2020届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(五)文

开卷教育联盟·2020届全国高三模拟考试（五）数学（文科）时量：120分钟满分：150分1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (4)A x y x ==-，{}2|230B x x x =--≥，则()A B ⋂=R（ ）.A. (3,4)B. (,1)-∞-C. (,1)(3,4)-∞-⋃D. (1,3)[4,)-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】求解对数型函数定义域和一元二次不等式，解得,A B ，再通过交运算和补运算求得结果. 【详解】由40x ->得4x <，所以{|4}A x x =<；由2230x x --≥得1x ≤-或3x ≥，所以{|1B x x =≤-或3}x ≥. 所以{|1A B x x ⋂=≤-或34}x ≤<， 则(){|13A B x x ⋂=-<<R或4}(1,3)[4,)x ≥=-⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查对数型函数的定义域求解，一元二次不等式的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题.2.已知复数11i z =+，222z i =-，则12z z =（ ）.A.12i B. 12i -C.1122i + D. i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，整理化简即可求得结果.【详解】因为121(1)(22)422(22)(22)82z i i i i i z i i i +++====--+， 故选：A.【点睛】本题考查复数的运算法则，属基础题. 3.下列说法正确的是（ ）.A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“00x ∃<，20010x x ++<”的否定是“0x ∀≥，210x x ++≥”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据否定题和逆否命题的定义，结合命题的否定以及命题充分性和必要性的判断，结合选项，进行逐一判断即可.【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误； 方程2560x x --=的解是1x =-或6，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误；命题“00x ∃<，20010x x ++<”的否定是“0x ∀<，210x x ++≥”，故C 错误；命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题的否命题和逆否命题的求解，涉及命题充分性和必要性的讨论，属综合基础题.4.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象． 【详解】当x<0时，f （x ）<0．排除AC ，f ′（x ）()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x eee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′（x ）()()312x x xe x e x e =-+=-，当x ∈（0，2），g ′（x ）＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈（2，+∞），g ′（x ）＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0， 存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈（0，0x ），g (x )>0，即f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数， 当x ∈（0x ，+∞），g (x )<0，即f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数， ∴B 不正确， 故选D ．【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．5.设20192020log log a ==120002019c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算、指数函数的性质，利用12和1进行分段，由此比较出三者的大小关系.【详解】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=；2020202020201110log log 2019log 2020;222b <==<=120202019 1.c =>故选：C.【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题. 6.在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则2020a =（ ）. A. 2ln2020+ B. 22019ln2020+ C. 22020ln2020+ D. 2020ln2020+【答案】A 【解析】 【分析】通过赋值，利用累加法，即可求得结果. 【详解】因为12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以1ln(1)ln n n a a n n +-=+-， 所以21ln 2ln1a a -=-，32ln 3ln 2a a -=-，……20202019ln 2020ln 2019a a -=-，以上各式累加得20201ln 2020ln1a a -=-，即20201ln20202ln2020a a=+=+.故选：A.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.7.如图，在等腰三角形ABC与ABD中，90DAB ABC∠=∠=︒，平面ABD⊥平面ABC，E，F分别为BD，AC的中点，则异面直线AE与BF所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π【答案】B【解析】【分析】设DA AB BC x===，利用向量的夹角公式，计算出异面直线AE与BF夹角的余弦值，由此求得异面直线AE与BF所成的角.【详解】由于在等腰三角形ABC与ABD中，90DAB ABC∠=∠=︒，平面ABD⊥平面ABC，根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面ABC，BC⊥平面ABD，所以AD BC⊥.依题意设DA AB BC x===，由于,E F是等腰直角三角形斜边的中点，所以22AE BF x==.设异面直线AE与BF所成的角为θ，则cos cos,AE BFθ=AE BFAE BF⋅=⋅()()12AB AD AF ABAE BF+⋅-=⋅()()1122AB AD AB BC AB AE BF⎡⎤+⋅+-⎢⎥⎣⎦=⋅()111222AB AD BC AB AE BF⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=⋅()214AB BC AD BC AB AB AD AE BF⋅+⋅--⋅=⋅2211142222AB x AE BF-⋅===⋅，由于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π3θ=.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.8.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（ ）. A. ()f x 的最小正周期是π，最小值为1B. ()f x 的最小正周期是π，最小值为3-C. ()f x 的最小正周期是2π，最小值为1D. ()f x 的最小正周期是2π，最小值为3-【答案】D 【解析】 【分析】利用周期的定义，即可判断周期性；利用二倍角公式化简函数为二次型三角函数，即可求得函数最值.【详解】因为()2sin()cos2()2sin cos2()f x x x x x f x πππ+=+++=-+≠， 所以π不是()f x 的周期，故排除A ，B ；因为(2)2sin(2)cos2(2)2sin cos2()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， 所以2π是()f x 的一个周期；又因为2213()2sin cos22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-.故选：D.【点睛】本题考查函数周期的定义，涉及二次型正弦函数最值得求解，以及余弦的二倍角公式，属综合中档题.9.等比数列{}n a 中，11a =，128a =，函数()()()1212()f x x x a x a x a =--⋅⋅-…，则(0)f '=（ ）.A. 122B. 152C. 182D. 212【答案】C 【解析】 【分析】对多项式函数进行求导，即可求得结果.【详解】设()()()1212()g x x a x a x a =--⋅⋅-…，则()()f x xg x =， 所以()()()f x g x xg x +''=，所以()()666318121112112(0)(0)822f g a a a a a a '==⋅⋅====….故选：C.【点睛】本题考查多项式函数的导数求解，属中档题.10.已知ABC 内角,,A B C 对应边长分别是,,a b c ，且2a =，1b =，2C A =，则c 的值为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D ，根据余弦定理得到22222154024m m m m--+=，计算得到答案. 【详解】如图所示：作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D则12AD AC BD BC == ，设,2AD m BD m ==，则CD m =，分别利用余弦定理得到： 22222154cos ,cos 24m m ADC BDC m m --∠=∠= ，ADC BDC π∠+∠= 故222221546024m m m m m --+=∴=，36c AB m === 故选C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生解决问题的能力和计算能力. 11.已知ABC 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A. 33,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 2323,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. 3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<，即可求得结果.【详解】因为ABC 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-， 由||1k AB tBC +>两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>， 即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.12.已知椭圆22221x y a b +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=（ ）C.2D.3【答案】D 【解析】 【分析】利用直线过椭圆的焦点坐标，可得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和112F B AF =的条件，建立a b c 、、的关系式，进而求椭圆的离心率即可．【详解】椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +++-=（） 因为直线交椭圆于A ，B ，设1122A x y B x y （，），（，）由韦达定理可得22222121222222y y ,y y cb c b a b a b a b -+=-=++ 且112F B AF =，可得212y y =-，代入韦达定理表达式可得 2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++ 即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭化简可得229c 2a =所以3c e a ==故选：D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转4π后经过点(3,4)，则tan α=__________. 【答案】7- 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，可得旋转后角度的正切值，利用正切的和角公式即可求得结果. 【详解】设旋转后对应的角为β，则4tan 3β=， 故tan tan4tan tan 741tan tan 4πβπαβπβ+⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭-⋅. 故答案为：7-.【点睛】本题考查三角函数的定义，以及正切的和角公式，属综合基础题.14.谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinskitriangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.具体操作是：先取一个实心正三角形（图1），挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形）（图2），然后在剩下的三个小三角形中又各挖去一个“中心三角形”（图3），我们用黑色三角形代表剩下的面积，用上面的方法可以无限连续地作下去.若设操作次数为3（每挖去一次中心三角形算一次操作），在图中随机选取一个点，则此点取自黑色三角形的概率为__________.【答案】2764【解析】 【分析】根据三角形相似容易知黑色三角形面积与最大三角形面积之比，根据几何概型的概率计算公式，即可求得.【详解】由图可知，操作次数为n 时，黑色三角形的面积与最大三角形的面积之比为34n n .当3n =时，概率为2764. 故答案为：2764. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 的直线与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为点E ，O 为坐标原点，当OEF 的面积取到最大值时，双曲线C 的离心率为__________. 2 【解析】 【分析】由F 点到渐近线的距离即可求得FE ，利用均值不等式求得OEF 的面积取得最大值时对应的,a b 取值即可求得离心率. 【详解】由题意，2c =， 易得点(c,0)F 到直线by x a=的距离为22||bcFE b ca b ===+，所以||OE a =， 则OEF 的面积()2221111212444S ab ab a b c ==⋅≤+==，当OEF 的面积取到最大值时，a b ==..【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及利用均值不等式求最值，属中档题.16.函数3()f x x x =+，对于[0,2]x ∈，都有|(1)|2xf ax e -+≤，则实数a 的取值范围是___．【答案】21[1,]2e e - 【解析】 【分析】由题意，利用函数()f x 的奇偶性和单调性，转化得出2x x e ax e ax ⎧≥⎨≤+⎩，分别作出函数xy e =，y ax =和2y ax =+，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(),-∞+∞为单调递增，且()12f =，()212xf ax e -≤-+≤，即111xax e -≤-+≤，即2x x e axe ax ⎧≥⎨≤+⎩①作出xy e =与y ax =的图象，直线y ax =作为曲线xy e =切线可求得a e =，当[]0,2x ∈时，x e ax a e ≥⇔≤；②作出xy e =与2y ax =+的图象，[]0,2x ∈时，222x x e ax e a ≤+⇔≤+，故2112a e ≥-， 综上可得211,2a e e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数的图象的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的单调性，转化为2x x e ax e ax ⎧≥⎨≤+⎩，利用函数xy e =，y ax =和2y ax =+，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理与计算能力，属于中档试题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.数列{}n a 满足212231n a a a n n n ++⋯+=++，*n ∈N . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列1na 的前n 项和为n S ，求满足9n n a S ≤的n 的取值范围. 【答案】（1）2(1)n a n n =+（2）[3,)+∞，n ∈N . 【解析】 【分析】（1）利用递推公式，借助下标缩1，即可求得数列n a ；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n S ，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）因为212231n a a a n n n ++⋯+=++，*n ∈N ，① 所以当1n =时，14a =. 当2n ≥时，2121(1)(1)23n a a an n n-+++=-+-…，② ①②两式相减，整理得2(1)n a n n =+，显然14a =也满足上式.所以{}n a 的通项公式是2(1)n a n n =+. （2）由（1）得111112(1)21n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111122231212(1)n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…， 不等式9n n a S ≤，即18(1)2(1)n n n n+≤+， 整理得29n ≥，所以3n ≥，n ∈N .所以满足不等式的n 的取值范围是[3,)+∞，n ∈N .【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式，以及利用裂项求和法求数列的前n 项和，属综合中档题.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ； （2）求点B 到平面ECD 的距离； 【答案】（1）见解析；（2）1313【解析】 【分析】（1）取PA 的三等分点F ，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明；（2）法一，利用等积转换即B ECD E BCD V V --=，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离.【详解】(1)解法一：取PA 的三等分点F ，连结,DF EF ，则13PF PA = 又因为13PE PB =，所以13EF AB =且//EF AB ， 因为13CD AB=且//AB CD ，所以EF CD =且//EF CD ，四边形CDFE 是平行四边形， 所以//CE DF ，又平面DF ⊂平面 PAD ，CE ⊄平面 PAD ， 所以//CE 平面 PAD .解法二：取AB 的三等分点G ，连结,FG CG ，则13AG AB =， 又因为13PE PB =， 所以23EG PA =且//EG PA ，EG ⊄平面PAD ， PA ⊂平面PAD ， //EG ∴平面PAD ，因为13CD AB =且//AB CD ，所以AG CD =且//AG CD ，四边形ADCG 是平行四边形.所以//AD CG ，CG ⊄平面PAD ，DA ⊂平面PAD ，//CG ∴平面PAD ，又因为EG CG G ⋂=，,EG CG ⊂平面CEG ， 所以平面//CEG 平面PAD ， 又因为CE ⊂平面CEG ， 所以//CE 平面PAD .(2)解法一：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=，所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ， 点E 平面ABCD 的距离是43，3DF ==， 12112BCD S ∆=⨯⨯=，1112233ECD S CD DF ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 因为B ECD E BCD V V --=，所以，1141,333h h =⨯⨯=点B 到平面ECD. 解法二：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ， 分别以,,AD AB AP 为x 轴y 轴z 轴，建立空间坐标系，4(0,0,0),(0,3,0),(2,1,0),(2,0,0),0,1,3A B C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭’40,2,3BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面CDE 法向量1(,,)n x y z =，因为04203y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以1(2,0,3)n =， 设BE 与平面ECD 所成角为θ， 则点B 到平面ECD的距离11||cos 1313BE n h BE nθ⋅====，点B 到平面ECD 的距离为13. 【点睛】本题主要考查的是直线与平面平行的证明，点到面的距离的求法，以空间向量法求距离的应用，及解题时要注意认真审题，注意等价转化思想的合理应用，是中档题. 19.自2017年起，部分省、市陆续实施了新高考，某省采用了“33+”的选科模式，即：考试除必考的语、数、外三科外，再从物理、化学、生物、历史、地理、政治六个学科中，任意选取三科参加高考，为了调查新高考中考生的选科情况，某地区调查小组进行了一次调查，研究考生选择化学与选择物理是否有关.已知在调查数据中，选物理的考生与不选物理的考生人数相同，其中选物理且选化学的人数占选物理人数的35，在不选物理的考生中，选化学与不选化学的人数比为1:4.（1）若在此次调查中，选物理未选化学的考生有100人，试完成下面的列联表：（2）根据第（1）问的数据，能否有99%把握认为选择化学与选择物理有关？（3）若研究得到在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为选化学与选物理有关，则选物理又选化学的人数至少有多少？（单位：千人；精确到0.001）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）列联表详见解析（2）有99%把握认为选择化学与选择物理有关（3）至少有11.943千人【解析】【分析】（1）根据题意，即可求得表格中缺失的数据；（2）结合列联表，计算2K，即可进行判断；（3）设选物理又选化学的人数为x千人，据此重新求得列联表，以及2K，根据其大于等于6.635，即可求得结果.【详解】（1）列联表如下：（2）由列联表可知22500(150********)2506.6352502502003003K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%把握认为选择化学与选择物理有关.（3）设选物理又选化学的人数为x千人，则列联表如下：所以22221042533955492333x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅，在犯错误概率不超过0.01的前提下，则2 6.635K ≥，即56.6359x ≥，解得11.943x ≥（千人），所以选物理又选化学的人数至少有11.943千人.【点睛】本题考查根据题意补全列联表，2K 的计算，以及由犯错误的概率计算参数的范围，属综合中档题. 20.已知函数21()ln 2f x x m x =-，2()(1)g x x m x =-+，m ∈R . （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线经过点(2,1)A ，求m 的值； （2）当m 1≥时，求函数()()()F x f x g x =-的零点的个数. 【答案】（1）12m =（2）有且只有一个零点 【解析】 【分析】（1）求导，可得含参数m 的切线方程，根据切线过点的坐标满足切线方程，即可求得m ； （2）求()F x 求导，利用导数研究函数单调性，同时对参数进行分类讨论，即可得到()F x 的零点个数.【详解】（1）由题知切点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，又由21()ln 2f x x m x =-得()m f x x x '=-，所以切线的斜率(1)1k f m '==-，切线方程为1(1)(1)2y m x -=--， 把点(2,1)A 代入切线方程， 解得12m =. （2）21()(1)ln 2F x x m x m x =-++-，定义域(0,)+∞，所以2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m F x x m x x x-++--'=-++-=-=-. ①当1m =时，2(1)()x F x x-'=-，有()0F x '≤在(0,)+∞恒成立，()F x 在(0,)+∞上单调递减，此时21()2ln 2F x x x x =-+-，其中3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以函数()F x 有且只有一个零点.②当1m 时，易知当(1,)x m ∈时，有()0F x '>，()F x 单调递增； 当(0,1)x ∈或(,)x m ∈+∞时，有()0F x '<，()F x 单调递减. 其中1(1)02F m =+>， 令2001(1)02x m x -++=解得022x m =+或00x =（舍去）， 所以(22)ln(22)0F m m m +=-+<， 所以函数()F x 有且只有一个零点.综上所述，当m 1≥时，函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点.【点睛】本题考查导数的及意义，以及利用导数研究函数零点个数的问题，涉及分类讨论，属综合中档题.21.在平面直角坐标系xOy 中，一个动圆经过点(1,0)F 且与直线1x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过点(4,0)C 作直线交曲线E 于A ，B 两点，问曲线E 上是否存在一个定点P ，使得点P 在以AB 为直径的圆上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2:4E y x =（2）存在；定点(0,0)P 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义，即可求得轨迹方程；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，结合PA PB ⊥，即可恒成立问题，即可求得P 点坐标.【详解】（1）由题意，圆心到点(1,0)F 的距离与到直线1x =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程是2:4E y x =. （2）因为过点(4,0)C 的直线交曲线E 于A ，B 两点，所以可设直线方程为4x my =+，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由244x my y x=+⎧⎨=⎩整理得24160y my --=， 216640m ∆=+>，124y y m +=，1216y y =-，假设存在定点200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，显然01y y ≠且02y y ≠， 则PA PB ⊥，即0PA PB ⋅=.因为221010,44y y PA y y ⎛⎫=--⎪⎝⎭，222020,44y y PB y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()()()()()()102010201020160y y y y y y y y y y y y --+++--=， 即()()()()()()102010201020160y y y y y y y y y y y y --+++--=， 因为10y y ≠且20y y ≠，所以()()1020160y y y y +++=， 即()2120120160y y y y y y ++++=，所以200164160my y -+++=，即20040y my +=，上式要恒成立，所以00y =，即定点(0,0)P . 综上所述，存在定点(0,0)P 满足题意.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程，以及抛物线中定点的寻求，属综合中档题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-.（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且111||||OA OB +=，求p 的值. 【答案】（1）(R)θαρ=∈；22(0)2p y p x p ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（2）2p = 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可求得直线的普通方程，再化简为直角方程即可；利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）联立直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程，求得,OA OB ，代值计算即可.【详解】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），得当2πα=时，直线l 的普通方程是0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=； 当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=，直线l 过原点、倾斜角为α，其极坐标方程为θα=和θαπ=+.综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<， 也可以写成(R)θαρ=∈. 由(0)1cos pp ρθ=>-，得cos p ρρθ-=，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以222()x y x p +=+，整理得22(0)2p y p x p ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. （2）设()11,A ρθ，(),B ρθ22，解方程组1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，得11cos p ρα=-，即||1cos p OA α=-； 解方程组1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，得21cos p ρα=+，即||1cos p OB α=+. 所以111cos 1cos 2||||OA OB p p pαα-++=+=， 又已知111||||OA OB +=，所以2p =. 【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程之间的转化，极坐标方程和普通方程之间的转化，以及利用极坐标求解距离问题，属综合中档题. 23.已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=. （1（2）证明：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c .【答案】（1；（2）见解析 【解析】 【分析】（12≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，即可得出结论． （2）将1a b c ++=代入所证等式的左边，利用基本不等式，证得结论. 【详解】（1）2≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，+当且仅当13a b c ===（2）111111111++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c a b c a b c a b c a b c28+++=⋅⋅⋅=b c a c a bbc a b c当且仅当13a b c===取“=”【点睛】本题考查了基本不等式与柯西不等式的应用，利用柯西不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题．。

2020届全国高考仿真模拟考试（五）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·北京海淀一模]已知集合P ＝{x |0≤x ≤2} ，且M ⊆P ，则M 可以是( ) A ．{0，1} B ．{1，3} C ．{－1，1} D ．{0，5} 答案：A解析：∵0∈{x |0≤x ≤2}，1∈{x |0≤x ≤2}，∴{0，1}⊆{x |0≤x ≤2}，故选A.2．[2019·安徽皖南八校联考]i 为虚数单位，a ∈R ，若z ＝a －ia ＋i＋i 为实数，则a ＝( )A ．－1B ．－12C ．1D ．2 答案：C解析：z ＝a －i a ＋i ＋i ＝(a －i )2(a ＋i )(a －i )＋i ＝(a 2－1)－2a i a 2＋1＋i ＝a 2－1a 2＋1＋⎝⎛⎭⎫1－2a a 2＋1i ＝a 2－1a 2＋1＋(a －1)2a 2＋1i ，由题意可得a ＝1，故选C.3．[2019·山东烟台模拟]已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1 答案：D解析：由对数函数的性质及题图，得0<a <1，易知c >0，所以函数y ＝log a (x ＋c )的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.故选D.4．[2019·江西九江重点学校联考]在扇形AOB 中，∠AOB ＝θ，扇形AOB 的半径为3，C 是弧AB 上一点，若OC →＝233OA →＋33OB →，则θ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：D解析：∵OC →＝233OA →＋33OB →，|OC →|＝|OA →|＝|OB →|＝3，∠AOB ＝θ，∴OC →2＝43OA →2＋43OA →·OB →＋13OB →2＝3，即4cos θ＝－2，∴cos θ＝－12，∵0<θ<π，∴θ＝2π3，故选D.5．[2019·湖南岳阳三检]观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，…，归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．－g (x )B ．f (x )C ．－f (x )D ．g (x ) 答案：A解析：(x 2)′＝2x 中，函数y ＝x 2为偶函数，其导函数y ′＝2x 为奇函数； (x 4)′＝4x 3中，函数y ＝x 4为偶函数，其导函数y ′＝4x 3为奇函数；(cos x )′＝－sin x 中，函数y ＝cos x 为偶函数，其导函数y ′＝－sin x 为奇函数；…. 我们可以归纳，偶函数的导函数为奇函数．事实上，若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )为偶函数， 又g (x )为f (x )的导函数，则g (x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即g (－x )＝－g (x )，故选A.6．[2019·安徽池州期末]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π12，1 B.⎝⎛⎭⎫π12，2 C.⎝⎛⎭⎫7π12，1 D.⎝⎛⎭⎫3π4，2 答案：C解析：由函数图象可知A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，所以ω＝2πT＝2，易得2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π12，所以函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫7π12，1.故选C. 7．[2019·河南洛阳尖子生第二次联考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.⎝⎛⎭⎫12n －1 答案：B解析：解法一 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝12；当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝2a n＋1－2a n ，则a n ＋1a n ＝32.所以当n ≥2时，数列{a n }是公比为32的等比数列．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，于是S n ＝1＋12＋12×32＋…＋12×⎝⎛⎭⎫32n －2＝1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1.故选B.解法二 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝12，所以S 2＝1＋12＝32，结合选项可得只有B 选项满足．故选B.8．[2019·鄂东南省级示范高中联考]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”．翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断他们是否都是偶数，若是，用2约简，若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a ＝114，b ＝30，则输出的n 为( )A ．3B ．6C ．7D ．30 答案：C解析：根据框图可列表如下．a 114 57 42 27 12 15 3 12 9 6 3b 30 15 15 15 15 12 12 3 3 3 3 n 0 0 1 2 3 3 4 4 5 6 7 k 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9．[2019·吉林省实验中学测试]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x 2＋y 2≤1，则2x ＋y 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，＋∞)C ．(0，5]D ．[1，5] 答案：D解析：设z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x 2＋y 2≤1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－2x ，平移该直线，数形结合可知当平移后的直线过点(0，1)时，z 取得最小值1，当平移后的直线与圆相切于第一象限时，z 取得最大值，最大值为5，所以2x ＋y 的取值范围是[1，5]．故选D.10．[2019·江西五校协作体联考]如图，圆锥的底面直径AB ＝4，高OC ＝22，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD ＝2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A.π6B.π3C.5π12D.π2 答案：B解析：如图，过点O 作OE ⊥AB 交底面圆于点E ，分别以OE ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，因为∠AOD ＝23π，所以∠BOD ＝π3，则D (3，1，0)，A (0，－2，0)，B (0，2，0)，C (0，0，22)，AD →＝(3，3，0)，BC →＝(0，－2，22)，所以cos 〈AD →，BC →〉＝－612×12＝－12，则直线AD 与BC 所成的角为π3，故选B.11．[2019·四川成都一诊]过曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中C 1，C 3有一个共同的焦点，若MF 1→＋MN →＝0，则曲线C 1的离心率为( )A.5＋12 B. 5 C.2＋12 D. 2答案：A解析：易知曲线C 1为双曲线．设曲线C 1的右焦点为F ，则F 的坐标为(c ，0)． 因为曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，所以y 2＝4cx .因为MF 1→＋MN →＝0，所以MF 1→＝－MN →＝NM →，则M 为线段F 1N 的中点．连接OM ，NF (O 为坐标原点)．因为O 为线段F 1F 的中点，M 为线段F 1N 的中点，所以OM 为△NF 1F 的中位线，所以OM ∥NF .因为|OM |＝a ，所以|NF |＝2a .易知NF ⊥NF 1，|F 1F |＝2c ，所以|NF 1|＝2b .设N (x ，y )，则由抛物线的定义可得x ＋c ＝2a ， 所以x ＝2a －c .过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a .由勾股定理得y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，得e 2－e －1＝0(e >0)，所以e ＝5＋12.故选A.12．[2019·重庆西南大附中月考]已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(0，1]D ．(0，1) 答案：D解析：∵g (－x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝g (x )，∴g (x )是偶函数．若g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，等价于当x >0时，g (x )有2个不同的零点．∵f (x )是奇函数，∴由g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝0，得f (x 2)＝－f (a －2|x |)＝f (2|x |－a )．∵f (x )是单调函数，∴x 2＝2|x |－a ，即－a ＝x 2－2|x |，当x >0时，－a ＝x 2－2|x |＝x 2－2x 有两个根即可．设h (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，要使当x >0时，－a ＝x 2－2|x |有两个根，则－1<－a <0，即0<a <1，即实数a 的取值范围是(0，1)，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·河北九校联考]已知两条不同的直线m ，n ，两个不重合的平面α，β，给出下列命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α； ④m ⊥α，m ∥β⇒α⊥β；⑤α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是________． 答案：①④⑤解析：命题①，显然正确；命题②，m ，n 可能异面，故②为假命题；命题③，可能n ⊂α，故③为假命题；命题④，显然正确；命题⑤，由m ∥n ，m ⊥α，得n ⊥α，又α∥β，所以n ⊥β，故⑤为真命题．综上，正确的命题为①④⑤.14．[2019·山东潍坊重点学校摸底]若(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2－ax 6的展开式中常数项为60，则实数a的值是________．答案：±2解析：⎝⎛⎭⎫x 2－a x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r ·⎝⎛⎭⎫126－r ·C r 6·x 6－3r 2.由6－32r ＝－1，得r ＝143(舍去)，由6－32r ＝0，得r ＝4.所以(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2－a x 6的展开式中常数项为(－a )4·⎝⎛⎭⎫122·C 46＝15a 44＝60，得a ＝±2. 15．[2019·湖北八校联考]已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，若a 4＝65，则a 1＝________.答案：3解析：∵a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 4＝65，∴2a 3＋24－1＝65，得a 3＝25，∴2a 2＋23－1＝25，得a 2＝9，∴2a 1＋22－1＝9，得a 1＝3.16．[2019·江苏张家港一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫34，2解析：画出函数f (x )的大致图象，如图所示．由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )成立，则12≤b <1.b ·f (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·广东省六校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．解析：(1)依题意知a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ， 由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ， 因为a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B .由正弦定理，得2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)已知tan C ＝32，C ∈(0，π)，易得sin C ＝217，cos C ＝277，由(1)知B ＝π3，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B ＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.18．(12分)[2019·江西南昌重点中学段考]如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 内的射影恰好落在边AB 上．(1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；(2)当ABAD＝2时，求二面角D －AC －B 的余弦值．解析：(1)证明：如图，设点D 在平面ABC 内的射影为点E ，连接DE ， 则DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥BC .因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ， 所以BC ⊥AD .又AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ， 所以平面ACD ⊥平面BCD .(2)解法一 在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连接ME . 因为DE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥AC ， 又DM ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面DME ，EM ⊂平面DME ，所以EM ⊥AC ， 所以∠DME 为二面角D －AC －B 的平面角． 设AD ＝a ，则AB ＝2a .在Rt △ADC 中，易求得AM ＝5a 5，DM ＝25a5.在Rt △AEM 中，EM AM ＝tan ∠BAC ＝12，得EM ＝5a10，所以cos ∠DME ＝EM DM ＝14.解法二 以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系B -xyz ，如图所示．设AD ＝a ，则AB ＝2a ，所以A (0，－2a ，0)，C (－a ，0，0)．由(1)知AD ⊥BD ，又ABAD＝2，所以∠DBA ＝30°，∠DAB ＝60°，所以AE ＝AD cos ∠DAB＝12a ，BE ＝AB －AE ＝32a ，DE ＝AD sin ∠DAB ＝32a ， 所以D ⎝⎛⎭⎫0，－32a ，32a ，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a ，AC →＝(－a ，2a ，0)．设平面ACD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AD →＝0，m ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12ay ＋32az ＝0，－ax ＋2ay ＝0.取y ＝1，则x ＝2，z ＝－33，所以m ＝⎝⎛⎭⎫2，1，－33. 因为平面ABC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－3322＋12＋⎝⎛⎭⎫－332＝－14.结合图知，二面角D －AC －B 为锐二面角，所以二面角D －AC －B 的余弦值为14.19．(12分)[2019·安徽省合肥市高三上学期期末考试]每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如下的频率分布直方图．(1)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(2)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似地等于样本平均数x (精确到个位)，σ2近似地等于样本方差s 2，s 2≈33.6，假设该辖区内这一年龄层次共有10 000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数．附：33.6≈5.8，若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.解析：(1)x ＝0.06×34＋0.18×38＋0.20×42＋0.28×46＋0.16×50＋0.10×54＋0.02×58＝44.72≈45.(2)由题意得，μ≈45，σ≈5.8，μ－σ＝39.2，μ＋σ＝50.8，P (39.2<t <50.8)＝0.682 6， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间(39.2，50.8)的人数约为10 000×0.682 6＝6 826. 20．(12分)[2019·山东滨州联考]已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上一点M 的纵坐标为6，且点M 到焦点F 的距离为7.(1)求抛物线E 的方程；(2)设l 1，l 2为过焦点F 且互相垂直的两条直线，直线l 1与抛物线E 相交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线E 相交于C ，D 两点，若直线l 1的斜率为k (k ≠0)，且S △OAB ·S △OCD ＝8，试求k 的值．解析：(1)由抛物线的定义知，点M 到抛物线的准线的距离为7，所以6＋p2＝7，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由题意可知l 1的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 216(k 2＋1)＝4(k 2＋1)．由点O 到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1， 得S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4(k 2＋1)×1k 2＋1＝2k 2＋1.因为l 1⊥l 2，所以同理可得S △OCD ＝2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝2k 2＋1|k |. 由S △OAB ·S △OCD ＝8，得2k 2＋1×2k 2＋1|k |＝8， 解得k 2＝1，即k ＝－1或k ＝1.21．(12分)[2019·贵州贵阳监测]已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1e x(m ≥0)，其中e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若m ∈(1，2)，证明：当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1e恒成立．解析：(1)由题意得f ′(x )＝－x 2＋(m －2)x ＋1－m e x ＝－[x －(1－m )](x －1)e x，当m ＝0，即1－m ＝1时，f ′(x )＝－(x －1)2e x≤0，f (x )在R 上单调递减；当m >0，即1－m <1时，令f ′(x )<0，得x <1－m 或x >1，令f ′(x )>0，得1－m <x <1.∴f (x )在(－∞，1－m )，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m ，1)上单调递增．(2)令g (x )＝－x ＋1＋1e，问题转化为证明f (x )min >g (x )max .由(1)可知，m ∈(1，2)时f (x )在[1，m ]上单调递减，∴f (x )min ＝f (m )＝2m 2＋1em .∵g (x )在[1，m ]上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝1e.所以要证f (x )min >g (x )max ，只需证2m 2＋1e m >1e.记h (m )＝2m 2＋1e m (1<m <2)，则h ′(m )＝－2m 2＋4m －1e m，令h ′(m )>0，得1<m <2＋22，令h ′(m )<0，得2＋22<m <2，∴h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2上单调递减．又2×12＋1e 1＝3e ，2×22＋1e 2＝9e2，∴对任意的m ∈(1，2)，都有h (m )>3e >1e，即当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1e恒成立．选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·南宁市高三毕业班第一次适应性测试]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋r cos φ，y ＝1＋r sin φ(r >0，φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋1＝0.若直线l 与曲线C 相切．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON 面积的最大值．解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋1＝0得 32ρcos θ－12ρsin θ＋1＝0， 则直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋2＝0. 曲线C 是圆心为(3，1)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切可得r ＝|3×3－1＋2|2＝2.则曲线C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4.所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3. (2)由(1)不妨设M (ρ1，θ)，N ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π6 ⎝⎛⎭⎫ρ1>0，ρ2>0，－π3<θ<2π3.S △MON ＝12|OM |·|ON |·sin π6＝14ρ1ρ2＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2 ＝2sin θcos θ＋23cos 2θ ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋ 3. 当θ＝π12时，△MON 面积的最大值为2＋ 3.23．(10分)[2019·四川资阳一诊][选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x |，g (x )＝|2x －2|. (1)解不等式f (x )>g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)不等式f (x )>g (x )，即|2x －2|<|x |. 则(2x －2)2<x 2，即(2x －2)2－x 2<0，故有(3x －2)(x －2)<0，解得23<x <2.则所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)2f (x )＋g (x )＝2|x |＋|2x －2|，若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，则①当x ≤0时，只需不等式－2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即ax <－4x ＋1，x ＝0时，该不等式恒成立，a ∈R ；x <0时，a >－4＋1x恒成立，可得a ≥－4.②当0<x <1时，只需不等式2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即a <1x 恒成立，可得a ≤1.③当x ≥1时，只需不等式2x ＋2x －2>ax ＋1恒成立，即a <4－3x恒成立，可得a <1.综上，实数a 的取值范围是[－4，1)．。

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U 为实数集R ，集合{|ln(32)}A x y x ==-，{|(1)(3)0}B y y y =--≤，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．3(,1),2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．[3,)+∞ D ．3,[3,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U 2.已知复数z 满足3(1)(34)(2)z ai i ai =++-++（i 为虚数单位），若zi为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．45 B ．2 C ．54- D ．12- 3.已知命题p ：x R ∀∈，210x x -+>，命题q ：0x R ∃∈，002sin 2cos 3x x +=.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ． ()p q ⌝∧ 4.已知函数()cos 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21()1g x x =+，则下列结论中不正确是（ ） A ．()g x 的值域为(]0,1 B ．()f x 的单调递减区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C．()()f xg x⋅为偶函数D ．()f x的最小正周期为π5.若实数x，y满足113xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则21yzx-=的取值范围是（）A．2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．25B．26C．24D．238.过点(3,4)P作圆224x y+=的两条切线，切点分别为A，B，则AB=（）A．53- B．52- C．2215D．42159.已知等差数列{}na的前n项和为nT，34a=，627T=，数列{}nb满足1123nb b b b+=++nb+⋅⋅⋅+，121b b==，设n n nc a b=+，则数列{}nc的前11项和为（）A．1062 B．2124 C．1101 D．110010.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．104π+B．68π+C ．108π+D ．64π+11.已知动点(,)M x y 满足22(1)21x y x -+=+-，设点M 的轨迹为曲线E ，A ，B 为曲线E 上两动点，N 为AB 的中点，点N 到y 轴的距离为2，则弦AB 的最大值为（ ） A ．6B ．4 C ．5 D ．5412.如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 与侧面PAD 垂直，且四边形ABCD 为正方形，AD PD PA ==，点E 为边AB 的中点，点F 在边BP 上，且14BF BP =，过C ，E ，F 三点的截面与平面PAD 的交线为l ，则异面直线PB 与l 所成的角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

全国高考模拟试题数学试题本试卷共6页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z 满足()14i z i z -⋅==，则 2B.2C.22D.82.已知集合{}{}20,10A x x x B x x x =-<=><或，则 A.B A ⊆B.A B ⊆C.A B R ⋃=D.A B ⋂=∅3.已知集合0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===则A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<4.()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为 A.2B.2-C.3D.3-5.函数()()32sin 12x f x g x xπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=与的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的部分图象大致为6．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为(π取近似值3.14) A.0.012 B.0.052 C.0.125D.0.2357.已知函数()()3211f x x gx x =+++，若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()220202020110,110=f a f a S -=--=，则A.4040-B.0C.2020D.40408.在四面体2,90ABCD BC CD BD AB ABC ====∠=o中，，二面角A BC D --的平面角为150°，则四面体ABCD 外接球的表面积为 A.313π B.1243π C.31πD.124π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020高三第五次模拟考试数学（文科）试题参 考 答 案二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. -1 14.025=-+y x15.535- 16. 64R 381三．解答题（本大题有6小题，共70分．） 17.（12分）解：（1）当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=；当1n =时，111a S ==，符合上式． 综上，n a n =．（2）3n n b n =⋅，则1231323333n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，∴()2311313233333313n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-，∴1313424n n nT +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭．18.（12分）解：（1）证明：如图，取AE 的中点G ，连接GF ，GB ， ∵点F 为DE 的中点，∴GF AD ∥，且12GF AD =， 又AD BC ∥，2AD BC =，∴GF BC ∥，且GF BC =， ∴四边形CFGB 为平行四边形，则CF BG ∥，而CF ⊄平面EAB ，BG ⊂平面EAB ，∴CF ∥平面EAB ．（2）∵CF AD ⊥，∴AD BG ⊥，而AB AD ⊥，∴AD ⊥平面EAB ，∴AD EA ⊥， 又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，∴EA ⊥平面ABCD ， ∴113E ABCD ABCD V S EA -=⋅=梯形20.（12分）(1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12.所以曲线C 的方程为x 2＝y . (2)由题意直线PQ 的方程为：y ＝k (x －1)＋1，则点M (1－1k ，0)． 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k x －＋1y ＝x 2消去y 得x 2－kx ＋k －1＝0，得Q (k －1，(k －1)2)．所以得直线QN 的方程为y －(k －1)2＝－1k (x －k ＋1)．代入曲线方程y ＝x 2中，得 x 2＋1k x －1＋1k －(1－k )2＝0.解得N (1－1k －k ，(1－k －1k )2)．所以直线MN 的斜率k MN ＝－k －1k 2－1k －k－－1k＝－－k －1k 2k.过点N 的切线的斜率k ′＝2(1－k －1k )．由题意有－－k －1k 2k＝2(1－k －1k )．解得k ＝－1±52.故存在实数k ＝－1±52使命题成立．19.(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，28)(712=-∑=i it t,55.0)(712=-∑=i iy y∑∑∑===-=--717171))((i i i i i i i iy t y t y y t t89.232.9417.40=⨯-=所以r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得10.02889.2)())((71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb a ＝y －b t ≈1.331－0.10×4≈0.93.所以y 关于t 的回归方程为y ＝0.93＋0.10t . 将2019年对应的t ＝9代入回归方程得y ＝0.93＋0.10×9＝1.83. 所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨. 20.（12分）解:（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-， ①若0a =，则2()x f x e =，在(,)-∞+∞单调递增. ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(l n ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-.当(,ln())2ax ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a-∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增.（2）①若0a =，则2()x f x e =，所以()0f x ≥.②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.③若0a <，则由（1）得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--.从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥.综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时，d=8a =；当4a <-时，d.=16a =-.综上，8a =或16a =-.、23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）解：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --<≤. （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[1,1]-.。

绝密★启用前2020届普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷（五）（全国Ⅲ卷）数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}31x A x =>，{}1,0,1,2B =-，则A B I 等于( ) A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1-C ．{}1,2D ．{}1,0-答案：C 由指数函数性质确定集合A ，然后根据交集定义计算．解： 由题意{}0A x x =>，∴{}1,2A B =I .故选：C ．点评：本题考查集合的交集运算，考查指数函数性质，掌握指数函数的性质是解题关键．2．复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z =( )A ．5i +B ．5i -C ．15i +D ．15i - 答案：A根据复数的除法运算和加法运算计算．解： 532352z i i i=+=++=+-. 故选：A ．点评：本题考查复数的除法和加法运算，属于基础题．3．若双曲线()222105x y a a -=>的离心率为32，则a =（ ）AB C ．2 D ．3 答案：C首先求出c =，再根据离心率32c e a ==即可求解. 解：由c =所以32c e a ===，解得2a =． 故选：C点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，需熟记双曲线离心率的计算式子，属于基础题.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24S =，5316S S -=，则8S 等于( )A ．50B ．56C ．60D ．64 答案：D用首项1a 和公差d 表示出已知条件并解出，再由等差数列前n 项和公式计算． 解：设{}n a 的公差为d ，则124a d +=，5312716S S a d -=+=，所以11a =，2d =，()818818642S a d -=+=. 故选：D ．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查等差数列的基本量运算，属于基础题．5．若函数()2xy f x =-是奇函数，定义域为R ，()11f =-，则()1f -的值是( ) A ．72- B ．134- C ．72 D ．134答案：C根据奇函数定义求解．解：故选：C ．由题意，()()112123f f ---=-+=，()712f -=. 点评：本题考查奇函数的定义，掌握奇函数概念是解题基础．6．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．83B ．3C ．12D ．143答案：D 由三视图还原出原几何体，再根据体积公式计算．解：由三视图知原几何体是下面一个直四棱柱， 上面一个四棱锥的组合体，尺寸见三视图， 体积为111(24)34(24)32143232V =⨯++⨯⨯+=． 故选：D ．点评：本题考查三视图，考查棱柱棱锥的体积公式，解题关键是由三视图还原出原几何体．7．已知()2,1M ，()3,2N ，点P 在圆222x y +=上，则PMN V 的面积的最大值是( )A ．12B ．1C ．32D ．2答案：C求出MN 的长度，求出直线MN 方程，再求得圆心到直线MN 的距离d ，此距离加上圆半径即得圆上的点到直线MN 距离的最大值，从而可得PMN V 的面积的最大值． 解：2MN =MN 方程为10x y --=，原点O 到直线MN 距离为222d ==，圆O 半径为2， 圆上的点到直线MN 距离的最大值为232222+=， ∴PMN V 的面积的最大值是1323222⨯⨯=. 故选：C ．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归思想．求三角形面积最大值，实质上就是求圆上的点到直线MN 距离的最大值，而这又转化为求圆心到直线的距离．8．函数()222x x y x -=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．答案：A首先确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后函数值与2x 比较大小后可得正确选项． 解：记2()(22)x x f x y x -==+，则2()(22)()x x f x x f x --=+=，()f x 是偶函数，排除BC ，又222222--+≥⋅=x x x x ，∴22()(22)2x x f x x x -=+≥，因此排除D ， 故选：A ．点评：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性，研究特殊的函数值，函数值的大小、正负，变化趋势等等，结合排除法得出正确选项．9．函数sin 64y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移32个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则()f x =（ ）A ．cos 6x πB ．sin 6x πC ．()1cos 6x π- D ．()1sin 6x π- 答案：A利用三角函数的平移变换原则：相对于x “左加右减”即可求解.解：()33sin sin 6246624f x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⨯+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos 626x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 故选：A点评：本题考查了三角函数的变换原则，注意左右平移是相对于x 平移，属于基础题.10．执行如图所示的程序框图，若输入18n =，则输出的S 值是( )A ．919B ．1019C ．37D ．1021答案：A根据程序框图，得出程序的数学功能，由数列的裂项相消法求得数列和，从而得出结论． 解：由题意111111912335171919S ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭.故选：A ．点评：本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，确定程序功能，结合其它数学知识得出结论．11．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，点E 在CD 上，1DE =，则AC BE ⋅=u u u r u u u r ( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：B 选取,AB AD u u u r u u u r 为基底，把其它向量用基底表示后计算数量积即可．解：23BE BA AD DE AB AD =++=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，29AB =uuu r ，24AD =u u u r ，32cos603AB AD ⋅=⨯⨯︒=u u u r u u u r ，22221()()1333AC BE AB AD AB AD AB AB AD AD ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B ．点评：本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取,AB AD u u u r u u u r 为基底，用基底表示其它向量．12，侧面积为，则这个圆锥的外接球体积为( )A ．B ．2C ．D ．2 答案：A 由圆锥侧面积求得圆锥底面半径，从而得圆锥的高，由圆锥的轴截面是其外接球大圆的内接三角形可求得球半径，可得求体积．解：设圆锥底面半径为r r =，r =h ==，∴圆锥的轴截面是等腰直角三角形，直角三角形的斜边就。

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（文科）（五）第丨卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合A = {l,2,3},B = {xwZI（x+l）（x—2）vO},则A\JB =A. {1}B. {1,2}C. {0,1,2,3}D. {-1,0,1,2,3}2.复数© = cosx-/sinx,z2 =sinx-zcosx ,则|可・勺| =A. 1B. 2C. 3D. 43.设都是不等于1的正数，则“3" > 3" > 3 ”是“log。

3 < log,3”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.在验证吸烟与是否患肺炎有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足则K，的一个可能值是P(K T>K)0. 50 0. 40 0. 25 0. 15 0. 10 0.05 0.025 0.010 0. 005 0.001JK 0. 455 0.708 1.323 2.072 2. 7O6 3.84 5.024 £・7. 879 10. 83635A. 6.635B. 5.024C. 7.897D. 3.8415.如图是一个由两个版圆锥和一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为左视图/ 2龙小兀,2龙，兀A. 6 + 一B・ 8 + — C. 4 + 一D. 4 + -3 3 3 36.己知A,B,C是直线/上不同的三点，点0E/直线.实数x满足关系式x2OA + 2xOB + OC = d9有下列结论：-OA OC>0；®OB'-OA•呢<0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点.其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D.46.A. B. C. D.7t 2兀 3兀 4龙 5龙7. cos — cos ——cos ——cos ——cos ——=11 11 11 11 11&已知函数 /(x) = sino¥ +JJcos0¥(e >—9 —上单调9则Q =16 2)A. 2B. 3 C 1 D. 59.在MBC 中，内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a 2-b 2= ^c,sin C = 2>/3 sin B ,则4 =A. 30B. 60 C ・ 45 D. 150'\+y<210.设满足< 2x-3y <9 ,则J 2 + y 2的最大值为x>0A. 4B. 9C. 10D. 12 11 •在棱长为1的长方体ABCD-AdCQ 中，E,F 分别是DD r AB 的中点，平面交 棱4D 于点P,则PE = A.逅B.迹6 312.已知双曲线C: — g = 1 （" > 0,b > 0）的左焦点为F,过点F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为比点P 在双曲线上，且FP = 3FH 9则双曲线的离心率为第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在[-1,1] ±随机地取一个实数k,则事件“直线y = kx 与圆（x - 5）2 + y 2 = 9相交”发生的概率为 _______________ •B.C. 1D. 0+ j = O,/(x)在区间B. 2亦C.学皿614.设"是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成"的3个数字按从小到大的排成的三位数记为/(d),按从大到小排成的三位数记为D(a),(例如a = 815,则7(815) = 158,D(815) = 851)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个"，则输出的结果心・15.已知实数兀)•满足x-y/x+I = y/y+3-y,则x +)、的最大值为为 ________________•16.若正数/满足a(2e-f)lni = l (e为自然对数的底数)，则实数"的取值范围为 _______________ •三、解答题：本大题共6小题，共70分•解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(本题满分12分)已知数列｛©｝的前〃项和为S,_,若®=1,且Sy”-'其中n已(1)求实数/的值和数列｛&｝的通项公式;(2)若数列｛$｝满足仇=log"“求数列、厂的前”项和7；・18・(本题满分12分)如图，在三棱锥P—ABCD中，AABC是等边三角形，D是AC的中点，PA = PC,二面角P-AC-B的大小为60・(1)求证：平面P3D丄平面PAC；(2)求AC与平面PAC所成角的正弦值.19・(本题满分12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9, 18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为九心,…,人，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. cr=b/筛人& / /输出怡/(i)用所给编号列出所有可能的结果；(ii)设A为事件“编号为4,人的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率.20.(本题满分12分)2 2平面直角坐标系冲，过椭圆M :壬+君=1 (“>/,> 0)的右焦点的宜线x + y —= O交M于两点，P为43的中点，且OP的斜率为丄.2(1)求M的方程；(2)CD是M是的两点，若四边形ABCD的对角线CD丄求四边形ABCD面积的最大值.21・(本题满分12分)(1)讨论函数f(x) =—e x的单调性，并证明当x>0时，(x-2)e x+x+2>0i•i I 2(2)证明：当ae[0A)时，函数g⑴="一_¥一匕(％>0)有最小值，设g(x)的最小A值为/7(d),求函数/7(d)的值域.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

开卷教育联盟全国2020届高三五模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)时量：120分钟满分：150分1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后,再涂选其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (4)A x y x ==-,{}2|230B x x x =--≥,则()A B ⋂=R （ ）.A. (3,4)B. (,1)-∞-C. (,1)(3,4)-∞-⋃D. (1,3)[4,)-⋃+∞【答案】D【解析】 求解对数型函数定义域和一元二次不等式,解得,A B ,再通过交运算和补运算求得结果.【详解】由40x ->得4x <,所以{|4}A x x =<；由2230x x --≥得1x ≤-或3x ≥,所以{|1B x x =≤-或3}x ≥.所以{|1A B x x ⋂=≤-或34}x ≤<,则(){|13A B x x ⋂=-<<R 或4}(1,3)[4,)x ≥=-⋃+∞.故选：D.2.已知复数11i z =+,222z i =-,则12z z =（ ）.A. 12i B. 12i - C. 1122i + D. i【答案】A【解析】 利用复数的运算法则,整理化简即可求得结果. 【详解】因为121(1)(22)422(22)(22)82z i i i i i z i i i +++====--+, 故选：A.3.下列说法正确的是（ ）.A. 命题“若21x =,则1x =”的否命题是“若21x =,则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“00x ∃<,20010x x ++<”的否定是“0x ∀≥,210x x ++≥”D. 命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题是真命题【答案】D【解析】根据否定题和逆否命题的定义,结合命题的否定以及命题充分性和必要性的判断,结合选项,进行逐一判断即可.【详解】命题“若21x =,则1x =”的否命题是“若21x ≠,则1x ≠”,故A 错误；方程2560x x --=的解是1x =-或6,所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件,故B 错误；命题“00x ∃<,20010x x ++<”的否定是“0x ∀<,210x x ++≥”,故C 错误；命题“若x y =,则sin sin x y =”是真命题,所以它的逆否命题是真命题,故D 正确.故选：D.4.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（ ）。