下载文档原格式
第01讲 排列、组合与二项式定理知识精讲一．排列与组合1．排列排列数公式：()()()A 121mn n n n n m =---+，*m n N ∈，，并且m n ≤． 2．组合组合数公式：()()()()121!C !!!m n n n n n m n m m n m ---+==-，*m n N ∈，，并且()m n ≤．组合数的两个性质：①C C m n mn n-=；②11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）二．排列组合常用方法1．特殊元素、特殊位置优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置．2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！． 7．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题． 三．二项式定理()()011nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈．这个公式所表示的定理叫作二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项式展开式，其中系数()01234rn C r n =，，，，，，叫作二项式系数． 1．二项式展开式的通项：二项式展开式的通项：第1r +项，()101234r n r rr n T C a b r n -+==，，，，，，2．二项式系数的性质：（1）对称性：r n r n n C C -=．（2）增减性与最大值：①二项式系数r n C ，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；②当n 是偶数时，中间一项取得最大值；当n 是奇数时，中间两项取得最大值．（3）各二项式系数和：0122r n n nn n n n C C C C C ++++++=．三点剖析考试内容要求层次 排列与组合 排列、组合的概念理解 排列数公式，组合数公式掌握 用排列与组合解决一些简单的实际问题 掌握 二项式定理 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题理解加法原理与乘法原理例题1、 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A.68种 B.70种 C.240种 D.280种例题2、 如果有关三位正整数形如“123a a a ”，满足12a a >且23a a <，则称这样的三位数为凹数(102，312，989等），那么在三位正整数中，所有的凹数个数为________．（用数字作答）例题3、 图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法． A.120 B.16 C.64 D.39随练1、 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A.12种 B.10种 C.9种 D.8种随练2、 5名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是（ ）A.53种B.35种C.15种D.8种随练3、 从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取3个组成一个无重复数字的三位数，其中奇数的个数是________。
第1讲排列、组合与二项式定理计数原理、排列、组合问题1.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( A )(A)12种(B)10种(C)9种(D)8种解析:分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有错误!未找到引用源。
=2(种)选派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有错误!未找到引用源。
=6(种)选派方法.由分步乘法计数原理,不同选派方案共有2×6=12(种).2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有( D )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
解析:先把3个品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头尾,油画与国画有错误!未找到引用源。
种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方法有错误!未找到引用源。
种.3.从6本不同的书中选出4本,分别发给4个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有( C )(A)180 (B)220 (C)240 (D)260解析:先从其他四本不同的书中选一本发给甲同学,有错误!未找到引用源。
种;再从剩下的五本不同的书中选三本发给其他3个同学,有错误!未找到引用源。
种;则不同分配方法有错误!未找到引用源。
=240种.4.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( B )(A)243 (B)252 (C)261 (D)279解析:由0,1,…,9十个数字共可组成三位数个数为错误!未找到引用源。
=900,其中无重复数字的三位数有错误!未找到引用源。
=648(个),则符合题意的三位数个数为900-648=252.故选B.5. 如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有种(用数字作答).解析:从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法,D若与A颜色相同有1种涂色方法,否则有3种涂色方法.共有6×5×4×(1+3)=480种涂色方法.答案:4806.有4名优秀学生A,B,C,D全部被保送到甲,乙,丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种.解析:先把4名学生分为2,1,1的3组,有错误!未找到引用源。
