连续信号的采样与重构

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离散信号的时域过采样结果如下图所示:
4) 频域过采样
MATLAB 程序: freq=[0 0.45 0.5 1]; mag=[0 1 0 0]; x=fir2(99,freq,mag); [Xz,w]=freqz(x,1,512); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(Xz));axis([0 1 0 1]);grid title('输入谱'); subplot(2,1,2); L=input('过采样因子='); y=zeros(1,L*length(x));
答:混迭频率是 120Hz-5000Hz。因为方波信号除了频率为 200Hz 的基波外,还含
有频率为 200Hz 的奇数倍的各次谐波,这些谐波频率的 2 倍都大于 500Hz,所以取 样后其频谱都会产生混迭现象。
2) 在时域抽样定理中,为什么要求被抽样信号必须是带限信号?如果频带是无限的, 应如何处理?
f=input('f=plot(x1,3*sin(2*pi*f*x1));
%原时域连续信号 y=3sin(2πft)
xlabel('t');ylabel('x(t)');
title('原时域连续信号 y=3*sin(2*pi*f*t)');
grid
sin1=3*sin(2*pi*f*w);
grid;
Y=fft(y,512);w=(0:255)/256*500;
subplot(2,1,2);plot(20*w,([Y(1:256)]));
%绘制频谱图
xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');
title('频谱图');
grid;
恢复后的时域波形及频谱曲线如下图所示:
f=150Hz 时
title('连续时间信号 x[n]'); axis([0 (length(n)-1) -1.2 1.2]);
正弦信号的采样结果如下图所示:
2) 模拟低通滤波器设计
MATLAB 程序: clf; Fp=3500;Fs=4500; Wp=2*pi*Fp;Ws=2*pi*Fs; [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,0.5,30,'s'); [b,a]=butter(N,Wn,'s'); wa=0:(3*Ws)/511:3*Ws; h=freqs(b,a,wa); plot(wa/(2*pi),20*log10(abs(h)));grid xlabel('Frequency,Hz');ylabel('Gain,dB'); title('Gain response'); axis([0 3*Fs -60 5]);
title('低通滤波器');
grid;
figure
y=filter(B,A,sinf);
subplot(2,1,1); plot(n*0.01/zb(2),y);
%恢复后的连续信号 y=3sin(2πft)
xlabel('t');ylabel('x(t)');
title('恢复后的连续信号 y=3*sin(2*pi*f*t)');
子函数通过控制参数n的取值多少可分别计算离散和近似连续信号的频谱值 并作为函数值进行返回。
时域波形及频谱曲线如下图所示:
f=150Hz 时
f=3000Hz 时
%对连续信号 y=3sin(2������ft)进行抽样并产生其频谱:
display('Please input the value of fs') f1=input('fs='); n=0:0.01*f1; zb=size(n)-1; figure sinf=3*sin(2*pi*f*0.01*n/zb(2)); subplot(211); stem((2/10000*n,sinf,'.'); xlabel('nTs');ylabel('x(n)'); title('采样后的时域信号 y=x(n)'); w=0:(pi/100):30*pi; subplot(212) plot(5120*w,fft1(w,sinf,n)); xlabel('w');ylabel('x(w)'); title('采样后的频域信号 y=FFT(3sin(2πfn))'); grid 采样后的时域波形及频谱曲线如下图所示:
grid;
其中要用到子函数 fft1,程序代码如下: function result=fft1(w,hanshu,n) a=cell(1,length(w)); for i=1:length(w)
m=hanshu.*((exp(-j*(i-1)*pi/100)).^n); a{i}=sum(m); end for i=1:length(w) result(i)=a{i}; end
fo(t)
−������������ −������������ 0 ������������ ������������
ω
|Fo(ω)|
0
t
−������������ 0 ������������
ω
信号的采样与恢复示意图如上图所示
抽样定理指出:一个有限频宽的连续时间信号 f(t), 其最高频率为������������,经过等间隔抽样 后,只要抽样频率������������ 不小于信号最高频率������������ 的二倍,即满足������������ ≥ 2������������,就能从抽样信号 fs(t) 中恢复原信号,得到 fo(t)。fo(t)与 f(t)相比没有失真,只有幅度和相位的差异。一般把最 低的抽样频率������������������������������ = 2������������ 称为奈奎斯特抽样频率。当 ������������<2������������时,fs(t)的频谱将会产生混 迭现象,此时无法恢复原信号。
上机实验 5 连续信号的采样与重构
一、
1) 2) 3) 4) 5)
二、
实验目的
验证采样定理; 熟悉信号的抽样与恢复过程; 通过实验观察欠采样时信号频谱的混迭现象; 掌握采样前后信号频谱的变化,加深对采样定理的理解; 掌握采样频率的确定方法。
实验原理
f(t)
|F(ω)|
0
t
s(t)
−������������ 0 ������������
ω
|S(ω)|
...
...
t
−������������ 0 ������������ 2������������ ������������������
fs(t)
... −������������
...
ω
0
������������
|Fs(ω)|
t −������������ 0 ������������ 2������������ ������������������
信号抽样与恢复的原理框图如下图所示。
f(t) A/D 转换
数字信 号处理
D/A 转换
低通滤 波器
fo(t)
图 2.5-2 信号抽样与恢复的原理框图
由原理框图不难看出,A/D 转换环节实现抽样、量化、编码过程;数字信号处理环节对 得到的数字信号进行必要的处理;D/A 转换环节实现数/模转换,得到连续时间信号;低通 滤波器的作用是滤除截止频率以外的信号,恢复出与原信号相比无失真的信号 fo(t)。
模拟低通滤波器设计结果如下图所示:
3) 时域过采样
MATLAB 程序: n=0:50; x=sin(2*pi*0.12*n); y=zeros(1,3*length(x)); y([1:3:length(y)])=x; subplot(2,1,1) stem(n,x); title('输入序列'); subplot(2,1,2) stem(n,y(1:length(x))); title('输出序列');
f=150Hz 时 f=3000Hz 时
%通过低通滤波恢复原连续信号
[B,A]=butter(8,1000/1300);
%设置低通滤波器参数
[H,w]=freqz(B,A,512,30);
figure;
%绘制低通频谱图
plot(w*2000/(2*pi),abs(H));
xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');
MATLAB 程序:
%用 MATLAB 产生连续信号 y=3sin(2������ft)(t>0)和其对应的频谱
x1=0:0.000000001:0.01;
w=linspace(0,0.01,(length(x1)/100000));
display('Please input the value of f')
f(t)的幅度频谱为|F(ω)|;开关信号 s(t)为周期矩形脉冲,其脉宽τ相对于周期 T 非常小, 故将其视为冲激序列,所以 s(t)的幅度频谱|S(t)|亦为冲激序列;抽样信号 fs(t)的幅度频谱为 |Fs(ω)|;fo(t)的幅度频谱为|Fo(ω)|。
观察抽样信号的频谱|Fs(ω)|,可以发现利用低通滤波器(其截止频率满足������������ < ������������ < ������������ − ������������ )就能恢复原信号。
f=3000Hz 时 低通滤波器的频谱图
由抽样定理可知,抽样后的信号频谱是原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓形成 的,周期性在采样后的频谱曲线上都有很好的体现。但是从采样后的结果以及与原连续信号 频谱对比可以看出,信号频率为 3000Hz 的信号对应的抽样信号频谱出现了频谱混叠而并非 原信号频谱的周期延拓。这是因为信号频率相对于采样频率取值过大导致采样角频率������������< 2������������,因此经周期延拓出现了频谱混叠。而信号频率为 150Hz 时,采样角频率������������ ≥ 2������������ , 从而可以实现原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓,并不产生混叠,从而为下一步通 过低通滤波器滤出其中的一个周期(即不失真的原连续信号)打下了基础。