18 ．26解析：由线段的垂直平分线的性质可知BD＝AD，所以△BCD的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC，则AC=18－8=10.故答案为A.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相关转化，从而求出未知线段的长．【类型二】应用垂直平分线的性质求角度如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别为AB和AC的垂直平分线，求∠DAE的度数．解析：由题意可知∠DAE＝100°－(∠DAF＋∠EAG)，由DF和EG分别为AB和AC 的垂直平分线可得BD=AD,AE=CE，从而得∠B＝∠DAF，∠C＝∠EAG.利用三角形内角和定理可求出∠B＋∠C，使问题得到解决．解：∵DF是AB的垂直平分线，∴BD＝AD.∴∠B＝∠DAF.同理可得∠C＝∠EAG.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，且∠BAC＝100°，∴∠B＋∠C＝80°，∴∠DAF＋∠EAG＝80°.∴∠DAE＝∠BAC－(∠DAF＋∠EAG)＝100°－80°＝20°.方法总结：有线段的垂直平分线时，一般都过垂直平分线上的点连接线段两端点得相等的线段和角．【类型三】线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB ＝BF即可．证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE所在直线是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．探究点二：线段垂直平分线的判定如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．解析：先利用角平分线和垂直证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF.解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°.在△ADE和△ADF中，∵∴△ADE≌△ADF(AAS)，∴DE＝DF，AE＝AF，∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．探究点三：垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合现有不在一条直线上的A、B、C三座城市．(1)现在A、B两城之间建一水果仓库，使其到A、B两城市之间距离相等，此仓库位置唯一吗？它们的位置有怎样的关系？(2)在B、C两城之间建一水果批发市场，使其到B、C两城市距离相等，市场的位置唯一吗？它们的位置有怎样的关系？(3)为减少运费，现将水果批发市场与水果仓库建在同一位置，并分别到三城市距离相等，应如何选址？画图说明．解析：本题可以把城市、水果批发市场、水果仓库看成是几个点，问题(1)就转化为寻找到A、B两点距离相等的点；问题(2)就转化为寻找到B、C两点之间距离相等的点；问题(3)就转化为寻找到A、B、C三点之间距离相等的点，这样就可以用垂直平分线的知识来解决问题．解：(1)不唯一，它们在一条直线上，此直线为AB的垂直平分线；(2)不唯一，它们在一条直线上，此直线为BC的垂直平分线；(3)AB、BC两线段的垂直平分线的交点D即为满足要求的位置．方法总结：利用转化思想，合理地建立模型，是解决实际问题的关键．三、板书设计线段的垂直平分线{定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.教学反思本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的判定定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．。
13.5.2 探究天地
探究点1 分解因式的实际应用
【例1】某高速公路需要一种空心混凝土管道，如图所示，•它的规格是“内径d=45cm ，外径D=75cm ，长L=300cm ”，利用因式分解计算浇制一节这样的管道，•需要多少立方米的混凝土？（π取3.14，结果保留两位有效数字）
【分析】求需要多少立方米的混凝土，实质是求空心管道的体积，而管道的体积等于外面大圆柱体的体积减去中间空心圆柱体的体积．
【解答】需要的混凝土为：
=π·（
2D ）2·L －π·（2
d ）2·L =πL[（2D ）2－（2
d ）2] =4l π（D 2－d 2）=4l π（D+d ）（D －d ）． 当D=75cm=0.75m ，d=45cm=0.45m ，L=300cm=3m 时，
上式=3.1434
⨯（0.75+0.45）（0.75－0.45）=0.8478≈0.85（m ）． 答：浇制一节这样的管道，需要0．85立方米的混凝土．
做一做
1．利用因式分解简便计算57×99+44×99－99正确的是（ ）
A ．99×（57+44）=99×101=9999
B ．99×（57+44－1）=99×100=9900
C ．99×（57+44+1）=99×102=10098
D ．99×（57+44－99）=99×2=198
2．如图，一块边长为a 的正方形草地中间要建一个边长为b 的正方形花坛，求剩下草地的面积．当a=75m ，b=25m 时，求剩下的草地面积的值．
3．某养鸡专业户由于受禽流感的影响，响应上级号召把他的鸡全部宰杀掩埋．现在他计划投资建仔猪和成猪两个正方形的养猪场．•已知成猪场的面积比仔猪场的面积大60m2，两个猪场的围墙总长为60m．求仔猪场的面积．
探究点2 因式分解的综合运用
【例2】有10位乒乓球选手进行单循环赛（每两人间比赛一场），用x1，y1•顺次表示第1号选手胜与负的场数；用x2，y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，……，用x10，y10顺次表示第10号选手胜与负的场数．试说明x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102．
【分析】在此题中，显然x1，y1，x2，y2，…x10，y10是未知不确定的，但是x1+y1，x2+y2，…，x10+y10都是一个固定的值，即每位选手胜负的场数和为9，因此应以此为突破口．
【解答】
（x12+x22+…+x102）－（y12+y22+…+y102）
=（x12－y12）+（x22－y22）+…+（x102－y102）
=（x1+y1）（x1－y1）+（x2+y2）（x2+y2）+…（x10+y10）（x10+y10）
又因为x1+y1=x2+y2=…=x10+y10=9，
所以上式=9（x1－y1）+9（x2－y2）+…+9（x10－y10）
=9[（x1+x2+…+x10）－（y1+y2+…+y10）]
又因为所有选手的胜场数之和与负场数之和相等，
所以（x1+x2+…+x10）－（y1+y1+…+y10）=0．
所以原式=0．
即x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102．
【方法技巧】本题的未知数很多，似乎无从下手，但分析题意后要抓住两个相等量：一是每位选手的胜场数与负场数之和为9，二是所有选手的胜场数之和与负场数之和相等．
想一想
4．若一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，则该三角形为______三角形．
5．已知a，b，c为三角形的三边，求证（a2+b2－c2）2－4a2b2<0．
探究点3 新思维新题型
【例3】阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是对于二次三项式x2+2ax－3a2，就不能直接应用完全平方公式了．•我们可以在二次三项式x2+2ax－3a2中先加一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2项，•使整个式子不变，于是有：
x2+2ax－3a2=x2+2ax+a2－a2－3a2
=（x+a）2－（2a）2
=（x+3a）（x－a）．
（1）像上面这样把二次三次式分解因式的数学方法是_________．
（2）这种方法的关键是_________；
（3）用上述方法把m2－6m+8分解因式．
【分析】从材料中把x2+2ax－3a2分解因式的过程中可以看出，•是先把它配成一个完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解，因此使用的数学方法是配方法，•关键是如何配成一个完全平方式．【解答】（1）配方法
（2）配成完全平方式
（3）m2－6m+8=m2－6m+9－9+8=（m－3）2－1
=（m－3+1）（m－3－1）=（m－2）（m－4）
【方法技巧】解阅读理解题首先要读懂阅读材料，其次要能够从阅读材料中找出解决问题的方法，要能在模拟的基础上迁移发展、探索创新．
做一做
6．把一个边长为a米的正方形广场的四个角各留出一个边长为b的正方形花坛（•a>2b），其余地方种草坪，问草坪的面积有多大？如果每平方米草坪需5元，并且a=84米，b=8米，那么这个草坪至少要投资多少钱？
7．如图所示，由一个边长为a的小正方形与两个长与宽分别为a，b•的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出任意三个等式．
（1）___________________________．
（2）___________________________．
（3）___________________________．
8．当x*y=xy －x －y+1时，试回答下列问题：
（1）把a*a 分解因式； （2）当（b*b ）*2=0时，求b 的值．
答案:
1．B
2．剩余草地的面积为a 2－b 2
，当a=75，b=25时，
a 2－
b 2=（a+b ）（a －b ）
=（75+25）（75－25）=5000．
3．设成猪场的边长为xm ，仔猪场的边长为ym ，则 22()()60,60,15.4()60.x y x y x y x y x y +-=-=+=+=⎧⎧⎨⎨⎩⎩
变形为 得x=9.5，y=5.5．
所以仔猪场面积为y 2=5.5=30.25（m 2
）．
4．等边（点拨：a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac 得a 2+b 2+c 2－ab －bc －ac=0，
2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ac=0，（a 2－2ab+b 2）+（b 2－2bc+c 2）+（c 2－2ac+a 2）=0，
即（a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2=0，因而有a=b=c ）
5．（a 2+b 2－c 2）2－4a 2b 2
=（a 2+b 2－c 2）－（2ab ）2
=（a 2+2ab+b 2－c 2）（a 2－2ab+b 2－c 2）
=（a+b+c ）（a+b －c ）（a －b+c ）（a －b －c ）．
因为a ，b ，c 为三角形的三边． 所以a+b+c>0，a+b －c>0，
a+c －b>0，a －b －c<0．
所以（a 2+b 2－c 2）－4a 2b 2<0．
6．广场的面积为a 2－4b 2；a 2－4b 2=（a+2b ）（a －2b ），
当a=84，b=8时，a 2－4b 2=6800．
∴给广场种上草坪至少要投资6800×5=34000元．
7．a2+2ab=a（a+2b）；a（a+b）+ab=a（a+2b）；a（a+2b）－a（a+b）=ab；a（a+2b）－2ab=a2等．8．（1）a*a=a2－a－a+1=（a－1）2；
（2）（b*b）*2=0，则（b－1）2*2=0．
2（b－1）2－（b－1）2－2+1=0，即（b－1）2=1．
所以b=0或b=2．。
