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电磁场理论第一周课件

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麦克斯韦电磁场理论.ppt

麦克斯韦电磁场理论.ppt
变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场
麦克斯韦电磁场理论的基本观点：
电磁场：
哪位科学家通过实验证实了电磁波的存在：
电磁波：
阅读课本回答以下问题
变化的电场和变化的磁场相互联系，形成不可分割的统一体
变化的电场和磁场由近及远地向周围空间传播出去，形成电磁波
赫兹
变化的磁场产生电场 变化的电场产生磁场
理解：
学无止境！
对麦克斯韦理论的理解
恒定的磁场不产生电场 恒定的电场不产生磁场 均匀变化的电场产生恒定的磁场 均匀变化的磁场产生恒定的电场
恒定的电流能不能产生磁场？
能，产生恒定磁场
从微观角度，电流是由电荷定向移动形成。所以恒定电流产生的是均匀变化的电场，从而产生恒定有与其他物质相互作用的属性 ③电磁场也是物质存在的基本形态之一 ④光是变化的电磁场在空间传播的一种形式

电磁场理论第一周课件上课讲义

电磁场理论第一周课件上课讲义
• 另一种是旋度为零的矢量场即无旋场，它
等价于一个标量场φ 的梯度。因为任一标
量的梯度的旋度必为零，即：
• 无旋场也就是无环量的矢量场，称为保守 性，相应的标量场称为势场或位场。重力 场即是势场。同样无旋场的散度也不能处 处为零，故无旋场中必有散度源。静电场 就是这样的矢量场。
亥姆霍兹定理
• 任何一种场都须有某种源，因场由源引起， 且同源一起出现。矢量场的散度和旋度分 别对应着矢量场的两种源──散度对应通 量源，旋度对应漩涡源；源的分布决定着 场的分布，即决定场量沿各个方向的变化。 故散度和旋度给出了矢量场的全部信息。
无线电的发明与电子技术的发展 （1890－1980，共90年）
• 19世纪末的三大发明，即1895年德国的伦琴（Rntgen） 射线、1896年法国贝克勒尔（Becquerel）和居里（Curie） 夫妇的放射性及1897年英国汤姆逊（Thomson） 发现电 子，加速了科技进步。20世纪初建立了现代物理学两大理 论体系，即1905、1916年爱因斯坦（Einstein）发表相对 论；1924～1926年，奥地利薛定谔（Schrdinger）、荷 兰海森堡（Heisenberg）、德国泡利（Pauli）和英国狄 拉克（Dirac）确立量子力学。现代六大科技，即1945年 原子能技术、1946年计算机技术、1948年电子与微电子 技术、1957年空间技术、1960年激光技术，还有生物技 术，其中五大科技与我们有关。现代科技的三大支柱是能 源*、材料、信息。
动电的发明与电磁感应的发现及应 用（1800－1889，共90年）
• 1780年意大利加伐尼（Galvani）发现青蛙的“生物电”。 1800年意大利伏特（Volta）发明伏特电池。1820年丹麦奥斯 特（Oersted）发现电流的磁效应；法国毕奥－萨伐尔（BiotSavart）定律；德国安培（Ampere）定律。1822年德国塞贝 克（Seebeck）发现热电效应。1826年德国欧姆（Ohm）定律。 1831年英国法拉第（Faraday）和美国亨利（Henry）发现电 磁感应。1833年俄国楞次（Lenz,Ленц）定律。1834年俄国雅 可比（Jacobi, Якоби）发明电动机。1843年英国焦耳（Joule） 发现电热效应。1847年德国基尔霍夫（Kirchhoff）定律。1864 年英国麦克斯韦（Maxwell）确立电磁理论，预言电磁波。 1867年德国西门子（Siemens）造自激发电机。1876年俄国亚 布洛契可夫（Яблочков）造变压器。1889年俄国多里沃－多 布罗夫斯基（Доливо－Добровольский）确立三相制，导致 以电力、钢铁为代表的第二次工业革命──电气时代。

电磁场理论1-1.ppt

电磁场理论1-1.ppt
u x, y, z c u x, y, z u x0 , y0 , z0
3.矢量场的矢量线
AM A x, y, z Ax x, y, zex Ay x, y, z ey Az x, y, zez
dx dy dz
矢量线方程
Ax Ay Az
1-4 数量场的方向导数和梯度
1. 方向导数
At dt B t C C 为任意常矢。
② 基本运算性质
③ 数性求法
若已知矢性函数 A At Ax t ex Ay t ey Az t ez
At dt ex Ax t dtex ey Ax t dtex ez Ax t dt
2) 矢性函数的定积分
① 定义：设矢性函数 At 在区间 T1,T2 上连续，则 At 在
① 加减
A B (Ax Bx)x (Ay By )y (Az Bz )z
② 点乘（标量积）
标量积 A B 是一标量, 其大小等于两个矢量模值相乘, 再乘以
它们夹角 的余弦:
A B A B cos AxBx Ay By Az Bz
A B AB 0
A// B A B A B
1) 定义 2) 运算法则
lim
t t0
At
A0
这里，u t 为数性函数，At .B t 为矢性函数；且当 t t0 时， u t At .B t 均有极限存在。
3) 计算方法
lim A t
t t0
lim
t t0
Ax
t
ex
lim
t t0
Ay
t
ey
lim
t t0
Az
t
ez
4) 连续性定义
说明：方向导数可表示为
u l

电磁场与电磁波第一章 ppt课件

电磁场与电磁波第一章 ppt课件
电磁学的建立，根源于人类对早期发现的一 些电磁现象进行的物理解释，如静电吸物、摩擦 生电、磁石相吸、库仑实验等。
电磁场理论的发展经历三个阶段：
• （一） 静电学、静磁学的建立阶段（19世纪前）
这一阶段，电、磁现象是作为两种独立的物理现象分 别进行研究，当时还没有发现电与磁的联系，这些早期的 研究为电磁学理论的建立奠定了基础。
o 2
坐标单位矢量 e,e,ez
z
e e ez
位置矢量
reezz
微分单元关系
线元矢量
d r e d e d e z d z
圆柱坐标系
面元矢量 体积元
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezd积元
赫兹 1888年用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯 韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观 电磁场理论的奠基人。
三、电磁场理论的主要研究与应用领域
电磁 场理 论的 主要 研究
领域
作为理论物理学的一个 重要研究分支，主要致 力于统一场理论和微观 量子电动力学的研究。
作为电子信息技术的理论 基础，集中于三大类应用 问题的研究。
• 信息类专业与电有关的两大核心知识基础：
电路理论
电磁场理论
• 本课程的主要任务：在大学物理和高等数学的基 础上，帮助学生建立场的观念，学会运用场的观点 对宏观电磁现象进行分析和求解，为进一步学习有 关专业课程奠定必要的理论基础。
二、电磁场理论的发展简史
电磁学是研究电场、磁场以及电磁相互作用 的现象、规律和应用的学科。
体积元
dVdxdydz
z
z
z0
（平面） ez
P
ey
ex
o

电磁学第一章静电场.ppt

电磁学第一章静电场.ppt

n
E Ei i 1
（4） 电场强度与电场力的关系 F q0 E
18
三、电场强度的计算
（1） 点电荷Q所产生电场的电场强度
电荷q 在电场中受力
Qq
F 4 0r 2 r0
F
Q
E q 4 0r 2 r0
r0 是由源电荷Q 指向场点. 场强方向是正电荷受力方向.
（2） 点电荷系所产生的电场的电场强度
2
3. 创设模型。物理学并不讳言自身只研究模型。模型并不全同 于真实，但物理学的成功正在于创造出许多成功的模型。模型是 “理想化”的，但不是“伪劣”的，它突出了许多表面上看是千差 别的物体最本质的特征,例如法拉第的“力线”模型的建立。
三、悟物穷理
学好物理学，关键是勤于思考，悟物穷理。
“细推物理须行乐，何用浮名绊此身”
一、电场线——用一簇空间曲线形象地描述场强的分布
1. 规定:曲线上每一点的切线方向为电场强度方向。大小为 在垂直于场强方向上单位面积上的电力线数目。
2. 电力线性质
E dN dS
1) 静电场电力线始于正电荷(或无穷远)终止于负电荷, 不会
在没有电荷处中断;
2) 两条电力线不会相交;
3) 静电场的电力线不会形成闭合曲线.
一、迎接挑战—关于电磁学的教学
1. 电磁学－研究对象的重大变化，必将引起基本观念、规律 性质的深刻变化，必将导致新的概念、新的研究方法、新 的描述手段和新的数学工具的出现，从而标志新的研究领域 的开辟，预示新的理论的诞生。
2.电磁场理论的研究由静止转为运动，由稳恒步入变化，最终 建立了一组十分优美而简洁的麦克斯韦方程组。它概括了麦 克斯韦之前所有的电磁经验定律。它不仅是物理学史上划时 代的伟大成就，也为理解什么是物理理论、怎样建立物理理 论提供了光辉的范例。

《电磁场理论》课件

《电磁场理论》课件
《电磁场理论》PPT课件
探索电磁场的奇妙世界。从电磁场的基本概念出发，深入了解麦克斯韦方程 组的原理，并探究电场和磁场的相互作用。
电磁场的基本概念
1 电磁场的定义
介绍电磁场的基本概念和特性，包括电场和磁场的形成和作用。
2 电磁场的方程
了解麦克斯韦方程组，掌握其含义并探索其丰富的物理意义。
3 场强和场线
电场和磁场的相互作用
洛伦兹力
探讨洛伦兹力的作用机制和应用，以及电磁场与带电粒子之间的相互作用。
电磁感应
解释电磁感应的原理和应用，研究磁场变化对电流和电动势的影响。
电磁波的产生和传播
电磁波的产生
深入了解电磁波的产生机制，探究电场和磁场的交 替在空间中的传播特性，包括传播速度、 衰减和反射等现象。
深入了解电磁感应在电动机、变压器等
电磁波的应用
2
设备中的应用原理和工作机制。
探索电磁波在通信、遥感和医学等领域
的广泛应用和前沿技术。
3
磁共振成像
介绍磁共振成像技术的原理和应用，探 究其在医学和科研领域的重要性。
总结和展望
总结电磁场理论的核心概念和主要内容，并展望未来电磁场理论的发展方向和前景。
解释电磁场强度的概念和场线的作用，以及如何分析和表示电磁场的分布情况。
麦克斯韦方程组的介绍
1
高斯定律
详细阐述高斯定律的原理和应用，探讨电场和磁场的产生和分布规律。
2
法拉第定律
深入理解法拉第定律，包括电磁感应的原理、电动势的产生和磁场变化的影响。
3
安培定律
解释安培定律的含义和应用，了解电流和磁场的相互作用及其影响。
电磁场的能量和动量
1 能量守恒定律
探究电磁场能量的来源和 转化，以及能量守恒定律 在电磁场中的应用。

第一章电磁场理论基础精品PPT课件


1.1.1 矢量和矢量场
（4）微分元矢量
– 线微分元矢量通常称为线元 z 矢量
dl eldl
dl dl3
– 线元矢量可表示成三个坐标 O
y
分量的矢量和。在直角坐标
dl1
系中有
x
dl2
图1-1-2 直角坐标系中线元矢量 dl
d l d l1 d l2 d l3 e x d x e y d y e z d z
• 在直角坐标系中
A •B A xB xA yB yA zB z A
A• B Acos
B
• 满足交换律和分配律
B 图1-1-5 矢量的标积
注：A•B0 AB
1.1.2 矢量的代数运算
AB
（2）矢量的矢积 （叉积 ）：为矢量。
ABnABsin
n
A
– 在直角坐标系中
图1-1-6 矢量的矢积B
A B A y B z A z B y e x A z B x A x B z e y A x B y A y B x e z
微波技术与天线
——第1章 电磁场理论基 础
第1章 电磁场理论基础
1.1 矢量分析 1.2 麦克斯韦方程和边界条件 1.3 基于麦克斯韦理论的静态场描述 1.4 电磁场的波动方程、坡印廷定理 和唯一性定理 1.5 动态矢量位和标量位 1.6 理想介质中的SUPW 1.7 SUPW的反射和折射
1.1 矢量分析
1.1.1 矢量和矢量场
（4）微分元矢量
dS ndS n
– 面微分元矢量通常称为面元矢量
dS=ndS
dS
– 方向矢量n的确定
图1-1-3 面元矢量 dS
• dS为开表面上的面元，n的方向与围成开 表面的有向闭合曲线呈右手螺旋关系。 n

电磁场与电磁波理论课件PPT第1章


（1.2.6）
♥ 标量函数 在空间给定点沿 方向的方向导数等
于该点的梯度矢量
在该方向上的投影 。
（1.2.5）
1-43
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度
♥ 梯度的表示——哈密顿（Hamilton）算子 ◘ 直角坐标系中的哈密顿算子 （1.2.7） ◘ 直角坐标系中的梯度表示式 （读作del）
（1.1.33）
（1.1.35）
1-34
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2 1.2.1
场的微分运算 场的基本概念


1.2.2
1.2.3 1.2.4
标量场的方向导数和梯度
矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度
1-35
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2.1 场的基本概念
第1章 矢量分析与场论
1.矢量与单位矢量
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段。 该线段的长度 该线段的方向 代表该矢量的模， 代表该矢量的方向
（1.1.1）
♥ 单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。
（1.1.2）
1-12
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 在直角坐标系中矢量的表示 （1.1.3） ——矢量的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影 矢量的大小 矢量的方向的单位矢量 （1.1.4）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 矢量的方向余弦
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。 ♥ 矢量的方向的单位矢量 （1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来

《电磁场理论讲稿》课件

《电磁场理论讲 稿》ppt课件
目录
• 引言 • 电磁场理论基础知识 • 电磁场理论的应用 • 电磁场理论中的数学方法 • 电磁场理论的实验验证 • 电磁场理论的发展趋势与前沿研
究
01
引言
课程背景
01
电磁场理论是物理学的一个重要 分支，它描述了电磁波的传播、 散射、吸收等现象，是现代通信 、雷达、导航等领域的基础。
总结词
通过观察电磁波在空间中的传播特性，可以验证电磁场理论的正确性。
详细描述
实验中，我们使用发射器和接收器来产生和检测电磁波。通过测量波长、振幅和相位等参数，并与理论值进行比 较，可以验证电磁场理论中的波动方程和传播特性。
电磁感应实验
总结词
电磁感应是电磁场理论中的重要概念，通过实验可以观察到感应电动势和磁场力的产生 。
02
微分用于描述函数在某一点的局部变化，积分则用于计算函数
在某个区间上的累积效果。
导数表示函数在某点的切线斜率，积分则是函数图像与坐标轴
03
围成的面积。
矢量分析
矢量分析是研究向量和向量场的 数学分支，在电磁场理论中具有
重要应用。
矢量分析涉及向量的加法、数乘 、向量的点积、叉积等基本运算 ，以及向量的微分和积分等运算
。
矢量分析中的基本定理包括斯托 克斯定理、高斯定理和格林定理 等，这些定理在电磁场理论中有着广 Nhomakorabea的应用。
偏微分方程
偏微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，在电磁场理论中占有重 要地位。
偏微分方程描述了物理量随空间和时间的变化规律，通过求解偏微分方程 可以了解物理现象的内在规律。
在电磁场理论中，麦克斯韦方程组就是一组偏微分方程，描述了电磁波的 传播和变化规律。

电磁学(地物)课件 第一章-1

5、电荷与质量重要区别？
e 1.60218921019库仑
• 二、库仑定律（coulomb’s law) • 法国物理学家（1736－1806）
• 点电荷之间的相互作用规律 • 点电荷：
• 库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的作用力：
F10
k
q0q1 | r10 |3
r10
F01
三 、 叠加原理：
3、任意带电体
（将连续分布带电体无限分割为一个个电荷元）
连续带电体的电场
对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷
元dq(点电荷), 用点电荷的场强公式积分：
Q E
dE
Q
dq
Q 4 0r 2 er
dq dV
r 体电荷分布 dq dq dV
P
dV
dE
面电荷分布 dq dq ds
Ey
4 0 a
(cos1
cos2 )
当直线长度
Ex Ey
0
4
L 0a
2
{
1 2
第一章 真空中的静电场
• 1.1 电荷守恒 • 1.2 库仑定律 • 1.3 叠加原理 • 1.4 电场强度 • 1.5 高斯定理 • 1.6 环路定理 • 1.7 电势
一、电荷 电为物质的一种基本特性，电不能离开物质而
存在，不存在不依附物质的“单独电荷”。 1、电荷的种类：两种 2、最小电量、电荷的量子性 3、电荷的对称性 4、电荷守恒
q0 40r3
电场强度E是 坐标函数E(x,y,z)
单位： N c
or
伏特 米
电场是带电体周围的一个具有特定性质的空 间，该空间的任一点，外来电荷都会受到一定 大小、方向的作用力。
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u3 u2
h2du2 h1du1 h3du3
解之得
→ e
3
→ O → e1 e2
u1
广义正交坐标系下线元的推导
在直角坐标系中，线元矢量 线元（模或长度）
广义正交坐标系下线元的推导
在广义坐标系中,同样有 沿 方向即 方向， 为常量，则有
广义正交坐标系下线元的推导
式中：
称为度量（或度规）因子，或Lame（拉梅）系数，它为
无线电的发明与电子技术的发展 （1890－1980，共90年）
• 1883年美国爱迪生（Edison）效应。1887年德国赫兹 （Hertz）电磁波实验。1895年俄国波波夫（Попов）和 1896年意大利马可尼（Marconi）发明无线电报，进入无 线电时代。1904年美国弗莱明（Fleming）发明电子二极 管。1906年美国福雷斯特（Forest）发明电子三极管，进 入电子时代。1946年美国电子计算机（ENIAC）。1948 年美国巴丁（Bardeen）、肖克莱（Shockley）、布拉坦 （Brattain）发明晶体管。1957年苏联发射人造地球卫星。 1958年美国基尔比（Kilby）、仙童公司的集成电路。 1960年美国梅曼（Mamann）发明激光器。1970年后是 大规模和超大规模集成电路。这期间即20世纪前大半期是 以核能、飞机、化工为代表的第三次工业革命──化工时 代。
亥姆霍兹定理
• 若矢量场的散度处处为零，称为无散场， 它等价于一个矢量场 A 的旋度，因为任一 矢量的旋度的散度必为零，即 • 一个无散场是无通量源即散度源的矢量场， 其旋度一定不会处处为零，否则它不能存 在。故无散场一定有旋，也称为有旋场， 故必有漩涡源。磁场就是这样的矢量场。
亥姆霍兹定理
• 另一种是旋度为零的矢量场即无旋场，它 等价于一个标量场φ 的梯度。因为任一标 量的梯度的旋度必为零，即：
电磁场理论第一周讲稿
绪论 矢量分析 作业及预习
/em
绪论
• 电磁场理论发展简介
– – – – 静电的发现、产生到研究（公元前6世纪－1785年， 共2400年） 动电的发明与电磁感应的发现及应用（1800－1889， 共90年） 无线电的发明与电子技术的发展（1890－1980，共 90年） 计算机与信息时代（1980－今，共30年） 《电磁场理论》的基本内容 电磁场理论各部分内容之间的关系
计算机与信息时代（1980－今，共20年）
• 1980年后进入以计算机为代表的第四次产业革命 ──信息时代，包括光纤通信、卫星通信、计算机 网络通信和移动通信在内的现代通信技术、激光 技术、遗传工程，还有新材料、新能源。1993年 美国提出信息高速公路。信息时代的发展方向是 三网（电话网、有线电视网、国际互联网）合一。 21世纪的主导产业是信息产业（软件产业、计算 机产业、网络服务和信息安全技术）和生物产业 （无污染的绿色工程、基因工程、生物信息工程、 天然源药物工程、精准与生态农业）。现代通信 是信息产业的排头兵。信息时代是一个知识经济 的时代。
线元矢量，线元，面元，体积元
线元矢量
线元
线元矢量，线元，面元，体积元
面元矢量
体积元
线元矢量，线元，面元，体积元
线元矢量，线元，面元，体积元
线元矢量，线元，面元，体积元
线元矢量，线元，面元，体积元
• 在圆柱坐标系有
得
线元矢量 面元矢量 体 积 元
线元矢量，线元，面元，体积元
• 在球坐标系中有 拉梅系数为 , 线元矢量
《电磁场理论》的基本内容
• • • • • • • **1. 静电场; 2. 稳恒电流的电场与磁场; **3. 静态场的解法; *4. 时变电磁场; **5. 电磁波的传播; *6. 电磁波的辐射; 7. 狭义相对论。
电磁场理论各部分内容之间的关系
矢量及其代数运算
• • • • • • 什么是矢量？ 两个矢量相加/减 矢量的数乘 矢量的点乘 矢量的叉乘 三个矢量的混合标量 积 • 三个矢量的矢量积
标量场的梯度及矢量场的散度和旋度
• • • • • 标量场的梯度 矢量场的散度和通量 矢量场的旋度和环流 标量函数的拉普拉斯运算 矢量函数的拉普拉斯运算
积分定理
• 高斯散度定理 • 司托克斯定理 • 格林定理
– 格林第一恒等式 – 格林第二恒等式
• 亥姆霍兹定理
广义正交坐标系
• 三种常用坐标系
式中负号是因 的对边矢量与 反向。
基矢之间的关系
直─柱
基矢之间的关系
柱─球
基矢之间的关系
• 在圆柱坐标系与 球坐标系中的基 矢转换时, 因
相同, 故取ρO Z 坐标面。使用单 位圆法，可得
基矢之间的关系
矩阵方程
基矢之间的关系
直－球
例题1.4，请仔细体会
广义正交坐标系下线元的推导
坐标变量 ( )， 基本单位矢量 ( )
矢量函数的旋度
矢量场 的旋度(rotation或curl)
其大小为空间某点附近单位面积 的环量最大值，，其方向是环量为最大值时面元矢量 的法线 （
）的方向。可用它表示空间各点矢量场
的旋涡强度与其旋涡源的关系。该旋度矢量的各分量为
沿着与它垂直方向上变化率的代数和，亦即旋度是 表明矢量场旋转程度的最大环量面密度矢量。
•
学习电磁场理论的方法
– –
第一章 矢量分析
• • • • 矢量及其代数运算 标量场的梯度及矢量场的散度和旋度 积分定理 广义正交坐标系
静电的发现、产生到研究（公元前6 世纪－1785年，共2400年）
• 公元前585年希腊泰勒斯（Thales）发现摩擦的琥珀吸物， 磁石吸铁。公元前300年春秋“ 管子”记载“磁石召铁， 琥珀拾芥”。战国造司南勺；1100年宋朝有船用指南针， 沈括发现地磁偏角；1405年明朝郑和的船用指南针成熟。 1600年英国吉伯（Gilbert）定性研究静电与 磁性。1672 年德国盖利克（Guericke）发明摩擦起电机。1729年英国 格雷（Gray）发现导体与绝缘体。1745年荷兰穆欣布罗 克（Musschenbrock）发明储电的莱顿瓶。1752年美国富 兰克林（Franklin）风筝实验。1754年美国戴卫斯 （Divisch）造出避雷针。1785年法国库仑（Coulomb） 用扭秤实验确定库仑定律；此后德国高斯（Gauss）完成 高斯定律。这期间1782年英国瓦特（Watt）发明的蒸汽 机导致以纺织、机械为代表的第一次工业革命──机械时 代。
矢量函数的旋度
• 举例：求距离矢量的散度。
标量函数的拉普拉斯运算
二阶微分算子
也称为Laplace算子。如拉普拉斯方程 即 其解是 的调和量。
矢量函数的拉普拉斯运算
特别的，当矢量A采用直角坐标系表示时，应有如下的结论：
三种常用坐标系
直 角 坐 标 系
三种常用坐标系
柱坐标系
三种常用坐标系
球坐标系
标量函数的梯度
• 算符是一阶微分矢量二重算子，称为 Hamilton算子、Nabla算符、劈形算符或 Del（倒三角）
• 举例：求下面标量长的梯度。
矢量函数的散度
矢量函数 的散度(divergence)
它是空间某点附近单位体积矢量函数 的通量，即通量体密度。可用它来表示空间各点 的发散强度与其通量源的关系。散度标量是矢量场 的分量沿各自坐标的变化率之和，亦即散度是表明 矢量场向外发散程度的通量体密度。
动电的发明与电磁感应的发现及应 用（1800－1889，共90年）
• 1780年意大利加伐尼（Galvani）发现青蛙的“生物电”。 1800年意大利伏特（Volta）发明伏特电池。1820年丹麦奥斯 特（Oersted）发现电流的磁效应；法国毕奥－萨伐尔（BiotSavart）定律；德国安培（Ampere）定律。1822年德国塞贝 克（Seebeck）发现热电效应。1826年德国欧姆（Ohm）定律。 1831年英国法拉第（Faraday）和美国亨利（Henry）发现电 磁感应。1833年俄国楞次（Lenz,Ленц）定律。1834年俄国雅 可比（Jacobi, Якоби）发明电动机。1843年英国焦耳（Joule） 发现电热效应。1847年德国基尔霍夫（Kirchhoff）定律。1864 年英国麦克斯韦（Maxwell）确立电磁理论，预言电磁波。 1867年德国西门子（Siemens）造自激发电机。1876年俄国亚 布洛契可夫（Яблочков）造变压器。1889年俄国多里沃－多 布罗夫斯基（Доливо－Добровольский）确立三相制，导致 以电力、钢铁为代表的第二次工业革命──电气时代。
三个矢量的矢量积
此公式又称为所谓的Back－cab规则
标量函数的梯度
标量函数f 的梯度
梯度即陡度(gradient)的模或大小为
它是标量函数f 的最大空间增加率，其方向为其变化率最 大的方向。标量f 的梯度是空间某点标量函数f 沿三个坐标 轴方向变化率的矢量和，亦即梯度是标量场的最大空间变 化率矢量。
– 坐标变量和基本坐标矢量 – 坐标变量之间的关系 – 基本坐标矢量之间的关系
• 广义正交坐标系
– 广义正交坐标系下线元的推导 – 线元矢量，线元，面元，体积元
• 广义正交坐标系中散度等的表达式
– 梯度，散度，旋度 – 拉普拉斯算符等
高斯散度定理
• 举例：1.11
司托克斯定理
• 举例：1.10
格林定理
矢量的加减
加减
矢量的加减
两点 P 与 P’ 的空间矢量分别为
空间两点P 与 P’ 之间的距离矢量为
距离矢量 R 的单位矢量为
矢量的加减
矢量的数乘
数乘
同向；
反向。
两个矢量的点乘
点积
功、通量、环量(环流)
两个矢量的叉乘
平行四边形的面积矢量