国家开放大学《常微分方程》形考任务1试题

《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。

常 微 分 方 程试卷（一至十） 试 卷（一）一、填空题（3′×10＝30′）1、以y 1＝e 2x ，y 2=e x sinx ，y 3=e x cosx 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x 3y 3dx+3x 4y 2dy=0的通积分是 。

3、柯西问题x dxdy=，y （0）=1的解是 。

4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。

6、微分方程F(x ，y ，p)=0若有奇解y=ϕ (x)，则y=ϕ (x) 满足的P-判别式是 。

7、线性微分方程组Y x A dxdY)(=的解组Y 1（x ），Y 2（x ）…，Y n （x ）在某区间上线性无头的充分必要条件是。

8、设A ，则矩阵指数函数e xA ＝ 。

9、方程0=+'+''y y y 的通解是 。

10、由方程033=+'+''+'''y y a y a y 的通解是 。

二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程31-++-=y x y x dx dy 的通解： 23、621y x y xdx dy =+ 4、x e x y y y 2)53(23+=+'-''三、求单参数曲线族xy=c 的正交轨线族（10′）12′）=dxdYY五、设二阶方程0442=-'+''y y x y x 有特解y 1(x)=x ，求此方程的通解（8′）六、有一容积为10000m 3的车间。

车间的空气含有0.12%的CO 2，今用一台风量为1000m 3/min 的鼓风机通入新鲜空气，新鲜空气中含有0.04%的CO 2，向鼓风机开动10min 后，车间内CO 2的百分比降到多少？（12′）试卷（二）一、填空题（31、微分方程组的阶数是 。

2、以y 1＝e x ,y 2=xe x ,y 3=e 2x xin2x 为特解的最低阶实常系数齐次线性微分方程是 。

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务5试题及答案形考任务5题目1方程过点（0, 0）的积分曲线（）.选择一项：A.有无穷多条B.有惟一一条C.不存在D.只有二条题目2重当y方程在dv>血14当｝寺°xoy平面上任一点的解都（）.选择一项：A.与x轴相交B.是惟一的C.与x轴相切D.不是惟一的题目3-—cos V方程& ”的所有常数解是（）.选择一项：, D.一女云左=0：二L二题目4方程山满足解的存在唯一性定理条件的区域是（）.选择一项：A.y>0的上半平面B.全平面C.除去x轴的全平面D.y<0的下半平而—=A(x)Y^F(jt).xeR t Y 任R 气 若A(x),F(x) 乂0在(-8,+8)上连续，那么线性非齐次方程组b 解( )・选择一项：A. 不可以与x 轴相交B. 构成一个n 维线性空间C. 构成一个n +1维线性空间D. 可以与x 轴相交题目7^- = F(x,TO n 维方程组的任一解的图像是n+1维空间中的().选择一项：A. n 条曲线B. 一条曲线C. n 个曲面D. 一个曲而题目8方程* - ” = °的任一非零解在E ,习平面上( )零点. 选择一项：A. 只有一个B. 只有两个C. 无D. 有无穷多个题目9三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个( )线性空间. 选择一项：B. 2维 方程 过点(0, 0)的解为J =smx ,此解的存在区间是( ). 选择一项: 题目6的任一非零C.4维D.1维题目10用待定系数法求方程】的非齐次特解・了」时，应设为（). 选择一项：C Vj =x(^sinx-3cosx9Z。

《常微分方程》单元测试题（一）及详细参考解答
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《常微分方程》测试题 1 答案一、填空题（每空5分）12、 z=34、5、二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。

此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一个解。

同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。

因此是解矩阵。

又因为det=-t故是基解矩阵。

2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。

（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)《常微分方程》测试题2 答案一、填空题：（每小题3分，10×3=30分）1. 2. 3 3.4. 充分条件5. 平面6. 无7. 1 8. 9.10. 解组线性无关二. 求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分）1、解：将方程变形为………（2分）令，于是得……（2分）时，，积分得从而…（2分）另外，即也是原方程的解………（2分）2、解：由于……………………（3分）方程为恰当方程，分项组合可得…………（2分）故原方程的通解为……（3分）3、解：齐线性方程的特征方程为特征根…（2分）对于方程，因为不是特征根，故有特解…（3分）代入非齐次方程，可得.所以原方程的解为…（3分）4、解：线性方程的特征方程,故特征根…………………（2分）对于，因为是一重特征根，故有特解,代入，可得……（2分）对于，因为不是特征根，故有特解，代入原方程，可得…（2分）所以原方程的解为…（2分）5、解:当时，方程两边乘以，则方程变为…（2分），即于是有，即……（3分）故原方程的通解为另外也是原方程的解. …（3分）三、解：, ，解的存在区间为…（3分）即令……（4分）又误差估计为：（3分）四、解：方程组的特征方程为特征根为，（2分）对应的特征向量应满足可解得类似对应的特征向量分量为…（3分）原方程组的的基解矩阵为…………………（2分）………（3分）五、证明题：(10分)证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为…………………（3分）由已知条件，得…………………（2分）故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．（3分）故（2分）《常微分方程》测试题3答案1．辨别题（1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性（4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性2．填空题（1）．（2）．（3）．（4）．3．单选题（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题（1）．解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为（2）．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+（3）．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即（4）. 令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即：5. 计算题令，则原方程的参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为5．计算题解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。

国家开放大学《高等数学基础》形考任务1—4参考答案形考任务1（一）单项选择题（每小题5分，共50分）1-1.（）1-2.（3f=，xxln(x)(=）)x3g ln2-1.（）。

2-2.（）。

3-1.（）。

3-2.（）。

4-1.（）。

5-1.（）.5-2.（）.6-1.（y轴）6-2.设函数)f(xf--的图形关于（坐标原点）对)xf的定义域为)(x(,(+∞-∞，则函数)称．7-1.（）。

7-2.（）。

8-1.（）。

8-2.（）。

9-1.（）9-2.（1)x）ln(+10-1.（）（二）判断题（每小题5分，共50分）11-1.（×）11-2.（×）12-1.已知函数f（x+1）=x2+2x+9，则f（x）=-x2+8.（×）12-2.（√）13-1.（√）13-2.（√）14-1.（√）14-2.（×）15-1.（×）15-2.（√）16-1.（×）16-2.（×）17-1.（√）17-2.（×）18-1.（√）18-2.（√）19-1.（√）19-2.（×）20-1.（√）20-2.（√）形考任务2（一）单项选择题（每小题5分，共50分）1-1.（）。

1-2.（）。

2-1.（）s。

2-2．（）s。

3-1.（e）。

3-2.（4）4-1.（0）。

4-2.（-99!）5-1.（）。

5-2.下列结论中正确的是（）6-1.（）（）6-2.（）7-1.下列结论中（）不正确．7-2. 下列结论中（）不正确．8-1.（）（）8-2.（）9-1.（）。

9-2.（）10-1.（）。

10-2.（）。

（二）判断题（每小题5分，共50分）11-1.（×）11-2.（√）12-1.12-2.（×）13-1.（×）13-2.（√）14-1.（×）14-2.（×）15-1.（√）15-2.（√）16-1.（√）16-2.（×）17-1.（×）17-2.（√）18-1.（×）18-2.（√）19-1.（×）19-2.（√）20-1.（×）20-2.（×）形考任务3（一）单项选择题（每小题5分，共50分）1-1.（）。

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。

(精华版)国家开放大学电大本科《社会政策》《常微分方程》网络课形考作业及答案(合集)(精华版)国家开放大学电大本科《社会政策》《常微分方程》网络课形考作业及答案(合集)《社会政策》网络课形考作业及答案形考任务1一、填空题〔每题5分，共25分〕题目1政策是政府或其他社会组织为实现其目标而制定的、指导人们行动的各种〔〕。

答：规那么体系题目2〔〕年，德国学者成立了“德国社会政策学会”。

答：1873题目3〔〕是社会政策早期形态，起源于1601年英国政府公布的《济贫法》。

答：社会救助政策题目4〔〕原那么是整个封建传统社会、专制王国、乃至转型期社会的社会管理的核心原那么。

答：父权主义题目51884年，在英国伦敦，卫伯夫妇发起成立了〔〕。

答：费边社二、单项选择题〔每题5分，共30分〕题目6作为一个概念，社会政策最早是由〔〕学者提出的。

选择一项： B.德国题目71601年，英国伊丽莎白女王公布了〔〕，规定地方教区可以通过征收税收、接受捐赠、罚款等方式，对穷人实行救济。

选择一项： C.《济贫法》题目81834年，英国政府通过了〔〕，表达了自由主义思潮。

选择一项： B.新《济贫法》题目9在经历了大萧条后，1935年，美国实施了〔〕。

选择一项： D.《社会保障法案》题目10第二次世界大战后，〔〕奠定了英国20世纪40年代主要的社会福利模式。

选择一项： D.《贝弗里奇报告》题目111948年，福利国家首先在〔〕宣布建立。

选择一项： A.英国三、多项选择题〔每题9分，共45分〕题目12以下关于公共政策的特点，说法正确的选项是〔〕。

选择一项或多项： A.价值选择B.由政府和权威部门制定C.公共性D.权威性题目131563年，英国公布了《职工法》，它由〔〕构成。

选择一项或多项： A.七年的学徒制B.强迫劳动D.官员鉴定的工资制度题目141880年代，德国政府颁行了〔〕，标志着德国社会保险制度的建立。

选择一项或多项： B.疾病保险法C.养老和残疾保险法D.工伤保险法题目151834年，新《济贫法》规定了〔〕原那么，奠定了后来社会救助的根本模式。

2021国家开放大学电大本科《常微分方程》期末试题及答案（试卷号：1076）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 积分方程 火工）=1 +「：“火。

山的解是（）・A, > ~ I R S C. y =D- y =/2. 若/（r.y ）在全平面上注续且对.y 淆足李代希兹条件,那么方程实=/仁5）的任一 itrM 的存在区间C>.A.囚解而定B.必为（一B ,0）C.必为（一5.+叫）D .必为（。

・+—）.L 一阶找性非齐次方程坦乎=.4M ）y + FCr ）.Y = S ・・・・y.）'的任 T 的图像是” * 1维空间（八刀，・・・7.）中的 < ）・ A. 一个曲面 B. 一条曲技 C. 一族曲线 D. 一族曲面4已知方百的一个特解为k.又时应齐次方程1/十），'=。

有一个特航为 1口，删峨方程的通解为（ LA. y =C|X + C|lnx + x 2C. ynCj+C 打心 +7d-r 丁. = 十，a 不柩定结点 a 税定焦点& ZfW xsmydx + yco%xdy ^0 的所 _________________ .7. U ■分方0的 个不可的存企14㈣一定是 ___________________________ UM. 8. -□的慕奉•！堪li ___ ____________ ・9.代薪找性齐次健分力同的所甫ti 帕成一个 _ ________________ t attn 空间.<lr万99零值现dy dt本下料方IV 的述・或遇艮分XB. y ~C|X 2 4- C 山LT + r 4 I), y - CiX* C ： hu + 】'5.平面系统， A.鞍点（L 不椽定焦点7的奇点代.0>的类型是<<9 分 if CA小■ 3 分.本■共）5 分）IO.・ 小■-■共s 分）11.求金It可分高方程+ 的•iz. *阶tttre卉次方程半+的第. dx x】3.R金■分方Wc dx-<2> + ^c v>dy-0的*. *.求免”海方W *-』，‘十/ +（/）'的虬15.未可胃阱的禺盼方W >•/ > 1 *0的»L仰分^9 K <£<16.求下刊方舛知的遇」五.ii胴■（本■共V分）17.若/<«•）企（/ •+->上崖祓WI••旦当酎■。