2015-2016学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=14．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．16．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．08．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=1【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．1【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．0【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A．8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos∠APB=﹣．故选：C．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，∴a+2b﹣2=0，∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||==．∴线段B1P的长度的最大值为3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为6．【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC是直角三角形；（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，（1分）因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，（2分）因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．（3分）因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（4分）（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），（6分），，（7分）因为，所以，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，（6分）所以AB⊥A1D．（7分）因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，（10分）所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．（12分）设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．（14分）19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，则椭圆G的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2015海淀区高二（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，﹣1），则其中共面的三个向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为A．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵直线x+y﹣2=0，∴k=﹣1=tanθ，∴．故选：D．2．【解答】焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，椭圆的离心率是，可得，解得m=4．故选：A．3．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B4．【解答】圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C5．【解答】对于A，设、、三向量共面，则=x+y，∴（1，1，0）=x（0，1，1）+y（1，0，1）=（y，x，x+y）；∴，此方程组无解，∴、、三向量不共面；同理，C、D中三向量也不共面；对于B，设、、三向量共面，则=x+y，∴（1、1、0）=x（0、1、1）+y（1、0、﹣1）=（y、x、x﹣y）；∴，此方程组有唯一的解，∴、、三向量共面．故选：B．6．【解答】在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．7．【解答】如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．8．【解答】+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（﹣1，0）或（1，0）的距离最大，且为1；O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故曲线W上的点到原点距离的取值范围是[，1]．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．【解答】当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣110．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：11．【解答】已知，则：，由于，则：解得：x=1或﹣1故答案为：1或﹣112．【解答】因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．13．【解答】抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2[（m2﹣）2+m2]，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．14．【解答】设α为平面ABCD，则由题意，AA1⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD∴AA1⊥PA∴PA表示P到直线AA1的距离∵点P到直线CD的距离等于它到直线AA1的距离∴点P到A的距离等于点P到直线CD的距离∴P点的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：④．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（本小题满分10分）（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．【解答】（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消元化简得4x2+（4t﹣4）x+t2=0，则，所以，其中；（II）由，则=3，解得t=﹣4，经检验，此时△=16﹣32t＞0，所以x1+x2=1﹣t=5，由抛物线的定义，有，又，所以△AFB的周长为．17．【解答】（I）法一：取点C（0，2，0）则，所以，所以OA∥CB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又，所以，所以OD∥CE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又OA∩OD=D，CE∩CB=C所以平面OAD∥CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以BE∥平面ADO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：由题意，点A，D，O所在的平面就是xOz平面，取其法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）而，所以，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又显然点B，E不在平面ADO上，所以BE∥平面ADO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设平面ABD的法向量为，因为，所以，所以可取．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又，设OB与平面ABD所成的角为θ．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以直线OB和平面ABD所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）假设存在点P（x，y，z），使得直线AP与直线BD垂直．设，即（x﹣2，y﹣2，z）=（﹣2λ，0，λ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，所以．又，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，点P的坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．【解答】（1）设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，∴，∴P，Q的横坐标互为相反数，∴设Q（﹣x1，﹣y1），∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，而，，∴，∵P，A都在椭圆上，∴，，∴===﹣，∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）证明：∵，而PQ，PA垂直，∴，∴k AQ=，∴直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，令y=0，得y1=），∵点P（x1，y1）直线y=kx上，∴y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x0=x1，∴直线PB与x轴垂直．Word下载地址第11页共11。

2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C．（D．（2.抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43.双曲线2214x y -=的离心率为（） ABC4.圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是（） A.相离B.外切C.相交D.内切5.已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（） A ．充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( )A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是（） A ．2B ．2±C ．2-D ．08.已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则MON ∠=（） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o9.已知两平面α,β，两直线m,n ，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n10.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是（）A.三角形B.四边形C.曲边形D.五边形1二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.11.已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________.12.已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题.（填“真”或“假”）13.双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________.14.已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________.15.已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________.16.已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________.三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ；（Ⅱ）求证：1BC //平面1A CE ；（Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）.19.（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程.1A()主正视图俯视图()侧左视图海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分，共40分.DBACB DADCB二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.11.x ∃∈R ，20x <12.若121k k ≠-,则1l 与2l 不垂直真 13.4 20x y ±=14.22143x y +=15.3 16.2 1（说明：一题两空的题目，每空2分）三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可)17.解：（Ⅰ）由已知可得222216,(6)16,a r a r ⎧+=⎨-+=⎩-----------------------------------------------------2分 解得3,5a r ==.-----------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆M 的方程为22(3)(4)25x y -+-=.--------------------5分 圆心到直线430x y m ++=的距离为|24|5m +,--------------------------------7分所以|24|5m +，----------------------------------------------------------9分 所以4m =-或44m =-.-------------------------------------------------------------10分18.证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CB ⊥.-----------------------------------2分 因为AC CB ⊥，所以CB ⊥平面11AA C C .------------------------4分 所以1CB AC ⊥.------------------------------------5分（Ⅱ）连接1AC 与1A C 交于点F ，连接EF ，---7分由三棱柱性质可得四边形11AA C C 是平行四边形， 所以点F 是1AC 的中点. 因为E 为AB 中点，1A所以在1AC B ∆中1//EF C B .-----------------------------------------------------------8分 因为EF ⊂平面1ACE ,1BC ⊄平面1ACE ,-----------------------------------------10分 所以1BC //平面1A CE .----------------------------------------------------------------11分 （Ⅲ）43a =. ---------------------------------------------------------------------------14分 19.解：（Ⅰ）由椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-可得2213x y m m +=-，由椭圆的焦点在y 轴上，可得0,30,3.m m m m >⎧⎪->⎨⎪<-⎩------------------------3分 解得302m <<,所以m 的取值范围是302m <<.-------------------------4分（Ⅱ）因为(0,1)A 在椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-上，所以(3)m m m =-， 所以2m =或0m =（舍），所以椭圆:G 2222x y +=.---------------------------------------------------------5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，由22,22,y x n x y =+⎧⎨+=⎩消y 并化简整理得2234220x nx n ++-=， 21212422,33n n x x x x --+==，----------------------------------------------------6分 因为以BC 为直径的圆过点A ，所以AB AC ⊥,------------------------------------------------------------------------7分所以AB AC ⋅=u u u r u u u r0.因为AB AC ⋅=u u u r u u u r11221212(,1)(,1)(1)(1)x y x y x x x n x n -⋅-=++-+-212122(1)()(1)x x n x x n =+-++-22444(1)(1)033n n n n --=-+-=，---------------------------------------------9分所以13n =-或1n =.----------------------------------------------------------------10分经检验，13n =-或1n =都满足0∆>，----------------------------------------11分所以所求直线l 的方程为13y x =-或1y x =+.-------------------------------12分。

2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知（1+bi）i=﹣1+i，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）3．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ﹣μ的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣34．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a值为（）A．1 B．2 C．3 D．55．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中a i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，则满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有（）A．15个B．25个C．30个D．35个6．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，直线，l 2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C 所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为（）A．B．1 C．D．7．（5分）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．28．（5分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，记过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是（）A．m=1，n=1 B．m=4，n=1 C．m=3，n=4 D．m=4，n=4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=，其离心率为．10．（5分）在（x+）6的展开式中，常数项为（用数字作答）11．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2，若a2+a3=4，则a1+a4=．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为．13．（5分）已知函数，若f（x）的最小值是a，则a=．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．16．（13分）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关．（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．（Ⅰ）若点F为PD上一点且，证明：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．（其中e=2.71828…）19．（14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）若实数数列{a n}满足，则称数列{a n}为“P数列”．（Ⅰ）若数列{a n}是P数列，且a1=0，a4=1，求a3，a5的值；（Ⅱ）求证：若数列{a n}是P数列，则{a n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（Ⅲ）若数列{a n}为P数列，且{a n}中不含值为零的项，记{a n}前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能取值．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知（1+bi）i=﹣1+i，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数代数形式的乘法运算展开等式右边，由复数相等的条件求出b的值即可．【解答】解：∵（1+bi）i=﹣1+i，∴i﹣b=﹣1+i，∴b=1，故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．（5分）（2015秋•海淀区期末）抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，即可求出抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，∴抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，比较基础．3．（5分）（2015秋•海淀区期末）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ﹣μ的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣3【分析】利用平面向量的三角形法则，将用表示，再由平面向量基本定理得到λ，μ的值．【解答】解：由题意，因为E为DC的中点，所以，所以，即，所以λ=﹣1，μ=2，所以λ﹣μ=﹣3；故选：D．【点评】本题考查了三角形中线的向量性质以及平面向量基本定理的运用；属于基础题．4．（5分）（2015秋•海淀区期末）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a值为（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】由已知中的程序框图及已知中输入a=3，可得：进入循环的条件为i≤3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的a值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1i=1a=2×1﹣1=1，i=2，不满足条件i＞3，a=2×2﹣1=3，i=3不满足条件i＞3，a=2×3﹣3=3，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出a的值为3．故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中a i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，则满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有（）A．15个B．25个C．30个D．35个【分析】由题意，a1，a2，a3，a4，a5，由2个0，3个1组成，或1个﹣1，4个1组成，利用组合知识，可得满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列．【解答】解：由题意，a1，a2，a3，a4，a5，由2个0，3个1组成，或1个﹣1，4个1组成，∴满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有=15．故选：A．【点评】本题考查组合知识，考查学生的计算能力，确定a1，a2，a3，a4，a5，由2个0，3个1组成，或1个﹣1，4个1组成是关键．6．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，直线，l 2：y=kx ﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为（）A．B．1 C．D．【分析】由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式，求得k的值．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=4的圆心为（2，0），半径为2，圆心到线的距离为，l 1被圆C所截得的弦的长度为2=2，圆心到l2的距离为，l2被圆C所截得的弦的长度为2，结合l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，可得2=2×2，求得k=，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，记过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是（）A．m=1，n=1 B．m=4，n=1 C．m=3，n=4 D．m=4，n=4【分析】由已知条件结合正方体的结构特征求解．【解答】解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′，过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线有：AC′，过A作BD′的平行线，过A作A′C的平行线、过A作B′D的平行线，共4条，故m=4；过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线分两类：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等，有3条，合计4条，故n=4．故选：D．【点评】本题考查满足条件的直线条数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的合理运用．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=2，其离心率为．【分析】利用双曲线的渐近线经过的点，直接求出b，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=bx，过点（1，2），可得b=2，a=1，c=，可得双曲线的离心率为：e=．故答案为：2；．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10．（5分）（2016•萍乡二模）在（x+）6的展开式中，常数项为15（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣3r，令6﹣3r=0，求得r=2，可得常数项为=15，故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．11．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知等比数列{a n}的公比为2，若a2+a3=4，则a1+a4=6．【分析】利用等比数列的通项公式先求出首项，由此能求出a1+a4的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为2，a2+a3=4，∴=4，解得a1=，∴a1+a4==6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．12．（5分）（2015秋•海淀区期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为．【分析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是如右图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中，PC⊥底面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PC=2，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长．【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是如右图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中，PC⊥底面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PC=2，∴该四棱锥中最长棱的棱为AP，∵AC==2，∴AP==2．故答案为：2．【点评】本题考查四棱锥中棱长最长的棱长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．13．（5分）（2016•崇明县二模）已知函数，若f（x）的最小值是a，则a=﹣4．【分析】运用指数函数的单调性，可得当x≥0时，f（x）的最小值为a+1；由题意可得f（x）在x＜0时取得最小值a，求得对称轴，可得f（）=a，解方程可得a=﹣4．【解答】解：当x≥0时，f（x）=a+2x≥a+1，即x=0时，f（x）的最小值为a+1；当x＜0时，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，由题意可得f（x）在x＜0时取得最小值a，即有＜0，即a＜0，则f（）=a，即﹣=a，解得a=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用指数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是②；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为65°，45°．【分析】（1）假设存在友好三角形，根据新定义得出结论，（2）利用正弦定理和新定义得出A1，B1，C1与B的关系，根据内角和得出方程，解出B．【解答】解：（1）①若存在友好三角形，则，显然不成立，故①不存在友好三角形．②若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：2：2．∴a1+b1=＞2，③若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：：2．∴a1+b1=2（﹣）＜2．与三角形两根之和大于第三边矛盾．故③不存在友好三角形．综上，存在友好三角形的是②．（2）C=180°﹣70°﹣B=110°﹣B．∴，即，∴，∵，∴sinA1=sin20°，sinB1=sin（90°﹣B），sinC1=sin（B﹣20°），∴A1=20°或160°，B1=90°﹣B，或B1=90°+B，C1=B﹣20°或200°﹣B．∵A1+B1+C1=180°，∴20°+90°﹣B+200°﹣B=180°，或20°+90°+B+B﹣20°=180°，解得B=65°，或者B=45°．∴C=45°，或C=65°．故答案为65°，45°．【点评】本题考查了正弦定理及三角形的相关知识，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）（2016•天津一模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=，由周期公式可得；（Ⅱ）由x的范围可得，分别可得得最小值和最大值，相加由诱导公式计算可得．【解答】解：（Ⅰ）化简可得==2cosx（sinx﹣cosx）+1=2cosxsinx﹣2cos2x+1=sin2x﹣cos2x=，∴函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）∵，∴，∴．当时，函数f（x）取得最小值；当时，函数f（x）取得最大值，由诱导公式计算可得，∴函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和为0．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属中档题．16．（13分）（2015秋•海淀区期末）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关．（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．【分析】（Ⅰ）设持续i天为事件A i，i=1，2，3，4，用药持续最多一个周期为事件B，由此利用互斥事件概率加法公式能求出试验至多持续一个用药周期的概率．法二：设用药持续最多一个周期为事件B，则为用药超过一个周期，利用对立事件概率计算公式能求出试验至多持续一个用药周期的概率．（Ⅱ）随机变量η可以取1，2，分别求出相应的概率，由此能求出η的期望．【解答】解：（Ⅰ）法一：设持续i天为事件A i，i=1，2，3，4，用药持续最多一个周期为事件B，…．（1分）所以，…．（5分）则．…．（6分）法二：设用药持续最多一个周期为事件B，则为用药超过一个周期，…．（1分）所以，…．（3分）所以．…．（6分）（Ⅱ）随机变量η可以取1，2，…．（7分）所以，，….11分所以．…．（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．17．（14分）（2015秋•海淀区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．（Ⅰ）若点F为PD上一点且，证明：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，证明HF∥BC，CF∥BH，然后证明CF∥平面PAD．（Ⅱ）说明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BPD的一个法向量，平面APD的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角B﹣PD﹣A的大小．（Ⅲ）假设存在点M，设，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，因为，所以．…．（1分）又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC．…．（2分）所以BCFH为平行四边形，所以CF∥BH．…．（3分）又BH⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，…．（4分）（一个都没写的，则这（1分）不给）所以CF∥平面PAB．…．（5分）（Ⅱ）因为梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…．（6分）所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．设平面BPD的一个法向量为，平面APD的一个法向量为，因为，所以，即，…．（7分）取x=1得到，…．（8分）同理可得，…．（9分）所以，…．（10分）因为二面角B﹣PD﹣A为锐角，所以二面角B﹣PD﹣A为．…．（11分）（Ⅲ）假设存在点M，设，所以，…．（12分）所以，解得，…．（13分）所以存在点M，且．…．（14分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18．（13分）（2016•天津一模）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值；（其中e=2.71828…）（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．【分析】（Ⅰ）当时，化简函数f（x）的解析式，利用函数的导数求解函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当0＜k＜1时，求出函数f（x）在区间[1，e]上的最大值，然后判断结果即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，…．（1分）当时，．…．（2分）令，得x1=1，x2=2，…．（3分）所以f（x）在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值．…．（7分）函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（1，2）．…．（8分）（Ⅱ）证明：不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解，等价于f（x）≤1在区间[1，e]上恒成立，即函数f（x）在区间[1，e]上的最大值小于等于1．因为，令f′（x）=0，得．…．（9分）因为0＜k＜1时，所以．当时，f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，函数f（x）在区间[1，e]上单调递减，…．（10分）所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）=k﹣1＜1，所以不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解；…．（11分）当时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：1）或f（e）．…．（12分）此时f（1）=k﹣1＜1，，所以=．综上，当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．…．（13分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．19．（14分）（2016•天津一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意求出a，通过离心率求出c，然后求解椭圆的标准方程．（Ⅱ）法一：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AP|，利用垂径定理求出|oa|，即可得到结果．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为x=my﹣4，与椭圆方程联立与椭圆方程联立得求出|AP|，利用垂径定理求出|oa|，即可得到结果．法三：假设存在点P，推出，设直线AP的方程为x=my﹣4，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，推出，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，令y=0，得x=±4，所以a=4．…．（1分）又离心率为，所以，所以，…．（2分）所以b2=a2﹣c2=4，…．（3分）所以W的方程为．…．（4分）（Ⅱ）法一：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），…．（5分）与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，…．（6分）因为﹣4为上面方程的一个根，所以，所以．…．（7分）所以．…．（8分）因为圆心到直线AP的距离为，…．（9分）所以，…．（10分）因为，…．（11分）代入得到．…．（13分）显然，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为x=my﹣4，…．（5分）与椭圆方程联立得化简得到（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0．…．（6分）显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即．…．（7分）由，…．（8分）因为圆心到直线AP的距离为，…．（9分）所以．…．（10分）因为，…．（11分）代入得到，…．（13分）若，则m=0，与m≠0矛盾，矛盾，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）法三：假设存在点P，使得，则，得．…．（5分）显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为x=my﹣4，…．（6分）由，得（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0，…．（7分）所以．…．（9分）同理可得，…．（11分）所以由得，…．（13分）则m=0，与m≠0矛盾，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（13分）（2015秋•海淀区期末）若实数数列{a n}满足，则称数列{a n}为“P数列”．（Ⅰ）若数列{a n}是P数列，且a1=0，a4=1，求a3，a5的值；（Ⅱ）求证：若数列{a n}是P数列，则{a n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（Ⅲ）若数列{a n}为P数列，且{a n}中不含值为零的项，记{a n}前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能取值．【分析】（Ⅰ）推导出a3=|a2|﹣a0=|a2|，a4=|a3|﹣a2=|a2|﹣a2，由此能求出a3，a5的值．（Ⅱ）假设P数列{a n}的项都是正数，则a n+2=a n+1﹣a n，a n+3=a n+2﹣a n+1=﹣a n＜0，与假设矛盾；假设P数列{a n}的项都是负数，则a n+2=|a n+1|﹣a n＞0，与假设矛盾，由此能证明{a n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数．（Ⅲ）存在最小的正整数k满足a k＜0，a k+1＞0（k≤5），数列{a n}是周期为9的数列，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}是P数列，且a1=0，所以a3=|a2|﹣a0=|a2|，所以a4=|a3|﹣a2=|a2|﹣a2，所以|a2|﹣a2=1，解得…．（1分）所以．…．（3分）证明：（Ⅱ）假设P数列{a n}的项都是正数，即a n＞0，a n+1＞0，a n+2＞0，所以a n+2=a n+1﹣a n，a n+3=a n+2﹣a n+1=﹣a n＜0，与假设矛盾．故P数列{a n}的项不可能全是正数，…．（5分）假设P数列{a n}的项都是负数，则a n＜0，而a n+2=|a n+1|﹣a n＞0，与假设矛盾，….7分故P数列{a n}的项不可能全是负数．解：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知P数列{a n}中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．因此存在最小的正整数k满足a k＜0，a k+1＞0（k≤5）．设a k=﹣a，a k+1=b（a，b＞0），则a k+2=b+a，a k+3=a，a k+4=﹣b，a k+5=b﹣a．a k+6=|b﹣a|+b，a k+7=|b﹣a|+a，a k+8=a﹣b，a k+9=﹣a，a k+10=b，故有a k=a k+9，即数列{a n}是周期为9的数列…．（9分）由上可知a k，a k+1，…，a k+8这9项中，a k，a k+4为负数，a k+5，a k+8这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．因为2016=9×224，所以当k=1时，m=224×3=672；当2≤k≤5时，a1，a2，…，a k﹣1这k﹣1项中至多有一项为负数，而且负数项只能是a k﹣1，记a k，a k+1，…，a2016这2007﹣k项中负数项的个数为t，当k=2，3，4时，若a k﹣1＜0，则b=a k+1=|a k|﹣a k﹣1＞|a k|=a，故a k+8为负数，此时t=671，m=671+1=672；若a k﹣1＞0，则b=a k+1=|a k|﹣a k﹣1＜|a k|=a，故a k+5为负数．此时t=672，m=672，当k=5时，a k﹣1必须为负数，t=671，m=672，…．（12分）综上可知m的取值集合为{672}．…．（13分）【点评】本题考查数列中第3项和第5项的求法，考查数列中的项不可能全是正数，也不可能全是负数的证明，考查实数的集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．。

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2015.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x y +=的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B.83 C. 163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（） A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（） A. 1[,1]2B.[2C.[2D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11.已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅的取值范围.16. （本小题共12分）已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II )若||AB =AFB △的周长.17.（本小题共12分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ；( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小题共10分）如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12x C y +=交于,P Q 两点.过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A .( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.OAx PQ二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11.1或1-12.1213. 14. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =，(,2)AP x y =-，-------------6分 所以 222OP AP x y y ⋅=+-.-------------7分因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-. -------------8分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[1,3]OP AP ⋅∈-. -------------10分 16．（本小题满分12分） 解:（I ）设点1122(,),(,),A x y B x y因为242y xy x t⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（-------------2分所以2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩-------------4分所以12||AB x x -==12t <. -------------6分 （II）因为||AB =4t =-经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分 所以1215x x t +=-=， 所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. -------------10分又||AB =,所以AFB △的周长为. -------------12分17.（本小题满分12分） 解: （I ）法一：取点(0,2,0)C则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==,所以CB OA =,所以OA CB ∥-------------1分又0,2,00,1,0OD CE ==（）,（）,所以12CE OD =,所以OD CE ∥-------------2分又,OA OD D CECB C ==所以平面OAD CBE ∥-------------3分 所以BE ∥平面ADO -------------4分 法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面， 取其法向量为(0,1,0)n =，-------------1分而(2,0,1)BE =-,所以0BE n ⋅=，即BE n ⊥，-------------3分 又显然点,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO . -------------4分 （II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =, 因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 所以可取(1,0,1)m =. -------------6分又(2,2,0),OB =设OB 与平面ABD 所成的角为θ. 所以1sin |cos ,|||2||||2OB mOB m OB m θ⋅=<>===. -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ)假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直.设BP BE λ=, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以(2,2,)AP λλ=-. 又(2,2,2)BD =--,所以4420AP BD λλ⋅=-+=，-------------11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直， 点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分 18．（本小题满分10分）解:（I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠， 而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, -------------2分 所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+=-------------3分所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQ x x y y k k x x x x ----⋅==-- 221222211()2x x x x -=- 12=--------------5分法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在, 设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m ⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分 又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分 所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+,所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. -------------5分 （II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直， 所以11k k =-，所以2AQ kk =， -------------6分 所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分 代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线x﹣y+1=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．（4分）方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），43．（4分）若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣14．（4分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（）A．（﹣1，﹣2，3） B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，2，3）5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ6．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．（4分）实数x，y满足，若μ=2x﹣y的最小值为﹣4，则实数a等于（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）双曲线=1的渐近线方程是．10．（4分）已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为．11．（4分）已知命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，则￢p是（真命题/假命题）．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为．13．（4分）已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为．14．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（﹣3，0）．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l 的方程．16．（10分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；（Ⅱ）若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程．17．（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线x﹣y+1=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率==1．故选：A．2．（4分）方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），4【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为2，故选C．3．（4分）若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1【解答】解：∵两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，∴=﹣1，解得a=4．故选：A．4．（4分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（）A．（﹣1，﹣2，3） B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，2，3）【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（1，2，3）．故选：D．5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．6．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．7．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．8．（4分）实数x，y满足，若μ=2x﹣y的最小值为﹣4，则实数a等于（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．6【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（a﹣1，a），化目标函数μ=2x﹣y为y=2x﹣μ，由图可知，当直线y=2x﹣μ过A时，直线在y轴上的截距最大，μ有最小值为：2（a﹣1）﹣a=﹣4，即a=﹣2．故选：C．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．10．（4分）已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为6．【解答】解：由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．故答案为：6．11．（4分）已知命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，则￢p是假命题（真命题/假命题）．【解答】解：∵命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，∴￢p：∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，由x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0在x＞1时，恒成立，故￢p为假命题，故答案为：假命题12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为﹣1．【解答】解：A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），∵AB⊥AC，∴=﹣1+a+2=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．13．（4分）已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为1．【解答】解：圆心（0，0）到直线3x+4y﹣10=0的距离d==2．再由d﹣r=2﹣1=1，知最小距离为1．故答案为：114．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为．【解答】解：∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线段m，故线段m过△MBC的重心，且与BC平行，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：×2=，故答案为：三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（﹣3，0）．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆M：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=2，E=0，F=﹣3…（3分）故圆M：x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，M（﹣1，0）．设N为DE中点，则MN⊥l，|DN|=|EN|=…（5分）此时|MN|==1．…（6分）当l的斜率不存在时，c=0，此时|MN|=1，符合题意…（7分）当l的斜率存在时，设l：y=kx+2，由题意=1，…（8分）解得：k=，…（9分）故直线l的方程为3x﹣4y+8=0…（10分）综上直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=016．（10分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；（Ⅱ）若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意F（1，0），当AB的斜率为1时，l：y=x﹣1 …（1分）代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0…（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8，…（3分）点M到直线AB的距离d==2…（4分）∴△ABM的面积S==8；…（5分）（Ⅱ）易知直线l⊥x时不符合题意．可设焦点弦方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4∵MA⊥MB，=（x1﹣5，y1），=（x2﹣5，y2），∴=x1x2﹣5（x1+x2）+25+y1y2=22﹣5×（2+）=0，∴k=．…（9分）故L的方程为y=（x﹣1）…（10分）17．（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB=1，PB=，∴PA⊥AB，…（1分）∵底面是正三角形，∴AC=AB=1，∵PC=，∴PA⊥AC，…（2分）∵AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC．…（3分）（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），P（0，0，1），…（4分）∴D（），=（﹣）．…（5分）平面ABC的法向量为=（0，0，1），…（6分）记BD与平面ABC所成的角为θ，则sinθ==，…（7分）∴，∴BD与平面ABC所成角为．…（8分）（Ⅲ）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，﹣）．…（11分）记二面角D﹣AB﹣C的大小为α，则cosα==，∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为．…（12分）18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，…（2分）∴椭圆C的标准方程为，…（3分）椭圆的离心率e==；…（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）．显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+1，则，…（5分）整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2+36（3m2+4）=144m2+144＞0，由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，…（7分）则=（x1﹣2，y1）=（my1﹣1，y1）=（x2+1，y2）=（my2+2，y2），…（8分）若PA∥QF1，则（my1﹣1）y2=（my2+2）y1，即y2=﹣2y1，…（9分）解得：，则y1•y2=﹣，…（10分）故=，解得：5m2=4，即m=±，…（11分）故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1，即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0 …（12分）解法2：由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），直线l⊥x时，=1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意．…（5分）可设直线L的方程为y=k（x﹣1）..…（6分），消去y，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（7分）则△=144（k2+1）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=﹣，①x1•x2=，②．…（8分）=（x1﹣2，y1），=（x2+1，y2）．若PA∥QF1，则∥，则k（x1﹣2）（x2﹣1）﹣k（x2+1）（x1﹣1）=0．化简得2x1+x2﹣3=0③．…（9分）联立①③可得x1=，x2=，…（10分）代入②可以解得：k=±．…（11分）故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

人大附中2015～2016学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习&选修2-1模块考核试卷2016年1月14日命题人：吴中才 候立伟 审卷人：梁丽平说明：本试卷分I 卷和II 卷，I 卷17道题，共100分，作为模块成绩；II 卷4道题，共50分；I 卷、II 卷共21题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息．I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上．）1． 集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2． 若p ：x ∀∈R ，20x >，则（ ）．A ．p ⌝：x ∀∈R ，20x ≤B ．p ⌝：x ∀∉R ，20x ≤C ．p ⌝：x ∃∈R ，20x ≤D ． p ⌝：x ∃∉R ，20x ≤ 3． 如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）． A ． a b c -+- B ． a b c -+ C ．1122a b c -+ D ． 1122a b c -+- 4．给定原命题：“若220a b +=，则a ，b 全为0”，那么下列命题形式正确的是（ ）． A ．逆命题：若a ，b 全为0，则220a b += B ． 否命题：若220a b +≠，则a ，b 全不为0 C ． 逆否命题：若a ，b 全不为0，则220a b +≠ D ． 否定：若220a b +=，则a ，b 全不为05．已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程是（ ）．A ． 30x ±=B ． 20x y ±=C ． 20x y ±=D ． 30x y ±=6．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为（ ）． A ．54 B ． 52C ． 5D ． 10 7．已知AB 是经过抛物线22y px =的焦点的弦，若点A 、B 的横坐标分别为1和14，则该抛物线的准线方程为（ ）．A ． 1x =B ． 1x =-C ． 12x =D ． 12x =- 8．在平面直角坐标系中，动点(),P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点()1,1的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，则下列命题中：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于x 轴对称；③曲线W 关于y 轴对称；④曲线W 关于直线y x =对称； 所有真命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ． 3D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．）9．以y x =±为渐近线且经过点()2,0的双曲线方程为__________． 10．已知向量()2,1,2a =-，()4,2,b x =-，若a b ∥，则x =__________．11．设1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，若121PF PF -=，则1PF =__________，2PF =__________．12．已知ABC △的顶点()1,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,1C ，CD 是AB 边上的高，则点D的坐标为__________．13．已知命题p ： 方程210x mx ++=有两个不相等的负根；命题q ：方程()244210x m x +-+=无实根．若()p q ∨为真，()p q ∧为假，则m 的取值范围为__________．14．已知点()0,2A ，点()0,2B -，直线MA 、MB 的斜率之积为4-，记点M 的轨迹为C ．（I ）曲线C 的方程为__________．（II ）设P ，Q 为曲线C 上的两点，满足OP OQ ⊥(O 为原点)，则OPQ △面积的最小值是_________．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．）15．（本题满分12分）已知向量()2,1,2a --=，()1,1,4b =-． （I ）计算23a b -和|23|a b -． （II ）求,a b <>． 16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，3AC =，14BC CC ==． （I ）求证：11AB C B ⊥．（II ）求直线1C B 与平面11ABB A 所成的角的正弦值． 17．（本题满分12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，焦点为()1,0F ，经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（I ）求抛物线C 的标准方程．（II ）若AOB △的面积为4，求||AB ．CA 11C 1II 卷（共6道题，满分50分）一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分．请把结果填在答题纸上．）18．已知点P 为抛物线22y x =上的一个动点，过点P 作圆A ：()223=1x y -+的两条切线PM 、PN ，切点为M 、N ．（I ）当PA 最小时，点P 的坐标为__________． （II ）四边形PMAN 的面积的最小值为___________．19．在四面体ABCD 中，若E 、F 、H 、I 、J 、K 分别是棱AB 、CD 、AD 、BC 、AC 、BD 的中点，则EF 、HI 、JK 相交于一点G ，则点G 为四面体ABCD的重心．设()0,0,2A ，()2,0,0B ，()0,3,0C ，()2,3,2D ． （I ）重心G 的坐标为__________．（II ）若BCD △的重心为M ，则||||AG GM =___________．二、解答题（本大题共2小题，满分30分．请把解答过程写在答题纸上．）20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，两焦点分别为()13,0F -、)23,0F ，过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且12AF F △的周长为423+． （I ）求椭圆C 的标准方程．（II ）若原点O 关于直线l 的对称点在椭圆C 上，求直线l 的方程． 21．（本题满分16分）如图(1)，在ABC △中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是AB 边上一点，沿CD 将图形折叠成图（2），使得二面角B CD A --是直二面角．（I ）若D 是AB 边的中点，求二面角C AB D --的大小． （II ）若2AD BD =，求点B 到平面ACD 的距离．（III ）是否存在一点D ，使得二面角C AB D --是直二面角？若存在，求BDAD 的值；若不存在，请说明理由．ADD（1）PN（2）人大附中2015-2016学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习&必修2-1模块考核试卷参考答案 I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCADCDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9． 22144x y -= 10． 4-11．52，32 12． 42,,055⎛⎫ ⎪⎝⎭13． (][)1,23,+∞ 14．（I ）()22104y x x +=≠ （II ）45 三、解答题（本大题共3小题，共38分）15． 解：（I ）()()2322,1,231,1,4a b -=⋅---⋅-()()()()223,213,2234=⨯-⨯--⨯--⨯-()1,5,8=-()22223158310a b -=+-+=（II ）()()()2222222111242cos ,2||||332212114a b a b a b ⨯+-⨯+-⨯-⋅<>====⋅⨯+-+-++-， 又[],0,a b π<>∈，故,4a b π<>=．16． 解：（I ）证明：如图所示，连接1B C ，交1BC 于点O ．由题意可知：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，而AC ，BC ⊂平面ABC ，故由线面垂直的性质定理可得：1CC AC ⊥，1CC BC ⊥， 又90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，1BCCC C =， BC ，1CC ⊂平面11C CBB ，故由线面垂直的判定定理可得：AC ⊥平面11C CBB ， 而1BC ⊂平面11C CBB ，故由线面垂直的性质定理可得：1AC BC ⊥， 又在正方形11C CBB 中，11BC B C ⊥， 1ACB C C =，AC ，1B C ⊂平面1AB C ，于是有：1BC ⊥平面1AB C ，而1AB ⊂平面1AB C ，故可得：11AB C B ⊥ ．（II ）以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意易知：A 点坐标为()3,0,0 ，B 点坐标为()0,4,0， 1A 点坐标为()3,0,4，1C 点坐标为()0,0,4， 故有：()3,4,0AB =-，()10,0,4AA =，()10,4,4C B =- ， 设平面11ABB A 的法向量()000,,n x y z = ， 则有：0AB n ⋅=，10AA n ⋅= ，即00034040x y z -+=⎧⎨=⎩ ，取04x =，可得：03y =， 故平面11ABB A 的法向量()4,3,0n =， 设直线1C B 与平面11ABB A 所成角为θ，则11||3sin 210||||542n C B n C B θ⋅===⋅⨯17． 解：（I ）依题意可设：抛物线C 的标准方程为()220y px p =>， 由其焦点为()1,0F 易得：12p=，解得：2p =， 故所求抛物线C 的标准方程为24y x =，（II ）① 当直线l 斜率不存在即与x 轴垂直时，易知：4AB =，此时AOB △的面积为1114222AOB S OF AB ==⨯⨯=△， 不符合题意，故舍去．②当直线l 斜率存在时，可设其为k ()0k ≠，则此时直线l 的方程为()1y k x =-， 将其与抛物线C 的方程：24y x =联立化简整理可得： ()2222220k x k x k -++=()0k ≠，设A B 、两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，由韦达定理可得：()21222212222421k x x k k k x x k ⎧+⎪+==+⎪⎨⎪⋅==⎪⎩， 法1：由弦长公式可得：122244224AB x x p k k=++=++=+， 由点到直线的距离公式可得：坐标原点O 到直线l 的距离为21k d k =+，故AOB △的面积为2221141422211AOB kS AB d k k k k k ⎛⎫⎛==+=+ ⎝++⎝△ 222212141k k kk k ++===+，()2224116AOBk Sk +==△ 解得：3k =． 法2：()1212121242AOB AOF BOF k pS S S OF y y k x x x x =+=-=-=-△△△， 而()222121212224241616442411x x x x x x k k k k k ⎛⎫-=+-=+-⨯=+=+ ⎪⎝⎭ 故222421142AOBkk S k k k+=+==△， 解得：33k =±，213k =，又24412416AB k =+=+=， 因此，当AOB △的面积为4时，所求弦AB 的长为16．II 卷（共6道题，满分50分）一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分）18． （I ）()2,2或()2,2- （II ）2 19． （I ）31,,12⎛⎫⎪⎝⎭（II ）3 二、解答题（本大题共2小题，满分30分．）20． 解：（I ）依题意可设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由左右焦点坐标()13,0F -)23,0F 可知：3c =由12AF F △的周长为423+22423a c +=+ 于是得：2a =， 又()2220a b ca b =+>>，故可得：1b = ，所求椭圆C 的方程为2214x y +=．（II ）由题意易知：直线l 的斜率存在，可设其为k ， 故直线l 的方程为()20y kx k =+≠，设原点O 关于直线l 的对称点O '的坐标为()00,x y ， 则线段OO '的中点D 的坐标为00(,)22x y ， 由题意可知：点D 在直线l 上，故有00222y xk =+①， 点O 在椭圆C 上，故有220014x y +=②，线段OO '与直线l 垂直，故有0'01OO y k x k==-③， 由①③可得：02024141k x k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将其代入②可得：5k =±故所求直线l 的方程为52y x =+或52y x =-+，21． 解：（I ）法一：在图（1）中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，2AB =当D 为AB 边的中点时，122AD BD CD AB ====， 且有CD AB ⊥， 在图（2）中取AB 的中点M ，易知：在ABC △中，1CA CB ==，CM AB ⊥， 在ABD △中，22DA DB ==，DM AB ⊥， 故CMD ∠即为半平面CAB 与半平面DAB 所成角， 在图（2）中，CD AD ⊥，CD BD ⊥ ，又AD BD D =，AD ，BD ⊂平面ABD ，故由线面垂直的判定定理可得：CD ⊥平面ABD ， 而DM ⊂平面ABD ，再由线面垂直的性质定理可得：CD DM ⊥， 因二面角B CD A --为直二面角，平面BCD 平面ACD CD =，且BD CD ⊥，BD ⊂平面BCD ， 故BD ⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，因此BD AD ⊥， 于是在Rt ABD △中，12122DM AB AD ===， 又在图（1）中，1222CD AB ==， 故在Rt CDM △中，223CM CD DM =+=132cos 32DM CMD CM ∠=== 可得3arccos 3CMD ∠=， 即所求二面角C AB D --的大小为3arccos3． 法二： 以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DB 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知：A ，B ，C ，D 四点坐标分别为2(2A ，2(0,0,2B ，2(0,2C ，(0,0,0)D 于是有：22(AB =-，22(AC =- ，2(AD =-， 设平面ABC 的法向量()1111,,n x y z =，平面ABD 的法向量()2222,,n x y z =，则有11111122022220n AB x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ，即111x y z ==，2222222022202n AB x z n AD x ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，即220x z ==，取11x =，21y =，可得平面ABC 的法向量为()11,1,1n =，平面ABD 的法向量()20,1,0n =， 设二面角C AB D --的大小为θ，由图（2）可知：θ为锐角，故12123cos =3n n n n θ⋅=，所以3arccos θ=， 因此，所求二面角C AB D --的大小为3． （II ）在图（1）中，当2AD BD =时，有22233AD AB ==123BD AB ==， 过点D 作DG AC ∥交BC 于点G ，易知1133BG DG BC ===，2233CG BC == ， 在Rt CDG △中， 2222125()()33CD CG DG =+=+=， 过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点B 作BF CD ⊥于点F ， 易得：22535AC BC AE CD ⨯=⋅=152BF AE ==， 于是：111333BCD ABC S S AC BC BF CD ==⨯=⨯=△△ ， 222333ACD ABC S S AC BC AE CD ==⨯=⨯=△△， 在图（2）中，由二面角B CD A --为直二面角可知：AE ⊥平面BCD ，设点B 到平面ACD 的距离为d ，在三棱锥A BCD -中，有A BCD B ACD V V --=， 即：1133BCD ACD AE S d S ⨯=⨯△△ ， 于是152BCD ACD AE S d AE S ⨯===△△， 故点B 到平面ACD 5（III ）不存在一点D ，使得二面角C AB D --是直二面角． 证明：假设存在一点D ，使得二面角C AB D --是直二面角，B 点折起来之后到B '的位置如图，取M 为AB '中点，E 为AB 中点，连接CE ，CM ，EM ． 因为AC CB =，AC CB '=，M 为AB '中点，所以CM AB '⊥,因为平面AB C '平面AB D AB ''=，又因为二面角C AB D --是直二面角， 所以CM ⊥平面AB D ', 因为EM ⊂平面AB D '，所以CM EM ⊥,所以CME △是直角三角形，90CME ∠=︒，所以CE CM >．在ABC △与AB C '△中，易知这两个等腰三角形中腰相等，底边AB AB '>，则BE B M '>， 又2222CE BC BE B C B M CM ''=--=, 与CE CM >矛盾，故假设不成立.所以不存在一点D ，使得二面角C AB D --是直二面角．D CAB'EMB人大附中2015-2016学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习&必修2-1模块考核试卷选填解析一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C C A D C D A1．【答案】A【解析】因为{1}A a =，，{1,2,3}B =，且A B ⊆，所以2a =或3a =，显然“3a =”是“2a =或3a =”的充分不必要条件，故选A ． 2．【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，并且否命题结论需要否定，所以原命题的否定为：x ∃∈R ，20x ≤， 故选C ． 3．【答案】C【解析】1111()2222BD AD BA AC OA OB OC OA OA OB a b c =+=+-=-+-=-+，故选C ． 4．【答案】A【解析】因为原命题为：若220a b +=，则a ，b 全为0， 所以逆命题：若a ，b 全为0，则220a b +=，故A 正确； 否命题：若220a b +≠，则a ，b 不全为0，故B 错误； 逆否命题：若a ，b 不全为0，则220a b +≠，故C 错误； 否定：若220a b +≠，则a ，b 不全为0，故D 错误；故选A ． 5．【答案】D【解析】由已知可得双曲线的离心率为2222a b +=，解得3b a = 所以该双曲线的渐近线方程为3y x =30x y ±=，故选D ． 6．【答案】C【解析】不妨设21||||PF PF >，1||PF x =，则2||4PF x =+， 由题意可知12||2456F F =+=，则222(4)6x x ++=， 解得142x =或142x =-（舍去），则2||142PF ， 121211||||(142)(142)522PF F S PF PF =⋅⋅=⋅⋅=△，故选C ．7．【答案】D【解析】不妨设2)A p ，则1(,)42pB ，易知焦点F 坐标为(,0)2p -， 由题意知A ，B ，F 221242pp -=--1p =， 则准线方程为122p x =-=-，故选D ． 8．【答案】A【解析】因为动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点()1,1的距离， 所以22||||(1)(1)x y x y +=-+-，即||10xy x y ++-=， 当0xy ≥时，(1)(1)2x y ++=，当0xy <时，(1)(1)0x y --=，图像如右图所示，所以曲线W 关于直线y x =对称，不关于原点、x 轴、y 轴对称， 只有一个正确故选A ．9．【答案】22144x y -=【解析】因为双曲线以y x =±为渐近线，所以该双曲线为等轴双曲线，不妨设方程为22(0)x y λλ-=≠．代入点(2,0)可得4λ=，所以该双曲线方程为224x y -=，化为标准式为22144x y-=．10．【答案】4- 【解析】由题意知242212x -===--，所以=4x -．11．【答案】52，32【解析】由P 是椭圆上一点，可知1224PF PF a +==，联立121PF PF -=， 解得15||2PF =，23||2PF =． ．12．【答案】42(,,0)55【解析】(1,2,0)AB =-，不防设(,2,0)AD AB λλλ==-，则(1,2,0)D λλ-， 则(1,2,1)CD λλ=--，由题意可知CD AB ⊥，所以140CD AB λλ⋅=-+=， 解得15λ=，所以点D 坐标为42(,,0)55． 13．【答案】 (][)1,23,+∞【解析】由题意可知p ，q 一真一假， 若p 为真，由题意有2400m m ⎧->⎨-<⎩，解得2m >，若q 为真，由题意有2[4(2)]4410m ∆=--⨯⨯<，解得13m <<， 当p 真q 假时，可得3m ≥，当p 假q 真时，可得12m <≤， 综上知m 的取值范围为 (][)1,23,+∞ ．14．【答案】()22104y x x +=≠ ；45【解析】（1）设(,)M x y ，由题意有224(0)y y x x x -+⋅=-≠，整理得()22104y x x +=≠， （2）不妨设(cos ,2sin )P αα，(cos ,2sin )Q ββ，由题意可知cos cos 4sin sin 0αβαβ+=， 因为0x ≠，所以可得1tan tan 4αβ=-，所以221tan tan 16αβ=，并且221tan tan 2|tan tan |2αβαβ+≥=，当且仅当1tan tan 2αβ=-=或1tan tan 2αβ=-=-时“=”成立． 222211||||cos +4sin cos +4sin 22OPQ S OQ OP ααββ=⋅=△222222221cos cos +16sin sin +4sin cos +4sin cos 2αβαβαββα2222222222221cos cos +16sin sin +4sin cos +4sin cos 2(sin +cos )(sin cos )αβαβαββαααββ=+22222222222222221cos cos +16sin sin +4sin cos +4sin cos 2cos cos +sin sin +sin cos +sin cos αβαβαββααβαβαββα分子分母同时除以22cos cos αβ可得原式2222222222221116tan tan 4tan 4tan 124tan 4tan 1721tan tan tan tan 2tan tan 16αβαβαβαβαβαβ++++++++++2213613618444121716(tan tan )225517162αβ=--⨯=+++⨯， 当且仅当1tan tan 2αβ=-=或1tan tan 2αβ=-=-时“=”成立， 此时面积最小为45．18．【答案】 (2,2)或(2,2)-，2【解析】（1）设(,)Pxy ，则22222||(3)(3)249(2)5PA x y x x x x x =-+=-+-+-+，显然当2x =时||PA 最小，此时2y =±，所以点P 坐标为(2,2)±． （2）因为PM 、PN 与圆相切，所以PM AM ⊥、PN AN ⊥， 2222||||||491(2)4PM PN PA r x x x ==--+--+，2211()12(2)4(2)422PAM PAN PMAN S S S r PM PN x x =+=+=⋅⋅-+-+四边形△△当2x =时，面积最小为2．19．【答案】3 (1,,1)2；3【解析】（1）设点G坐标为(,,)x y z，由重心的特征可知，则1(0202)14x=+++=，13(0033)42y=+++=，1(2002)14z=+++=，所以点3 (1,,1)2G；（2）同理点M的坐标为20203300242 (,,)(,2,) 33333++++++=，则3(1,,1)2AG=-，111(,,)322GM=-，有坐标易知3AG GM=，所以||3 ||AGGM=．。