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第三章 三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；
()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．
()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．
sin 22sin cos ααα=2
22)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2
222cos 2cos
sin 2cos 112sin ααααα
=-=-=-升幂公式⇒2
sin 2cos 1,2cos 2cos 12
2
α
αα
α=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=
21cos 2sin 2
α
α-=26、 ．
22tan tan 21tan α
αα
=-27、
（后两个不用判断符号，更加好用）
⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
⇒形式。，其
B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =
A
29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，
αα2tan 2cos ==2
tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan
2
sin :
2
2
2α
α
αααα万能公式+-=+=
灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角
与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍；是的二倍；是
的二倍；
是
的二倍；
α2αα4α2α2
α
2
α
4
α
②；问：
；
2304560304515o o
o
o
o
o
=-=-==12
sin π
=12
cos
π
；③；④
；
ββαα-+=)()4
(
2
4
απ
π
απ
--=
+⑤；等等
)4
(
)4
(
)()(2απ
απ
βαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余
弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例
如常数“1”的代换变形有：
o
o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处
理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，
有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： αcos 1+； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
； ；
_______________tan 1tan 1=-+αα______________tan 1tan 1=+-αα
；；____________tan tan =+βα___________tan tan 1=-βα；；
____________tan tan =-βα___________tan tan 1=+βα
；
；
=αtan 2=-α2tan 1
；
=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan =
；
=+ααcos sin
=
=+ααcos sin b a ；（其中
；）
=ϕtan
；
；
=+αcos 1=-αcos 1（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理
化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如：
；=+)10tan 31(50sin o o
。
=-ααcot tan
基础练习
一 选择题
1．已知且为锐角，则的值是（ ）
sin αβ==,αβαβ+Ａ.
Ｂ.
Ｃ. Ｄ.4π
3
4π74π2
π
2．设则的范围是（ ）
,22
ππ
αβ-<<<αβ-A ． B. C. D 、(),0π-(),ππ-,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
3．（ ）
22cos 75cos 15cos 75cos15++= A 、 C. D.32541+
4.若，若（ ）
0,
2πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭3sin 5α=4πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭A. B. C. D.751575-1
5
-5.设，则的值是（ ）
2
2
sin sin x y m -=()()sin sin x y x y +-A. B. C.
D.m m -2m 2m
-6.在中，已知则的值是（ ）
ABC ∆53
cos ,sin ,135
A B ==cos C A. B. C.或 D.15655665166556651665
-7.已知则的值等于（ ）()()43
cos ,cos ,55
αβαβ+=
-=tan tan αβ∙A. B. C. D.171
7
-77-8.使函数为奇函数，且在区间上为减函数的
()
(
)
(
)
sin 22f x x x ϕϕ=+++0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的一个值为（ ）
ϕＡ. Ｂ. Ｃ Ｄ
3π53π23π43
π9.已知是第三象限角，且满足，那么的值等于（ ）
θ445
sin cos 9
θθ+=sin 2θ Ｃ Ｄ232
3
-10.已知则等于（ ）
4,0,cos ,25x x π⎛⎫
∈-
= ⎪⎝⎭
tan 2x
