n阶线性微分方程的初值问题

2．微分方程的解
微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区 间I . 定义2 设函数 y ( x)在区间 I 上连续，且有直到 n 阶导 ( n) y, y ' ,, y后， ( x), ( x),, ( n ) ( x) 数,若用 分别代替方程(1.8)中的 使(1.8)在 内为关于x的恒等式，即 I
称(1.16)是初值问题
y '' g ' y (0) y0 , y (0) v0
(1.17)
的解，初值问题又叫柯西问题. 由以上简单实例可以看出： 1． 微分方程的求解，与一定的积分运算相联系，因此也常把求解微分方 程的过程称为积分一个微分方程，而把微分方程的解称为这个微分方 程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数， 因此仅从微分方程本身求解（不考虑定解条件），则 n 阶微分方程的 n 个任意常数. 解应该包含 2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律，求解微分方程，就是 从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动 的一个初始状态（即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未 来，同时也可以追朔它的过去. 3． 一般对 n 阶微分方程的初值问题的提法是：
在(1.12)两侧对 t 积分一次，得
y' (t ) gt C1
(1.13) (1.14)
其中 C1 是一个任意常数，再把(1.13)对 t 积分一次，就得
1 y (t ) gt 2 C1t C2 2
其中 C2 是另一个任意常数.可知(1.14)是微分方程(1.12)的通解. 通解(1.14)就表示自由落体的运动规律，在(1.14)中含有两个任意 常数.这说明微分方程(1.12)有无穷多个解. 为了要得到特定的物体运动规律，还必须考虑当运动开始时落体是在什 么地方，且以什么样的速度运动的，即下面的初值条件： (1.15) y(0) y0 ，y' (0) v

常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。

常微分方程，自变量的个数只有一个。

偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。

常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。

2．举例阐述常数变易法的基本思想。

答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。

例：求()()dy P x y Q x dx=+的通解。

首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ?=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx=+l l ，将上述两式代入方程中，得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dxc x P x Q x ??+?=+l l l即 ()()()P x dxdc x Q x dx-?=l积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c-?=+?%l进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -?=+?%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()na t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,nηηη是已知常数。

的解F
证明 设 N%9’/ %R#%9’)*)R5%9’’S)
3/ 3%9’为初始值问题%#’的解)则
5
; $%6’3/ % T.#%6’R#%9’) ./ #
5
; *) T.5%6’R5%9’S) ./ #
%U’
其 中 T.0%6’是行列式 V6W2 MV%W为 5阶单位矩
阵’位于 .行 0列的元素的代数余子式)且
_8)‘ ,4Ha4/7A58b,&/7Hc-4
#d6e9(>09c(A_-f4g60=c6.:5&’’676A_-f4BCh"**A_-//0/A5c4/0$
IXRQLP^QD8 1&.a-’04:e.&i4;6;(gc61&.a-’074i6:9c6:&’-94&/9c09:094:146:9c64/4940’=&/;494&/ 4/:&’i4/79c6:j:96a &1/&/c&a&76/6&-:’4/60.;4116.6/940’6k-094&/:l49c=&/:90/9=&6114=46/9:0/; 9c6:j:96a &14/c&a&76/6&-:’4/60.;4116.6/=66k-094&/:l49c=&/:90/9=&6114=46/9:(
%I’
+# (.
;; 的解为 3%G’/
%G’(.2
&G2
0.
(.,
= 0 .0
,
./ # 0/ #
+#, +! (.
; ; !><

kt
dQ dt
kQ .
解得
Q t Ce .
把t = 0代入其中求得C= Q0. 由条件得Q(240) = 0.9Q0,代入得 0.9 Q0 = Q0 e240k， 解得 k = ( ln 0.9)/240 -0.000439. 因此,所求特解为 Q(t) = Q0e-0.000439t.
例5（陨石的挥发）
陨石挥发的速度与陨石的表
面积成正比. 若假设陨石是质量均匀的球体,试求出 陨石的质量m关于时间t的函数表达式.
解 设t时刻陨石的半径为r(t),质量为m(t),表面积为s(t). 由题意得
s t 4 r
d m (t ) dt
2
ks t 其 中 k 0 .
u
2
x
2

u
2
y
2
0.
把常微分方程称为微分方程或简称为方程.
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数,叫做该方程的阶 ,例如
x2y + 2xy - y + 5y = e x 和 y(5) + 3y(4) -5xy - y = 0 分别是3阶和5阶微分方程. n阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y,…,y(n)) = 0，
利息,同时每个月获得的利息存在银行也可生利息).
如果存款时间很长,可把资金看成时间的连续函数. 假定该款存入后在时刻t的资本总额(连本带利)为
s(t). 于是,资金函数s(t)就是如下初值问题的解:
r s '( t ) 1 0 0 s ( t ) . s |t 0 s 0
例7（Logistic模型 ）设对某种传染病,某个居民区有
y
x0