完整版简单三角恒等变换典型例题

第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆)1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( ) A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选B f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )A ．3B ．6C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos2α－sin2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013.答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝12cos 2x . 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α. 法二：原式＝1－tan 2α2tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cos α2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.[自主解答] (1)原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π. [答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π9的值；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合． 解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4 B.3π4 C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1.故A ＝π4.2.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35B.45C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， 所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2012·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域． 解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π. (2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1. ∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 210°等于( )A.12B.22 C ．2D.32解析：选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2(2－cos 210°)2－cos 210°＝2.3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α.证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． 故原式得证．2．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，则0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。

三角恒等变换经典例题删除明显有问题的段落，改写每段话如下：三角恒等变换半角公式是根据角度所在的象限来选择符号的。

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：1）sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ2）cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ3）tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)2.万能公式：tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)，tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)3.角度的三角函数值：sinα=1/2，cosα=1/2，tanα=24.降幂公式：sin^2α=(1-cos2α)/2，cos^2α=(1+cos2α)/2，tan^2α=(1-cos2α)/(1+cos2α)5.辅角公式：asinθ+bcosθ=sqrt(a^2+b^2)sin(θ+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)所在的象限决定，sinφ=b/sqrt(a^2+b^2)，cosφ=a/sqrt(a^2+b^2)，tanφ=b/a6.二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos^2α-sin^2α=1-2sin^2α=2cos^2α-17.常见数据：sin15°=cos75°=(sqrt(6)-sqrt(2))/4，sin75°=cos15°=(sqrt(6)+sqrt(2))/4.1.cos2a = 1 + cos2a2.sin2a = 1 - cos2atan15° = 2 - √3.tan75° = 2 + √34.升幂公式：1) 1 + cosα = 2cos2α/22) 1 - cosα = 2sin2α/23) 1 ± sinα = (sinα ± cosα)2/24) 1 = sin2α + cos2α1.解：sin20cos10 - cos160sin10 = sin20cos10 + cos20sin10 = sin30 = 1/2，选B。

三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin co cos sin )sin(s -=- (2）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-(3）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(4）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(7) sin cos a b αα+=)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan ba ϕϕϕ=== ，该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-2. 二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin = （2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a（3）aaa 2tan 1tan 22tan -=3. 降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2a a -=4. 升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin 2sin ααα=5. 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定） （1）2cos 12sinaa -±=， （2）2cos 12cos a a +±= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=6. 万能公式:（1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=,（3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=7，辅角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos b a bb a a +=+=ϕϕ，比如：xx y cos 3sin +=)cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x +=)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x10.常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=︒=︒= 3215tan -=︒, 3275tan +=︒,专题四 三角恒等变形各类题命题点1 和差公式的直接应用1．(2015课标1,2) 0000sin 20cos10cos160sin10-=（ ）.AB 1.2C - 1.2D2．（2017江苏，5）若1tan()46πα-=，则tan α=_____________ . 3．(2016·杭州模拟)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝________.4．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B.22 C.12 D ．－125．(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.16256．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，π4)，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos (π4＋θ)等于( )A.23B.43C.34D.327．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知4sin25θ=-，3cos 25θ=，则θ属于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 命题点2 角的变换8．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或5259．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．10．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．11．(2016·浙江五校联考)已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于( )A.43 B ．－43 C ．－23 D ．－3 命题点3 三角函数式的化简12．（2013重庆，9）004cos50tan 40-=（）BC 1 13．化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ (0<θ<π)；化简4cos 2sin 22+-14．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．15． 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________.16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝35，α是第三象限角，则sin π＋α2－cosπ＋α2sin π－α2－cosπ－α2等于A.12 B ．－12C ．2D ．－2 命题点4 给值求值问题17．（2017课标全国3文，4）已知4sin cos 3αα-=，则sin2α=（ ） 7.9A - 2.9B - 2.9C 7.9D18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________.19．（2013浙江，6）已知R α∈，sin 2cos αα+=则tan 2α=（ ） 4.3A 3.4B 3.4C - 4.3D - 20．（2014江苏，15）已知(,)2παπ∈，sin α=（1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值。

高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。

高考总复习高 中 数 学 高 考 总 复习 简 单 的 三 角 恒 等 变 换 习 题 及 详 解一、选择题π π ，x ∈ R ，则函数 f(x) 是()1． (文 )(2010 山·师大附中模考 )设函数 f(x)＝ cos 2(x ＋ )－ sin 2(x ＋ )44A ．最小正周期为 π的奇函数B ．最小正周期为 π的偶函数πC ．最小正周期为 2的奇函数πD ．最小正周期为 2的偶函数 [ 答案 ] Aπ2π[ 解析 ] f(x)＝ cos(2x ＋ 2)＝－ sin2x 为奇函数，周期 T ＝ 2 ＝ π. ( 理)(2010 辽·宁锦州 )函数 y ＝ sin 2x ＋ sinxcosx 的最小正周期 T ＝ ()π π A ． 2π B ． πC.2D.3[ 答案 ] B[ 解析 ] y ＝ sin 2x ＋ sinxcosx ＝ 1－ cos2x 12＋ sin2x2 ＝ 1＋ 2π，∴最小正周期 T ＝ π.2 2 sin 2x － 4232． (2010 重·庆一中 )设向量 a ＝ (cos α， 2 )的模为 2 ，则 cos2α＝ ()111 3 A ．－ 4 B ．－ 2C.2D. 2[ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ |a|2＝ cos 2α＋ 2 2＝ cos 2α＋ 1＝ 3，2 2 4∴ cos 2α＝1，∴ cos2α＝ 2cos 2α－ 1＝－ 1.42α3．已知 tan 2＝ 3，则 cos α＝ ()444 3A. 5 B ．－ 5C.15D ．－ 5[ 答案 ] Bαααα cos2－ sin2222含详解答案高考总复习1－ tan 2α＝ 2 ＝1－ 9＝－ 4，故选 B. 1＋ tan 2α 1＋ 9522C4．在△ABC 中，若 sinAsinB ＝ cos 2 ，则△ABC 是 ()A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ sinAsinB ＝ cos 2C，211∴ 2[cos(A － B)－ cos(A ＋ B)] ＝ 2(1＋ cosC)， ∴ cos(A － B)－cos( π－C)＝ 1＋ cosC ，∴ cos(A － B)＝1，∵－ π<A －B<π，∴ A － B ＝ 0，∴△ ABC 为等腰三角形．π5． (2010 ·阳市诊断绵 )函数 f(x)＝ 2sin(x － 2) ＋|cosx|的最小正周期为( )πA. 2B ．πC ． 2πD ． 4π[ 答案 ] C[ 解析 ] f(x)＝－ 2cosx ＋ |cosx|－ cosx cosx ≥ 0＝，画出图象可知周期为2π.－ 3cosx cosx<016． (2010 揭·阳市模考 )若 sinx ＋ cosx ＝ 3， x ∈ (0， π)，则 sinx － cosx 的值为 ()17171 17 A ． ± 3 B ．－ 3C.3D. 3[ 答案 ] D[ 解析 ]11 ，∴ sin2x ＝－ 8π 由 sinx ＋ cosx ＝ 两边平方得， 1＋ 2sinxcosx ＝ <0，∴ x ∈ ， π，3 99 2∴ (sinx － cosx)2＝ 1－ sin2x ＝17且sinx>cosx ， 9∴ sinx －cosx ＝17，故选 D.3高考总复习7． (文 )在锐角△ABC 中，设 x ＝ sinA ·sinB ， y ＝ cosA ·cosB ，则 x ， y 的大小关系是 ( )A ． x ≤yB ． x ＜ yC ． x ≥ yD ． x ＞y[ 答案 ] Dπ[ 解析 ] ∵ π>A ＋ B ＞ ，∴ cos(A ＋ B)＜0，即 cosAcosB － sinAsinB ＜ 0，∴ x ＞ y ，故应选 D.2( 理)(2010 皖·南八校 )在△ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为 a 、b 、 c ，如果 cos(2B ＋ C)＋ 2sinAsinB<0，那么 a 、 b 、 c 满足的关系是 ()A ． 2ab>c 2B ． a 2＋ b 2<c 2C ． 2bc>a 2D ． b 2＋ c 2<a 2[ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ cos(2B ＋C)＋ 2sinAsinB<0，且 A ＋B ＋ C ＝ π，∴ cos( π－ A ＋B)＋ 2sinA ·sinB<0，∴ cos( π－ A)cosB － sin( π－ A)sinB ＋ 2sinAsinB<0，∴－ cosAcosB ＋ sinAsinB<0 ，即 cos(A ＋ B)>0，π π∴ 0<A ＋ B< ，∴ C> ，22a 2＋b 2－c 2由余弦定理得，cosC ＝<0，2ab∴ a 2＋ b 2－ c 2<0，故应选 B.8． (2010 ·林省调研吉 )已知 a ＝ (cosx ，sinx)，b ＝ (sinx ，cosx)，记 f(x)＝a ·b ，要得到函数 y ＝ sin 4x － cos 4x 的图象，只需将函数 y ＝ f( x)的图象 ()πA ．向左平移 2个单位长度πB ．向左平移 4个单位长度πC ．向右平移 2个单位长度πD ．向右平移 4个单位长度[ 答案 ] D[ 解析 ] y ＝ sin 4x － cos 4 x ＝(sin 2x ＋ cos 2x)(sin 2x － cos 2x)＝－ cos2x ，π π π π将 f( x)＝ a ·b ＝ 2sinxcosx ＝ sin2x ，向右平移 4 个单位得， sin2 x －4 ＝ sin 2x －2 ＝－ sin － 2x＝－ cos2x ，故2 选 D.高考总复习π 29． (2010 浙·江金华十校模考 )已知向量 a ＝ (cos2α， sin α)， b ＝ (1,2sin α－ 1)， α∈ 4， π，若 a ·b ＝5，π 则 tan α＋4 的值为 ( )12 1 2 A.3 B.7C.7D.3[ 答案 ] C[ 解析 ]a ·b ＝ cos2α＋ 2sin 2α－sin α＝ 1－ 2sin 2α＋ 2sin 2α－ sin α＝ 1－ sin α＝ 2，∴ sin α＝ 3，5 5 π∵ <α<π，∴ cos α＝－ 4，∴ tan α＝－ 3，454π 1＋ tan α 1 .∴ tan α＋ ＝ ＝4 1－ tan α 75π 7π10． (2010 湖·北黄冈模拟 )若 2 ≤ α≤ 2 ，则 1＋ sin α＋ 1－ sin α等于 ()α α A ．－ 2cos 2 B ． 2cos 2α α C ．－ 2sin 2 D ． 2sin 2[ 答案 ]C5π7π 5π α 7π[ 解析 ] ≤ α≤，∴4≤ ≤4.∵ 2 2 2∴ 1＋ sin α＋ 1－ sin α＝1＋ 2sin α α 1－ 2sin α α2 cos ＋ cos22 2 ＝α α α α2sin ＋ cos2 ＋sin － cos2 2 22αα α α＝－ (sin ＋ cos )－ (sin － cos )2222α＝－ 2sin 2. 二、填空题π 311． (2010 广·东罗湖区调研 )若 sin 2＋ θ＝5，则 cos2θ＝ ________. [ 答案 ] 7 － 25π 3，∴ cos θ＝ 3，[ 解析 ] ∵ sin ＋ θ＝2 5 5∴ cos2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.高考总复习tanx－ tan3 x12． (2010 江·苏无锡市调研 )函数 y＝的最大值与最小值的积是 ________．1＋ 2tan 2x＋tan4x[ 答案 ]1 －16[ 解析 ] y＝tanx－ tan3x tanx 1－ tan2x2 4＝2 21＋ 2tan x＋ tan x 1＋ tan x＝tanx 1－ tan2x＝sinxcosx cos2x－ sin2x2 · 2 2 2 ＋ 2 2 1＋ tan x 1＋ tan x cos x＋ sin x cos x＋ sin x 1 1＝2sin2x·cos2x＝4sin4x，1所以最大与最小值的积为－16.13． (2010 ·江杭州质检浙)函数 y＝ sin(x＋ 10°)＋ cos(x＋ 40°)，( x∈R )的最大值是 ________．[ 答案 ] 1[ 解析 ]y＝ sinxcos10 °＋ cosxsin10 ＋°cosxcos40 °－ sinxsin40 ＝°(cos10 －°sin40 )sinx°＋ (sin10 ＋°cos40 °)cosx，其最大值为＝2＋ 2 sin10 °cos40°－ cos10°sin40 °＝2＋ 2sin － 30°＝ 1.θ14．(文 )如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上， CD⊥ AB 于点 D ，且 AD＝ 3DB ，设∠COD ＝θ，则 tan22＝________.[ 答案 ] 1 3[ 解析 ]3r，∴ OD＝r，∴ CD ＝ 3 CD ＝3，设 OC＝ r，∵ AD ＝ 3DB，且 AD＋ DB＝2r，∴ AD ＝2 2 2 r ，∴ tanθ＝OD θ∵ tanθ＝2tan2 θ3，∴ tan ＝1－ tan2θ 2 3 (负值舍去 )，2θ1∴tan22＝3.( 理)3tan12 －°3＝ ________. 4cos212 °－ 2 sin12 °[ 答案 ] － 4 3[ 解析 ]3tan12 －°3 ＝ 3 sin12 －°3cos12 °4cos212°－2 sin12 ° 2cos24 sin12°cos12° °2 3sin 12 °－ 60°3. ＝ 1 ＝－ 4三、解答题15． (文 )(2010 北·京理 )已知函数f(x)＝2cos2x ＋ sin 2x － 4cosx.π(1) 求 f(3)的值；(2) 求 f(x)的最大值和最小值．[ 解析 ] π 2π π π 3 9 (1) f( )＝ 2cos＋ sin2－ 4cos ＝－ 1＋－2＝－ .3 33344(2) f(x)＝2(2cos 2 x － 1)＋(1 －cos 2x)－ 4cosx＝ 3cos 2x － 4cosx － 1＝ 3(cosx －23)2－73， x ∈ R因为 cosx ∈ [ － 1,1] ，所以当 cosx ＝－ 1 时， f(x)取最大值 6；当 cosx ＝2时， f(x)取最小值－733.( 理)(2010 广·东罗湖区调研 )已知 a ＝(cosx ＋sinx ， sinx)， b ＝ (cosx － sinx,2cosx)，设 f(x)＝ a ·b. (1) 求函数 f(x)的最小正周期；(2) 当 x ∈ 0，π时，求函数 f(x)的最大值及最小值．2[ 解析 ] (1) f(x)＝ a ·b ＝ (cosx ＋ sinx) ·(cosx － sinx)＋ sinx ·2cosx ＝ cos 2x －sin 2x ＋ 2sinxcosx＝ cos2x ＋ sin2x ＝ 2222 cos2x ＋ 2 sin2xπ ＝ 2sin 2x ＋4 .∴ f(x)的最小正周期 T ＝ π.πππ 5π(2) ∵ 0≤ x ≤ ，∴ ≤ 2x ＋ ≤ 4 ，2 4 4π π ππ 5π π∴当 2x ＋4＝ 2，即 x ＝8时， f(x)有最大值 2；当 2x ＋ 4＝ 4 ，即 x ＝2 时， f(x)有最小值－ 1.π16． (文 )设函数 f(x)＝ cos 2x ＋ 3 ＋ sin 2x.(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期；1C1(2) 设 A 、 B 、 C 为△ABC 的三个内角，若 cosB ＝3， f(2 )＝－4，且 C 为锐角，求 sinA 的值． [ 解析 ] (1) f(x)＝ cos 2x ＋ π π π 1－ cos2x 1 － 3 ＋ sin 2x ＝ cos2xcos － sin2xsin ＋ ＝ 2 sin2x ，3 3 3 2 2所以函数 f(x)的最大值为1＋ 3，最小正周期为π.2(2) f(C )＝ 1－ 3sinC ＝－ 1，所以 sinC ＝ 3π因为 C 为锐角，所以C ＝ 3，在△ ABC 中， cosB ＝13，所以 sinB ＝2 3 2，所以 sinA ＝ sin(B ＋ C)＝ sinBcosC ＋ cosBsinC＝ 2 2 1 1 × 3 ＝ 22＋ 33 × ＋ 26 .2 3→ → → →( 理)已知角 A 、B 、 C 为△ABC 的三个内角， OM ＝ (sinB ＋ cosB ， cosC)， ON ＝ (sinC ， sinB － cosB)， OM ·ON ＝1－ 5.(1) 求 tan2A 的值；2A(2) 2cos 2－ 3sinA － 1 的值．求π2sin A ＋4[ 解析 ]→ →(1) ∵OM ·ON ＝ (sinB ＋ cosB)sinC ＋1cosC(sinB － cosB)＝ sin(B ＋ C)－ cos(B ＋ C) ＝－ 5，∴ sinA ＋ cosA ＝－ 1①5两边平方并整理得： 2sinAcosA ＝－ 24，25∵－24π， π ，25<0，∴ A ∈ 2∴ sinA － cosA ＝ 1－2sinAcosA ＝ 75②联立①②得： sinA ＝ 3，cosA ＝－ 4，∴ tanA ＝－ 3， 5 5 4－ 3∴ tan2A ＝2tanA2＝224 . A ＝－ 1－tan 1－ 9 7163(2) ∵ tanA ＝－ 4，A2cos 22 － 3sinA － 1 cosA －3sinA 1－ 3tanA ∴ π＝ cosA ＋sinA ＝1＋ tanA 2sin A ＋43＝1－3× －4 ＝ 13.－341＋π点之间的距离为2.(1) 求 m 和 a 的值；π(2) 若点 A(x 0， y 0) 是 y ＝ f( x)图象的对称中心，且 x 0∈ 0， 2 ，求点 A 的坐标． [ 解析 ] (1) f(x)＝ sin 2ax － 3sinaxcosax1－ cos2ax3π 1＝ 2 － 2 sin2ax ＝－ sin 2ax ＋ 6 ＋ 2，由题意知， m 为 f(x)的最大值或最小值，所以 m ＝－ 12或 m ＝32，π 由题设知，函数f(x)的周期为，∴ a ＝ 2，2所以 m ＝－ 1或 m ＝3， a ＝ 2. 2 2(2) ∵ f(x)＝－ sin 4x ＋ π＋1，6 2ππ∴令 sin 4x ＋ 6 ＝0，得 4x ＋6＝ k π(k ∈ Z) ，∴ x ＝ k π π－424(k ∈ Z)，由 0≤ k π π π(k ∈ Z)，得 k ＝ 1 或 k ＝ 2，4 －24≤2 因此点 A 的坐标为 5π 1 或 11π1 ， ，24 2 24 2.( 理)(2010 广·东佛山顺德区检测 )设向量 a ＝ (sinx,1)， b ＝ (1， cosx)，记 f(x)＝ a ·b ， f ′ (x)是 f( x)的导函数．(1) 求函数 F(x)＝ f(x)f ′ (x)＋ f 2(x)的最大值和最小正周期；(2) 若 f(x)＝ 2f ′ (x)，求1＋ 2sin 2x的值．cos 2x － sinxcosx[ 解析 ] (1) f(x)＝ sinx ＋cosx ，∴ f ′( x)＝ cosx －sinx ，∴ F(x)＝ f(x)f ′ (x)＋ f 2(x) ＝ cos 2x －sin 2x ＋ 1＋2sinxcosx＝ cos2x ＋ sin2x ＋ 1＝ 1＋ 2sin π2x ＋4 ，π π π ∴当 2x ＋ ＝ 2k π＋ ，即 x ＝ k π＋ (k ∈ Z)时， F( x)max ＝1 ＋ 2.428最小正周期为 T ＝ 2π＝ π.2(2) ∵ f(x)＝ 2f ′ (x)，∴ sinx＋ cosx＝ 2cosx－ 2sinx，∴cosx＝ 3sinx，∴ tanx＝1，3∴1＋ 2sin2x ＝ 3sin2x＋ cos2x ＝ 3tan2x＋ 1＝2.cos2x－sinxcosx cos2x－sinxcosx 1－ tanx。

恒等变换【例1】求值：(1)sin73°cos47°+sin17°cos43° (2)1＋tan 15°1－tan 15°变式训练1：1．计算：sin46°cos29°－cos61°cos134°2．求值：tan10°tan70°tan70°－tan10°＋tan120°3．化简求值：(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17° (2)sin 50°(1＋3tan 10°)【例2】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．变式训练2：1．若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________．2．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13，求值：(1) sin(α－β)； (2) cos β.【例3】已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin(2α－β)的值； (2)求β的值．变式训练3：1．若锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝_____．2．△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C＝_____．【例4】求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α变式训练4：化简：cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α【例5】已知函数f (x )＝cos x sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．变式训练5：1．函数y ＝2cos 2x2＋sin x 的最小正周期是________．2．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 在x ∈(0，π2)的最大值为_____．3．cos π9·cos 2π9·cos(－23π9)＝( )A ．－18B ．－116C ．116 \D ．184．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)的值为_______．5．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π26．化简：3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 7．设函数f (x )＝3sin x cos x +cos x sin(x ＋3π2)－12.(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值和最小值．补充例题例6若2()sin()(0)6f x x x x πωωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形．（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）若0()f x 且04(3x ∈-，2)3，求01()2f x +的值；（3）若对任意的[2x ∈-，0]，恒有)()3x kf x ππ++…成立，求实数k 的取值范围．例7．已知函数2()cos cos 1f x x x x b ωωω+++． （1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[0ω∈，3]时，求函数()f x 的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当7[0,]12x π∈时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．例8．已知函数 2()4sin ()sin (cos sin )(cos sin )142x f x x x x x x π=+++--． （1）化简()f x ；（2）常数0ω>，若函数()y f x ω=在区间2[,]23ππ-上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数1()[(2)()()]122g x f x af x af x a π=+----在[,]42ππ-的最大值为2，求实数a 的值．。

第四章 三角恒等变换（讲义+例题）1.同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+=sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin •，三式之间可以互相表示) 例1．已知α是第二象限，且1tan 3α=-，计算： （1）sin()25cos sin()πααπα+--； （2）2sin cos()cos .απαα++ 答案（1）316；（2）65. 【分析】（1）首先根据诱导公式化简，再上下同时除以cos α 后，转化为正切表示的式子，求值；（2）首先利用诱导公式化简，再转化为齐次分式形式，转化为正切求值. 【详解】（1）原式cos 5cos sin ααα=-，上下同时除以cos α后，得11315tan 1653α==-+； （2）原式2222sin cos cos sin cos cos cos sin αααααααα-+=-+=+， 上下同时除以2cos α后，得211tan 16311tan 519αα+-+==++举一反三1．已知tan 2α=， 求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-；（2）221sin sin cos 2cos αααα+-.答案．（1） 4 （2）54【分析】（1）分子分母同时除以cos α，化为tan 2tan 1αα+-可得答案.（2）将分子1写成22sin cos αα+，再分子分母同时除以2cos α，化为22tan 1tan tan 2ααα++-，可得答案. 【详解】 （1）sin 2cos tan 2224sin cos tan 121αααααα+++===---（2）2222221sin cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos αααααααααα+=+-+- 2222tan 1215tan tan 22224ααα++===+-+-2. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(6）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(7) sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan baa b a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-例2：（1）．若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．71．B 【分析】利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由tan tantan 14tan 41tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+== ⎪-⎝⎭-⋅， 又1tan 2α=，原式1+1tan 12=311tan 1-2αα+==-. 故选：B.（2）．sin140cos10cos40sin350︒︒+︒︒=（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．3 2．A 【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式进行化简，由此求得正确选项. 【详解】依题意，原式()1sin 40cos10cos 40sin10sin 4010sin 302=-=-==，故选A.本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角差的正弦公式，属于基础题. 3．求值： （1）7sin12π； （2）tan105︒. 答案．（1）264；（2）23- 【分析】（1）根据两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）根据两角和的正切公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】 （1）7212326sinsin()sin cos cos sin 1243434322224πππππππ=+=+=+=； （2）tan 60tan 453tan105tan(6045)231tan 60tan 4513︒︒︒︒︒︒+︒=+===--- 【点睛】本题考查了两角和的正弦、正切公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力. 举一反三1．sin115cos55cos115sin55︒︒︒︒-=（ ） A 3B ．22C ．12D ．22-答案．A 【分析】逆用两角差的正弦公式进行化简即可. 【详解】3sin115cos55cos115sin55sin 602︒︒︒︒︒-==．本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题. 2（多选）．下列说法正确的是（ ） A ．sin15cos152sin 60︒+︒=︒B ．()()()sin 15sin 15cos cos 15sin αβαβαβ+-︒=-︒+-︒C ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+D ．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+-=-【答案】AB 【分析】利用辅助角公式以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式即可求解. 【详解】对于A ，22sin15cos152sin15cos1522⎛⎫︒+︒=︒+︒ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 45152sin 60=︒+︒=︒，故A 正确；对于B ，由两角和的正弦公式，()()()sin 15sin 15cos cos 15sin αβαβαβ+-︒=-︒+-︒，故B 正确.对于C ，()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-，故C 错误. 对于D ，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，故D 错误.故选：AB3．如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ,且点A 10．（1）求3cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值:（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为5求αβ+的值． 答案．（1）52）34αβπ+=【分析】（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,1010sin α=,进而求出310cos 10α= 在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是5得出5cos β=,进而得出25sin β=利用正弦的和差公式即可求出()2sin αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ+的值. 【详解】解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A 10所以由任意角的三角函数的定义可知,1010sin α=． 从而2310cos 1sin 10αα=-=．（1）于是333cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 310210251021025⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是55-所以5cos 5β=-,从而225sin 1cos ββ=-= 于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+1053102522⎛=+ ⎝⎭． 因为α为锐角,β为钝角,所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭从而34αβπ+=． 【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.3，辅角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos b a b b a a +=+=ϕϕ，比如：xx y cos 3sin +=)cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x +=)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x例3：1．已知1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A 3B 3C ．12D ．33答案．D【分析】根据题中条件，由两角差的余弦公式化简整理所求式子，即可得出结果. 【详解】 因为1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以33cos cos cos cos cos sin sin cos sin 33322x x x x x x x πππ⎛⎫+-=++=+ ⎪⎝⎭ 33cos 63x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查根据两角差的余弦公式化简求值，属于基础题型. 2．化简31cos15cos 7522︒-︒=______. 2【分析】 化简可得：31cos 75sin 60cos15cos 60sin15sin 4522︒-︒=-=，根据特殊值即可得解. 【详解】31cos15cos75sin 60cos15cos60sin15222sin(6015)sin 452︒-︒=-=-==故答案为：22【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了正弦的两角差公式，考查了计算能力，属于基础题. 举一反三1．化简：（13cos x x +；（22(sin cos )x x -. 答案．（1）2cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2cos 4x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 【分析】逆用两角和与差的正弦函数公式变形即可. 【详解】（1）原式312cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin sin cos cos 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）原式222x x ⎫=-⎪⎝⎭2sin sin cos cos 44x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos 4x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用，属于基础题. 2．已知函数()3sin cos f x x x +. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π,π6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.”解答：（1）因为()3sin cos f x x x =+，所以()312cos 22f x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ππ2sin cos cos sin 66x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以2π2π1T ==. 所以函数()f x 的最小正周期是2π.（2）因为ππ6x -≤≤， 所以π7π066x ≤+≤. 所以当ππ62x +=时，函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值是1.所以当π3x =时，函数()f x 的最大值是2.4.二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a（3）aaa 2tan 1tan 22tan -=降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2aa -=升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin 2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin2sin ααα=例4：1．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2αα=-（ ）A ．2425- B ．725-C ．7-D ．17-2．D 【分析】利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-， 代入22sin cos 1αα+=得()22sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5α，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-， 所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭cos 211sin 2717252425αα-==--⎛⎫- ⎪⎭-⎝， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细. 2．（多选）下列各式中，值为12的是（ ） A ．22cossin 1212ππ-B ．2tan 22.51tan 22.5- C ．2sin195cos195D ．1cos62π+【答案】BC 【分析】由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值即可. 【详解】选项A ，223cos sin cos 2cos 1212126ππππ⎛⎫-=⨯==⎪⎝⎭，错误； 选项B ，22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⋅==--，正确； 选项C ，()()12sin195cos1952sin 18015cos 180152sin15cos15sin 302=++===，正确；选项D 31cos 1236222π+++==，错误.故选：BC 【点睛】本题考查由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值，属于基础题. 3．已知：2()2cos 32f x x x a =++（a R ∈，a 为常数）． （1）若x ∈R ，求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在[6π-，]4π上最大值与最小值之和为3，求a 的值．22．（1）π；（2）0 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期； （2）根据x 在[6π-，]4π上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求a 的值． 【详解】解：2()2cos 32f x x x a =++3sin 2cos21x x a =+++2sin(2)16x a π=+++，（1）()f x ∴的最小正周期222T πππω===； （2）[,]64x ππ∈-，22[,]663x πππ∴+∈-，当ππ266x 时，即6x π=-，()f x 取得最小值为2sin()16a a π-++=，当262x ππ+=时，即6x π=，()f x 取得最大值为2sin()132a a π++=+， 最大值与最小值之和为3，33a a ∴++=，0a ∴=， 故a 的值为0． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．举一反三1.22cos 30sin 30-的值是（ ） A ．12- B ．12C ．3D 34．B 【分析】根据二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】22cos 30sin 30-=cos 6012=. 故选：B 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.2.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A ．53B ．23 C ．13D 5 ．A 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去）， 又25(0,),sin 1cos 3απαα∈∴=-=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3.已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15B ．55 C ．33D ．2557．B 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．4．设向量()()2,sin ,1,cos a b θθ==，其中θ为锐角．()1若136a b ⋅=，求sin cos θθ+的值；()2若//a b ，求cos2θ的值．答案．（1）233；（2）35-【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积和三角函数的关系，即可求出； （2）根据向量的平行和同角的三角函数的关系，即可求出． 【详解】()1向量()()2,,1,a sin b cos θθ==，13216a b sin cos θθ∴⋅=⨯+=， 16sin cos θθ∴=，214()12133sin cos sin cos θθθθ∴+=+=+=， θ为锐角，0sin θ∴>，0cos θ>，23sin cos θθ∴+=． ()2//a b ，2221cos sin sin cos θθθθ∴=+=，2241cos cos θθ∴+=，215cos θ∴=，223221155cos cos θθ∴=-=-=-【点睛】本题考查了向量的数量积和向量与平行的关系，以及三角函数的化简，属于基础题. 5．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3()2f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求方程3()4f x =-在区间[,]-ππ上的解. 答案．（1）3[]-；（2）75,1212x ππ=±±. 【分析】（1）将()f x 化为()cos(2)6f x x π=+，然后可得答案； （2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案.（1）233()3sin cos 2sin 22a f x x a x x x x =--=- 当1a =，31()cos 2sin 2cos(2)226f x x x x π=-=+ 由73[0,],2[,],cos(2)[1,]266662x x x πππππ∈∴+∈∴+∈- 所以()f x 的值域为3[]-（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立即332sin 22sin 22222a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴= 所以由33()cos 224f x x ==-得3cos 22x =-又752[2,2],,1212x x ππππ∈-∴=±±5 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定） （1）2cos 12sinaa -±=， （2）2cos 12cos a a +±= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=补充. 万能公式（用的不多，了解一下）: （1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=,（3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=例5：1．若()4tan 3πα+=-，α是第二象限角，则1sin sin 22παπα=+-⋅（ ） A ．35B ．3C ．5D ．53【答案】C 【解析】由题知43sin ,cos 55αα==-，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案.【详解】解：因为()4tan tan 3παα+==-，α是第二象限角，所以43sin ,cos 55αα==-，所以1122531cos sin sin coscos122225παπαααα====+-+⎛⎫⋅⋅+- ⎪⎝⎭. 故选：C 2．若3sin 5θ=，532πθπ<<，则tan 2cos 22θθ+=____________． 【答案】1035-##15105- 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的关系求出cos θ，再利用半角公式求出cos 2θ，sin2θ，从而可求出tan2θ，进而可求得答案【详解】 因为3sin 5θ=，532πθπ<<， 所以294cos 1sin 1255θθ=-=-=-， 因为532πθπ<< 所以53422πθπ<<， 所以411cos 105cos222θθ-+=-=411cos 3105sin 222θθ+-==-=， 所以sin 2tan32cos2θθθ==， 所以10tan2cos322θθ+=故答案为：1035-3．已知函数()2sin cos cos ,R f x x x x x =⋅+∈.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的值域.【答案】(1)π； (2)210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简，进而求出周期； （2）求出24x π+的范围，进而结合三角函数的性质求得答案.(1)()11cos 221sin 2sin 222242x f x x x π⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为π. (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ∴()210,2f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即函数的值域为210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.举一反三1．已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．16B ．13C ．23D ．122【答案】B 【解析】 【分析】利用半角公式和诱导公式进行求解. 【详解】∴1sin23α=，∴2π11cos 21π1sin2123cos 42223ααα⎛⎫++-⎪-⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭． 故选：B ．2．已知7sin cos 5αα+=，且α是第一象限的角，则tan 2α=______． 【答案】13或12【解析】【分析】根据同角三角函数关系，建立方程求出sinα，cosα的值，结合正切函数的公式进行求解即可． 【详解】解：∴α是第一象限角，7sin cos 5αα+=， ∴7sin cos 5αα=-+平方得2221449sin cos cos 1cos 525αααα=-+=-， 得214242cos cos 0525αα-+=，即46cos 2cos 055αα⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则3cos 5α=或4cos 5α=，当3cos 5α=时，4sin 5α，则311cos 15tan 42sin 25ααα--===． 当4cos 5α=时，3sin 5α=，则411cos 15tan 32sin 35ααα--===， 即1tan22α=或13． 故答案为：12或13．3．已知2sin 24cos 2αα=-.(1)若α在第二象限，求cos2sin αα+的值；(2)已知0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23tan 2tan 30ββ+-=，求()tan 2αβ+的值.【答案】(1)2535- (2)17【解析】 【分析】（1）根据题意，结合半角公式得tan 2α，故25sin α=5cos α=公式计算即可.（2）由题知tan 23β=，再结合正切的和角公式求解即可. (1)解： 2sin 212cos 2cos 2ααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴tan 2α∴α在第二象限，∴25sin α=5cos α=，∴2253cos 2sin 2cos 1sin αααα-+=-+=(2)解：()2222tan 3tan 2tan 302tan 31tan 31tan ββββββ+-=⇒=-⇒=-∴tan 23β=，()tan tan 2231tan 21tan tan 21237αβαβαβ+-++===-+⨯。

三角恒等变换1．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 2．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 3．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sinα 4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，求cos2α－sin2β 5．函数y ＝12sin2x ＋sin2x ，x ∈R ，求y 的值域 6．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值． 7．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 8．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数． 9 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值 10 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围 11 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 12 已知函数.,2cos 32sinR x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象参考答案1. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．2. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛ sin 2α＋β2－⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．3． 解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sin β求cos β，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等． 4. 解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴12(cos2α＋cos2β)＝13， ∴12(2cos 2α－1＋1－2sin 2β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 5． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的模式．一般地，a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ＝a 2＋b 2(sin φcos x ＋cos φsin x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a b，也可以变换如下：a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2(cos φcos x ＋sin φsin x )＝a 2＋b 2cos(x －φ)，其中tan φ＝b a. 6. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2 得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2， ∴α＋β＝π4. 评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．7. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛sin 2α＋β2－ ⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－ ⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．8. 解：（1）当0θ=时，()sin cos )4f x x x x π=+=+ 322,22,24244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为 3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈。

3.2 简单的三角恒等变换一、填空题1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．5． 设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________二、解答题6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α．12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．13．求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos2x 的值．15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．参考答案一、填空题1． 215+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θθθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．7．证明：左边=2sin （4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2π－2x ） =cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=αααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +- =ααtan 1tan 1+- =右边，原题得证．9．证明：∵cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅， ∴1－cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+， 1+cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222A B AA A ==+-， 2tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 22．10．解：因为15°是第一象限的角，所以sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·22cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，所以sin x =2524或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =2524，cos x =－257． 又2x 是第一或第三象限角， 从而cos2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜2π， ∴0＜2β＜4π． 故cos656572cos 1=+=2ββ．。

两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15°2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )． 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．4．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练3】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．【课后训练】A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( ) A.15B.14 C.13 D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于 ( ) A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于 ( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________．6. 3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若s in(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α＝_______.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝_________.6． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．。

简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。

答案：B。

通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。

2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。

答案：C。

通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。

答案：B。

通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。

答案：B。

通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。

5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。

答案：D。

(每日一练)2023高中数学三角恒等变换经典大题例题单选题1、已知A (3,0),B (0,3),C (cosα,sinα)，若AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1，则sin (α+π4)等于 A ．√23B ．1C ．2D ．√63答案：A解析：首先根据AC →⋅BC →=−1⇒（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，并化简得出sinα+cosα=23，再化为Asin(ωx +φ)形式即可得结果.由AC →⋅BC →=−1得：（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，化简得sinα+cosα=23，即√2sin(α+π4)=23,则sin(α+π4)=√23故选A.小提示：本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．2、设α､β为锐角，则下列各式，正确的是（ ）A ．cos(α+β)>cosα+cosβB ．cos(α+β)>sinα+sinβC ．cos(α+β)<cosα+cosβD ．cos(α+β)<sinα+sinβ答案：C解析：利用特殊值排除错误选项，然后利用三角恒等变换证明正确的结论即可得解.对于A ，当α=β=π3时，cos(α+β)=−12<cosα+cosβ=1，故A 不一定成立；对于B ，当α=β=π3时，cos(α+β)=−12<sinα+sinβ=√3，故B 不一定成立；对于C ，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，因为α､β为锐角，所以cosαcosβ<cosα,−sinαsinβ<cosβ，所以cos(α+β)<cosα+cosβ，故C 正确；对于D ，当α=β=π12时，cos(α+β)=√32>sinα+sinβ=√6−√22， 故D 不一定成立.故选：C.3、若角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y =2x 上，则sin2θ=（ ）A ．−45B ．35C ．45D ．−35 答案：C解析：根据题意可知tanθ，利用同角三角函数关系，将目标式转化为tanθ的代数式，代值计算即可.因为角θ终边在直线y =2x 上，故可得tanθ=2；又sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=44+1=45.小提示：本题考查正弦的倍角公式，由角度终边所在位置求解三角函数值，属综合基础题.4、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a c =2+bcosA ccos(A+C)，则B 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：B解析：利用正弦定理将边化为角，再逆用两角和的正弦公式化简即可.因为a c =2+bcosA ccos(A+C)，所以sinA sinC =2+sinBcosA sinCcos(π−B)，即sinA sinC =2−sinBcosA sinCcosB ，所以sinAcosB =2sinCcosB −sinBcosA ，所以sinAcosB +sinBcosA =2sinCcosB ，即sin(A +B)=2sinCcosB ，所以sinC =2sinCcosB ，又C ∈(0,π)，所以sinC ≠0，所以cosB =12，又B ∈(0,π)，所以B =π3.故选：B小提示：方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．5、√3tan87°tan33°−tan87°−tan33°=（ ）A ．√3B ．−√3C ．√33D ．−√33 答案：A根据两角和的正切公式变形得tan87°+tan33°=tan(87°+33°)(1−tan87°tan33°)，即可求解.√3tan87°tan33°−tan87°−tan33°=√3tan87°tan33°−tan(87°+33°)(1−tan87°tan33°)=√3tan87°tan33°+√3(1−tan87°tan33°)=√3.故选：A小提示：本题考查三角恒等变换求值，注意公式变形应用，考查计算求解能力，属于基础题.。