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【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)

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《直线的倾斜角和斜率》课件2 (北师大版必修2)

《直线的倾斜角和斜率》课件2 (北师大版必修2)

Q2
1 x
对于一条与x轴不垂直的定直线而言，斜率为 定值，由该直线上任意两点确定的斜率总相等。
y
(x2,,y2)
Q
Q1
x x2 x1 0 向右平移
P(x1,y1)
(x1,,y1)
F
P
y2-y1
C E
x x2 x1 0 向左平移 y y2 y1 0 向上平移
作业：
书P72 1, 2 (1),(2),(3) , 3 (1),(3) , 5
谢谢指导！ 谢谢指导！
7 6 5 4 Q3
l2 l1
(-3 , 2)
-6 -5 -4 -3
.
3
2
1 1 2
.
3
(3 , 2)
l3
6 7 x
(-2
-2 -1 0 -1 Q1 , -1) -2 -3 -4
.
(4 , -2)
.
4
5 Q2
-5
l1
变题1:你能很快的说出下列直线的 斜率吗?
y y
B
3
A
1 0 1
C
5
x
3
D
1 0 1
1 0
Q (x1,,y1)
y2-y1
C
P (x2,,y2)
1 0
x2-x1
1
x
1
x
k
y2-y1
=
x2-x1
x2≠x1
直线PQ的斜率
当x2=x1 时，即直线与x轴垂 直时，斜率不存在。
y
尝试活动
(x2,,y2)
Q1
Q
(x1,,y1)
F
P
C
1 0 E

【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)(3)

【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)(3)

x1
o
x2
x
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，K=0
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ) 的直线的斜率公式：
y2 y1 y1 y2 k (或k ) x2 x1 x1 x2
P2

3 tan 30 3

a 0 k tan 0 0


当a 90时 k ?
y
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时， 直线的倾斜角是多少？
a 90 tan a(不存在 )

即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
o

x1
x2
x
在RtP PQ中 2 1
0
钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan(180 )

Q( x2 , y1 )
P ( x1, y1 ) 1
o

x1
x2
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
倾斜程度 倾斜角
3、直线倾斜角的 意义
倾斜角相同能确 定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3
y
l 2 l1
o
x
4、如何才能确定直线 位置？
y
l
a
x o
过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线？

《倾斜角与斜率》课件1(北师大版必修2)

《倾斜角与斜率》课件1(北师大版必修2)

分析:已知三点A,B,C.如果直线AB,AC的斜率 相同,那么这三点在同一条直线上. back
三角函数值
0
sin cos tan

30 45 60 90 120 135 150 180
1 2 3 2 3 3








0 1 0
2 2 2 2
3 2 1 21源自3 22 21 2
0
1
1
1 2 3 0 2 2 2 3 不存 3 3 1 3 在
0
back
P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 )
y2 y1 k x2 x1
( x1 x2 )
back
1.求经过下列两点的斜率倾斜角 6 (1) C (18, 8) D(4, 4) k 7 (2) P (0, 0) Q ( 1, 3 ) k 3 2.已知a,b,c是两两不等的实数,求经过 下列两点直线的倾斜角. (1) A(a, c ) B(b, c ) 0 (2) C (a, b)
•直线的斜率可取一切实数,即 k R
三角函数值表 back
已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率
(1) 30

3 k 3
k 1

(2) 45
(3) 120 k 3 (4) 135 k 1

back
斜率的计算公式,及其使用限制
在直线l上任取两个不同的点
back
在平面中,如何确定一条直线 •直线上的任意两个不同点 •直线上一点和倾斜角 •直线上一点和斜率
back
在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率为1,-3的直线.

【数学】2.1.1直线的斜率 课件(北师大版必修2)

【数学】2.1.1直线的斜率 课件(北师大版必修2)

m 22 m k 1 m 1 m ．
2 2
(1)判断下列命题的真假： ①若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率 也一定相等；× ②若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角 也一定相等；√ ③若两条直线的倾斜角不等，则它们中倾斜 角大的，其斜率也大； × ④若两条直线的斜率不等，则它们中斜率大 的，其倾斜角也大。×
在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴 相交的直线,把 x 轴所在的直线绕着交点按 逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最 小正角称为这条直线的倾斜角. y
规定：
与 x 轴平行或重合的直 o 线的倾斜角为 0
-2
6
o

3 8
x
根据定义结合图像说说倾斜角的范围：
0 180
o
o
概括：倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程 度的量，斜率侧重于数量关系，而倾斜角 则更加直观形象．
情境（1）两点确定一条直线，过一点可以 画无数条直线。 情境（2）楼梯或山坡的倾斜程度可用坡度 来刻画。 问题（1）过一点要画出一条直线还需什么 条件？ 问题（2）我们熟悉的坡度是怎样确定的？

直线
想一想：
楼梯的倾斜程度是 怎样刻画的？
高度 坡度 宽度
宽度
高 度
可以看出：如果楼梯台阶的宽度不变，那么每 一级台阶的高度越大，坡度就越大，楼梯就越陡．
（2）已知三点 A(3,3), B(1,1), C(2,7) ， 求 K AB 和K BC . 1 3 7 1 解：K AB 2，K BC 2. 1 3 2 1 思考：如果 K AB 和K BC ，那么A、B、 C三点有怎样的关系？有什么用处？
x
k
y2 y1 x2 x1

高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修

高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修
(2)如图，已知 A(3,2)，B(－4,1)，C(0， －1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率；
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．

【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)(3)

【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)(3)

x
o
一、直线的倾斜 角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角（angle of inclination）
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
A
y
a
C D
x x o
x
o
o
a
B
y
a
o
x
a
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我 们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线 的倾斜角的取值范围为： a 180 0
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y y y y
a
锐角 直角
x x o o o x
a
x
o
零度角
钝角
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
x1 o
x2
x
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，K=0
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线的斜率公式：
y2 y1 y1 y2 k (或k ) x2 x1 x1 x2
P2

P ( x1, y1 ) 1
P2 PQ, 1
Q( x2 , y1 )
且x1 x2 , y1 y2
QP2 y2 y1 k tan tanP2 PQ 1 PQ x2 x1 1

【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)(3)


如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( ) 180

Q( x2 , y1 )
P ( x1, y1 ) 1
o

x1
x2
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1

tan60 3 当α是锐角时， tan( a 135 k tan135 180 135 ) tan( 180 ) tan

tan45 1


180 150 ) a 150 k tan150 tan(
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
x1 o
x2
x
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，K=0
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线的斜率公式：
y2 y1 y1 y2 k (或k ) x2 x1 x1 x2
P2
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面度为K

【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)


思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A

前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示，即：
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：

3 tan30 3

a 0 k tan0 0


当a 90时 k ?
y
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时， 直线的倾斜角是多少？
a 90 tana(不存在)

即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )
P1 P1
P2
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan90 (不存在)

2. 1.1 直线的倾斜角和斜率 课件(北师大版必修二)


[例1]
一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向 ( )
的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为 A．α C．180°－α或90°－α [思路点拨] B．180°－α
D．90°＋α或90°－α
由题意知直线l的上半部分可能在y轴左侧或
右侧，因此可借助图形解之．
[精解详析]
如图，当直线l向上方向的部分在y
4．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求
其
斜率．
①(1,1)，(－1，－2)；②(1，－1)，(－2,4)；
③(2,2)，(10,2)；④(－2；－3)，(－2,3)．
－2－1 3 解：①k＝ ＝ . －1－1 2 4－－1 5 ②k＝ ＝－3. －2－1 2－2 ③k＝ ＝0. 10－2 ④∵两点的横坐标相等， ∴斜率不存在．
解析：直线的倾斜角范围0°≤α<180°，故②④错，
直于y轴的直线的倾斜角都是0°，故③错；①是正确
的
2．已知直线l1的倾斜角为α1，其关于x轴对称的直线l2的
倾斜角为α2，求α2.
解：如图，结合图形可知α1＝30°，则l1关于x轴对
称的直线l2的倾斜角为
α2＝180°－α
＝180°－30° ＝150°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C 点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时， 直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由 3 kCA增大到kCB，所以k的取值范围[ 3 ， 3 ]．
[一点通] 1．已知斜率可以求直线的倾斜角或参数的取 值范围，也可利用斜率解决三点共线问题． 2．利用数形结合思想可知，当直线绕定点由 与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直 时，倾斜角由0°增大到90°，斜率由0逐渐增大到＋ ∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时， 斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．

【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)(3)

倾斜程度 倾斜角
3、直线倾斜角的 意义
倾斜角相同能确 定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3
y
l 2 l1
o
x
4、如何才能确定直线 位置？
y
l
a
x o
过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线？
能
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
二、直线的的斜 率
升高量 前进量
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
Q ( x 2 , y1 )

o
x1
x2
x
在 Rt P2 P1 Q 中
QP 2 P1 Q
k tan tan P2 P1 Q

y 2 y1 x 2 x1
0
钝角
y
y2
P2 ( x 2 , y 2 )
如图，当α为钝角是，
180

,
且 x1 x 2 , y 1 y 2
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
坡度
D
C 升

设直线的倾斜程度为K
k AC AB AC
tan
tan
A

高 量
k AD
BD AD
前进量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 a 的正切值叫做这 条直线的斜率(slope)。 用小写字母 k 表示，即：

y 2 y1 x 2 x1
0
思考？
0

2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时， k tan 0 0 上述公式还适用吗？为什么？
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直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
x1 o
x2
x
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，K=0
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线的斜率公式：
y2 y1 y1 y2 k (或k ) x2 x1 x1 x2
P2
A
y
a
C D
x x o
x
o
o
a
B
yபைடு நூலகம்
a
o
x
a
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我 们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线 的倾斜角的取值范围为： a 180 0
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y y y y
a
锐角 直角
x x o o o x
a
x
o
零度角
钝角
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( ) 180

Q( x2 , y1 )
P ( x1, y1 ) 1
o

x1
x2
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
tan 在RtP2QP中 1 P2Q y2 y1 tan x1 x2 PQ 1
0
思考？
2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时， k tan0 0 上述公式还适用吗？为什么？
0

y
P ( x1, y1 ) 1
P2 ( x2 , y2 )
y2 y1 k x2 x1
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A

前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示，即：

tan60 3 当α是锐角时， tan( a 135 k tan135 180 135 ) tan( 180 ) tan

tan45 1


180 150 ) a 150 k tan150 tan(
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
x
o
一、直线的倾斜 角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角（angle of inclination）
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
P1 P1
P2
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan90 (不存在)

y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1
y2 y1 k x2 x1
o
x
答：不成立， 因为分母为0。
例 1
、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求 直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 . . . . . . . 0 直线AB的斜率 k AB o x 8 4 . 22 4 1
倾斜程度 倾斜角
3、直线倾斜角的 意义
倾斜角相同能确 定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3
y
l 2 l1
o
x
4、如何才能确定直线 位置？
y
l
a
x o
过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线？
能
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
二、直线的的斜 率
升高量 坡度 前进量

P ( x1, y1 ) 1
P2 PQ, 1
Q( x2 , y1 )
且x1 x2 , y1 y2
QP2 y2 y1 k tan tanP2 PQ 1 PQ x2 x1 1
o

x1
x2
x
在RtP2 PQ中 1
0
钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
a 的正切值叫做这
条直线的斜率(slope)。
k tan a

例如： 3 a 30 k tan30 3

a 45 k tan45 1 a 60 k tan60 3
a 120 k tan120 tan( 120 ) 180
第二章 解析几何初步
2.1.1 直线的倾斜角和斜率
在平面直角坐标系 里
点用坐标表示: 直线如何表示呢？
y
y
p ( x, y )
l
x
o
思考？
一条直线的位置由 哪些条件确定呢？
x
o
直线的位 置
y
我们知道，两点确定一条直线。
一点能确定一条 直线的位置吗？
过一点O的直线可以作无数条， 可以用直线与X轴的夹用描述它 们的倾斜程度

3 tan30 3

a 0 k tan0 0


当a 90时 k ?
y
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时， 直线的倾斜角是多少？
a 90 tana(不存在)

即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )