重叠问题

学而思奥数——重叠问题例1.把两根长为20寸的短尺用绳子捆成一根长尺，中间捆在一起的重叠部分是3寸，捆成的长尺有多少寸？例2.将两张同样长的纸粘成一张长80寸的长纸条，其中粘在一起的部分长10寸，这两张纸条各长多少寸？例3.私塾的学生人人参加比赛，有20人参加蹴鞠队，有26人参加毽子队，其中4人两种比赛都参加。

请问私塾共有学生多少人？例4.20个学生参加琵琶表演和古筝表演，其中有16人参加了琵琶表演，12人参加了古筝表演。

问两种表演都参加的学生有多少人？例5.有蓝色和红色两种珠花，每人至少选一种，共有48人，有30人选择了蓝色珠花，有13人两种都选了，那么选红色珠花的有多少人？例6.官署筛选制镜工人，总共有60人报名参加，经过一段时间的训练后，有33人学会制作了星云镜，有25人学会了制作幻境，其中机会制作星云镜又会制作幻境的有10人，那么即不会制作星云镜又不会制作幻境的有多少人？例7.学校乐队按照计划招收了42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人。

问会弹电子琴的有多少人？例8.小朋友们去喝冷饮，可以选择可乐和雪碧两种饮料，允许选择一种或两种，也可以都不选。

选可乐的有18名，不选雪碧的有15名，两种都选的有10名，两种都没有选的有多少名？练习1. 有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，重叠部分是10厘米，求钉成后的木板有多长？练习2.明明用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为195厘米的长纸条，其中粘在一起的部分长5厘米，请问这两张纸原来各长多少厘米？练习3. 三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技兴趣小组的有36人，参加美术兴趣小组的有28人，两个兴趣小组都参加的有8人。

问：三年级一共有多少人参加兴趣小组？练习4.二年级有40名同学参加跳绳和拍球两项比赛，有12人没有获奖，其中拍球获奖的有18人，拍球和跳绳两项比赛都获奖的有10人，请问跳绳比赛获奖的有多少人？练习5. 三年级（3）班有46名学生，做对第一道思考题的有29人，两道思考题都做对的有5人，两道题都做错的有5人。

重叠问题解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数应从它们的总和中去掉（排除）重复部分。

这类问题的解答，必须从条件入手进行认真分析，有时还要画出图示，借助图形进行分析思考，找出重复部分，看一看重复几次，明确求的哪一部分，从而找出解决问题的方法。

例1一个玩具店的货架上摆了一排小熊玩具，有一只黄色的小狗摆在其中。

从前往后数，小狗是第7个，从后往前数小狗是第9个。

问：这个货架上共摆了多少只玩具？练习1某饭店门口摆了一排花篮，其中有一篮鲜花，从前往后数，这篮鲜花排在第4个，从后往前数，这篮鲜花排在第7个。

这一排共有多少篮花？练习2在一个体育用品店的货架上摆了许多个球，其中有一个篮球，从前往后数排第5个，从后往前数排在第9个，其余的为足球。

问：这个货架上共摆了多少个足球？例2同学门排队做操，一行站14个人，从前往后数，小丽排在第6个，小敏排在队后面，但不是最后，小丽与小敏中间隔了3个人。

小敏后面有几个人？练习116名同学在操场上站成一排做“传球”游戏，从左往右数，小生是第8个，小明在小生右边，两人之间相隔4人。

小明右边有几人？练习2红领巾小队的12名同学，星期天排成一队上街搞宣传，从后往前，小玲排在第3个，小云在小玲前面，两人中间相隔5人。

小云前面有几人？例3同学们进行队列比赛，每行人数同样多，小军的位置从左起是第2个，从右起是第4个，从前往后数是第7个，从后往前数是第6个。

问：参加队列比赛共有多少个同学？练习1小岚在学校合唱队里唱歌，合唱队每排人数相等。

她站的位置从前往后数在第3个，从后往前数在第6个，从左往右数在第8个，从右往左数在第7个。

学校合唱队共有多少人？练习 2 小菲在学校运动会的腰鼓队里，腰鼓队的每行人数都相等，小菲所在的位置，无论从前往后或是从后往前，还是从左往右或是从右往左都是第7位。

问这个腰鼓队共有多少名同学？例4 两块一样长的木版钉在一起共长200厘米，中间重叠部分是10厘米。

2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义专题09 重叠问题知识精讲专题简析：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。

数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。

解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

典例分析【典例分析01】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。

这行彩旗共多少面？【思路引导】根据题意，画出下图：8面10面面从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。

【典例分析02】同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个？【思路引导】根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。

【典例分析03】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。

重叠问题是指在概率统计中，多个事件之间存在共同发生的可能性。

解决重叠问题的关键是正确计算相互影响的事件发生的概率。

主要知识点包括：
1. 重叠事件的概率计算：重叠事件A和B同时发生的概率P(A∩B)可以通过公式P(A∩B)=P(A)P(B|A)计算，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

2. 独立事件：如果两个事件A和B相互独立，那么事件A发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)=P(B)。

独立事件的重叠概率P(A∩B)=P(A)P(B)。

3. 互斥事件：如果两个事件A和B互斥，那么它们不可能同时发生，即P(A∩B)=0。

4. 一般重叠问题的求解方法：对于一般重叠问题，可以采用先分类后分步的方法，将问题拆分为多个互斥事件的和，然后分别计算每个互斥事件的概率，最后将这些概率相加得到结果。

5. 重叠问题的实际应用：重叠问题在实际生活中有很多应用，如保险、排队理论、可靠性工程等领域。

掌握重叠问题的解决方法对于解决实际问题具有重要意义。

重叠问题四年级练习题[题目一]小明有一串积木，其中有5个红色的积木、3个蓝色的积木和4个黄色的积木。

他将这些积木随机地叠放在一起。

如果小明将其中一个红色的积木取出来，那么剩下的积木中，红色积木的比例会发生变化吗？为什么？[解答]如果小明将其中一个红色的积木取出来，剩下的积木中，红色积木的比例会发生变化。

原本红色积木的比例为5/12，取出一个红色积木后，剩下的积木总数减少了1，而红色积木数量也减少了1。

假设取出的积木为红色积木，则剩下的积木为4个红色的、3个蓝色的和4个黄色的，即红色积木的比例变为4/11。

如果取出的积木为蓝色或黄色积木，则剩下的积木中，红色积木的比例仍为5/12。

因此，取出一个红色积木后，红色积木的比例会发生变化。

[题目二]小华有一堆彩色纸片，其中有6张红色纸片、4张蓝色纸片和5张黄色纸片。

她随机地从中取出一张纸片。

如果小华再次随机地从剩下的纸片中取出一张纸片，那么取到两张不同颜色的纸片的概率是多少？[解答]小华第一次取出纸片后，纸片的颜色会减少。

第一次取出纸片后，剩下的纸片中红色纸片的数量为5张，蓝色纸片的数量为4张，黄色纸片的数量为5张。

因此，第二次取到两张不同颜色的纸片的概率为：(红色纸片数/总数) × (非红色纸片数/总数)= (6/15) × [(4+5)/(15-1)]= (6/15) × (9/14)= 54/210= 9/35所以，取到两张不同颜色的纸片的概率为9/35。

[题目三]小李手里有一堆卡片，其中有9张红色卡片、6张蓝色卡片、4张黄色卡片和5张绿色卡片。

他每次从中随机取出一张卡片，记录所取卡片的颜色，然后将所取的卡片放回。

小李重复这个过程3次，每一次的所取的卡片颜色都与其他次取卡片的颜色不同。

那么小李这3次取卡片的颜色都不相同的概率是多少？[解答]小李每次取卡片的颜色都与其他次取卡片的颜色不同，即每次取卡片的颜色都是独立的。

第一次取卡片的颜色有24种可能（红色、蓝色、黄色、绿色中的任意一种），第二次取卡片的颜色有23种可能（剩下的三种颜色中的任意一种），第三次取卡片的颜色有22种可能（剩下的两种颜色中的任意一种）。

1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第6个。

这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬从左数起是第3个，从右数起是第7个。

这一行有多少个？3、同学们排队跳舞，每行人数同样多。

小红的位置无论从左数还是从右数起都是第4个，这行跳舞的共有多少人？4、小朋友们排队练舞蹈，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排有几个人?5、9个小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学?6、两篮鸡蛋，第一篮比第二篮多16个，从第一篮拿出（）个到第二篮，两篮鸡蛋一样多。

7、爸爸买来两箱梨，第二箱比第一箱少8个梨，爸爸要从第( ) 箱里拿出( ) 个放到第( ) 箱，两箱就一样多。

8、哥哥给弟弟4支铅笔后，哥哥与弟弟的铅笔一样多了，原来哥哥比弟弟多（）支铅笔。

9、小华有10张画片，小红有4 张画片。

小华给小红（）张画片后，她俩的画片张数相等？10、哥哥和弟弟各有一些巧克力，哥哥比弟弟多8块，要使两人的巧克力一样多，哥哥应给弟弟（）块？1、有7辆车，从左到右排成一排，从左边数警车排第四，从右边数警车排第几？2、鸭妈妈领着小鸭子在池塘里学游泳，它前面有5只鸭子，后面有4只鸭子。

一共有几只鸭子。

3、小朋友排队唱歌，我左边有3人，右边有5人，一共有多少小朋友？4、小朋友排队唱歌，我左边数排第3，右边数排第5，一共有多少小朋友？5、一群小朋友在玩游戏，小红的前面有4人，后面有5人，一共有多少人？6、两棵树上各有一些小鸟，如果从第一棵树上飞出4只小鸟到第二棵树上，那么两棵树上的小鸟就同样多。

第一棵树上的小鸟比第二棵树上的（）几只？7、小芳有15多花，她给小明3朵后，两人的花就同样多。

小明原来有（）朵花？8、甲、乙两筐都有一些西瓜，从甲筐中取出4个放入乙筐后，甲筐的西瓜还比乙筐多3个。

甲筐原来比乙筐多（）个西瓜？9、甲、乙两筐都有一些西瓜，从甲筐中取出6个放入乙筐后，甲筐的西瓜还比乙筐少2个。