下载文档原格式
高等数学考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = \sin(x) \)答案：B2. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. \(\infty\)D. -1答案：B3. 以下哪个积分是发散的？A. \(\int_0^1 \frac{1}{x^2} dx\)B. \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx\)C. \(\int_0^1 \frac{1}{x} dx\)D. \(\int_1^\infty \frac{1}{x} dx\)答案：C4. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是什么？A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( \ln(e) \)D. \( 1 \)答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}\)答案：C6. 函数 \( y = \ln(x) \) 的二阶导数是什么？A. \( \frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{1}{x} \)C. \( -\frac{1}{x} \)D. \( -\frac{1}{x^2} \)答案：A7. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = e^x \)B. \( f(x) = \sin(x) \)C. \( f(x) = x^2 \)D. \( f(x) = \ln(x) \)答案：B8. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^3 \)B. \( f(x) = x^2 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：D9. 函数 \( y = x^2 \) 的不定积分是什么？A. \( \frac{x^3}{3} \)B. \( \frac{x^2}{2} \)C. \( \frac{x^3}{2} \)D. \( \frac{x^4}{4} \)答案：A10. 以下哪个函数是单调递增的？A. \( f(x) = e^{-x} \)B. \( f(x) = \ln(x) \)C. \( f(x) = -x^2 \)D. \( f(x) = x^3 \)答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是 ________。
高等数学考试题库和答案一、选择题1. 极限的定义是（）。
A. 函数在某点的增量B. 函数在某点的导数C. 函数在某点的值D. 函数在某点的无穷小变化答案：D2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4在x = 1处的导数是（）。
A. 6B. 2C. 5D. 4答案：C3. 曲线y = x^3 - 3x + 1在x = 1处的切线斜率是（）。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A4. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是（）。
A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B5. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题6. 函数f(x) = 2x + 3在x = 2处的值是_________。
答案：77. 极限lim(x→0) (1 + x)^(1/x)的值是_________。
答案：e8. 函数f(x) = x^2的二阶导数是_________。
答案：29. 曲线y = e^x在x = 0处的切线方程是_________。
答案：y = x + 110. 定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx的值是_________。
答案：1三、解答题11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5在区间[0, 3]上的极值点。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1, 3。
检查二阶导数f''(x) = 6x - 12，f''(1) = -6 < 0，所以x = 1是极大值点；f''(3) = 6 > 0，所以x = 3是极小值点。
12. 求曲线y = ln(x)绕x轴旋转一周所形成的立体的体积。
解：使用圆盘法，体积V = ∫(1 to e) π[ln(x)]^2 dx。
共 8 页 第 1 页07-08-3期末高数B 08.6.20一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分3 6分)1. 幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 ； 2. 设222()z y f x y =+-，其中()f u 可微， 则yzx x z y∂∂+∂∂= ； 3. 曲线224x y z z x y ++=⎧⎨=+⎩在点(1,1,2)处的法平面方程是 ； 4. 设C 为曲线22241x y z z z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分ds z y x c222++⎰= ；5. 交换二次积分的次序⎰⎰--xx x dy y x f 2222),(dx = ；6.三次积分12220d )d x y x y z z ++⎰⎰⎰的值是 ；7. 散度()3(2,0,)div cos(2)x y y z π+-+=i j k ；8. 已知第二型曲线积分4124(4)d (65)d Bn n Ax xy x x y y y -++-⎰与路径无关，则n = ；9.平面5431x y z ++=被椭圆柱面22491x y +=所截的有限部分的面积为 . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．设(,)z z x y =是由方程1xy yz xz ++=所确定的隐函数，0x y +≠，试求2zx y∂∂∂.共 8 页 第 2 页11．计算二重积分2()d d Dx y x y +⎰⎰，其中区域{}22(,)24D x y y x y y =≤+≤.12．设立体Ω由曲面2221x y z +-=及平面0,z z ==围成，密度1ρ=，求它对z 轴的转动惯量.13. 计算曲面积分d S z ∑⎰⎰，∑为球面2222x y z R ++=上满足0h z R <≤≤的部分.共 8 页 第 3 页三（14）．（本题满分8分）求函数22(,)f x y x x y =-- 在区域{}22(,)21D x y x y =+≤上的最大值和最小值.四（15）。
高等数学试卷及参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
1．当0→x 下列变量中为无穷大量的是A ．xe 1B ．xe1-C ．()21ln 2x x+-D. 21cosx 2．设()xxkx x x x 3sin lim1lim 02→→=-，则常数k 的值为A ．2ln 31B ．-2ln 31C ．3ln 21D ．-3ln 213．设函数)(x f 在区间),0[+∞上存在二阶导数，且)()(x f x f ''<'，则xx f e )('在区间),0[+∞ 上A ．单调减少B ．单调增加C ．是常数D ．既不单调增加也不单调减少4．设曲线)(x f y =过原点，且该曲线在点()()x f x ,处的切线斜率为x 2-，则()=-→22limx x f x A ．-4 B ．-2 C ．0D ．45．设函数()x f 在区间],[b a 上可导，且方程()x f =0在区间()b a ,内有两个不同的实根，则方程()x f '=0在()b a ,内 A ．没有根B ．只有一个根C ．有两个根D ．根的个数不能确定6．已知xx e 为()x f 的一个原函数，则()⎰='10d x x f xA ．e 1-B ．e 2C ．eD ．-e7．直线10221-=-=+zy x 与平面0524=++-z y x 的位置关系为 A ．平行B ．直线在平面内C ．垂直D ．相交但不垂直8．广义积分=+⎰∞+-1xx ee dxA ．e arctan π-B ．e arctan π21- C ．0D ．∞+9．在空间直角坐标系中，方程z y x =+2222表示的图形为A ．椭球面B ．抛物面C ．锥面D ．柱面10．设函数()x f y = 是方程042=+'-''y y y 的一个解，若()00>x f ，且()00='x f ，则函数()x f 在点0xA ．取得极大值B ．取得极小值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分，把答案填在题中横线上.11．设常数0>a ，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≥+=0,0,2cos x x x a a x x x x f 在0=x 连续,则=a12．已知()21='f ，则()()=--+→hh f h f h 22131lim 0 13．由曲线4=xy 与直线0,4,1===y x x 所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为14．设函数()y x z z ,=由方程02=++ze x yz 确定,则全微分=dz15．设向量→→+b a 3 垂直于向量→→-b a 57，且向量→→-b a 4 垂直于向量→→-b a 27，则向量→a 与→b 的夹角为16 .交换积分次序：()⎰⎰4020d ,d x y y x f x =三、解答题:本大题共8小题,共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
教材高等数学b试题及答案为了帮助学生更好地掌握高等数学B课程的知识，提升他们在考试中的表现，我们整理了一套高等数学B试题及答案。
以下是具体的试题内容及答案解析。
一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x - 2，求f(2)的值。
A) 0B) -2C) 4D) 7答案解析：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4。
因此，答案选项为B。
2. 若a, b是实数，且a^2 + b^2 = 25，则a + b的最大值为多少？A) 7B) 10C) 5D) 0答案解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≥ (a + b)^2，即25 × 2 ≥ (a + b)^2，解得(a + b)^2 ≤ 50。
因此，a + b的最大值满足 -√50 ≤ a + b ≤ √50。
最大值约为7.071，所以答案选项为A。
二、计算题1. 计算极限lim(x→3) ((x - 3) / (x^2 - 8x + 15))。
答案解析：首先将分子分母都进行因式分解，得到((x - 3) / (x - 3)(x - 5)) = 1 / (x - 5)。
当x趋近于3时，1 / (x - 5)趋近于1 / (3 - 5) = -1 / 2。
因此，所求极限为-1 / 2。
2. 求曲线y = x^3 - 3x^2 - 4x的拐点。
答案解析：首先求出y = x^3 - 3x^2 - 4x的导数，即y' = 3x^2 - 6x - 4。
然后解方程3x^2 - 6x - 4 = 0，得到x = -1和x = 2两个解。
对应的y值分别为y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 4(-1) = -2和y = (2)^3 - 3(2)^2 - 4(2) = -12。
因此，拐点为(-1, -2)和(2, -12)。
首页) 专业班级： 学号： 姓名： 教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线大连海事大学2004——2005第二学期 《高等数学》试卷（A3）一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 由方程2222=+++zy x xyz 所确定的函数),(y x z 在点(1,0,-1)处的全微分=dz dy dx 2-2. 函数)ln(22y x z +=在点(1,0)处的梯度为_}0.2{ 3.数项级数∑∞=121n nn 的和为2ln4.设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2,则)(x f 的傅里叶级数在x=π处收敛于22π5.通解为21c e c x+的微分方程是0'''=-y y 二、选择题（每小题3分，共15分）1. 函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处（ D ）（A ）偏导存在的必要条件 (B) 偏导存在的充分条件 (C) 可微的充分条件 (D) 可微的必要条件2. 设有空间闭区域{}0,1|),,(2221≥≤++=Ωz z y x z y x ，{}0,0,0,1|),,(2222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ,则 ( C )(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv (B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114zdv ydv ( C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114ydv xdv (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv3. 函数322)(3x y x z -+=的极值点是( A )(A)(0,0) (B)(2,0) (C)(0,0) 与(2,0) (D) 无极值点 4.将=I ⎰⎰-22021),(xx dy y x f dx 改变积分次序，则=I ( C )(A) ⎰⎰-+11102),(ydx y x f dy (B)⎰⎰--11102),(ydx y x f dy( C)⎰⎰-+11112),(ydx y x f dy (D)⎰⎰+-11112),(ydx y x f dy5. 设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑zdydx =( B )(A)π32 (B)π34 ( C)1 (D)0三、计算下列各题（每题9分，共18分） 1.已知f 具有二阶连续偏导,),(22xy y x f z +=,求yx z ∂∂∂22.求微分方程23''2y y =满足初始条件1)2(',1)2(-=-=-y y 的特解解：'2'12yf xf xz +=∂∂………………………………………………….3分 解： 设p y =',则dydp py =''…………………………………………..3分)2()2(2''22''21'2''12''112xf yf y f xf yf x yx z ++++=∂∂∂ …………………3分 原方程变形为：232y dydp p=,解得132C y p+=因为f 具有二阶连续偏导，所以 ''21''12ff = 将初始条件代入得：01=C ,所以23y p -=, ………………….3分故''22'2''1222''112)(24xyff fy x xyfyx z ++++=∂∂∂……………….3分, 解得,2212C x y+-=--,将初始条件代入得:42-=C所以，所求特解为y x )4(2+=………………………..……………3分试卷A3 第1页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线四、计算dxdy y x D)(+⎰⎰,其中D 是由1=+y x 所围成的闭区域.(8分)解：由对称性知： 原式=⎰⎰≥≥≤+)0,0(18y x y x xdxdy………………………………..2分⎰⎰-=10108xdy xdx………………………………2分⎰-=10)1(8dx x x ………………………………2分34=……………………………………………2分五、计算⎰-+-=L x x dy y e dx y y e I )2cos ()2sin (,其中L 为上半圆周0,1)1(22≥=+-y yx ,沿逆时针方向 (8分).解：设y y e P x2sin -=,2cos -=y e Q x,点)0,2(A ,点)0,0(O ,则 d x d y yP xQ D)(∂∂-∂∂=⎰⎰…………………………..3分2c o s ,c o s -=∂∂=∂∂y e yP y e xQ xx………………………….3分 d x d y D⎰⎰=2(D 为曲线所围区域)⎰⎰+-+=+OAOAL Qdy PdxQdy PdxI π=……………………………………………..2分六、计算⎰⎰∑++222zy x dS ,其中∑是界于平面z=0及z=1之间的圆柱面122=+y x .（8分）解：设区域D 为{}11,10|),(≤≤-≤≤x z z x ，21x y -±=原式dS z⎰⎰∑+=2112…………………………..2分 dz zdx x⎰⎰+-=-1211211112…………………………..2分d x d z xxzD22211112-++=⎰⎰…………….2分 22π=……………………………………..……………..2分七、将)2ln(+x 展开为含1-x 的幂级数.(8分)解：)13ln()2ln(-+=+x x ……………………………………………..………..…...2 )311(3ln -+=x (2)nn n x n∑∞=---+=11)31()1(3ln )42(≤<-x (4)八、求原点到1)(22=--z y x 的最短距离(8分) 解：设曲面上一点为),,(z y x .原点到此点的距离为222zy x d ++=则问题转化为:在1)(22=--z y x 条件下,求d 的最小值……………………………….2分试卷A3 第2页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线令]1)[(222---+=z y x d F λ,则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=∂∂=∂∂1)(00022z y x z FyF x F……………………………….…..2分 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=--=-+1)(0220)(220)(2222z y x z z y x y y x x λλλ…………………………………….2分解得:21±=x , 21=y ,0=z ，故所求最短距离为22…………………………………….2分九、求方程xe y y y -=++3'4''的通解(7分)解：特征方程为:0342=++r r ，其根为3,121-=-=r r ………………………………. 1分 故可设非齐次方程的特解为x ae y x -=*, .故齐次方程03'4''=++y y y 的通解为x x e C e C Y 321--+=…………………………..……2分 将其代入到原方程中，得21=a ………………….……2分因x e x f -=)(，1-=λ是单根, 故原方程的通解为=y x x e C e C 321--++x ex-21……….2 分十、设)(x f 在0=x 的某一邻域内具有二阶连续偏导，且0)(lim=xx f ，证明)1(1∑∞=n n f 绝对收敛 (5分)证明：由所给条件0)(lim=∞→xx f n 知,0)0(=f (因f(x)在x=0连续),xx f n 2)('lim=∞→又xf x f f n )0()()0('lim-=∞→ 2)0(''f =………………………….…………………2 分所以 因此有0)0('=f ……………………………….2分|)0(''|211|)1(|2limf nnf n =∞→ 而2)(limxx f n ∞→ 由比较法极限形式知：)1(1∑∞=n nf 绝对收敛………………….1分试卷A3 第3页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线大连海事大学2004——2005第二学期 《高等数学》试卷（B3）一、填空题（每小题3分，共15分）1.由方程1=++z e y x 所确定的函数),(y x z 全微分)(dy dx e dz z +-=-2.函数y x e z +=在点(1,0)处的梯度向量为},{e e3.数项级数∑∞=131n nn 的和为2ln 3ln -4.设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(,则)(x f 的傅里叶级数在x=π-处收敛于2π5.通解为21c e c x +-的微分方程是0'''=+y y 二、选择题（每小题3分，共15分）1.函数),(y x f 在点),(00y x 处偏导存在是函数),(y x f 在该点处（ B ）（A ）可微的充分条件 (B) 可微的必要条件 (C) 连续的必要条件 (D) 连续的充分条件2. 设有空间闭区域{}1|),,(2221≤++=Ωz y x z y x ，{}0,0,0,1|),,(2222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ,则 ( D )(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv xdv (B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv ( C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=224zdv ydv (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114yzdv xzdv3. 函数322)(3x y x z ++=的极值点是( B )(A)(-2,0) (B)(0,0) (C)(0,0) 与(-2,0) (D) 无极值点4.将=I ⎰⎰--22221),(xx xdy y x f dx 改变积分次序，则=I ( A )(A) ⎰⎰-+-11122),(yydx y x f dy (B)⎰⎰--11102),(ydx y x f dy( C)⎰⎰-+11112),(ydx y x f dy (D)⎰⎰++-12112),(yydx y x f dy5. 设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑dydx z 2=( D )(A)41 (B)21 ( C)1 (D)0三、计算下列各题（每题9分，共18分） 1.已知f 具有二阶连续偏导,),(22xy y x f z -=,求yx z ∂∂∂22.求微分方程y y =''满足初始条件1)0(',1)0(-==y y 的特解解：'2'12yf xf xz +=∂∂………………………………………………….3分 解： 设p y =',则dydp py =''…………………………………………..3分)2()2(2''22''21'2''12''112xf yf y f xf yf x yx z +-+++-=∂∂∂ ………………3分 原方程变形为：y dydp p=,解得122C y p+=因为f 具有二阶连续偏导，所以 ''21''12f f = 将初始条件代入得：01=C ,所以y p -=, ………………….3分 故''22'2''1222''112)(24xyff f y x xyf yx z ++-+-=∂∂∂…………… .3分, 解得,xeC y -=2,将初始条件代入得：12=C所以，所求特解为xe y -=………………………………..…………3分试卷B3 第1页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线四、计算dxdy x y x D)(++⎰⎰,其中D 是由1=+y x 所围成的闭区域.(8分)解：由对称性知： 原式=⎰⎰≥≥≤+)0,0(18y x y x xdxdy………………………………..2分⎰⎰-=10108xdy xdx………………………………2分⎰-=10)1(8dx x x ………………………………2分34=……………………………………………2分五、计算⎰-+-Lxxdy y e dx y y e )2cos ()2sin (,其中L 为上半圆周0,4)2(22≥=+-y y x ,沿逆时针方向 (8分).解：设y y e P x 2sin -=,2cos -=y e Q x,点)0,4(A ,点)0,0(O ,则 d x d y yP xQ D)(∂∂-∂∂=⎰⎰…………………………..3分2c o s ,c o s -=∂∂=∂∂y e yP y e xQ xx………………………….3分 d x d y D⎰⎰=2⎰⎰+-+=+OAOAL Qdy PdxQdy PdxI π4=……………………………………………..2分六、计算⎰⎰∑++222zy x dS ,其中∑是界于平面z=1及z=2之间的圆柱面122=+y x .（8分）解：设区域D 为{}11,21|),(≤≤-≤≤x z z x ，21x y -±=原式dS z⎰⎰∑+=2112…………………………..2分 dz zdx x⎰⎰+-=-21211211112………………………………………………..2分d x d z xxzD22211112-++=⎰⎰…………….2分 =)1a r c t a n 2(a r c t a n 2-π……………………………………..……………..2分七、将)2ln(+x 展开为含x 的幂级数.(8分) 解：)21(2ln )2ln(x x +=+ (2))21l n (2ln x ++= (2)nn n xn∑∞=--+=11)2()1(2ln )22(≤<-x (4)八、求2x y =和直线x+y+2=0之间的最短距离(8分)解：设2x y =上一点为),(y x .此点到直线x+y+2=0之间的距离为2|2|++=y x d则问题转化为:在2x y =条件下,求2d 的最小值……………………………….2分 令)(22x y d F -+=λ,则试卷B3 第2页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂200x y y Fx F………………………………………..….…..2分 即⎪⎩⎪⎨⎧==+++=-++202022xy y x x y x λλ…………………………………….2分 解得:21=x , 41=y ,故所求最短距离为287………………………………………….…….2分九、求方程xey y y 22'3''-=++的通解(7分)解：特征方程为:0232=++r r ，其根为1,221-=-=r r ………………………………. 1分 故可设非齐次方程的特解为x ae y x2*-=,.故齐次方程02'3''=++y y y 的通解为xxeC e C Y 221--+=…………………………..……2分 将其代入到原方程中，得1-=a ………………….……2分因xe xf 2)(-=，2-=λ是单根, 故原方程的通解为=y x x eC e C 221--+x e x2--……….2 分十、设偶函数)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，且2)0('',1)0(==f f ，证明)1)1((1-∑∞=n nf 绝对收敛 (5分)证明：因为)(x f 为可导的偶函数 =2)(''l i mx f n ∞→所以，0)0('=f ,又2)0('',1)0(==f f ， 2)0(''f =)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，………………2分 1=……………………………………2分所以21)(l i mxx f n -∞→ 从而=-∞→2)1(|1)1(|limnnf n |21)(lim x x f n -∞→|=1 =xx f n 2)('lim∞→ 故由正项级数的比较法知)1)1((1-∑∞=n nf 绝对收敛……1分..试卷B3 第3页 共3页。
2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）1． =⋅+∞→xx x x 2)sin(lim22 . 2 . =+-⎰-2221)1(dx e e x x x 3 . 级数 +⋅-+-⋅+⋅-+n n n )21()1()21(31)21(2121132的和是 .4. 微分方程 1)1(2)(2)('=-=-⋅⎩⎨⎧y x x y x y x 的解是5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 , 3 ； E 为三阶单位矩阵 , 则 E A A ++22 =6. 有两个箱子, 第一个箱子里有3个新球, 2个旧球, 第二个箱子里有4个新球, 5个旧球 . 现从第一个箱子里随机地取出一个球放到第二个箱子里, 再从第二个箱子里取出一个球, 若已知从第二个箱子里取出的球是新球, 则从第一个箱子里取出的是新球的概率为二．选择题. （本题共有6个小题，每一小题4分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1．函数 xex x f 1)(-⋅= 有 ( ) 条渐近线 .（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 2. 下列级数中 ，（ ）是条件收敛级数 .（A ） ∑+∞=⋅-1)1(n nnn （B ）∑+∞=+-112)1(n n n （C ） ∑+∞=-1)1(n nn（D ）∑+∞=⋅-12sin )1(n n n n .3．设函数 )(x f y = 在 [ 0 ，1 ] 上可导. 从定性上看，下列三个图像按 ( ) 的排序，依次分别是 )(x f y = 、)('x f y = 和 dt t f y x)(0⎰= 的函数图像 .（A ） 321L L L 和、 （B ） 132L L L 和、 （C ） 213L L L 和、 （D ） 123L L L 和、4. 设 n 维行向量 )21,0,,0,21(⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α, 矩阵 A = E + 2ααT , B = E ααT- , 其中 E 为 n 阶单位阵 , 则B = ( ) （A ）. O （B ） E （C ） E - （D ） ααTE +5. 设 A 、B 是两个随机事件, 且 0 < P ( A ) < 1 , P ( B ) > 0 , P (A B ) = P (A B ) , 则必有 ( ) . （A ）P ( A B ) = P (B A ) （B ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B )（C ） P ( A ) = P ( B ) （D ） P ( A B ) = )()(A P B P 6. 设随机变量 X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,2cos 21)(πx x x f 对 X 独立地重复观察4次, 用 Y 表示观察值大于3π的次数, 则P ( Y = 2 ) = ( ) .（A ） 21 （B ）81（C ）85 （D ）83三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共8个小题，每小题8分，共64分） 1． 设 1→x 时，))1((ln 222-=-++x x C Bx Ax o ，其中 ))1((2-x o 是当 1→x 时比 2)1(-x 高阶的无穷小, 求常数 C B A 、、 之值．2．已知 00,,1arctan )(=≠⎩⎨⎧=x x xx x f ， 求 （1） )('x f ； （2） )('x f 在点 0=x 处是否连续 ？为什么 ？ 3. 设 ),(y x z z = 是由方程 12322=+++z y x z 所确定的二元函数 ；（1） 该二元函数有无极值 ？如有，求出极值点 ；如无，说明理由 .（2） 在约束条件 12=+y x 下，该函数是否还有极值？如有，求出极值点 ；如无，说明理由 .4．设函数 )(x f y = 为连续函数. 对于任意实数a ，如果总成立1)()(+=⎰⎰a f d x f Dσ ，其中 D 为直角坐标系 xoy 中直线 a y x y ==, 和 0=x 所围的封闭区域 ， 求 )(x f 的函数解析表达式 . 5. 设 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111111111, 矩阵 B 满足 B A* = A1- + 2 B , 其中 A* 是 A 的伴随矩阵 , 求B .6. 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3241223k k ， 求常数 k 及可逆阵 P ，使 P1-AP 为对角阵 .7. 设连续型随机变量 X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=ax a x a x B A a x x F 1,arcsin 0)(其中 a > 0 . 求 (1) A 和 B ; (2) 概率密度 )(x f ; (3) )0(>X P . 8. 设随机向量 ),(Y X 的联合概率分布为线---------------------------------------------------------------------------------------------------X 与 Y 独立, 求 : (1)α、β ； （2）X 与 Y 的边缘分布 ； （3）X + Y 的分布 .四．应用题： （本题共3个小题，每小题9分，共27分）1．试利用微分学方法 ，根据常数 k 的各种不同取值 ， 讨论曲线 k e e y x x +-=2 与曲线k x e e y x x 2422++-= 的交点个数情况 .2. 问 a 分别为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-=--1221455321321321x ax x ax x x x x x有唯一解, 无解, 无穷多解 ? 在有无穷多解的情况下, 用基础解系表示其通解 .3. 某商店每周以每千克200元的价格从生产厂家购进 y 千克某产品，并以每千克 260 元的价格在市场上销售. 规定一周内商店售不完的产品将作为再生原料由厂家回收进行处理，回收价格为每千克180元. 假定该产品每周的市场需求量 X 是服从区间 [ 10 ，30 ] 上均匀分布的随机变量，试确定商店的周进货量 y ，使商店获利的期望值最大 .五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，第二小题5分，共11分）1． 设函数 )(x f 是 ]1,0[ 上的连续函数 ，0)(1=⎰dt t f . 试证：必至少存在一点 )1,0(∈ξ，使得⎰=1)()(ξξdt t f f .2. 设 A 是 n ( n ≥ 2 ) 阶方阵且 A 的元素全都是 1 , E 是 n 阶单位阵, 证明：A n E A E 11)(1--=-- .2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；--------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
河北省2011年普通高校专科接本科教育选拔考试《数学（二）》（财经类）试卷（考试时间60分钟）说明：请将答案填写在答题纸的相应位置上，填在其它位置上无效。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效）1.函数 91)1ln(2-++=x x y 定义域为（ ）A. (-1,+∞)B. (-1,3)C. (3,+∞)D. (-3,3)2.极限)(x 1x 2xx lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→A.e 2B. 1C. 2D. e 2-3.已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=021cos 00sin )(x x x x b x xaxx f 在定义域内连续,则)(=+b aA. 4B. 2C. 1D. 04.由方程3+=xy e y 所确定的隐函数)(x y y =的导数)(=dxdy-A. x e y y -B.yx e y - C.x e y y + D. x e y y --5.曲线1322+-=x x y 的凹区间为（ ）A. (]0,∞-B.[)+∞,0C.(]1,∞-D.[)+∞,16.已知某产品的总收益函数与销售量x 的关系为210)(2x x x R -=,则销售量x=12时的边际收益为（ ）A. 2B.2-C.1D.1-7.设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则⎰=--)()(dx e f e xxA.C e F x +-)(B.C eF x+--)( C. C e F x +)( D. C e F x +-)(8.微分方程xe y y =-'满足初始条件00==x y的特解为（ ）A. )(c x e x+ B. )1(+x e xC.1-x eD. xxe9. 当（ ）时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解-A.1≠λB.2-≠λC.12=-=λλ或 D. 12≠-≠λλ且10.下列级数发散的是（ ）A. ∑∞=-11)1(n nn B.∑∞=-152)1(n n n C.∑∞=11n n D.∑∞=-121)1(n n n 二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将答案填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效）11.已知2xe 为)(x f 的一个原函数,则⎰________)('dx x xf12.幂级数∑∞=--113)1(n n nn x 的收敛半径为_____________ 13.已知二元函数________________),ln(22=∂∂+=xzy x x z 则14.二阶方阵A 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10122111A ，则_____________=A 15.微分方程y y xy ln '=的通解为_____________________=y三.计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，将解答的主要过程、步骤和答案填写在答题的相应位置上，填写在其它位置上无效） 16. 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛--→1e 1x 1lim x 0x 17.求由曲线2e y =与其在点)e ,1(处的切线及主轴所围成平面图形的面积。
《高等数学》试卷1〔下〕一.选择题〔3分⨯10〕1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M 〔 〕.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2,则有〔 〕.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是〔 〕.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是〔 〕.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是〔 〕. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =,则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝〔 〕.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛,则〔 〕. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为〔 〕.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是〔 〕.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为〔 〕.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题〔4分⨯5〕1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ,则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题〔5分⨯6〕1.设v e z usin =,而y x v xy u +==,,求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积〔R 为半径〕.四.应用题〔10分⨯2〕1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省？ .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xex C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ,()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时,用料最省.2..312x y =《高数》试卷2〔下〕一.选择题〔3分⨯10〕1.点()1,3,41M ,()2,1,72M 的距离=21M M 〔 〕. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ,则两平面的夹角为〔 〕. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为〔 〕.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为〔 〕. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为〔 〕. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=,则()=∂∂2,1xz 〔 〕.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的,则〔 〕.A.1≤rB.1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为〔 〕.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是〔 〕. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题〔4分⨯5〕1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行,则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题〔5分⨯6〕1.设k j b k j i a32,2+=-+=,求.b a ⨯2.设22uv v u z -=,而y x v y x u sin ,cos ==,求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图,求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+〔0>a 〕所围的几何体的体积. 四.应用题〔10分⨯2〕 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=. 《高等数学》试卷3〔下〕一、选择题〔本题共10小题,每题3分,共30分〕 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k,则a 与b 的向量积为〔 〕 A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P 〔-1、-2、1〕到平面x+2y-2z-5=0的距离为〔 〕 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点〔1,4π〕处的两个偏导数分别为〔 〕 A 、,22,22 B 、,2222- C 、22-22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx,则yzx z ∂∂∂∂,分别为〔 〕 A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点,半径为R,面密度为22y x +=μ的薄板的质量为〔 〕〔面积A=2R π〕A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为〔 〕A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为〔 〕A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题〔本题共5小题,每题4分,共20分〕 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________. 直线L 3：之间的夹角为与平面062321221=-+=-+=-z y x zy x ____________. 2、〔0.98〕2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________. 3、二重积分⎰⎰≤+Dy x D d 的值为1:,22σ___________. 4、幂级数的收敛半径为∑∞=0!n nx n __________,∑∞=0!n nn x 的收敛半径为__________. 三、计算题〔本题共6小题,每小题5分,共30分〕2、求曲线x=t,y=t 2,z=t 3在点〔1,1,1〕处的切线与法平面方程.3、计算⎰⎰===Dx y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ.4、问级数∑∞=-11sin )1(n n？，？n 收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗 5、将函数f<x>=e 3x 展成麦克劳林级数四、应用题〔本题共2小题,每题10分,共20分〕 1、求表面积为a 2而体积最大的长方体体积.参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B 10,A 二、填空题 1、218arcsin,182cosar 2、0.96,0.17365 3、л 4、0,+∞ 5、ycx cey x 11,22-== 三、计算题2、解：因为x=t,y=t 2,z=t 3, 所以x t =1,y t =2t,z t =3t 2, 所以x t |t=1=1, y t |t=1=2, z t |t=1=3 故切线方程为：312111-=-=-z y x 法平面方程为：〔x-1〕+2<y-1>+3<z-1>=0 即x+2y+3z=63、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成, 所以 D ：1≤y ≤2y ≤x ≤2 故：⎰⎰⎰⎰⎰=-==212132811)22(][dy y y dy xydx xyd yDσ4、解：这是交错级数,因为。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷/B 卷）2011学年第1学期 考试科目： 高等数学B Ⅰ 参考答案与评分标准 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）(3)(3)(3)2lim123.若,则。
x f x f f x∆→-------∆-'==-∆ . 211(),()2,(3)25.设为连续函数且则。
x f x f t dt x f -----==⎰6.222(sin 2。
x e x dx π------=⎰二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．221()32x f x x x -=-+的可去间断点是（B ）。
(A)2(B)1(C)2(D)1x x x x ===-=-；；；。
2．ln 2(1,)x x e =方程在区间内（A ）。
(A)(B)(C)(D)只有一个实根；有两个实根；至少有一个实根；无实根。
28,103.设某商品需求量与价格的函数关系则当时的需求弹性(B)p Q p Q e p -==(A)10 (B)20 (C)8 (D)16ηηηη====d d d d ；；；。
4．ln(21)y x x =-+的单调增加区间是( )。
11(A)(,)(B)(,0](C)[,)(D)(,]22-∞+∞-∞+∞-∞；；；。
5．22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（D ）.324.1,3,(1,2)当时点为曲线的拐点。
a b y ax bx -------=-==+201.2,()00，当时在处连续。
，tg xx a f x x x a x ---⎧≠⎪===⎨⎪=0,1sin ,42.当时与是等价无穷小则。
x x x a ---→=（A ） x xe 22 （B ） x e x 222 （C ） c xe x +22 （D ） )1(22x xe x +三、计算下列各题（本大题4小题，每小题5分，共20分）1． 111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭解：11111111ln lim lim ...................2ln 1(1)ln 11111lim lim lim ........5(1)ln (1)ln 112ln 分分x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫--⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫-⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭２．2035lim 2x xxx →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：2235ln 20002ln15035lim =lime ........................2223523ln35ln 5lim ln=2lim ln15.........4235235lim =e =15.....................2分分x x xxxx x x x x x xx x x x x xxx x ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭→→→→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+∴ ⎪⎝⎭.............................5分3．设函数()y y x =由方程22d 10x t t t -+=⎰所确定，求d y ．解：对方程两边关于x 求导数{}22d 10x t d t t dx-+=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分 即 2cos 0ye x x '= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以 d y x = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分4. 222ln(1)ln3d ,d arctan 已知求x t yxy t ⎧=++⎨=⎩CM解：22d 2d 1,d 1d 1x t y t t t t ==++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以 221d d 12d d 112dy y x t t t t t dx t===++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 222223d d d dt 111d 1d d 2d d d d d 224y y t t x t t t x t x x t t t ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．5分四．求下列积分（本大题4小题，每小题5分，共20分） 1.arcsin d x x ⎰解：arcsin d arcsin x x x x x =-⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分arcsin x x C =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分2.2d (1)xx x +⎰解：22d 1d (1)1x x x x x x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ()21ln ln 12x x C C =-++=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分3.1d x解：令222tan ,sec ,1sec d d x t x t t x t ==+=，1,,43ππx t x t ====．．．2分所以23332221444sec sec cos tan sec tan sin t t t t t t t t t tππππππ===⋅⎰⎰⎰d d d d33244sin 1sin sin t t tππππ==-=⎰d ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 4.设1201()()d 1f x f x x x =+，求10()d f x x ⎰。
