解析几何柱面

第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x , 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

空间直角坐标系曲面是柱面的方程一、概述空间直角坐标系是解析几何中的重要概念，其中曲面是曲线在三维空间中的延伸，而柱面是一种特殊的曲面。

在解析几何中，研究空间直角坐标系曲面的方程是一项重要的课题，本文将重点介绍空间直角坐标系中柱面的方程。

二、柱面的定义在空间直角坐标系中，柱面是由一直线（轴线）和平行于此直线的所有直线（侧面直线）组成的集合。

简单来说，柱面就是平行于同一直线的无数直线在三维空间中形成的曲面。

在数学上，柱面可以用方程表示，方程的形式与柱面的特性密切相关。

三、空间直角坐标系中柱面的一般方程1. 一般方程形式空间直角坐标系中柱面的一般方程形式为：Ax^2 + By^2 = 2Fxy + 2Gx + 2Hy + C其中A、B、F、G、H、C为常数，且A、B不全为零。

2. 方程的几何意义这一般方程实际上描述了一个二次曲面在空间中的形状。

当A、B、F、G、H、C都为实数时，这个方程表示了一个实数系数的二次曲面，它可以是一个椭圆柱面、双曲柱面或抛物柱面。

四、求解柱面的方程空间直角坐标系中的柱面方程可以通过以下步骤求解：1. 根据柱面的特性确定方程的一般形式。

2. 根据所给的条件，代入方程中的系数，得出准确的柱面方程。

五、实际应用空间直角坐标系中柱面的方程在实际生活中有许多应用。

在建筑设计中，通过对立体图形的分析，可以使用柱面方程来描述建筑物的柱状结构，在工程设计中也可以用柱面方程描述柱状物体的形状。

在数学建模中，柱面方程的求解可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。

六、总结空间直角坐标系曲面是柱面的方程是解析几何中的重要内容，通过理解柱面的定义和特性，我们可以掌握求解柱面方程的方法，并且了解柱面方程在实际应用中的意义。

在学习和应用解析几何的过程中，深入研究空间直角坐标系曲面是柱面的方程，对于提高数学建模和工程设计的能力也是十分有益的。

七、参考文献[1] 董西立.解析几何[M].北京:高等教育出版社,2006.[2] 高等数学教研组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2010.八、进一步探讨柱面的方程1. 柱面的参数方程除了一般方程外，柱面也可以用参数方程表示。

解析几何柱面课后习题答案解析几何柱面课后习题答案在学习解析几何柱面的课程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解答习题，我们可以巩固对柱面的理解，掌握相关的解题技巧。

本文将对几个典型的柱面习题进行解析，帮助读者更好地理解柱面的性质和应用。

习题一：已知柱面的母线方程为L: x = 2t, y = 3t, z = 4t，求柱面的方程。

解析：柱面的方程可以通过将母线方程中的参数t消去得到。

根据题目中的母线方程，我们可以得到x/y = 2/3，y/z = 3/4。

通过求解这两个方程，我们可以得到x:y:z = 8:6:9。

因此，柱面的方程为8x + 6y - 9z = 0。

习题二：已知柱面的母线方程为L: x = t, y = 2t, z = 3t，柱面上一点P的坐标为(1, 2, 3)，求点P到母线的距离。

解析：点P到直线的距离可以通过点到直线的公式来计算。

首先，我们需要求出柱面的母线的方向向量。

根据题目中的母线方程，我们可以得到方向向量为(1, 2, 3)。

接下来，我们可以使用点到直线的公式求解距离。

点P到母线的距离为d = |(P - L) × n| / |n|，其中×表示向量的叉乘，n为柱面母线的方向向量。

代入数值计算，我们可以得到点P到母线的距离为3/√14。

习题三：已知柱面的母线方程为L: x = t, y = 2t, z = 3t，柱面上一点P的坐标为(1, 2, 3)，求点P在柱面上的投影点坐标。

解析：点P在柱面上的投影点可以通过点到直线的公式来计算。

首先，我们需要求出柱面的母线的方向向量。

根据题目中的母线方程，我们可以得到方向向量为(1, 2, 3)。

接下来，我们可以使用点到直线的公式求解投影点坐标。

点P在柱面上的投影点坐标为P' = L + t * n，其中L为柱面的母线方程，n为柱面母线的方向向量。

代入数值计算，我们可以得到点P在柱面上的投影点坐标为(1, 2, 3)。

《解析几何》－Chapter 4§1 柱面cylinderContents一、柱面的概念二、柱面的方程三、柱面的判定定理四、空间曲线的射影柱面平面v222x y a+=zxy o圆柱面v那族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线.定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder ），定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线（directrix ），v准线准线母线v说明：柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.一、柱面的概念x zy 0准线母线准线v注:一般柱面的准线不惟一,可用一张不平行于母线的平面与柱面相交得到的交线为准线.1 柱面的一般方程Ⅰ 准线方程()()12,,0,,0F x y z C F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩：Ⅱ 母线l 的方向数：,,X Y Z普通方法1M vCl设M 1(x 1, y 1, z 1)为准线上任意一点,①写出母线族方程:111x x y y z z X Y Z---==②写出参数x 1, y 1, z 1的约束条件:(,,),(,,).1111211100F x y z F x y z =⎧⎨=⎩(,,)0F x y z =③消去参数x 1, y 1, z 1得一个三元方程:1 柱面的一般方程()()12,,0,,0F x Xt y Yt z Zt F x Xt y Yt z Zt ---=⎧⎪⇒⎨---=⎪⎩Ⅰ 准线方程()()12,,0,,0F x y z C F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩：Ⅱ 母线l 的方向数：,,X Y Z()()11112111,,0,,0F x y z F x y z =⎧⎪⇔=⎨⎪⎩分析：()1111 ,,M x y z C ∈∀11M CM l∈⎧⇔⎨∈⎩t=(),,0F x y z ⇒=1M vCl母线方程111x x y y z z X Y Z---==例1柱面的准线方程为，而母线的方向数是，求这柱面的方程.2222221222⎧++=⎪⎨++=⎪⎩x y z x y z ，1,0,1-解:设M 1(x 1, y 1, z 1)为准线上任意一点,111101x x y y z z ---==-(x 1, y 1, z 1为参数)且22211122211111222⎧++=⎪⎨++=⎪⎩,(),x y z x y z 为消参数x 1, y 1, z 1,可设111101x x t y y z z ---===-则111,,=+==-x x t y y z z t 代入(1)式得2222221222⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩()(),()(),x t y z t x t y z t 消去参数t ,并化简得所求柱面方程:22()1++=x z y 222210.+++-=x y z xz 即约束方程例2：已知圆柱面的轴为点(1,-2,1)在此圆柱面的方程.11,122x y z -+==--v 轴0(0,1,1)M -1(1,2,1)M -分析普通方法:关键:求圆柱面的准线(圆)方程.{,,},=--122v (,,)-0011M 圆柱面的轴:以M 0为球心, M 0M 1为半径的球面球面:平面:过点M 1为与轴垂直的平面()()()--+--=122210x y z ()()+-++=2221114x y z 圆柱面的准线方程:()()⎧+-++=2221114x y z =0114M M例1柱面的准线方程为，而母线的方向数是，求这柱面的方程.2222221222x y z x y z ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，1,0,1-例2已知圆柱面的轴为，点在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.11122x y z -+==--()1,2,1P -二、柱面的方程还有其它方法吗？vMr 轴圆柱面:设圆柱面的轴线为000---==x x y y z z X Y Z0000(,,)M x y z 其中:0000(,,)M x y z 为轴线上的定点,{,,}=v X Y Z 为轴线方向向量.(,,)M x y z 是圆柱面上任意点①0⨯⇔= M M vvr ①已知轴线及半径②已知轴线及柱面上一定点M 1②010M M v v v vM M ⨯⨯⇔==1111(,,)M x y z解:圆柱面的轴的方向向量:{1,2,2},v --=0(0,1,1)M -为轴上定点.(,,)M x y z 设是圆柱面上任意点,且点M 1(1,-2,1)在此圆柱面上,则点M 与点M 1在到轴的距离相等,即:001M M M M v vv v⨯⨯=010 M M M v v M ⇒⨯=⨯ kj i 1 1x y z -+1 -2 -2⇒k j i 1 3 2-1 -2 -2=⇒例2已知圆柱面的轴为，点在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.11122x y z -+==--()11,2,1M -12222=+by a x zxyo 椭圆柱面（直角坐标系）方程的形式与柱面的图形特征之间有联系吗？三、柱面的判定定理三、柱面的判定定理定理4.1.1在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。

解析几何中的柱面及其方程求解柱面是三维空间中一个非常重要的几何体，它由一条直线（直母线）和沿该直线平移的一条平面曲线（截面）形成。

在解析几何中，柱面发挥了非常重要的作用，是许多几何问题的基础。

本文将分别介绍柱面的基本概念和一般方程，以及如何利用方程求解柱面的截面等问题。

一、基本概念在三维空间中，一条通过直线L 的平面沿着该直线作无限平移，形成的几何体称为柱面。

一般来说，柱面由两个参数来确定：直母线上的一个点和它到直母线距离为 t 的点的轨迹（曲线），其中t 表示参数。

柱面的边界是直母线上的点和曲线两端的点。

当 t 取值范围在一定区间内时，曲线将描绘出柱面的一个部分。

如果该区间为 (-∞, +∞)，则曲线将描绘出柱面的整个部分。

二、一般方程在解析几何中，我们通常使用一般方程来描述柱面。

一般方程的形式如下：Ax + By = z^2其中 A、B、C 均为常数，x、y、z 分别表示三个坐标轴。

该方程描述的是一个沿着 y 轴的柱状物体。

如果 A、B、C 中只有两个非零项，那么该方程描述的是一个具有一定倾斜角度的柱状物体。

三、求解柱面截面求解柱面截面是解析几何中重要的问题之一。

我们可以通过一般方程来求解柱面的截面。

具体步骤如下：1、将一般方程表示为沿着 z 轴平移的方程。

经过平移后，方程变为 Ax + By - z^2 = 0。

2、设某一平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0，将它代入上式中，得到 Ax + By - (Cz + D)^2 = 0。

3、将上式中的 x 和 y 表示成 z 和一个参数 t 的形式，即：x =zx'，y = zy'，其中 x' 和 y' 为与 z 无关的实数。

方程变为 Az(x')^2 + Bz(y')^2 - (Cz + D)^2 = 0。

4、将上式移项，化为关于 x' 和 y' 的二次方程。

根据二次方程的解法，可以求得 x' 和 y' 的值。

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。

但是也可以研究一些非二次特殊曲面。

本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。

构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。

特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。

设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。

若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

柱面方程
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定义观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.C L 这条定曲线叫柱面的准线，
动直线叫柱面的母线.
C L 一、柱面的定义
只含y x ,而缺z 的方程0),(=y x F ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为xoy 面上曲线 C .
实例122
22=-b y a x 双曲柱面// 轴z
只含z y ,而缺x 的方程0),(=z y G ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面，其准线为yoz 面上曲线 C .
122
22=+c z b y 椭圆柱面// 轴x 实例
只含z x ,而缺y 的方程0),(=z x H ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线为zox 面上曲线 C .
pz x 22=抛物柱面//
轴y 实例
x
o
z
y
x
o
z
y
x
y2
2=
抛物柱面
x
y=
平面
三、常见的柱面及其方程
x
o
z
y
1
2
2=
+y
x
圆柱面
四、小结
柱面的概念(母线、准线).
柱面方程的特点( 缺).。