不等式的基本性质
- 格式：doc
- 大小：196.00 KB
- 文档页数：7
课题：不等式的基本性质()教学目标：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。
1.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。
2.提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。
教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。
教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第1课时：问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取法。
问题可以转化为比较容器两两和的大小。
研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ，点A 在点B 右边，那么a ＞b 。
而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。
命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。
类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。
逆命题也都正确。
结论：(1)“a ＞b ”⇔“a －b ＞0”(2)“a ＝b ”⇔“a －b ＝0”(3)“a ＜b ”⇔“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。
正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。
研究不等式的性质：性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性)证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0∵b ＞c ∴b －c ＞0∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质)则a ＞c反思：证明要求步步有据。
性质2：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c (不等式的加法性质)证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0∵(a ＋c)－(b ＋c)＝a －b ＞0 ∴a ＋c ＞b ＋c反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。
思考：逆命题“若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b ”成立吗？——两边加“－c ”即可证明。
[例1] 求证：若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d (同向不等式相加性质)证明1：∵a ＞b ∴a ＋c ＞b ＋c (性质2)∵c ＞d ∴b ＋c ＞b ＋d(性质2) 则a ＋c ＞b ＋d(性质1)证明2：∵a ＞b ∴a －b ＞0∵c ＞d ∴c －d ＞0x∴(a－b)＋(c－d)＞0 即(a＋c)－(b＋d)＞0 (作差比较法)则a＋c＞b＋d反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。
)练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d (异向不等式相减性质) ——作业证明1：∵c＜d ∴c－d＜0得d－c＞0 即－c＞－d (正数得相反数为负数)亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d (性质2)∵a＞b ∴a＋(－c)＞b＋(－d) (同向不等式相加性质)则a－c＞b－d (加减法运算法则)证明2：∵a＞b ∴a－b＞0∵c＜d ∴d－c＞0∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0 (作差比较法)则a－c＞b－d性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc若a＞b，c＜0，则ac＜bc (不等式的乘法性质)证明：ac－bc＝(a－b)c (作差比较法)∵a＞b ∴a－b＞0(1)当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc (正负数运算性质)(2)当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc (正负数运算性质)反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。
但不等式的情况完全不同！——强调！思考：(1)“若a＞b，则ac2＞bc2”成立吗？——不成立！反例：c＝0时不成立。
(2)“若ac2＞bc2，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c2＞0。
练习：(1)《教材》P.30-练习2.1(1)-1 (学生口答，教师点评)(2)《教材》P.30-练习2.1(1)-2、3 (学生板书，教师点评)2、求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质)证明：∵a＞b，c＞0 ∴ac＞bc (性质3)∵c＞d，b＞0 ∴bc＞bd (性质3)则ac＞bd (性质1)特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a2＞b2”推而广之：若a＞b＞0，则a n＞b n (n∈N*) (不等式的乘方性质)推而广之：若a＞b＞0(n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质) ——可用反证法进行证明。
3、求证：若a＞b＞0，则0＜1a＜1b(不等式的倒数性质)——作业证明：∵a＞b＞0 ∴1a＞0，1b＞0，a－b＞0∴1b－1a＝a bab－＞0 (正负数运算性质) 则0＜1a＜1b[例2]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小。
解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a(1)当a＜0时，(a＋1)2＜a2－a＋1(2)当a＝0时，(a＋1)2＝a2－a＋1(3)当a＞0时，(a＋1)2＞a2－a＋1反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！——强调！[例3]解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。
解：(m－1) x＞－m(1)当m＝1时，x∈R(2)当m＜1时，x＜－mm1－；(3)当m＞1时，x＞－m m1－反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m－1值的不确定性(2) 如何进行讨论？——不等式性质课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2) 数学方法：作差比较法(3) 数学思想：分类讨论第1课时作业：《练习册》P.13-习题2.1-A、B组(做在练习册上)第2课时：讲评作业或者做《教材》P.30-练习2.1(2)-1 (学生口答，教师点评) [例1] 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。
解：(1) m2－4＝0即m＝－2或m＝2①当m＝－2时，x∈∅②当m＝2时，x∈R(2) m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜1 m2－(3) m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞1 m2－反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m2－4值的不确定性(2) 如何进行讨论？——不等式性质[例2] 若m＞0，y＞x＞0，试比较x my m＋＋与xy的大小。
解：x my m＋＋－xy＝(x m)y(y m)x(y m)y＋－＋＋＝m(y x)(y m)y－＋∵y＞x ∴y－x＞0∵y＞0，m＞0 ∴y＋m＞0又∵y＞0，m＞0 ∴m(y x)(y m)y－＋＞0 则x my m＋＋＞xy引申：若a、b、c、d均为正数，且ab＜cd，求证：ab＜a cb d＋＋＜cd证明1：(作差比较法) a cb d＋＋－ab＝bc ad(b d)b－＋∵ab＜cd，b＞0，d＞0 ∴bc＞ad 得bc ad(b d)b－＋＞0 则a cb d＋＋＞ab同理可证：a cb d＋＋＜cd证明2：(变更论证法) ∵b＞0，b＋d＞0 ∴ab＜a cb d＋＋⇔a(b＋d)＜b(a＋c)a(b＋d)－b(a＋c)＝ad－bc∵ab＜cd，b＞0，d＞0 ∴ad＜bc 得a(b＋d)＜b(a＋c)则ab＜a cb d＋＋同理可证：a cb d＋＋＜cd[例3] 若x＞0分析：直接作差显然不可取。
可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。
解：2＝2x＋3＋2＝2x＋3＋∴2x＋3＋2x＋3＋得2＜2反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。
[例4] 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。
甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。
问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？分析：何为合算？——平均单价便宜。
解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。
设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元，∴甲平均单价为ax bx2x＋＝a b2＋，乙平均单价为2yy ya b＋＝2aba b＋∵a b2＋－2aba b＋＝2(a b)2(a b)－＋∴(1) a＝b时，a b2＋＝2aba b＋；(2) a≠b时，a b2＋＞2aba b＋由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。
[例5] (第1课时的引例) 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。
问题可以转化为比较容器两两和的大小。
解：(1)取A、B：(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a＋b)2(a－b) 无法确定大小(2)取A、C：(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a2＋b2) (a－b) 无法确定大小(3)取A、D：(a3＋b3)－(ab2＋a2b)＝(a＋b) (a－b)2由于a≠b，则(a＋b) (a－b)2＞0，即a3＋b3＞ab2＋a2b ——先取A、D则必胜！能否推广？——观察a3＋b3＞ab2＋a2b的特征，进行猜测。
a4＋b4＞ab3＋a3b，a4＋b4＞a2b2＋a2b2a5＋b5＞ab4＋a4b，a5＋b5＞a2b3＋a3b2……更为一般性的结论：a、b∈R，m、n∈N*，则a m+n＋b m+n≥a m b n＋a n b m 证明：(a m＋n＋b m＋n)－(a m b n＋a n b m)＝(a m－b m)(a n－b n)≥0课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2) 数学方法：作差比较法、分析法、变更论证(3) 数学思想：分类讨论、类比猜想证明作业：《一课一练》P.35-1～10、P.36-1～6、9、10 (做在书上) 选做：《一课一练》P.35-11(1)、P.36-11 (做在书上)。
