清华大学高等量子力学-Lecture-13

5） 对于最大值 j ：
Jˆ+ λ, j = 0 ，
否则与 j 是 Jˆz 最大本征值相矛盾。
故
( ) ( ) 0 = Jˆ− Jˆ+ λ, j = Jˆ 2 − Jˆz2 − Jˆz λ, j = λ − j2 − j 2 λ, j ，
即
λ = j ( j +1) 。
对于最小值 j′ ：
Jˆ− λ, j′ = 0 ，
Jˆz
j, m
( ) = j ( j +1) − m2 − m 2 j, m j, m ，
ajm 2 = ( j ( j +1) − m(m +1)) 2 ，
取
ajm = j ( j +1) − m(m +1) = ( j − m)( j + m +1) 。
类似，可得
bjm = ( j + m)( j − m +1) ，
m
=
−1,
⎜ ⎜ ⎜⎝
0 1
⎟ ⎟ ⎟⎠
。
6
λ,m
说明：若 λ, m 是 Jˆ 2 ， Jˆz 的共同本征态，则 Jˆ+ λ, m , Jˆ− λ, m 也是它们的共同本征态。这
些本征值和本征态的关系为：
共同本征态
Jˆ z 本 征 值
Jˆ 2本 征 值
( )Jˆ+ 2 λ , m
Jˆ + λ , m λ,m
Jˆ − λ , m
( )Jˆ− 2 λ , m
，
考虑到归一化条件，得：
m
=
1 2
时，本征态为
⎛ ⎜ ⎝
1⎞
0
⎟ ⎠
，
例 2： j = 1 （光子自旋）
m
=
−
1 2
时，本征态为
⎛ ⎜ ⎝
0 1
⎞ ⎟ ⎠
。
5
J 2 = j ( j +1) 2 = 2 2 ， Jz = m , m = 1, 0, −1。
在 D = 3的子空间，选第一个基矢为 1,1 ，第二个基矢为 1, 0 ，第二个基矢为 1, −1 ，
(m + 2) (m + 1)
m
(m − 1) (m − 2)
λ2 λ2 λ2 λ2 λ2
故称 Jˆ− 为下降算符， Jˆ+ 为上升算符。 结合上面的结论，
Jˆ 2 的本征值为 λ 2 ；
2
Jˆz 的本征值为 ( j′, , m −1, m, m +1, j) ， 有最大值与最小值的原因是 λ ≥ j2 , λ ≥ j '2 。
i
−i 0
⎞ ⎟ ⎠
=
2
σ
y
，
Jz
=
⎛ ⎜ ⎝
/2 0
−
0 /
⎞
2
⎟ ⎠
=
2
⎛1
⎜ ⎝
0
0⎞ −1⎟⎠
=
2
σz
，
σ x ,σ y ,σ z 为 Pauli 矩阵。
设
J
z
的本征态为
⎛ ⎜ ⎝
a b
⎞ ⎟ ⎠
，有本征方程
⎛ /2
⎜ ⎝
0
−
0 /
⎞ 2 ⎟⎠
⎛ ⎜ ⎝
a b
⎞ ⎟ ⎠
=
m
⎛ ⎜ ⎝
a b
⎞ ⎟ ⎠
问题： λ = ?, m = ?
Jˆz λ, m = m λ, m ，
2）构造新的算符组
Jˆx ,
Jˆy , Jˆz
→
⎧ ⎪⎪ ⎨
Jˆ+ Jˆ−
= =
Jˆx Jˆx
+ iJˆy − iJˆy
=
++
，
⎪ ⎪⎩
Jˆ z
1
∵ Jˆ+ Jˆ− = Jˆ 2 − Jˆz2 + Jˆz ,
Jˆ− Jˆ+ = Jˆ 2 − Jˆz2 − Jˆz ,
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆz
⎤ ⎥⎦
=
0
3）
λ,m
Jˆ 2 − Jˆz2
λ,m
=1 2
λ,m
Jˆ+ Jˆ− + Jˆ− Jˆ+
λ,m
( ) λ − m2
2
λ,m λ,m
≥0
=1 2
λ,m
Jˆ
+ −
Jˆ−
≥0
λ,m + 1 2
λ,m
Jˆ
+ +
Jˆ+
≥0
λ,m
≥0，
故 λ ≥ m2
4）
( ) ⎧⎪
⎨ ⎪⎩
Jˆz
以下用类似于求解谐振子本征值的代数方法来求解 Jˆ 2, Jˆz 的本征值。
1）
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆ j
⎤ ⎥⎦
=
Jˆi
⎡⎣Jˆi ,
Jˆ j
⎤⎦
+
⎡⎣ Jˆi ,
Jˆ j
⎤⎦
Jˆi
=
i
εijk Jˆi Jˆk + i
εijk Jˆk Jˆi = i
εijk Jˆi Jˆk + i
ε kji Jˆi Jˆk = 0 ，
( j + m) ( j − m ) +1 δn,m−1
9）例题
j, n Jˆy
j, m
= 2i
( j − m) ( j + m +1)δn,m+1 − 2i
( j + m) ( j − m ) +1 δn,m−1
例 1： j = 1 （电子自旋） 2
J 2 = j ( j +1)
2=3 4
2， Jz = m ,
j +1， −j
而 j′ = j +1 > j 与 j 为最大值， j ' 为最小值的假设不符，故取
j′ = − j 。
故 Jˆ2 的本征值： λ 2 ， λ = j ( j +1)
Jˆz 的本征值： m ， m = − j, − j +1, λ, m → j, m 。 剩下的问题是： j = ?
, j −1, j 。
6）态 λ, j 用下降算符 Jˆ− 作用 2 j 次后变为 λ, − j ，或态 λ, − j 用上升算符 Jˆ+ 作用 2 j 次后 变为 λ, j ，故
2 j = 0, 正整数， j 为零，正整数，和半整数。
总结： Jˆ 2 j, m = j ( j +1) 2 j, m ， j = 0, 1 ,1, 3 ,
即
⎧⎪Jˆ+ j, m = ( j − m)( j + m +1)
⎨
j,m +1 ，
⎪⎩Jˆ− j, m = ( j + m)( j − m +1) j, m −1
(( )) ∵
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
Jˆx Jˆ y
= =
1 2 1 2i
Jˆ+ + Jˆ− Jˆ+ − Jˆ−
，
⎧
∴
⎪⎪ ⎨
Jˆx
j,m = 2
22
3
Jˆz j, m = m j, m ， m = − j, − j +1, , j −1, j ，
问题： j = 0,1, 2,3, 时， Jˆ 可用轨道角动量 Lˆ 来解释，而 j = 1 , 3 , 时， Jˆ 的物理意义是 22
什么？这说明由角动量的定义，即对易关系出发，一定还存在一种新的角动量。
( ) Jˆ2 = 1 2
Jˆ+ Jˆ− + Jˆ− Jˆ+
+ Jˆz2
有新的对易关系：
⎡⎣Jˆ+ , Jˆ− ⎤⎦ = 2 Jˆz , ⎡⎣ Jˆ− , Jˆz ⎤⎦ = Jˆ− , ⎡⎣ Jˆ+ , Jˆz ⎤⎦ = − Jˆ+ ,
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆ+
⎤ ⎥⎦
=
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆ−
⎤ ⎥⎦
=
同理 故
Jˆ+ j, m = a jm j, m +1 ，
Jˆ− j, m = bjm j, m −1 ，
j, m Jˆ− = j, m +1 a* jm ，
j, m Jˆ+ = j, m −1 b* jm
2
a jm
j,m +1 j,m +1 =
j, m Jˆ− Jˆ+
j,m =
j, m Jˆ 2 − Jˆz2 −
m = 1,−1 22
当 j = 1 时， D = 2 ，在这个子空间选第一个基矢为 1 , 1 ，第二个基矢为 1 , − 1 ，有
2
22
22
Jx
=
⎛ ⎜
⎝
0 /2
/ 0
2⎞ ⎟ ⎠
=
2
⎛ ⎜ ⎝
0 1
1⎞
0
⎟ ⎠
=
σ 2
x,
⎛ ⎜
0
Jy
=
⎜ ⎜⎜⎝
i 2
−i 2 0
⎞
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
2
⎛0
⎜ ⎝
Jˆ+
Jˆ 2 Jˆ+ λ,m
λ, m = Jˆ+ Jˆ 2 = Jˆ+ + Jˆ+ Jˆz
λ, m = λ 2 Jˆ+ λ, m