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一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性带有非局部项的Allen-Cahn方程是一类重要的非线性偏微分方程，研究它的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将介绍关于带非局部项的Allen-Cahn方程解存在性的一些主要研究工作和结果。
Allen-Cahn方程是一个经典的描述相分离现象的模型，它在物理、化学、材料学等领域中具有广泛的应用。
方程的基本形式为：ε²∆u-f(u)+λ∇W*u=0(1)其中，u(x)是未知函数，表示时间和空间变量，ε是小的正数，f(u)是一个给定的非线性函数，λ是常数，∆是拉普拉斯算子，W是一个权重核算子，*表示卷积操作。
带有非局部项的Allen-Cahn方程是在经典Allen-Cahn方程的基础上引入了非局部项的一个扩展。
非局部项代表了系统中物质的非局部相互作用，可以更好地描述物质的长程相互作用和相界面的形成过程。
关于带有非局部项的Allen-Cahn方程解的存在性的研究工作主要集中在两个方面，一个是存在性的充分条件，另一个是存在性的证明方法。
首先，对于存在性的充分条件，很多学者通过构造合适的能量函数，证明了一些条件下带有非局部项的Allen-Cahn方程存在解。
其中一个经典的充分条件是“能量估计”，也称为Ginzburg-Landau能量估计。
根据能量估计，当能量的衰减速度快于等于非局部项的增长速度时，方程存在解。
此外，还有学者通过研究方程的动力学行为，证明了带有非局部项的Allen-Cahn方程的解存在。
其次，关于存在性的证明方法，主要有两类。
一类是基于变分方法的证明方法，另一类是基于解的连续性的证明方法。
变分方法是一种广泛应用的证明方法，它通过构造适当的变分问题，证明了方程的解存在。
而基于解的连续性的证明方法则是先证明该方程的解存在于一定的函数空间中，然后通过限制序列的紧性，得到方程的解存在。
在具体的研究中，学者们从不同的角度出发，针对不同类型的非局部项，展开了许多具体的研究。
第３７卷第３期２０２３年５月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３７N o ．３M a y ２０２３收稿日期:２０２２Ｇ１０Ｇ２６基金项目:辽宁省教育厅高校科研项目资助(L J KM Z ２０２２０８３２)作者简介:尉子璇(１９９７Ｇ),女,山西大同人,在读硕士,研究方向:偏微分方程．E Ｇm a i l :z i x u a n １８２４３５２５１７６＠１６３．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２３)０３Ｇ００１４Ｇ０７具有H e s s i o n 项的一类四阶抛物问题解的存在性尉子璇,梁㊀波,金桂芹(大连交通大学理学院,辽宁大连１１６０２８)摘要:外延生长理论中部分数学模型的宏观描述是可以由一类具有H e s s i o n 项和热源函数项的四阶抛物型方程给出．重点研究在D i r i c h l e t 边界条件下,关于具有和不具有H e s s i o n 项这两种情形解的存在性问题．在一定初始数据以及有关参数适当的情况下,先后利用G a l e r k i n 方法和不动点方法证明该问题解的存在性,并且给出解的存在空间．关键词:四阶抛物方程;解的存在性;不动点定理;G a l e r k i n 方法中图分类号:O １７５．２６㊀㊀㊀文献标志码:AE x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o r aC l a s s o fF o u r t h ＧO r d e rP a r a b o l i cP r o b l e m sw i t hH e s s i o nT e r mY UZ i Ｇx u a n ,L I A N GB o ,J I N G u i Ｇqi n (S c h o o l o f S c i e n c e ,D a l i a n J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,D a l i a n１１６０２８,L i a o n i n g,C h i n a )A b s t r a c t :T h em a c r o s c o p i c d e s c r i p t i o no f s o m em a t h e m a t i c a lm o d e l s i n e p i t a x i a l gr o w t h t h e o Ｇr y c a nb e g i v e nb y ac l a s so f f o u r t h Ｇo r d e r p a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t h H e s s i o nt e r m a n dh e a t s o u r c e f u n c t i o n t e r m．T h i s p a pe rf o c u s e s o n t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n sw i t h a n dw i t h o u tH e s Ｇs i o nu n d e rD i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s ．U n d e r c e r t a i n i n i t i a l d a t aa n da p p r o pr i a t e p a r a m e Ｇt e r s ,G a l e r k i nm e t h o d a n d f i x e d Ｇp o i n tm e t h o d a r eu s e ds u c c e s s i v e l y t o p r o v e t h e e x i s t e n c eo f t h e s o l u t i o n f o r t h e p r o b l e m ,a n d t h e e x i s t e n c e s pa c e o f t h e s o l u t i o n i s g i v e n ．K e y wo r d s :f o u r t h Ｇo r d e r p a r a b o l i ce q u a t i o n ;e x i s t e n c eo f s o l u t i o n ;f i x e d Ｇp o i n t t h e o r y ;G a l e r Ｇk i nm e t h o d0㊀引言材料在高度真空条件下可以发生外延生长,即新材料沉积在相同材料的现有层上．这项技术可以用于半导体工业中薄膜的生长,其晶体结构可能由纯化学元素如硅或锗组成,也可能由砷化镓或磷化铟等合金组成．原子在分子束外延的情况下,原子沉积的速度非常缓慢．随着科学技术的发展,大家对外延生长问题产生了极大兴趣．外延技术在大规模集成电路中对于改善材料质量等方面起着重要作用,因而研究外延生长问题解的存在性具有重要意义．众所周知,外延生长的生长界面是用关于u的偏微分方程来描述的,K a r d a r Ｇp a r s i Ｇz h a n g 方程及后引入的K a r d a Ｇp a r i s i Ｇz h a n g 方程就是当时的研究成果．文献[１]研究了椭圆型方程－Δu ＝Ñu ２＋λf x ()解的存在性．文献[２Ｇ４]中描述了非平衡表面生长理论,给出了合理描述外延生长的方程:∂t φ＝k １d e t D ２φ()－k ２Δ２φ＋ξx ,t ()．(１)文献[５]研究了外延生长的奇异边值问题．文献[６]讨论的是方程(１)的另一个版本,方程为Δ２Φ＝d e t D ２Φ()＋λF ．(２)这是一个四阶椭圆型方程,它通过对场和坐标进行简单的缩放,去掉了方程中的常数项,其中F x ()与时间无关,λȡ０,F x ()ȡ０,并且讨论了(２)解的存在性．此外,文献[７Ｇ８]对外延生长有更合理的描述:u t ＋Δ２u ＝d e t D ２u ()＋λf ,㊀㊀x ,t ()ɪΩˑ０,T ();u ＝∂u∂ν＝０,x ,t ()ɪ∂Ωˑ０,T ();u x ,０()＝u ０x (),x ɪΩ．ìîíïïïïïï(３)其中:Ω⊂R ２为具有光滑边界的有界开区域;λɪR 且关于时间与空间的函数f 及初始条件u ０x ()都属于适当的S o b o l e v 空间．E s c u d e r o 等着重讨论了方程u ＋Δ２u ＋d e t (D ２u )＋λf在D i r i c h l e t 边界条件下的情形．证明了在任意时间间隔和数值较小的u ０x ()和λ条件下,或较小时间间隔和任意的u ０x ()和λ条件下解的存在性．文献[９Ｇ１０]研究了如下抛物型方程:u t ＋Δ２u ＝d e t D ２u (),㊀㊀x ,t ()ɪΩˑ０,T (),u ＝∂u∂ν＝０,x ,t ()ɪ∂Ωˑ０,T (),u x ,０()＝u ０x (),x ɪΩ．ìîíïïïïïï(４)其中,Ω⊂R２为具有光滑边界的有界开区域,初始条件u ０ɪH ２０Ω()．且在J u ０()＞d 的条件下讨论了解的存在性．在文献[１１Ｇ１３]中对于外延生长的抛物问题的爆破也进行了一些研究和探讨．本文研究的是一类具有H e s s i o n 项和热源函数项的四阶抛物型方程:u t ＋Δ２u －Δu ＝d e t D ２u ()＋λf ,㊀㊀x ,t ()ɪΩˑ０,T (),u ＝∂u ∂ν＝０,x ,t ()ɪ∂Ωˑ０,T (),u x ,０()＝u ０x (),x ɪΩ．ìîíïïïïïïï(５)其中:Ω⊂R ２为具有光滑边界的有界开区域;ν＝ν１,ν２()为单位外法向量;f 是依赖于空间和时间的函数;初始条件０ɤu ０x ()ɪH ２０Ω(),且u ０≢０．本文主要研究在具有扩散作用下以及适当的初边值条件下,问题(５)解的存在性以及解的存在空间．1㊀解的存在性为证明(５)解的存在性,本节证明了方程右侧为一般函数时解的存在性．考虑如下线性问题:u t ＋Δ２u －Δu ＝f ,x ,t ()ɪΩˑ０,T (),u ＝∂u∂ν＝０,x ,t ()ɪ０,T (),u x ,０()＝u ０x (),x ɪΩ．ìîíïïïï(６)定理１㊀设f ɪL ２０,T ;L ２Ω()(),u ０ɪH ２０Ω(),那么在空间C ０,T );H ２０Ω()[()ɘL ２０,T ;H ４(Ω)()ɘH １０,T ;L ２Ω()()(７)中问题(６)存在唯一的弱解．此外,解u ＝x ,t ()满足:s u p ０ɤt ɤTΔu ２２＋ʏT０Δ２u ２２＋ʏT０u t２２－ʏT０ÑΔu ２２ɤC Δu ０２２＋ʏT０f ２２()．(８)证明㊀拟利用G a l e r k i n 方法来证明该抛物型问题解的存在性．设s k {}k ȡ１⊂H ２０Ω()是在D i r i c h l e t 条件下算子Δ２的特征函数的标准正交完备系,用λk {}表示相应的特征值序列．定义S k ＝s p a n s １, ,s k {},k ȡ１,用 , ()２和 , ()分别表示L ２Ω()和H ２０Ω()的标量积．令u k０＝ðki ＝１u ０,s i ()２s i ＝ðki ＝１λi－１u ０,s i ()s i ,并且在H ２０Ω()中,有u k０ңu ０(k ң¥)．考虑如下问题:u ᶄt (),ν()２＋Δu ,Δν()＋Ñu ,Ñν()＝f ,ν(),u ０()＝u k ０．{(９)第一步:构造逼近解令u k t ()＝ðk i ＝１c ki t ()s i ,对于任意１ɤi ɤk ,要求满足:c k i t ()()ᶄ＋λi c k i t ()＋λi c k i t ()＝f ,s i ()２,c ０i ０()＝u k ０,s i ()２．{(１０)５１第３期尉子璇等:具有H e s s i o n 项的一类四阶抛物问题解的存在性则(９)存在唯一解c k i t (),使得c k i ɪH １０,T (),且u k ɪH １０,T ,S k ()．其中Δ２u k t ()＝ðki ＝１λi s i ɪS k ,Δu k t ()＝ðki ＝１c ki t ()λi s i ɪS k ．第二步:估计逼近解以ν＝Δ２u k t ()作为问题u ᶄt (),ν()２＋Δu ,Δν()＋Ñu ,Ñν()＝f ,ν(),u ０()＝u k ０{(１１)的检验函数,有u ᶄt (),Δ２u k t ()()２＋Δu ,ΔΔ２u k t ()()()＋Ñu ,ÑΔ２u k t ()()()＝f ,Δ２u k t ()(),化解得１２dd tΔu k t () ２２＋１２Δ２u k t () ２２＋ ÑΔu k t () ２２＝f t (),Δ２u k t ()(),在０,t ()上积分,可得 u k t () ２－ u k ０ ２＋ Δ２u k ２L ２０,t ;L ２Ω()()＋２ ÑΔu k t () ２L ２０,t ;L ２Ω()()＝ʏt ０f t (),Δ２u kt ()()ɤʏt０c f s () ２２＋１２u ２H ４Ω()æèçöø÷,因此u k ２L ¥０,T ;H ２０Ω()()＋１２u k ２L ２０,T ;H ４Ω()()ɤu k ０ ２＋c f ２L ２０,T ;L ２Ω()()．(１２)由于序列u k ０{}在H ２０Ω()中有界,因而可得u k {}在L ¥０,T ;H ２０Ω()()ɘL ２０,T ;H ４Ω()()中有界,提取一个子序列,仍用u k {}表示,进而有u k∗ңu ,在L ¥０,T ;H ２０Ω()(),u k ңu ,在L ２０,T ,H ４Ω()()．{(１３)此外,由于u kᶄ＝－Δ２u k ＋Δu k ＋f 在弱意义上也有u kᶄɪL ２０,T ;L ２Ω()(),那么在空间L ２０,T ;L ２Ω()()中也有u k ᶄ⇀u ᶄ,故u ɪL ¥０,T ;H ２０Ω()()ɘL ２０,T ;H ４Ω()()ɘH １０,T ;L ２Ω()(),(１４)通过L ２０,T ;H ４Ω()()和H １０,T ;L ２Ω()()之间的插值,可以得u ɪC ０,T [);H ２０Ω()(),问题(６)解的存在性得证．此外,利用分部积分可得１２d d tΔu ２２＋ Δ２u ２２－ ÑΔu ２２＝Δ２u ,f ()ɤε２ Δ２u ２２＋１２εf ２２,(１５)进而有s u p ０ɤt ɤTΔu ２２＋ʏT ０Δ２u２２－ʏT ０ÑΔu ２２ɤcʏT ０Δu ０２２＋ʏT ０f ２２()．对任意函数νɪL ２Ω(),有ν,u t ()２＋ν,Δ２u ()２－ν,Δu ()２＝ν,f ()２,t ɪ０,T ()．因而ν,u t ()２ɤ f ２ν ２＋ Δ２u ２ ν ２＋ ν ２ Δu ２,综上可得ʏT ０u t ２２ɤcʏT ０Δ２u ２２＋ʏT０f ２２()．(１６)2㊀解的存在空间本节讨论当方程(６)右侧具有H e s s i o n 项时,该抛物问题解的存在空间问题．定理２u t ＋Δ２u －Δu ＝d e t D ２u ()＋λf ,㊀㊀在Ωˑ０,T (),u ＝∂u∂ν＝０,在∂Ωˑ０,T (),u x ,０()＝u ０x (),在Ωˑ０,T ()．ìîíïïïïïï(１７)当定理(２)满足下列条件之一:(１)u ０ɪH ２０Ω(),f ɪL ２０,T ;L ２Ω()(),λɪR 且T ＞０是足够小;(２)T ɪ０,¥(),f ɪL ２０,T ;L ２Ω()(),其中 u ０ 和λ都是足够小．那么该问题则在空间BB :＝C ０,T [);H ２０Ω()()ɘ６１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷L ２０,T ;H ４Ω()()ɘH １０,T [);L ２Ω()()(１８)中具有唯一的解．若０,T ∗[)表示u 的最大存在区间,当t ңT ∗时,有 ut() ң¥．证明㊀对于u ɪH ４Ω(),根据H öl d e r 不等式,有d e t D ２u () ２２＝ʏΩu x x u y y －u x y ()２２d x ɤCʏΩD ２u ４d x ɤCʏΩD ２u ２d x D ２u２L ¥Ω()ɤC Δu ２L ¥Ω() Δu ２２ɤC Δ２u ２２ Δu ２２．因此,若u ɪC ([０,T );H ２(Ω))ɘL ２(０,T ;H ４(Ω)),则有 d e t D ２u () ２L ２０,T ;L ２Ω()()ɤCʏT ０Δ２u ２２ Δu ２２ɤC s u p ０ɤt ɤTΔu ２２ʏT ０Δ２u ２２＜¥．(１９)接下来拟构建不动点框架．考虑如下问题:u １()t ＋Δ２u １－Δu １＝㊀㊀d e t D ２ν１()＋λf ,㊀㊀u １x １,０()＝u ０x (),u ２()t ＋Δ２u ２－Δu ２＝㊀㊀d e t D ２ν２()＋λf ,㊀㊀u ２x １,０()＝u ０x ()．ìîíïïïïïïïï(２０)其中ν１,ν２ɪB ．由定理１及u ɪC ０,T [);H ２Ω()()ɘL ２０,T ;H ４Ω()()得d e t D ２u ()ɪL ２０,T ;L ２Ω()(),(２１)表明u １,u ２ɪB ．将(２０)中两式相减,得u １－u ２()t ＋Δ２u １－u ２()－Δu １－u ２()＝㊀㊀d e t D ２ν１()－d e t D ２ν２(),u １－u ２()x ,０()＝０．ìîíïïïï(２２)将(２２)两端同时乘以Δ２u １－u ２()并积分,可得ʏΔ２u １－u ２()u １－u ２()t ＋Δ２u １－u ２()Δ２u １－u ２()[]＋ʏΔu １－u ２()[]３＝ʏd e t D ２ν１()－d e t D ２ν２()[]Δ２u １－u ２()．进而Δ２u １－u ２(),u １－u ２()t ()２＋Δ２u １－u ２(),Δ２u １－u ２()()２－Δu １－u ２(),Δ２u １－u ２()()２＝Δ２u １－u ２(),d e t D ２ν１()－d e t D ２ν２()()２．可得不等式dd tΔu １－u ２() ２２＋ Δ２u １－u ２() ２２＋２ ÑΔu １－u ２() ２２ɤd e t D ２ν１()－d e t D ２ν２() ２２．(２３)证明的其余部分分为三个步骤进行．步骤一:解的局部存在性先估计d e t D ２ν１()－d e t D ２ν２()＝ν１()x x ν１()x y ν１()y xν１()y y－ν２()x x ν２()x y ν２()y xν２()y y＝ν１－ν２()x xν１－ν２()x y ν１()y x ν１()y y＋ν２()x x ν２()x y ν１()y xν１()y y－ν２()x x ν２()x y ν２()y x ν２()y y＝ν１－ν２()x xν１－ν２()x yν１()y x ν１()y y ＋ν２()x xν２()x yν１－ν２()y xν１－ν２()y y＝ν１－ν２()x x ν１()y y －ν１－ν２()x y ν１()y x ＋ν２()x x ν１－ν２()y y －ν２()x y ν１－ν２()y x ɤC D ２ν１－ν２()D ２ν１＋C D ２ν１－ν２()D ２ν２ɤC D ２ν１－ν２()D ２ν１＋D ２ν２()．因而有 d e t D ２ν１()－d e t D ２ν２() ２２ɤCʏΩD ２ν１－ν２()２D ２ν１＋D ２ν２()２ɤC Δν１ ２¥＋ Δν２ ２¥() Δν１－ν２() ２２ɤC Δ２ν１ ２２＋ Δ２ν２ ２２() Δν１－ν２() ２２．(２４)结合(２３)可得７１第３期尉子璇等:具有H e s s i o n 项的一类四阶抛物问题解的存在性dd tΔu １－u ２() ２２＋ Δ２u １－u ２() ２２＋２ ÑΔu １－u ２() ２２ɤC Δ２ν１ ２２＋ Δ２ν２ ２２() Δν１－ν２() ２２．(２５)将上式关于时间变量积分可得s u p ０ɤt ɤTΔu １－u ２() ２２＋ʏT ０Δ２u １－u ２() ２２＋２ʏT ０ÑΔu １－u ２() ２２ɤC s u p ０ɤt ɤTΔν１－ν２() ２２ʏT ０Δ２ν１２２＋ Δ２ν２ ２２()．(２６)现考虑对于ωɪL ２Ω(),有ω,u １－u ２()t ()２＋ω,Δ２u １－u ２()()２－ω,Δu １－u ２()()２＝ω,d e t D ２ν１()－d e t D ２ν２()()２．因而有ω,u １－u ２()t ()２ɤω ２ Δ２u １－u ２() ２＋ω ２ Δu １－u ２() ２＋ω ２ d e t D ２ν１()－d e t D ２ν２() ２．由于ωɪL ２Ω(),且取ω的上确界使得 ω ２＝１,因而可得s u p ωω,u １－u ２()t ()２ɤ Δ２u １－u ２() ２＋ Δu １－u ２() ２＋d e t D ２ν１()－d e t D ２ν２() ２．(２７)结合(２５)可得s u p ωω,u １－u ２()t ()２－ Δ２u １－u ２() ２－Δu １－u ２() ２ɤC Δ２ν１ ２２＋ Δ２ν２ ２２() Δν１－ν２() ２２．因而有u １－u ２()t ２２ɤC [Δ２u １－u ２() ２２＋Δ２ν１ ２２＋ Δ２ν２ ２２() Δu １－u ２() ２２＋Δu １－u ２() ２]．结合(２３)可得s u p ０ɤt ɤTΔu １－u ２() ２２＋T ０Δ２u １－u ２()２２＋ʏT ０ u １－u ２()t ２２＋２ʏT ０ÑΔu １－u ２()２２ɤC s u p ０ɤt ɤTΔu １－u ２() ２２ʏT ０Δ２ν１ ２２＋ Δ２ν２ ２２()．(２８)在空间B 上定义范数:u ２B ＝s u p ０ɤt ɤTΔu ２２＋ʏT ０Δ２u ２２＋ʏT ０u t ２２．(２９)因而可将(２５)表示为 u １－u ２ ２B ɤC s u p ０ɤt ɤTΔu １－u ２() ２２ʏT ０Δ２ν１ ２２＋ Δ２ν２ ２２()．两边开根号得u １－u ２ B ɤC s u p ０ɤt ɤTΔu １－u ２() ２ ʏT ０Δ２ν１２２＋ Δ２ν２ ２２()１２ɤCʏT ０Δ２ν１２２＋ Δ２ν２ ２２()１２[] ν１－ν２A．(３０)现在考虑线性问题的唯一解u l :u l ()t ＋Δ２u l －Δu ＝λf 具有与定理２相同的边界和初始条件．定义球域:B ρ＝u ɪB : u －u l A ɤρ{}．由(３０)可得 u i －u l B ɤcʏT ０Δ２νi２２()１２νi B ɤcνi ２B ,(３１)其中i ＝１,２．利用三角不等式 νi B ɤ νi －u l B ＋ u l B及u l ２B ɤc Δu ０ ２２＋λ２ʏT ０f ２２()＝c τρ,u ０,λ,f ()(３２)可得u i －u l B ɤc ρ２＋ Δu ０ ２２＋λ２ʏT ０f ２２(),因而u i －u l A ɤρ,对于足够小的ρ,λ和 Δu ０ ２．８１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷结合(３１)及(３２)可将 u １－u ２ B ɤC[ʏT ０( Δ２ν１２２＋ Δ２ν２２２)１２] ν１－ν２B转换为u １－u ２ B ɤC τρ,u ０,λ,f ()１２ν１－ν２ B ．(３３)对于足够小的ρ,λ和 Δu ０ ２,有 u １－u ２ B ɤ１２ν１－ν２ B ．(３４)步骤二:局部存在性由G a g l i a r d o ＧN i r e n b e r g 不等式有Δνi ¥ɤc Δνi １４２ ÑΔνi ３４３．由(２５)及嵌入定理得dd tΔu １－u ２() ２２＋ Δ２u １－u ２() ２２＋２ ÑΔu １－u ２() ２２ɤc (Δν１ １２２ ÑΔν１ ３２３＋Δν２ １２２ ÑΔν２ ３２３) Δν１－ν２() ２２,进而得dd tΔu １－u ２() ２２＋ Δ２u １－u ２() ２２＋２ ÑΔu １－u ２() ２２ɤc (Δν１ １２２ Δ２ν１ ３２２＋Δν２ １２２ Δ２ν２ ３２２) Δν１－ν２() ２２．故s u p ０ɤt ɤTΔu １－u ２() ２２＋ʏT ０ Δ２u １－u ２() ２２＋２ʏT ０ÑΔu １－u ２() ２２ɤc s u p ０ɤt ɤTΔν１－ν２() ２２(s u p ０ɤt ＜TΔν１１２２ʏT０Δ２ν１３２２＋s u p ０ɤt ＜TΔν２ １２２ʏT ０Δ２ν２３２２),利用H öl d e r 不等式得s u p ０ɤt ɤTΔu １－u ２() ２２＋ʏT ０ Δ２u １－u ２() ２２＋２ʏT ０ÑΔu １－u ２() ２２ɤc T １４s u p ０ɤt ＜TΔν１－ν２() ２２(s u p ０ɤt ＜TΔν１１２２ʏT０Δ２ν１２２()３４＋s u p ０ɤt ＜TΔν２ １２２ʏT０Δ２ν２ ３２２()３４)．按照上述估计可得u １－u ２ B ɤC T １４ ν１－ν２ B ˑ[s u p ０ɤt ＜TΔν１１２２ʏT ０Δ２ν１２２()３４＋s u p ０ɤt ＜TΔν２ １２２ʏT０Δ２ν２２２()３４]１２,因此u ２－u l B ɤC T １４τρ,u ０,λ,f ()．(３５)当T 足够小时, u ２－u l B ɤρ．此外有u １－u ２ B ɤC T １４τρ,u ０,λ,f ()１２ν１－ν２ B ．当T 足够小时,有u １－u ２ B ɤ１２ν１－ν２ B ．因而建立不动点定理框架成立,M :B ６ңB ６,νi a u i i ＝１,２()．{(３５)已经发现T －＝T －λ, u ０ (),因此该不等式对t ＜T －成立,定理１在０,T [)上有唯一解．步骤三:延拓利用反证法来证明．假设０,T ∗[)且T ∗＜¥是解的最大延拓区间,并且有l i mi n f t ңT∗ut () ＝γ＜¥,则存在一个序列t n {},使得t n ңT ∗,并且对于足够大的n ,有 ut n () ＜２γ．令n 足够大,那么有t n ＋T －λ,２γ()＞T ∗．然而步骤二说明了解在T ∗之后仍然存在,因此矛盾．3㊀结语本文主要研究的是在D i r i c h l e t 边界条件下,具有或不具有H e s s i o n 项时解的存在性问题,通９１第３期尉子璇等:具有H e s s i o n 项的一类四阶抛物问题解的存在性过G a l e r k i n方法证明了不具有H e s s i o n项的抛物问题解的存在性,并为证明问题(５)解的存在性做了准备工作．在第三节证明了在具有扩散作用且合适的初边值条件下,给出具有H e s s i o n项的问题(５)解的存在空间,且利用不动点方法证明了解的存在性．今后拟进一步研究的问题:问题(５)解的存在性以及该问题解的爆破问题．可以考虑在解决一般扩散项问题时,是否可以沿用目前的方案进行研究．参考文献:[１]A B D E L L A O U I B,D A L L A G L I O A,P E R A LI．S o m e r e m a r k so ne l l i p t i c p r o b l e m s w i t hc r i t i c a l g r o w t hi n t h e g r a d i e n t[J]．J o u r n a lo f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,２００６,２２２(１):２１Ｇ６２．[２]E S C U D E R O C,HA K L R,P E R A LI,e t a l．O nr a d i a 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西南交通大学硕士学位论文一类具有非线性阻尼项和力源项的四阶波动方程的初边值问题姓名：牟佩红申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20041101西南交通大学硕士研究生学位论文第１页摘要本文在梁方程的基础上研究了一类具有非线性阻尼项和力源项的四阶波动方程的初边值问题。
从Ｓｏｂｏｌｅｖ空间的重要定理——嵌入定理入手，利用半群理论证明了ｍｉｌｄ解的局部存在性。
在非线性阻尼项的影响强于力源项时，引进了修改的能量函数并结合连续性原理，证明了局部ｍｉｌｄ解可延拓为整体解。
本文还研究了非线性阻尼项和力源项对解的爆破行为的影响。
选择初始能量满足一定条件，且阻尼项的影响弱于力源项时，利用补偿能量的方法证明了解在有限时间发生爆破，并得到爆破时问跨度的上界。
知道了解的爆破以后，我们可根据解的爆破性态来判断相应的物理模型或者所归结的数学模型是否存在问题。
此外，本文依据势井理论，通过构造稳定集，利用能量方法证明了整体解的能量衰减估计。
关键ｉａ，半群；无穷小生成元；局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件；阻尼项和力源项；爆破西南交通大学硕士研究生学位论文第１Ｉ页ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ·ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｋｉｎｄｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄａｍｐｉｎｇａｎｄｓｏｕｒｃｅｔｅｒｍｓｉｓｓｔｕｄｉｅｄｏｎｔｈｅｂａｓｅｏｆＢｅａｍＥｑｕａｔｉｏｎ．ＢｙｕｓｉｎｇｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｈｅｏｒｅｍｏｆｔｈｅＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅ（ｅｍｂｅｄｄｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍ）ａｎｄｔｈｅｓｔａｎｄａｒｄｓｅｍｉ－ｇｒｏｕｐｔｈｅｏｒｙ，ｌｏｃａｌｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅｍｉｌｄｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｐｒｏｖｅｄ．Ｗｈｅｎｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｄａｍｐｉｎｇｔｅｒｍｉｓｓｔｒｏｎｇｅｒｔｈａｎｔｈｅｓｏｕｒｃｅｔｅｒｍ，Ｂｙｕｓｉｎｇｍｏｄｉｆｉｅｄｅｎｅｒｇｙｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅｍｉｌｄｓｏｌｕｔｉｏｎｃａｒｌｂｅｒｅｔａｒｄｅｄｔｈｅｇｌｏｂａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ。
两类具阻尼的四阶波动方程初边值问题的研究本文研究了两类具强阻尼及弱阻尼的四阶波动方程解的整体适定性.第二章中,我们研究了一类具强阻尼及非线性弱阻尼的四阶波动方程的初边值问题.首先,运用位势井理论构造几个能量泛函,给定一些预备引理,运用Galerkin方法得到低初始能量下整体强解的存在性及唯一性.进一步地,我们得到了在临界情况下弱解的整体存在,渐近行为和爆破.第三章中,我们讨论了一类具强阻尼及线性弱阻尼的四阶粘弹性波动方程的弱解的整体存在性及爆破的问题.本章通过建立问题的变分结构,得到了位势井深度值.运用Galerkin方法构造该系统低初始能量情况下的近似解并估计该近似解的有界性,从而得到弱解的整体存在性.接下来,利用凹函数方法证明弱解在有限时间爆破.在此基础上,我们通过定义新的条件及辅助函数得到临界及高初始能量情况下的不变集合,从而将此结论拓展到临界及高能的情况.。
