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版高中数学小问题集中营专题42拼凑角在三角函数求值中的应用

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专题二 拼凑角在三角函数求值中的应用一、问题的提出【2016高考新课标2理】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【解析】2237sin 2cos 22cos 12144525ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，故选D.本例的这种解法，充分观察和分析了问题与条件角的关系，通过变角，联系恒等变形公式，达到快速解题。

而在三角函数的求值、化简与证明题中,常常需要调整差异,而最常见的差异就是角的差异，调整角的差异时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决。

二、问题的探源 拼凑角主要有以下两类：1. 在利用诱导公式求值或化简时,巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等,常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．2. 在利用两角和与差的三角函数公式求值、化简与证明题中,常可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解.常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；等等.三、问题的佐证 【例1】(1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝12,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________；(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________．【答案】（1）12. （2）－33.【解析】(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2, ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π, ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33. 【例2】函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 【答案】1【解析】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+ =()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1. 【例3】已知()10,tan,cos 223πααβπβα<<<<=-=. （1）求sin α的值； （2）求β的值. 【答案】(1)35.(2)34πβ=. 【解析】 (1)22tan132tan,tan 2341tan 2αααα=∴==-,sin 3cos 4αα∴=, 22sin cos 1αα+=，及30,sin 25παα<<∴=.【例4】已知1),tan()tan(-≠-=+n n βαβα,求证：112sin 2sin +-=n n αβ. 【分析】在条件中的角βα+和 βα-与求证结论中的角βα2,2是有联系的,可以考虑配凑角. 【解析】 )()(2βαβαβ--+=,)()(2βαβαα-++=,∴)]()sin[()]()sin[(2sin 2sin βαβαβαβααβ-++--+=)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-++-+-+--+=)tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα-++--+=11)tan()tan()tan()tan(+-=-+----=n n n n βαβαβαβα四、问题的解决1. sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32【答案】C【解析】sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12.故选C.2．若21)tan(,31tan =+=βαα,则=βsin （ ） A.71 B.71± C.102 D.102± 【答案】D【解析】因为21)tan(,31tan =+=βαα,所以()11123tan tan 117123βαβα-=+-==⎡⎤⎣⎦+⨯, 可得227sin cos 49sin 1sin ββββ=⇒=-⇒ =βsin 102±,故选D. 3．若tan 2tan 5πα=,则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 1055553sin()sin()sin cos cos sin tan tan55555πππππαααααπππππααααα-+++====----. 4.已知tan(α＋β)＝－1,tan(α－β)＝12,则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 【答案】A 【解析】sin2αsin2β＝sin[（α＋β）＋（α－β）]sin[（α＋β）－（α－β）]＝sin （α＋β）cos （α－β）＋cos （α＋β）sin （α－β）sin （α＋β）cos （α－β）－cos （α＋β）sin （α－β）＝tan （α＋β）＋tan （α－β）tan （α＋β）－tan （α－β）＝13.故选A.5.已知sin 3α=,1cos()3αβ+=-,且,(0,)2παβ∈,则sin()αβ-的值等于__________.【答案】27【解析】由于sin α=所以1cos 3α=,7sin 229αα==-由于1cos()3αβ+=-,()sin αβ+=,()()()sin()sin 2sin 2cos cos 2sin αβααβααβααβ-=--=---=⎡⎤⎣⎦. 6.已知2sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 【答案】16【解析】 因为2sin23α=，根据余弦的二倍角公式可得； ()211121cos 1cos 212sin214222236ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。

7.已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 【答案】78-【解析】由134sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得1cos cos sin 62334ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，那么217cos 2cos22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

8.已知35123cos ,sin ,,0,45413444πππππσβσβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=∈∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin σβ＋＝ ________．9.已知向量23sin ,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎭⎝⎭ 若m n ⊥ ，则πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的值为__________．【答案】12【解析】m n ⊥ 211π1cos cos 0cos 0sin 4442222262x x x x x x ⎛⎫+=⇒++=⇒+=- ⎪⎝⎭)cos 2(x π⎡+=⎢2π1112sin 14622x ⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭10.已知cos α＝17,cos ()α－β＝1314,且0<β<α<π2. (1)求tan2α的值； (2)求β的值． 【答案】（1）－8347. （2）π3【解析】 (1)由cos α＝17,0<α<π2, 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437, 所以tan α＝sin αcos α＝43,tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－8347. (2)由0<β<α<π2,cos(α－β)＝1314＞0得0<α－β<π2,所以sin ()α－β＝1－cos 2()α－β＝3314, 于是cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos ()α－β＋sin αsin ()α－β＝17×1314＋437×3314＝12,所以β＝π3.11.已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()·f x a b =，ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,12B C f a b +⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ；（2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值. 【答案】（1）S 2）cos2α=（2）由()3sin 2,0654f ππααα⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭时，2663πππα-<-<， ∴4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12.已知1sin sin ,,36432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（I ）求sin2α的值； （II ）求1tan tan αα-的值. 【答案】（1）12（2）【解析】（I ）11sin sin cos sin sin 23666234πππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1sin 232πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又因为,32ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,33ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以111sin2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333222ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. （II ）由（I ）知1sin22α=，又22,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos2α=所以221sin cos sin cos 2cos2tan tan cos sin sin cos sin22αααααααααααα---=-====13.设向量()4cos ,1m x =sin ,16n x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()•g x m n =。

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高中数学题集，解三角题的配凑角技巧，一个题就能看懂

高中数学题集，解三角题的配凑角技巧，一个题就能看懂

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数学上的一类公式，用于三角函数等价代换，可以用于方便我们化简式子，也方便运算，基本上可以从三角函数的函数图像中推理出诱导公式，也能从诱导公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式，和差化积，万能公式等，当然还有老师没讲或者很少讲的和差化积积化和差公式，笔者上学的时候老师还是讲的，有的同学说不必学这些，考试也不考，但是很多题你会发现用一般公式解决是比较麻烦的，或者有的题你会想很久也没思路，你就缺这些公式了，高考前多学学也没坏处哦
这道题的解法是很简单，但是关键在于找到角之间的关系，配凑要合理合适，才能解出你所求的，至于为何这样配凑，先看题目已知cos（α+π/6）=4/5，这个超级眼熟，机灵点的同学可能已经口算出其角的正弦值了，注意角的范围及正余弦函数值的符号，避免导致错误，再来看所求角的特点，2α+π/12，能联想到的就是已知角的两倍，可是又不完全相等，所以心中就闪现此题需要配凑的想法，能直接配出角，又发现与π/4有关，那太好了，π/4的正余弦值都熟悉，整个题目就解决了，利用你熟悉的化简公式来一遍即可得结果哦下面的方法大同小异，你自己可以来试试哈
三角函数的化简求值证明，本质就是恒等变形，三角函数题目千变万化，但是对题目结构框架进行分析，适当变形，就能找到有效的解题思路和方法，简化解题过程，关键就是配凑技巧，配凑角是其中的一种，上题就很好的体现了这一技巧方法，而配凑的目的就是把陌生的角配凑成已知熟悉的角，题目不难，这一配凑方法要掌握哦，更多高考数学知识，解题技巧，请关注头条号数学教育，欢迎大家留言交流，不足之处多多包涵哦。

2018版高中数学小问题集中营专题4.1(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ在解题中的应用

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专题一 2(cos sin )12sin cos αααα±=±在解题中的应用一、问题的提出【2016高考新课标2理】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ）.A.725 B.15C.15-D.725-该题可以巧妙利用cos sin αα±，cos sin αα⋅的内在联系解题,而此类问题在高考中出现的频率比较高,且技巧性较强,容易出错。

也充分反映了三角函数恒等变形的灵活性，下面我们就来探讨这一类问题的解法。

二、问题的探源本题的解法：因为3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得)3cos sin 25αα+=，所以cos sin 5αα+=1871sin 2sin 22525αα+=⇒=-.故选D 。

对于cos sin αα+，cos sin αα⋅，cos sin αα-这三个式子，利用2(cos sin )1sin 2ααα±=±可“知一求二”。

即运用2(cos sin )12sin cos αααα±=±解题时，若由sin α±cos α可得到sin αcos α,可通过平方实现；若由sin αcos α得到sin α±cos α，可通过开方实现，此时,应注意正负号的取舍,这种变形及应用在解题中应用非常广泛。

此外利用这些变形还可以推出一些有用的变形； (1)()()33sin cos sin cos 1sin cos αααααα+=+-;(2)()244222222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=+-=-;(3) ()()6622422422sin cos sin cos sin sin cos cos 13sin cos αααααααααα+=+-+=-.三、问题的佐证 【例1】已知1sin cos225αα-=，求sin α的值 【解析】由1sincos225αα-=两边平方，易得11sin 25α-=.∴ 24sin 25α=。

[K12学习]2018版高中数学 小问题集中营 专题4.2 拼凑角在三角函数求值中的应用

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专题二 拼凑角在三角函数求值中的应用一、问题的提出【2016高考新课标2理】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【解析】2237sin 2cos 22cos 12144525ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，故选D.本例的这种解法，充分观察和分析了问题与条件角的关系，通过变角，联系恒等变形公式，达到快速解题。

而在三角函数的求值、化简与证明题中,常常需要调整差异,而最常见的差异就是角的差异，调整角的差异时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决。

二、问题的探源 拼凑角主要有以下两类：1. 在利用诱导公式求值或化简时,巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等,常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．2. 在利用两角和与差的三角函数公式求值、化简与证明题中,常可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解.常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；等等.三、问题的佐证 【例1】(1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝12,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________；(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________．【答案】（1）12. （2）－33.【解析】(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2, ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π, ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33. 【例2】函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 【答案】1【解析】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+ =()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1. 【例3】已知()10,tan,cos 22310πααβπβα<<<<=-=-. （1）求sin α的值； （2）求β的值. 【答案】(1)35.(2)34πβ=. 【解析】 (1)22tan132tan,tan 2341tan 2αααα=∴==-,sin 3cos 4αα∴=, 22sin cos 1αα+=，及30,sin 25παα<<∴=.【例4】已知1),tan()tan(-≠-=+n n βαβα,求证：112sin 2sin +-=n n αβ.【分析】在条件中的角βα+和 βα-与求证结论中的角βα2,2是有联系的,可以考虑配凑角. 【解析】 )()(2βαβαβ--+=,)()(2βαβαα-++=,∴)]()sin[()]()sin[(2sin 2sin βαβαβαβααβ-++--+=)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-++-+-+--+=)tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα-++--+=11)tan()tan()tan()tan(+-=-+----=n n n n βαβαβαβα四、问题的解决1. sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32【答案】C【解析】sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12.故选C.2．若21)tan(,31tan =+=βαα,则=βsin （ ） A.71 B.71± C.102 D.102±【答案】D【解析】因为21)tan(,31tan =+=βαα,所以()11123tan tan 117123βαβα-=+-==⎡⎤⎣⎦+⨯, 可得227sin cos 49sin 1sin ββββ=⇒=-⇒ =βsin 102±,故选D. 3．若tan 2tan5πα=,则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 1055553sin()sin()sin cos cos sin tan tan55555πππππαααααπππππααααα-+++====----. 4.已知tan(α＋β)＝－1,tan(α－β)＝12,则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 【答案】A 【解析】sin2αsin2β＝sin[（α＋β）＋（α－β）]sin[（α＋β）－（α－β）]＝sin （α＋β）cos （α－β）＋cos （α＋β）sin （α－β）sin （α＋β）cos （α－β）－cos （α＋β）sin （α－β）＝tan （α＋β）＋tan （α－β）tan （α＋β）－tan （α－β）＝13.故选A.5.已知sin 3α=,1cos()3αβ+=-,且,(0,)2παβ∈,则sin()αβ-的值等于__________.【答案】27【解析】由于sin 3α=,所以1cos 3α=,7sin 2299αα==-由于1cos()3αβ+=-,()sin 3αβ+=,()()()sin()sin 2sin 2cos cos 2sin 27αβααβααβααβ-=--=---=⎡⎤⎣⎦. 6.已知2sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】16【解析】 因为2sin23α=，根据余弦的二倍角公式可得； ()211121cos 1cos 212sin214222236ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。

高考数学题集，三角函数大题解法最后一步配凑角巧妙简单

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三角函数大题，两问都求值，是比较简单的，能用到的知识和方法还是化简求解常规步骤
方法1直接把角带入求值，这个方法很直接，不需要很多的思考时间，只要计算能力过关，正确答案容易求解，第二问从所给条件特征推断，先化简再求值，应该是正解，化简步骤降幂公式，正弦二倍角逆用公式，最后辅助角公式，题图中没有写这一步，因为最后题目要求的是sinα，直接套用已知条件，再利用同角的平方关系，得出一个关于sinx的二次方程，解出来即可。

到这里很多同学就直接写答案了，但是回过头来再看看，α∈（0，π）这个范围，从这里可以感觉到，两个答案里可能有要舍去的解，正弦值为正，负的舍去，解答完毕。

方法2先化简，直接两问同时解决了，第一问直接带入求解得结果，第二问由化简结果中带入，同样也利用平方关系解得相应的余弦值，最后配凑角，也是非常巧妙的解决这个问题。