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数学解决复杂方程的三种方法数学方程是数学领域中常见的问题，解决复杂方程需要运用特定的方法和技巧。
本文将介绍三种常用的方法来解决数学中的复杂方程。
1.因式分解法因式分解法是解决数学方程的常见方法，尤其适用于多项式方程。
通过将方程转化为其因式的形式，可以简化计算过程。
为了演示这种方法，我们以一个示例方程为例：X^2 + 5X + 6 = 0为了解这个方程，我们首先要将其转化为因式的形式。
通过观察，我们可以发现该方程的因式为：(X + 2)(X + 3) = 0得到这个因式后，我们可以将每一个因式设置为零，得到两个解：X + 2 = 0 或 X + 3 = 0解方程得到：X = -2 或 X = -32.配方法配方法也是解决复杂方程的一种有效方法。
它适用于求解二次方程以及特定的高阶方程。
我们以一个二次方程为例：X^2 + 6X + 9 = 0这个方程不能直接进行因式分解，因此我们需要应用配方法。
配方法的关键是找到一个合适的常数，使得加入这个常数后方程可以被分解为两个完全平方的和：(X + a)^2 + b = 0观察给定的方程，我们可以发现X^2 + 6X + 9可以写成(X + 3)^2，即：(X + 3)^2 = 0接下来，我们将方程开根号，得到：X + 3 = 0解方程得到：X = -33.代入法代入法是一种比较灵活的方法，适用于各种类型的方程。
通过将已知方程中的一个变量表达式代入到另一个方程中，我们可以简化方程并得到解。
为了说明这种方法，我们以联立方程为例：2X + 5Y = 103X - 2Y = 1我们可以选择其中一个方程（比如第一个方程）解出一个变量（比如Y），然后将该变量的表达式代入第二个方程中，得到一个新的方程：Y = (10 - 2X)/5将这个表达式代入第二个方程中，可以得到：3X - 2(10 - 2X)/5 = 1通过化简这个方程，我们可以解出X的值。
进一步代入第一个方程，可以求得Y的值。
特殊代数方程的几种解法一. 换元法例1. 解方程解析：这是一个一元高次方程，观察方程各项系数的特点，可发现方程中各项系数关于中间项是对称的，且，因此，给方程两边同除以，得：令，则，即得解得：代入令式得：本题所给方程称之为倒数方程，一般要通过观察找到各项之间的关系，然后利用换元法求解，解这类较为复杂的方程换元法通常是一种常用的技巧。
二. 配方法例2. 解方程解析：由于此方程给出的项中含有两个未知数，通过配方，再利用非负实数的性质，将其转化为关于x、y的方程组来解。
原方程可化为：即有因为解得配方法是一种常见的解方程的有效方法，要做到灵活应用，需要举一反三的训练。
同学们不妨试做下列一题加以巩固：解方程［］三. 变更主元法例3. 已知，解关于x的方程解析：若直接按x解这个方程，次数较高，无从下手。
若注意到参数a的最高次幂仅为二次，所以可采用变更主元的方法，视a为主变量，x为“常量”即可方便求解。
原方程变形为：解得或即或解得：或变更主元法主要运用于转化变量与参数或常数的位置关系，以达到化繁为简的目的。
此种解法可以说是一种逆向思维法，再看下列一例：例4. 解方程解析：观察这个方程系数11多次出现，即可通过“常值代换”，进行逆向转换，然后转化成二次方程求解。
令，原方程变形为：解得或即或解得，四. 综合法例5. 解方程解析：由于与互为倒数，本题可有如下综合解法。
令，，则有所以a、b是方程的解解这个关于t的方程，得所以或解得或.。
分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。
其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。
但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。
因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。
1. 分组通分例1 解方程65327621--+--=--+--x x x x x x x x 分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。
解：移项，得21653276-----=-----x x x x x x x x 两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4--=--x x x x 所以)2)(6()3)(7(--=--x x x x 解得29=x 经检验，知29=x 是原方程的根。
2. 用“带余除法”将分子降次例2 解方程x x x x x x x 211112323=+--++++ 分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。
解：原方程可化为x x x x x x x 212112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-所以121222+-=++x x x x 即1122+-=++x x x x所以002==x x ，经检验，知x=0是原方程的根。
3. 拆项相消例3 解方程 1011009900199165123112222=+++++++++++x x x x x x x x 分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有AB A B -的形式。
因此，可用BA AB A B 11-=-将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。
解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1=+++++++++++x x x x x x x x 拆项得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-100199131212111111x x x x x x x x 101100= 化简得10110010011=+-x x 即01011002=-+x x 解得101121-==x x ， 经检验，知11=x 和1012-=x 都是原方程的解。
浅谈线性微分方程的若干解法
线性微分方程是微分方程的一种特殊形式，它的解法有若干种。
本文将从常数变易法、特征根法和伯努利方程三个方面讨论线性微分方程的解法。
1. 常数变易法：常数变易法适用于一阶线性微分方程，形如y'+P(x)y=Q(x)。
首先求出对应的齐次方程y'+P(x)y=0的通解y_c(x)，然后假设非齐次方程的解y_p(x)为常数C(x)乘以y_c(x)，即y_p(x)=C(x)y_c(x)。
将这个解代入非齐次方程中可得到C(x)的表达式，进而得到非齐次方程的通解y(x)=y_c(x)+y_p(x)。
2. 特征根法：特征根法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，形如y''+ay'+by=0。
首先求出对应的特征方程r^2+ar+b=0的根r_1和r_2，如果r_1≠r_2，则通解为
y(x)=C_1e^(r_1x)+C_2e^(r_2x)，其中C_1和C_2为常数；如果r_1=r_2=r，则通解为
y(x)=(C_1+C_2x)e^(rx)，其中C_1和C_2为常数。
常数变易法适用于一阶线性微分方程，特征根法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，伯努利方程适用于一阶非线性微分方程。
这些方法在求解线性微分方程时都有一定的局限
性和适用条件，需要根据具体的微分方程形式来选择合适的解法。
初中数学特殊方程组的特殊解法有些二元一次方程组有特殊的结构，选择适当的方法可以使方程组的求解变得简单易行：1、换元法例1 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+.16y x 2y x ,1)y x (4)y x (3 分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应该先将每一个方程都进行化简，化成二元一次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。
但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x ＋y ）和（x －y ）两种，可以把它们分别看成一个整体，利用换元法解（通过阅读下面的解答，你会明白什么是换元法）。
解：设.y x b ,y x a -=+= 原方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.16b 2a ,1b 4a 3解得⎪⎩⎪⎨⎧==.1b ,35a 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.1y x ,35y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31y ,34x例2 解方程组⎩⎨⎧=-=+.35y 5|x |4,9y 2|x |3 分析：方程组中的|x|不要一开始就讨论，先用换元法将方程组化成一般形式，最后一步再去掉绝对值符号。
解：设|x |a =。
原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+.35y 5a 4,9y 2a 3解得⎩⎨⎧-==.3y ,5a 所以⎩⎨⎧-==.3y ,5|x |所以原方程组的解为⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==.3y ,5x ,3y ,5x 22112、连等式方程组的解法 例3 解方程组.33y x 5y x 2=+=- 分析：这是一个连等形式的方程组，可以写成如下一般形式的方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-;35y x 2,3y x 5y x 2 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-;33y x ,3y x 5y x 2 （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-.33y x ,35y x 2 其中最简单的是方程组（3）。
如果⎩⎨⎧==b y ,a x 是方程组（3）的解，那么它一定满足35y x 2=-和33y x 5y x 2=+=-。
教学实践新课程NEW CURRICULUM 摘要：方程是研究事物间的等量关系，并为人们提供已知量推求未知量的重要方法。
它是代数学最基本的内容之一。
对于一元高次方程的求解，只限于一些特殊类型的方程。
关键词：一元；高次；特殊；方程一般的，我们把a n x n +a n -1x n-1+…+a 1x +a 0=0（a n ≠0，n ≥2且n ∈N ）的方程，叫做一元高次方程。
为了求解一元高次方程，我们可以采用“判根法”“因式定理及综合除法法”“倒数方程求根法”“三项方程换元法”等。
一、±1判根法例1.解方程x 4+x 3-6x 2-x +5=0解：因为原方程各项系数之和为1+1-6-1+5=0（注：把常数项算在偶数项系数中）由口诀“系和1，+1根”，即：原方程一定有一个因式为x -1，利用综合除法原方程可分解为（x -1）（x 3+2x 2-4x -5）=0，再观察方程x 3+2x 2-4x -5=0的偶次项系数之和为2-5=-3，奇次项系数之和为1-4=-3，由口诀“偶等奇，根-1”，即此方程一定有因式x +1，再一次使用综合除法，得：x 3+2x 2-4x -5=（x +1）（x 2+x -5）=0，利用一元二次方程的求根公式：x 2+x -5=（x --1+21√2）（x --1-21√2），从而x 4+x 3-6x 2-x +5=（x -1）（x +1）（x --1+21√2）（x --1-21√2）=0即：原方程的根为：-1，1，-1+21√2，-1-21√2。
二、因式定理①及综合除法法例2.解方程3x 3-2x 2+9x -6=0解：可能的试除数为：±1，±2，±3，±6，±13，±23，因为f （x ）=3x 3-2x 2+9x -6的奇次项系数为正，偶次项系数为负，故只选1，2，3，6，13，23。
因为f （1）≠0，排除。
特殊分式方程的几种特殊解法解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法，会简化解题过程。
一. 比例法例1. 解方程x x a b a bb -+=-+≠110() 分式：观察方程，形如：A B D C =的形式，可根据比例“两外项之积等于两内项之积”而直接求解。
解：原方程化为()()()()x a b a b x -+=-+11整理得22bx a =b x a b ≠∴=0，例2. 解方程：23313222--=-+x x x x 解：原方程化为()()()()23223231-+=--x x x x整理得137x =，∴=x 713经检验x =713是原方程的根。
二. 换元法例3. 解方程y y y y -+-+-=324830 分析：本题若移项，形如A B D C=，如果用比例法则去分母后方程变为324702y y ++=，对一元二次方程我们还不能求解。
因此，经观察发现483423y y y y +-=⋅+-，其中y y +-23与y y -+32互为倒数关系，可利用换元法简便求解。
解：设y y A -+=32，则原方程变形为A A-=40 整理得A 24= ∴=±A 2当A =2时，y y -+=322，解得y 17=-； 当A =-2时，y y -+=-332，解得y 213=- 经检验，y y 12713=-=-，都是原方程的解。
例4. 解方程组32511442x y x y y x x y --+=--+=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()分析：方程（1），（2）中都含有11x y x y -+，，因此可运用换元法， 设11x y a x yb +=-=， 则方程组变形为32544b a b a -=+=⎧⎨⎩解这个二元一次方程组，求出a 、b 的值，代入11x y x y+-和中，即可解出x ，y 的值。
数学问题：解决复杂方程的常用方法引言解决复杂方程是数学中重要的任务之一。
无论是在纯粹的理论研究还是实际应用中，我们经常需要找到方程的解。
本文将介绍一些常用的方法来解决复杂方程。
1. 代数ic方法代数ic方法是通过代数运算对方程进行求解的一种方法。
下面列出了三种经典的代数ic方法：1.1 因式分解法因式分解法适用于具有明显因子项的多项式方程。
首先，我们观察方程是否可以进行因式分解，并将其写成多个乘积形式，然后令每个因子等于零，再求解得到方程的根。
例子：考虑如下方程：x^2 - x = 0 我们可以将该方程因式分解为 x(x-1) = 0，并得到两个根x=0和x=1。
1.2 全等变换法全等变换法是通过对等价关系进行变换来简化或转换方程的求解过程。
通过使用合适的等价变换规则，我们可以将复杂的方程转化为简单易解的形式。
例子：考虑如下非线性方程：x^2 + 4x + 4 = 0 通过将方程进行平移，我们得到(x+2)^2 = 0，从而解得唯一根x=-2。
1.3 系数比较法系数比较法是通过观察多项式方程的系数之间的关系来求解方程。
通过比较系数，我们可以获得一些等式或不等式，然后根据这些关系求解方程。
例子：考虑如下二次方程：ax^2 + bx + c = 0 通过比较系数的大小和符号，我们可以推导出判别式D=b^2-4ac的值与方程根的关系。
如果D>0，则有两个实根；如果D=0，则有一个实根；如果D<0，则有两个复数根。
2. 数值近似法当遇到无法用代数方法直接求解的复杂方程时，我们可以利用数值近似法来获取近似解。
以下是几种常见的数值近似方法：2.1 迭代法迭代法是一种逐步逼近真实解的方法。
它基于初始猜测，并使用递归公式反复迭代直到满足预设精度要求为止。
例子：考虑如下非线性方程：f(x)=0 我们可以选择一个初始猜测值x_0，并使用递归公式x_{n+1}=g(x_n)进行迭代，直到达到预设的精度要求。
高难度技巧方程求解在数学中，方程求解是一种常见的技巧，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。
然而，有些方程难度较高，需要运用一些特殊的技巧和方法来求解。
本文将介绍一些高难度技巧方程求解的方法。
一、分解方程有些方程的难度在于它的形式非常复杂或者未知数之间存在很多交叉项。
这时可以尝试将方程分解成多个简单的部分，然后逐个求解。
例如，对于一个三次方程 x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0，我们可以尝试将其分解成两个二次方程的乘积：(x^3 - 3x^2) + (x - 3) = 0x^2(x - 3) + 1(x - 3) = 0(x^2 + 1)(x - 3) = 0然后，我们可以分别求解两个简单的二次方程x^2 +1 = 0 和 x - 3 = 0，得到解 x = ±i 和 x = 3。
二、代入法有些方程的难度在于未知数之间存在复杂的关系，很难直接解出。
这时可以尝试引入一个新的未知数，然后代入原方程，通过求解新方程来得到原方程的解。
例如，对于方程 x^3 + 2x + 1 = 0，我们可以引入一个新的未知数 y = x + 1，然后代入原方程：(y - 1)^3 + 2(y - 1) + 1 = 0y^3 - 3y^2 + 4y = 0通过求解新方程y^3 - 3y^2 + 4y = 0，我们可以得到解 y = 0、y = 1 和 y = 4，然后再通过反向代换得到原方程的解 x = -1、x = 0 和 x = 3。
三、递推法有些方程的难度在于它涉及到数列或递推关系。
这时可以通过逆向求解的方法来得到方程的解。
例如，对于方程x^3 - 3x + 1 = 0，它的难度在于无法直接求解。
然而，我们可以利用一个已知的递推关系来求解。
假设数列 {a_n} 满足递推关系 a_n = 3a_{n-1} - a_{n-2}，并且已知 a_0 = 1 和 a_1 = 3。
我们可以尝试找到一个数列和方程的关系，将方程转化成求解数列的问题。
浅谈几种特殊高次方程的解法
以“浅谈几种特殊高次方程的解法”为标题，一般所指的特殊高次方程是指被开指数和根式组成的多项式方程。
本文尝试从几个方面浅谈几种求解特殊高次方程的解法。
首先，我们应该掌握最简幂级数的理论，因为它是求解高次方程的基础。
最简幂级数的概念可以概括为把一个多项式分解成多个简单的因式的形式，其中每个因式代表某一种特殊的数学性质，而一整个多项式则有自己特定的性质。
有了这个理论，我们就可以运用它来求解特殊高次方程的根式。
其次，预先知道系数矩阵的特性也是求解特殊高次方程的关键。
这里我们可以利用系数矩阵来分析高次方程的特性，比如说，可分解的系数矩阵，可求逆的系数矩阵，可求主元的系数矩阵等等。
当我们有了这些基础知识后，就可以运用相应的方法来求解特殊高次方程。
此外，我们还可以依靠一些其他的数学工具来求解特殊高次方程，诸如数列和级数、Newton-Raphson迭代法等等。
对于一般的高次方程，我们可以利用数列和级数的方法来解决，而关于特殊情况，我们可以利用Newton-Raphson迭代法来求解。
最后，我们还大可以利用一些计算机软件来帮助我们求解特殊高次方程，只要我们准备好给出的高次方程，以及相应的参数值，这些软件便可以为我们所用。
计算机软件的准确性可以达到解方程的最佳精度，而且利用它们解决问题所耗费的时间是最少的，也可以节约大量的精力。
以上就是关于浅谈几种特殊高次方程的解法的概要介绍。
求解特殊高次方程并不是一件容易的事，它需要我们经过许多复杂的计算才能够求出准确的答案，但是，只要我们熟悉了相应的数学理论，了解了求解高次方程的方法，特殊高次方程也并不是一件难事。
数学知识：解决复杂方程的常用方法引言在数学中，方程是一个通过等号连接的数学表达式。
解决方程的过程在数学中非常重要，因为它们可以帮助我们理解自然现象、计算未知量和推导出各种数学规律。
本文将介绍一些解决复杂方程的常用方法。
常见类型的复杂方程1. 一次方程一次方程是指具有形如 ax + b = 0 的表达式，其中 a 和 b 是已知数，而 x 是未知数。
解一次方程通常采用移项和除以系数的方式来求解。
2. 二次方程二次方程是指具有形如 ax^2 + bx + c = 0 的表达式，其中 a、b 和 c 是已知数，而 x 是未知数。
二次方程有多种求解方法，包括配方法、因式分解、求根公式和完成平方等。
3. 多项式方程多项式方程是指具有形如 f(x) = 0 的表达式，其中 f(x) 是一个多项式函数。
多项式方程的求解通常需要应用代数运算法则和因式分解法。
4. 分段定义的函数分段定义的函数是指根据不同区间满足不同表达式的函数。
求解分段定义的函数通常需要找出各个区间的交点，并结合几何、代数等方法进行计算。
5. 微分方程微分方程是包含了导数或微分的方程。
解微分方程的方法有多种，包括变量分离法、常数变易法、齐次方程法和特殊形式法等。
解决复杂方程的常用方法1. 代数运算法则通过代数运算法则，可以对方程进行化简、合并同类项、移项等操作，从而将复杂的方程转化为简单一些的形式。
2. 因式分解对于多项式方程，可以使用因式分解将其表示为一个或多个乘积形式，然后再求解每个因子对应的方程。
3. 完成平方对于二次方程，可以使用"完成平方"的方法将其转化为一个平方差或两个平方和，并进一步求解。
4. 求根公式对于二次方程及更高次的多项式方程，可以使用求根公式计算其根（解）的值。
5. 图像法与几何观察有时候，通过观察图形或者利用几何关系来理解和求解某些方程，可以提供一种直观且有效的方法。
6. 近似解法在无法通过精确求解的情况下，使用数值计算和近似方法求解复杂方程的近似解。
求解方程的奇妙方法方程一直是数学领域中的重要课题，通过解方程可以揭示数学中的规律和关系。
在数学历史上，人们一直努力寻找更加高效和奇妙的方法来解方程。
本文将探讨一些在解方程中使用的奇妙方法。
一、隐形的平方在解一些特殊的二次方程时，我们可以运用隐形的平方来简化操作。
例如，对于方程 2x^2+4x+2=0，我们可以将其简化为 (x+1)^2=0。
这种方法可以帮助我们更快地找到方程的解。
二、二项式方程解法对于具有二项式形式的方程，我们可以利用二项式公式来求解。
例如，对于方程 x^2+6x+9=0，我们可以将其写为 (x+3)^2=0，并直接得出 x=-3。
三、直观图像法有些方程的解可以通过观察方程的图像来得到。
例如，对于方程x^3-4x^2+4x=0，我们可以将其转化为 x(x-2)^2=0，并直接得出 x=0 或x=2。
四、换元法在解高次方程时，我们可以通过合理的换元来简化问题。
例如，对于方程 x^4-6x^2+9=0，我们可以令 y=x^2，将其转化为 y^2-6y+9=0，得到 y=3，进而得到x=±√3。
五、反证法反证法也是解方程中常用的方法之一。
当我们无法直接求得方程解的时候，可以假设方程没有解，然后通过推理推出矛盾，从而得出方程的解。
例如，对于方程 x^2-5=0，我们假设方程没有实数解，然后通过推导得到矛盾，进而得出x=±√5。
六、代数运算法对于一些复杂的方程，我们可以通过代数运算的方法来求解。
例如，对于方程 x^3+x^2+x+1=0，我们可以通过多项式的除法得到(x^3+x^2+x+1)/(x+1)=x^2，进而得出 x=-1 或 x=0。
七、三角恒等变换在解一些三角方程时，我们可以利用三角恒等变换来简化问题。
例如，对于方程 sin(2x)cos(x)=sin(x)，我们可以利用三角恒等变换将其转化为 2cos(x)sin^2(x)=sin(x)，进而得到 sin(x)=0 或 cos(x)=1/2，进一步求解得到方程的解。
毕业（设计）论文题目几种特殊类型方程的解法的研究学院专业班级学生姓名指导教师成绩2014年05 月31 日摘要从中世纪到19世纪初, 数学家门一直把代数学看成是解代数方程的学问.在生活和学习知识的过程中，方程更是非常重要的一个内容，在初等数学中，以初等函数的概念和解析式的运算为基础研究某些特殊形式的方程.综上鉴于特殊方程的多种解法的重要性, 本文主要研究了一元代数方程的解法, 其中包括一元三次方程、倒数方程、指数方程、对数方程等等.本文主要做了几个工作.以特殊方程的多种简便解法为线索, 介绍了几种特殊类型的方程, 以及在数学生活中的重要性, 并把几种特殊方程分类, 分块讨论.分别对几种方程举例, 力求最简便.关键词特殊方程;初等数学;多种解法;分类AbstractFrom the Middle Ages to the early nineteenth Century, mathematicians have the algebra as the solution of algebraic equations in learning, living and learning in the process of knowledge. The equation is a very important content, in elementary mathematics, the concept and formula of elementary function. Calculation based on the equation, some special form.So in view of the importance of special equation solution, this paper focuses on the element equation including: a three order equation、the equation、exponential、logarithmic equation etc···This paper mainly do the following several aspects of work:The first: a simple solution to a variety of special equation as a clue , introduces several special types of equations, as well as the importance in mathematics, in life;Second: put some special classification of equation, block discussion;Third: for some special equation for example, to the most convenient.Key word Special equation; Elementary mathematics; A variety of solution; Classification目录摘要 (I)Abstract (II)绪论 ........................................................... - 1 - 第1章方程的基本概念及同解性 .................................. - 2 - 第2章一元代数方程的解法 ...................................... - 9 -2.1倍根法 .................................................. - 9 -2.2 倒根法................................................. - 11 -2.3一元三次方程与倒数方程的解法 ........................... - 12 -2.3.1一元三次方程的解法................................ - 12 -2.3.2倒数方程的解法.................................... - 15 -2.4二项方程的解法 ......................................... - 18 -2.5解含有参数的方程 ....................................... - 19 - 第三章初等超越方程解法举例 ................................... - 21 -3.1指数的方程解法 ......................................... - 21 -3.2 对数方程的解法......................................... - 22 -3.3 三角方程的解法......................................... - 24 - 总结 .......................................................... - 27 - 参考文献 ...................................................... - 28 - 致谢 ........................................................ - 30 -绪论在生活中, 数学与我们密不可分, 而防方程更是数学中非常重要的内容, 我们从小学开始就接触学习方程, 并一直学习到大学, 对于普通方程的解法大学都是熟知的但对于类型较特殊的方程, 如一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程, 超越方程都没有较简单的解法, 这就需要我们的研究使特殊类型的方程得到更简便的多种解法, 并且在中学数学的研究中, 有更广泛的应用价值, 并对以后的中学数学教学工作有着重要的意义.本次论文主要研究的是特殊方程的解法, 而特殊方程的解法有很多种, 其中一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等更是重点中的重点, 在《高等函数学报（自然科学版）》2010年05其中付跟春教授就发表了一篇关于一元三次方程的另一种解法《考试周刊》2012年第20其中, 权小刚写了到了利用分解因式法解一元四次方程《数学通报》1980年第十二其中张君达教授对倒数方程及其应用有非常详细的研究, 且在国外, 当代数学家eibitzE对特殊L和uler类型的方程的解法详细研究.在对本文课题内容研究的过程中, 主要分为三个方面, 首先需了解方程的基本概念, 及同解性通过对定义、定理推论及其典型例题的研究, 加深方程的基本概念、及同解性. 其次, 在对多种类型特殊方程的多种解法中, 主要针对一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等内容进行详细计算, 最后, 讨论超越方程的解法并进行举例, 基本分为指数函数. 对数方程, 和三角方程的特殊解法.采取的方法有文献资料法、举例法、探究法.在对特殊方程解法的研究中, 国内外关于特殊类型的方程应用比较多, 对于求解方面难以把握, 特别在竞赛数学中, 一般大的解法比较简单, 但应用比较少, 难点是去寻找解题的简单方法, 并且对于不同类型的特殊方程有特殊的解法研究, 在老师的指导下, 通过校图书馆查阅的书籍以及期刊并与同学不断的沟通使特殊方程的解法不只是降次一种方法而已, 能够更加简便的解特殊类型的方程.第1章 方程的基本概念及同解性定义1.1 等式f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为方程.其中，f()z y x ,,,g ()z y x ,,都是定义在数组集M 上的函数M 是这两个函数的定义域的交集, 并且把M 称为这个方程的定义域.定义2.1 如果数组集M 是方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的定义域, M内的一组数,,,c b a 满足这个方程, 即有f()z y x ,,=g ()z y x ,,. 那么称这一组数位这个方程的解.作为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的解的数组的集合S 称为这个方程的解集. 当MS =时，方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,又称为恒等方程.可表示成:f()z y x ,,=g ()z y x ,,.当S 时空集时方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为矛盾方程.定义3.1 函数f()z y x ,,与g ()z y x ,,的变数z y x ,,, 称为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的未知元, 有几个变数的方程称为n 元方程.特别地, 把一元方程)()(x g x f =的解称为一元方程的根.关于方程的概念.为了叙述简便起见, 通常就一元方程进行讨论. 如果需要推向一般情形, 只需在叙述上做一些补充就可以了.同解性定义4.1 如果方程)1(1f 1)(g x =)(x 的任何一个解都是方程)2(2f 2)(g x =)(x 的解, 并且方程)2(的任何一个解也都是方程)1(的解. 那么方程)1(与)2(称为同解方程.两个同解方程显然是有相同的数集, 但对于解集相同的方程约定仅当每一个重根具有相同的重复次数时, 才认为它们是同解方程. 因此01=-x 与方程2)1(-x=不能认为是同解方程. 因此方程01=-x 与方程2)1(-x 0=不能认定是同解方程.两个无解方程认为是同解方程.因为方程的解集包含于方程的定义域内, 所以两个方程可能在某一个数域上同解, 而在另一个数域上是不同解的, 例如2x 01=+、014=+x、12=+nx在实数域上彼此同解, 因为它们的解集是空解.在复数域上, 它们的解集是各不相同的, 第一个方程有两个解, 第二个方程有四个解, 第三个方程有n 2个解. 它们显然不是同解方程.同解性定义5.1，如果方程)1(的每一个解都是方程)2(的解, 那么方程)2(称为方程)1(的结果（或称为推演式）.显然, 如果两个方程互为结果, 那么这两个方程便是同解方程. 定理1.1, 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f +=+同解.证：设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 从而有)()()()(1111x A x g x A x f +=+，这表明方程)2(是方程）（1的结果. 如果)()()()(1111x A x g x A x f +=+, 由))()()()()(111111x A x A x g x A x A x f （-+=-+,可得)()(11x g x f =，这表明方程)1(是方程）（2的结果. 方程）（1与方程)2(互为结果, 这两个方程式同解方程. 推论 任何方程)()(x g x f =均可表示成0)(=x F 的形式, 其中))()(x g x f x F （-=.定理2.1 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义,并且不等于零, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f =同解. 证 设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 因为0)(1≠x A , 于是有)()()()(1111x A x g x A x f =, 这表明方程)2(是方程)1(的结果.如果)()()()(1111x A x g x A x f =将等式两端同除以)(1x A 即得:)()(11x g x f =.这表明方程)1(是方程)2(的结果.方程)1(与方程)2(互为结果这两个方程便是同解方程. 定理3.1 如果)()()()(21x f x f x f x F k =,那么方程0)(=x F 的解集等于下列各个方程:)(1=x f ,，0)(2=x f ,)(k =x f .的解集的并集, 并且其中每一个解都属于这k 个方程的定义域的交集. 证：设)(x F 的定义域为M ,)(x f i 的定义域为),,2,1(k i Mi=, 因为)()()()(21x f x f x f x F k =, 所以KMMMM21=.又设()0=x F 的解集为A , Ax ∈1;()01=x f 的解集为()k iB ，，211=.因为MA x ⊆∈1, 所以KMMMx ⋂⋂∈21因为()01=x F ，于是有()()()011211=x f x f x f k .这个等式的左端至少有一个因式等于零，这表明KB B B x ⋃⋃⋃∈ 211.反之易证BB B B K ⊆⋃⋃⋃ 21定理1.4 如果()()()()x g x g x f x f 2121==，, 方程（1）()()x g x f 11=与方程（2）()()x g x f 22=的定义域都是数集M, 那么方程（1）方程（2）同解.证：设()()a g a f 11=，因此，Ma ∈.因为对于M 中任何数x ,()()x f x f 21=, ()()x g x g 21=, 所以()()a g a f 11=，()()a g a f 22=.因为()()a g a f 11=）, 所以()()a g a f 22=，这表明方程（2）是方程（1）的结果.同理可证, 方程（1）是方程（2）的结果.于是, 方程（1）与方程（2）同解.解方程时, 根据上述定理将原方程变形.或将原方程的任何一端在不改变方程定义域的前提下作恒等变形后所得到的方程与原方程是同解的, 这样的变形称为解方程的同解变形.在解方程时.除了利用同解变形外有时还要作以下几种变形.1. 方程()()x gx fnn=, 是方程()()x g x f =的结果；正整数n 是对函数()x f ，()x g 施行乘方运算的指数.2. 方程()()aa x g x f =是方程()()x g x f =的结果，不小于2的整数n 是对函数()x f ，()x g 施行开方运算的根指数（n 为偶数时，()0≥x f ，且()0≥x g ）.3. 如果()x g 1与()x g 2不等于零，那么方程()()()()x g x f x g x f 2211=是()()()()x f x g x f x g 2211=的结果4. 如果对于定义域中的数()()x g x f 11≠，且()()x g x f 22≠，那么方程()()()()()()()()x g x g x g x f x g x f x g x f 22221111-+=-+是方程()()()()x g x f x g x f 2211=的结果.5. 方程()()x g x f =是方程()()x g x f lg lg =的结果.6. 方程()()x g x f sin sin=是方程()()x g x f =的结果.经过上述变形, 作为原方程是的结果往往是与原方程不同解的.一般来说, 当在方程两端施行某一运算.而这种运算的逆运算的运算结果不是唯一确定的时候, 便将得到与原方程不同解的方程.由于方程变形后, 改变了（扩大或缩小）原方程的定义域, 定形厚的方程与原方程往往是不同解的.在不是同解变形的情况下解方程, 可能产生增解, 既不满足原方程但是满足原方程的结果的那些解;也可能失去原方程的部分解.在解一元方程时, 产生的增解又称为增根, 失去的解称为遗根.为了在解方程时剔除增解, 避免失去解, 可采取下列步骤.（1） 在方程变形过程中, 把由原方程的结果得到的解代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解.（2） 在方程变形过程中, 把原方程的定义域的扩大部分中的数代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解. 例如, 由得：512+=-x x .2-=x 是后者的根. 而不是前者的根⑶在方程变形过程中，把原方程的定义域的缩小部分中的数代入原方程检验满足与否，以判断是不是原方程的解例如，由()()()()1312222++=+++-x x x xx x经合分比变形得()()()()x x x x 2242422-+=-+-. 因而失去原方程的解0=x.⑷在方程变形中，根据变形结果与原方程不同解的原因判断是否有增解和是否有可能失去解 例如方程 ()()x x x -=-+1arcsin1arccos arcsin ，变形为：()01arccosarcsin2=-+x x ， ⑴()x x --=1arccos arcsin 2 ⑵这两个方程与原方程都是同解的. 由()()[]x x --=1arccos cos arcsin2cos ⑶得：()xx -=1arcsin 2cos , 022=-x x从而得0=x，21=x.由方程⑵变形为方程⑶时，不是同解变形，因为满足方程⑵的未知数取值必然满足方程⑶，但满足方程⑶的未知数取值不一定满足方程⑵这是因为方程⑶还可以作为方程()x x -=1arccos arcsin 2的结果.经检验，21=x不满足原方程，但满足方程()x x -=1arccos arcsin 2.例1.1 解方程()()()()11429121-++=-+x x x x .解：方程两端同乘以最简公分母()()412+-x x，得：()()()()41941++-=++x x x x即0562=+-x x由此解得 51=x , 12=x .因为1=x , 使()()0412=+-x x ,所以1=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解分式方程时，为了将原方程的求解转化为整式方程的求解而在方程两端乘以原方程的最简公分母，由此所求得的解. 如果使公分母为零，那么这样的解便是原方程的增根.例1.2 解方程5462=++-x x解：方程两端平方后，再一次平方，以消去根号，得：08251702=+-x x解得51=x ， 1652=x .经检验165=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解无理方程时，除了前述在将方程两端边形时因扩大了原方程的定义域而引起增根外，由于方程两端引入了共轭因式也往往会因此而产生增根 例1.3 解方程()()443log 2log 22=-++x x . 解：将方程变形为()()4432log 2=-+x x ,从而得：()()16432=-+x x由此解得：()37311+-=x , ()37312--=x.这里只有1x 是原方程定义域内的数，因此2x 是增根. 于是原方程的解是()3731+-=x .例1.4． 解方程42log=xxx解：因为 2)2(loglog2log 2logx xx x xxx x==所以有42)2(log=x xx即4)2(2=x 由此解得11=x ， 12-=x1x 与2x 都使原方程失去意义，因此，原方程没有解. 例1.5 解方程2cos 2sin =-x x .解：设t x tg =⎪⎭⎫⎝⎛2，于是原方程变形为()()()211212222=---+t tt t.由此解得2=t ，即22=⎪⎭⎫⎝⎛x tg从而解得()z k k arctg x ∈+=,222π.第2章 一元代数方程的解法2.1倍根法使变形后的方程的各个根是原方程的各个根的k 倍. 方程0=⎪⎭⎫⎝⎛k y f 的各个根分别等于方程()0=x f 的各个根的k 倍.证：设()n ia i ,,3,2,1 =是n 次方程f （x ）=0的根.因为0)(f 1=a ,所以)()(i i a f kka f =0=.因此i Ka 是n 次方程0)(=ky f 的根.因为0)(=k y f 只有n 个根， 所以)(=k y f 的各个根分别是)(=x f 的各个根的k 倍.推论1：n 次方程0222110=++++--nn n n nka xk a kxa x a 的各个根分别是方程22110=++++--n n n na xa xa xa 的各个根的k 倍.例如:把1632166)(3561=-++-=x xx xx f ,表示成 0)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x ,那么)(1=x f 的各个根分别是:4123356=-++-x xx x的各个根的2倍.反过来说，把方程的04123356=-++-x x x x 各个根乘以2，对应的方程)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x即1632166)(3561=-++-=x xxxx f .因此，推论1也可以说成是把n 次方程22110=++++--n n n na xa xa xa的各个根乘以k ，对应的方程是:222110=++++--nn n n nka xk a kxa xa .由推论1可直接推出下一个推论： 推论2:把n 次方程022110=++++--n n n na xa xa x a 的各个根变号对应的方程为:1--22110=++--n n n na xa xa xa ）（ .例1.2 已知方程0204234=--++x x x x 的四个根中, 有两个根的绝对值相等，符号相反, 解这个方程 解：解:设=)(x f 0204234=--++x xxx有四个根γβαα---,,,.将0)(=x f 的各个根变号后对应的方程是:=-)(x f 0204234=-++-x xxx.这个方程的根是γβαα---,,,，0)(=x f 与0)(=-x f 有公共根α±. 用辗转相除法求得)(x f 和)(=-x f 的最高公因式是42-x .因为54)(22++=-x xx x f ，所以原方程为0)5)(4(22=++-x x x .它的根是2,2-,2191,2191i i --+-.定理1.2:方程)(=+k y f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根减去k.证：设),,2,1(n ia i =是n 次方程)(=x f 的根, 因为)(=i a f , 所以])[(=+-k k a f i 的根,因此，ka i-是n 次方程)(=+k y f 的根.因为0)(=+k y f 只有n 个根，所有)(=+k y f 的各个根分别等于)(=x f 的各个根减去k . 例如68364)]1([3=++=-+y yy f 的各个根分别等于68)1(36)1(4)(3=++++=x x x f 的各个根减去1-.这里的10848124)(23+++=x x x x f , 反过来说，要做一个三次方程使它的各个根分别等于三次方程10848124)(23+++=x x x x f 0=的各个根减去1-，只要将)(x f 表示为)1(--x , 即1+x 的幂构成的三次多项式.如果要将多项式n n n na xa xa xx f ++++=-- 2211)(化为不含有1-n 次项的多项式, 那么只要将)(x f 表示为)(1na x--的幂构成的多项式，即作一个n 次多项式，使它的各个根分别等于)(x f 的各个根减去na 1-. 由此可见, 经过这样的根的变换, 可使方程变形为简单的形式.2.2 倒根法定理2.2：如果方程0)(=x f 没有等于零的根，那么方程)1(=yf 的各个根分别等于方程)(x f 的各个根的倒数. 证 设),,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根, 并且0≠ia . 因为)(=i a f ,所以)()11(==i ia f a f .因此，ia 1是)1(=y f 的根, 因为n 次方程只有n 个根,所以)1(=yf 的各个根分别是0)(f =x 的各个根的倒数.推论3 如果n 次方程0)(=x g 的各个根分别是n 次方程0)(1110=++++=--n n n na x a xa x a x f 的各个根的倒数, 那么)(0111=++++=--a x a xa xa x g n n nn .例2.2 已知方程0918131423=+--x xx 的三个根的倒数成等差数列, 解这个方程.解：根据上述推论可知方程01413189)(23=+--=x x xx f 的三个根成等差数列,设这三个根是,,,b a a b a+-于是23=a, 32=a.因此, 0)(=x f 的一个根是32.因为)73)(1(74323)(2-+=--=-x x x xx x f , 所以0)(=x f 的另外两个根是1-, 与37, 由此可知，原方程的根是1,23-与73.2.3一元三次方程与倒数方程的解法2.3.1一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是23=+++d cx bxax)0(≠a把它的各个根减去ab 3-, 并且设32322272792,33ada abc bq ab ac p +-=-=.就可以变成一个不含有二次项的方程的方程（未知元仍然用x 表示）03=++q px x )1(所以，研究三次方程的解法，只需要研究这种形式的方程. 设v u x +=于是uvx u v v u uv v u x 3)(333333++=+++=.即 0)(3333=+--v u uvx x )2( 从而有)(,333v u q uv p +-=-=.根据一元多项式根与系数的关系，可知3u ，3v 是二次方程02732=-+pqy y的两个根.解这个二次方程，得：2742u323pqq ++-=, 2742323pqq v---=. )3(并且满足3p uv -= )4(设1u 是)3(的任意一个解, 则u 的另外两个解分别为:21312,wu u w u u ==.这里w 是1的三次单位根.由)4(得与321,,u u u 相对应的v 的三个解是:wv v w v v u p v 1321211,,3==-=.因此，03=++q px x 的三个解的公式是33233211127422742pqq pqq v u x +--+++-=+=,332233222227422742pqq wpqq wv u x +--+++-=+=,332332233327422742pqq w pqq wv u x +--+++-=+=.根据)3(式中27432pq+的符号可以看出三次方程03=++q px x 的根的性质. （1）如果27432pq+, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu ≠,方程)1(有一个实数根和两个共轭虚根：111v u x +=, ,iv u v u v w wux 322-11111212-++=+=, iv u v u wvu w x 322-11111123--+=+=.(2)如果27432pq+=, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu =, 方程(1)有三个实数根, 并且其中有两个根相等: 111v u x +=1u 2=,11212u u w wux -=+=,11123u wuu w x -=+=.(3)如果27432pq+, 那么3u 和3v 是共轭虚数.设 )sin (cos 3θθi r u +=, )sin (cos 3θθi r v -=,于是)3sin3(cos31θθi r u +=,)3sin3(cos31θθi r v -=.方程)1(有互相等的三个实数根: 3cos23111θr v u x =+=,=+=112wvwux -)3sin33(cos 3θθ+r )323cos(23πθ+=r , =+=1123wvu w x -)3sin33(cos3θθ-r )343cos(23πθ+=r .在这种情况下，方程)1(的三个实数根不能利用在根号下仅出现实数的根式由方程的系数来表示.而这一结论的证明已经完全超出课本的范围. 例3.2 解方程 011126223=-+-x xx .解 利用将n 次多项式简化为不含有1-n次项的方法可将方程化为：23)1(3)1(3--+-x x 0=.设1-=x y 原方程变换成方程2333=-+y y.因为3=p, 23=q, 所以162527432〉=+pq.设 1v u y+= 根据卡当公式得24,23131-==v u .于是 331114212-=+=v u y ,32312124212wwv w wuy -=+=, 33211234212wwwv u w y -=+=.因为1+=y x , 所以33142121-+=x ,iw w x )4324110821(44122114212166332332+++-=-+=, iw wx )4324110821(44122114212166333233+-+-=-+=.2.3.2倒数方程的解法在一元整式方程0)(=x f 中, 如果在多项式)(x f 中, 与首末两端等离的项的系数是相等的, 那么这种形式的方程称为倒数方程. 倒数方程有四种类型：)1(形如)0(0 (0012)2111122212120≠=++++++++++--+---a a x a xa xa xa xa xa xa x a m m mm m m m m m)1( 的方程称为第一种倒数方程.在方程)1(中, s x 项的系数等于s m x -2项的系数，这里ms2,,2,1,0 =. 显然0不是方程)1(的根.根据定理3的推论, 可知以方程)1(的各个根的倒数为根的m 2次方程仍是方程)1(, 因此, 方程)1(的根是m 对互为倒数的数.定理3.2 第一种偶次倒数方程=)(x f 0 (011)11112120=++++++++--+--a x a xa xa xa xa xa m m mm m m m m可以化为一个m 次方程. 证0)(...)()1()f(11112120=+++++++=-+--mm m m m m mxa xxa x xa xa x .因为0≠x，所以可以用mx 1乘)(x f , 得:)1(...)1()1()(.111110=+++++++=---m m m m mmma xx a xxa xxa x f x设yx x =+1, 于是有:22)1)(1(1222-=-++=+y xx x x xx ,y y xx x x xx xx 3)1()1)(1(132233-=+-++=+,24)1()1)(1(124223344+-=+-++=+y y xx xx xx xx ,······yxxxx xxxxm m m m mm=+-++=+----)1()1)(1(12211代入)(.1=x f xm, 得到的方程是y 的m 次方程.在证明这个定理的同时, 也给出了第一种偶次倒数方程的解法. 例2.4.解方程01256895612234=+-+-x x x x .解：将方程表示为089)(56)1(12234=++-+xx x x .因为0≠x, 将方程两端乘以21x, 得:89)1(56)1(1222=++-+xx xx ,设yxx =+1, 则21222-=+y xx ,从而有08956)2(122=+--y y ,由此得25=y 或613=y ,由251=+xx 或6131=+x x解得：32,23,21,2=x.因为1和1-的倒数是它的本身，还是1和1-, 所以如果方程0)(=x f 是第一种偶次倒数方程, 那么方程0)()1(=+x f x 和0)()1(=-x f x 除了两个根)11-或（的倒数就是本身之外, 其余的根是m 对互为倒数的数.方程0)f 1(2=-x x （）除了两个根)1(±的倒数就是本身以外.其余的根是m 对互为倒数的数.0)()1(=+x f x 称为第一种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=+++++++++b x b xb xb xb xb mm m m mm 0≠b (2))()1-(=x f x 称为第二种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=----++++c x c xc xc xc xc mm m m mm 0≠c (3))()1-(2=x f x称为第三种奇数倒数方程, 一般形式是： (012)121220=----++++++d x d xd xd xd xd mm m m m m 0≠d (4)这种形式的倒数方程没有中间项, 即没有1+m 次项.例5.2 解方程065444456)(2456=--+-+=x x x x x x f .解)(x f 是第二种偶次倒数方程, 必定有根1±.设)1()()(2-÷=x x f x g653856234++-+=x x x x38)(5)1(6234=-+++=xx x x .设yxx =+1, 因为0≠x , 将方程除以2x 得:38)1(5)1(622=-+++xx xx21222-=+y xx , 于是得:50562=-+y y由此得 25=y 或310-=y.由251=+x x 解得2=x或21=x .由3101-=+xx 解得3-=x 或31-=x . 所以0)(=x f 的根是31,3,21,2,1--±.某些特殊形式的方程, 有时也可以变换成倒数方程. 例6.2. 解方程062512256234=+++-x x x x解:将原方程变形为12)1(25)1622=+--+xx xx（.从而有024)1(25)1(62=+---xx xx .设yxx=-1. 于是得：242562=+-y y.由此解得 23=y 或38=y.由231=-x x , 解得21,2-=x . 由381=-xx, 解得31,3-=x.所以原方程的根是31,3,21,2--.2.4二项方程的解法形如0=-c x n的方程称为二项方程.解二项方程0=-c x n 只要将c 开n 次方, 在复数域上求一个数的n 次方根可采用复数的三角形式来计算.定理4.2如果)sin (cos θθi r c+=, 那么二项方程0=-c x n的根是)2sin2(cosn k i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.证. 因为n n nk i nk r )]2sin2(cos[πθπθ+++ci r =+=)sin (cos θθ.并且)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.表明共有n 个互不相等的值, 它们都是n 次方程0=-c x n的根, 而n 次方程有n 个根, 所以方程0=-c x n的根是:)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.因为1sin cos =+θθi 由定理4.2可知在复数域上的几个n 次方根是:1, ni nππ2sin2cos +，ni nππ22sin22cos⋅+⋅，···，nn i nn ππ2)1(sin2)1(cos -+-.根据实系数多项式的性质可知, 二项方程的虚数根都是成对出现的.例如方程083=+x 在复数域上的三根是:2)sin (cos 21-=+=ππi x ,ii x 31)3sin3(cos22+=+=ππ, ii x 31)32sin32(cos 23-=+=ππ . 例7.2 解方程016842234=++++x x xx .由此可得到一个二项方程 0255=-x . 解这个二项方程, 并排除方程02=-x 的根2=x 以后, 即得原方程的四个根)52sin52(cos21ππi x +=, )54sin 54(cos22ππi x +=,)54sin 54(cos 2)56sin 56(cos23ππππi i x -=+=, )52sin 52(cos 2)58sin 58(cos24ππππi i x -=+=.2.5解含有参数的方程在解含有参数的方程时, 必须对参数的每个容许值确定方程的解的集合. 例8.2 解关于未知数x 的方程21xa x-=-.解 这个方程的右端是非负数的, 因此左端也必须是非负数的, 应在02≥-x a 和1≥x 的条件下求解. 将方程两端平方得:1222=-+-a x x.这个方程必须在0)1(24)2(2≥-⋅--a 时，即21≥a时有实数解, 因此, 原方程的求解又增加了一个必要条件. 由这个一元二次方程解得: 21211-+=a x , 21212--=a x .2x 显然不满足条件11≥x , 因此, 它不是原方程的解.如果1x 是原方程的解，那么 12121≥-+a ,即 112≥-a .当1≥a时,112≥-a 是成立的, 但还要考虑, 021≥-xa 是否成立.经过计算, a 取任何值时, 021≥-xa 总能成立.综上所述，当1 a 时，原方程没有解.当1≥a原方程的解为2121-+=a x .在解含有参数的方程时, 不仅要考虑对于参数的某些取值, 原方程没有解, 而且考虑, 在参数取某个值的情况下，原方程可能成为恒等式.这时, 原方程在定义域内便有无限多个解.第三章 初等超越方程解法举例含有一个未知数的初等超越函数方程（简称超越方程）是指形如0)=x F （的方程，其中，)(x f 是初等超越函数.初等超越函数方程的求解最终都归结为最简超越方程的求解 最简超越方程是指形如cx f =)(的方程，其中，)(x F 是基本初等超越函数, c 是常数.3.1指数的方程解法)1()()(x g x f aa=, )1,0(≠a a类型例1.3解方程312)10(10001505---=x xx .解:原方程可变形为 661010-=x x, 66-=x x, 56=x.解这一类的指数方程是以对数的存在性和唯一性为根据的由于)()(x g x f a a =与)()(x g x f =是同解的，所以这一变形不会产生增根，也不会发生遗根.)2( )()(x g x f aa=（a 与b 都是不等于1的正实数，并且ba≠）类型.例2.3 解方程. 解：将方程两端取常用对数得:3lg )1(5lg )1(2-=+xx .这是一个一元二次方程，由此可解得:1-=x 或3lg 5lg 3lg +=x .这也就是原方程的根.解这类指数方程，因为0)( x f a , 0)( x g b ，方程两端取对数后得到的方程与原方程是同解，所以，这一边形不会产生增根和遗根.)3(0)(=xa F , )1,0(≠a a类型.例3.3 解方程xxx946=+.解：将方程两端分别除以x 9得:19432=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx.设yx=⎪⎭⎫ ⎝⎛32，则有012=-+y y ，由此解得:251+-=y, 或251--=y.后者因032 x⎪⎭⎫⎝⎛而舍去，再由21532-=⎪⎭⎫⎝⎛x可解得:3lg 2lg 2lg )15lg(---=x即为原方程.这种类型的指数方程通常采用换元法求解未知数. 为了将问题归结为最简指数方程的求解，往往需要将各个指数函数式化为相同的底数，由于底数都大于零，所以，在方程变形时不能破坏同解性.)4()()()(x F x f x g =类型.这种类型的方程成为幂指方程，如果是在底数大于零的条件下求解，那么可以通过两端取对数使方程变形.例4.3解方程 1lg 47lg 10++=x x x)0( x .解：因为方程两端都大于零，所以可在两端分别取对数，经过运算，化简可得：4lg 3)(lg 2=-+x x .有此可解得1lg =x 或4lg =x ，从而有10=x或410-=x，这就是原方程的解.3.2 对数方程的解法)1(cx g x f =)(log)(（c 为常数）类型.解这一种类型的方程通常是将对数形式化为指数形式.但解得的数值必须满足0)( x f ，与1)(≠x f 和0)( x g 的条件，否则便是增根. 例5.3 解方程22log)2(log8316=--x x.解 因为218log22log2188==，所以有2)316(21==-x x , 从而有 0122=--x x .由此解得4=x或3-=x, 后者使02 -x 于是方程的解只有4.)2()(log)(logx g x f aa= ()1,0≠a a .类型解这类方程时，根据对数的性质，可使得)()(x g x f =, 但由此解得的数值必须满足0)( x f 与0)( x g 否则便是增根.()3 0)(log=x F a)1,0(≠a a类型.解这类方程时，长采用换元法，将问题归结为解最简对数方程.)4( cx bx a=+log)1,0(≠a a类型.这类方程是在0x 的条件下求解的，当0≤c时，方程无解;当0c时，则有cx b x aaaloglog)(log=+. 即log log)x (log2=-+c x b aaa.这样变化为上一种类型，可用换元法求解 例6.3．已知1x 是方程42=+xx 的根，2x 是方程4log2=+x x的根.求21x x +. 因为1x 是方程42=+xx的根， 所以1x 是直线 x y +-=4与指数函数xy 2=图象交点P 的横坐标.因为2x 是方程4log2=+x x 的根，所以2x 是直线x y +-=4与对数函数xy2log=图象交点Q 的纵坐标.因为xy2=与xy2log=互为反函数，所以点P 与Q 关于其线对称， 且点P 与点Q 均在直线4+-=x y上，因为点P 与交点Q 的中点为)2,2(R . 所以421=+x x .3.3 三角方程的解法对于一般地三角方程来说，没有一般的简便的求解方法，对于其中某些类型的三角方程可用一定的解法求解，但对于同一个三角方程而言，解法往往不是唯一固定不变的的.凡是可以求解的三角方程，一般地说总是通过恒等变形将原方程的求解归为最简三角方程的求解. ）（1)]([)]([X F XF ϕϕ=类型（F表示某三角函数的符号）例如三角方程 x x 5sin 3sin =, )62()3(ππ-=+x tg x tg 都属于这一类型这类三角方程的基本解法是使方程一端为零，另一端化为积的形式，但也可利用下列具有相同的已知三角函数值的两弧之间的关系求解 )(sin )(sin 10x x ψϕ= 的交分必要条件是 πϕϕk x x k+-=)()1()( , )(z k ∈.︒2)(cos )(cos x x φϕ=的充分必要条件是:φ(x)=Ф(x)+2k π )(z k∈ .︒3 如果)()(x tg x tg φϕ=，那么πφϕk x x +=)()( )(z k∈ .例7.3 解方程 x x 3sin 5sin=.解：(1)将方程变形为:03sin 5sin =-x x .利用和差化积得:4cos sin 2=x x .从而得到最简三角方程:sin =x 或04cos =x .解：(2)由原方程可得:πk x x k+-=3)1(5 )(z k∈.等nk2=时，可解得:84ππ+=n x )(z n ∈.解）3(如果将a3sin与a5sin都用asin 表示，那么原方程便化成)1sin8sin 8(sin 224=+-x x a .由此可得最简正弦方程类型F 与G 表示不同的两个三角函数符号 例8.3 解方程yy 2cos 3sin =解)1(将原方程的两端化为相同名称的三角函数，可得：)22sin(3siny y -=π或yy 2cos )32(cos =-π.于是原方程的求解转化为前一种类型.解)2(使原方程的等式的一段化为零, 将另一端化为积. 解)3(利用倍角公式将方程两端都用ysin 表示.可得1sin 3sin2sin423=+--y y y左端分解因式后便可得最简正弦方程 (3) cy b y a =+cos sin , (c b a ,,都是常数，并且a 与b 都不等于零)类型如果 0≠c 并且222cb a =+，以a 除原方程的两端.得 ac y a b y =+cos sin因为+∞<<∞-ab ，于是可设ab arctg=ϕ，从而有 ac y y =+cos cos sin sinϕϕ又可化为ϕϕϕcos cos sin cos sin ac y y =+，即 ϕϕcos )sin(ac x =+因为222cba ≥+所以11cos 222222≤+=+=+=bac bac tg a c ac ϕϕ从而有πϕϕn ac y n+-=+)cos arcsin()1(， ϕϕπ--+=)cos arcsin()1(ac n yn)(z n ∈)4(关于ysin与ycos的齐次式的三角方程coscossincos sin sin 222110=++++--y a y a y y a y a nn n n n1如果0≠a ，则以ycos （ycos不等于零，若0cos=y ，则导致)0cos sin ==y y除方程的两端，于是得到与原方程同解得方程sin110=+++-n n na y a y tga这是关于tgy 的代数方程，由此可得tgy 的值，便得到以正切函数表示的最简三角方程2如果,0110====-k a a a 但0≠ka ，则方程可化为)coscos sinsin(cos11=+++---+-y a y y a y a y kn n k n k kn k k由此可得0cos =y 或coscos sin sin11=+++---+-y a y y a y a kn n k n k kn k这后一个方程可按01的方法求解.)5(方程中含有未知数的各项可化为同一未知数的同一个三角函数的三角方程例9.3 解xx x x 5sin 3sin 7sin sin=将原方程的两端化为三角数式的差 ， 得28cos 2cos 2cos8xcos6x xx -=-从而有 xx 2cos 6cos=这个方程可按)]([)]([x F x F ψϕ=类型的解法求解.。
浅谈几种特殊高次方程的解法随着数学研究的不断深入，复杂的数学问题也越来越多，其中高次方程也是让许多研究者饱受其苦。
特殊高次方程，更是让人头疼不已，摆在面前的只有乏味的分析法，甚至无解可言，我们如何才能快速有效地解决特殊高次方程呢？以下我将浅谈几种特殊高次方程的解法，以供参考。
首先是二次方程的解法，更精确地说应该是一元二次方程的解法。
一元二次方程的标准形式如ax+bx+c=0，其解的公式为x=(-b±√(b-4ac))/2a，其中a≠0.由此可以看出，若a=0，则这个方程恰好是一元一次方程，其解为x=-c/b。
第二种特殊高次方程解法是立方根解法。
立方根解法是一种解三次方程的方法，它可以帮助我们快速求解 cubxi + bx + cx + d = 0样的三次方程，其中a≠0.立方根解法的基本步骤是：(1)先我们要将方程化为 y + py + q = 0标准形式，其中p=b/a, q=c/a。
(2)后我们需要计算出Δ=q/4+p/27，Δ>0时方程有一个实根x1，Δ=0时方程有三个实根，其中一个x1=Δ=0时方程有三个实根，Δ<0时方程有三个不同实根。
(3)后我们根据Δ的值，使用立方根解法计算出方程的解。
第三种特殊高次方程解法是因式分解解法。
这种解法可以用来解任意一次以上的一元高次方程，因此也称为因式分解法。
它的基本思想是将原方程中的各个项及其系数分解为于求解的一元低次方程，最后把所得的低次方程解的结果以适当的方式组合起来，得到原方程的解。
因式分解解法的步骤如下：(1)先我们将方程化为如下形式：ax+bx-1+cx-2 +....+p=0，其中a≠0(2)后我们将该方程分解为n个一元低次方程：ax+bx+c=0,ax+bx+c=0,....,ax+bx+c=0。
(3)着我们依次用适当的方法解上述n个低次方程，并把最终所得解以适当的方式组合起来，得到原方程的解。
最后，需要提醒的是，每一种解法都有其局限性，比如立方根解法只能用来解三次方程，而因式分解解法则只适用于解一元高次方程。
类型方程求解技巧在解决数学问题时，特别是在解决方程时，掌握一些类型方程求解技巧非常重要。
本文将介绍一些常见的类型方程求解技巧，帮助读者在解决数学问题时更加得心应手。
一、线性方程线性方程是最简单的一类方程，形如ax + b = 0。
解决线性方程最常用的方法是移项和因式分解。
具体步骤如下：1. 移项：将方程中的项移到等式两边，使得等式两边只有一个未知数。
2. 因式分解：如果方程两边存在公因式，可以通过因式分解来简化方程，使得求解更加容易。
二、二次方程二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
二次方程的求解有多种方法，包括求平方根法、配方法和因式分解法。
1. 求平方根法：如果二次方程的解为实数，可以通过求平方根的方法来求解。
具体步骤如下：a. 将方程移项，整理成x^2 = -bx/a - c/a的形式。
b. 对等式两边进行平方根运算，得到x = ±√(-bx/a - c/a)的解。
2. 配方法：如果二次方程的项较多且不易求平方根，可以通过配方法来求解。
具体步骤如下：a. 将方程移项，整理成ax^2 + bx + c = 0的形式。
b. 通过添加一个辅助常数d，将方程转化成(a + d)x^2 + bx + c + bd = d的形式。
c. 引入一个三角函数，使得方程左边的二次项可以配方为平方平方的形式。
d. 将配方后的方程两边整理，得到解析解。
3. 因式分解法：如果二次方程可以因式分解，可以通过因式分解法来求解。
具体步骤如下：a. 将二次方程移项，整理成(ax^2 + bx + c)(dx + e) = 0的形式。
b. 对方程左边进行因式分解，得到解析解。
三、一元高次多项式方程一元高次多项式方程即含有一元高次项的多项式方程。
对于一元高次多项式方程的求解，可以使用因式分解法或者数值逼近法。
具体步骤如下：1. 因式分解法：如果一元高次多项式方程可以因式分解，可以通过因式分解法来求解。
浅谈几种特殊方程的求解【摘 要】 利用代换等数学思维将标准一元三次方程转化为缺二次项型的一元三次方程进行求解；巧妙通过代换配方等方法给出倒数方程的解;利用函数的图像及其性质给出超越方程的数值解.【关键词】 一元三次方程；倒数方程；超越方程通过对一元一次方程、一元二次方程的初步学习，我们已经了解到运用方程去解决一些数学问题以及生活问题是非常清晰、简单明了的，那么如何通过已知方程得出方程的解呢？我们如何运用已学的知识方法来给出一些特殊方程的解呢？本文将着重给出三类特殊方程的一些求解方法.一 一元三次方程的特殊解法当方程未知数最高次数高于二次时我们称之为高次方程. 四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法，有各自的求根公式，但是五次和五次以上的一元整式方程就不存在用根号表示根的一般公式，所以，对于一元代数方程的求解，只能局限于一些特殊类型的方程.方程的变换：解一元高次方程除去使用降次这一基本方法以外，有时还需要把方程作适当的变换，使它变为便于求解的形式.常用的变换方法有以下三种：定理1 方程0)(=ky f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根的k 倍. 证：设),,3,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根.因为0)(=i a f ，所以0)()(==i ia f kka f .因此，i ka 是n 次方程0)(=k y f 的根.因为0)(=k y f 只有n 个根，所以，0)(=ky f 的各个根分别是0)(=x f 的各个根的k 倍.定理2 方程0)(=+k y f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根减去k .证：设),,3,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根.因为0)(=i a f ，所以0)(])[(==+-i i a f k k a f .因此，k a i -是n 次方程0)(=+k y f 的根.因为0)(=+k y f 只有n个根，所以0)(=+k y f 的各个根分别等于0)(=x f 的各个根减去k .如果要将多项式n n n n a x a x a x a x f ++++=-- 22110)(化为不含1-n 次项的多项式，那么只要将)(x f 表示为)(1n a x --的幂构成的多项式，即经过代换n au x 1-=，可化为不含1-n 次项的多项式.这是因为n n n n a n a u a n a u a n a u n a u f ++-+-+-=--- 21211111)()()()(，将)(1nau f -表示为)(u g ，则.)(1111 +++-=--n n nu a ua u u g +=n u u g )(，这里的圆点表示关于u 的次数低于1-n 的各项的和.因为)]([)()()(11nax g n a x g u g x f --=+==，所以，这一变换实际上是将多项式)(x f 变换成由)(1na x --的幂构成的多项式. 定理 3 如果方程0)(=x f 没有等于零的根，那么方程0)1(=yf 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根的倒数.证：设),,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根，并且0≠i a .因为0)(=i a f 所以0)()11(==i ia f a f .因此i a 1是0)1(=y f 的根.因为n 次方程只有n 个根，所以0)1(=y f 的各个根分别是0)(=x f 的各个根的倒数.一元三次方程的一般形式是)0(023≠=+++a d cx bx ax ，把它的各个根减去ab3-，并且设2233ab ac p -=，332279227a abc bd a q -+=，就可以变换成一个不含有二次项的方程（未知元仍然用x 表示）03=++q px x .所以，研究三次方程的解法，只需要研究这种形式的方程.1 03=++q px x 型的卡当公式设v u x +=，于是uvx v u v u uv v u x 3)(333333++=+++=，即0)(3333=+--v u uvx x ，从而有uv p 3-=，)(33v u q +-=.根据一元多项式根与系数的关系可知33,v u 是二次方程02732=-+p qy y 的两个根，解这个二次方程，得2742323p q q u ++-=，2742323p q q v ---=（1），并且满足3puv -=（2），设1u 是（1）的任意一个解，则u 的另外两个解分别为21312,w u u w u u ==，这里的w 是1的三次单位根.由（2）得与321,,u u u 相应的v 的三个解是w v v w v v u pv 1321211,,3==-=.因此，03=++q px x 三个解的公式是33233211127422742pq q p q q v u x +--+++-=+=,332233222227422742p q q w p q q w v u x +--⋅+++-⋅=+=，332332233327422742p q q w p q q w v u x +--⋅+++-⋅=+=.例1. 解方程0316633=-+x x解： 这里的316,63-==q p ，代入公式得：43727634)316(231627634)316(23163323321=-=+----++-+--=x222 732x w w w w ==-=-+i w w w w x 3523727634)316(231627634)316(2316233233223--=-=+----⋅++-+--⋅= 2 b ax x =+33型韦达天才解法 韦达采取换元思想，巧妙令y yax -=，则原方程化为关于3y 的二次方程0336=-+a by y ，解之求出3y ，再求y 求x .再解例1，令y yx -=21，这里316,21363===b a ，则原方程化为021316336=-+y y .解之1851582214316316323±-=⨯-±-=y =27或-343.得3=y 或7-=y ，则4=x ,求出x 的一个解，其他两个解就不难求出了. 3 双试位法求近似解利用逼近思想，设1x 和2x 在方程0)(=x f 根的两边，并且得接近x 的两个数，则连接（)(,11x f x ）和))(,(22x f x 的弦与x 轴交点给出所求的一个近似值)()()()(2121123x f x f x f x x f x x --=.这种方法局限于只能求出一个解而且是近似解再解例1: 解方程0316633=-+x x 在3与5之间的根.解:1003163633)3(3-=-⨯+=f 1243165635)5(3=-⨯+=f则89.32248721241001243)100(53≈--=--⨯--⨯=x ,这个近似解和上面两种解法得到的结果是一致的.4 不完全三次方程03=++c bx ax 几何求法在直角坐标系中，画出3x y =和0=++c bx ay 就可得其根，这里不作详细介绍.二 倒数方程的求解何谓倒数方程?与首末两端等距的任何两项系数都相等的一元n 次方程，叫做倒数方程或叫反商方程.形如：)0(000122111122212120≠=++++++++++--+---a a x a x a x a x a x a x a x a x a m m m m m m m m m（第一种偶次倒数方程）)0(0001121120≠=+++++++++b b x b x b x b x b x b m m m m m m (第一种奇次倒数方程) )0(00012121220≠=----++++++c c x c x c x c x c x c m m m m m m (第二种偶次倒数方程) )0(0001121120≠=----+++++d d x d x d x d x d x d m m m m m m (第二种奇次倒数方程)其特点是：方程的左边（称为倒数多项式）是与首末两项等距的任何两项的系数都相等（A 型）或互为相反的数（B 型）倒数方程有以下性质：a.倒数方程的根不等于0b.若α是倒数方程的根，那么α1也是这个方程的根c. 第一种偶次倒数方程又称为标准倒数方程，其他各类（第一种奇次, 第二种偶次, 第二种奇次）倒数方程，都可以归结到标准型方程加以求解1 两项型倒数方程的巧解定理4 方程aba x fb x f +=+)()(①与方程a x f =)(和a b x f =)(是同解方程，其中0)(≠x bf 当定理中的1,)(±==b x x f 时，方程①便简化成aa x x 11±=±②，方程②的两边各由两个互为倒数或互为负倒数的式子组成，它的两个解也互为倒数或互为负倒数，因此在形如方程②这类最简单的两项型倒数方程时，不必再作复杂的变形而从头解起，同时也可以省去检验这个步骤.例2 解方程381=-x x 略解：原方程化为3131-=-x x ，由定理知31,321==x x .2 偶次倒数方程的解法第一种偶次倒数方程---标准型倒数方程，其解法为：用mx去除方程两边：0011110=++++++--mm m m m x a x a a x a x a ，然后设y x x =+1，将原方程降为m 次方程求解. 例3 解方程0231632234=++-+x x x x解：0≠x ，方程两边同除以2x 得223223160x x x x +-++=020)1(3)1(22=-+++⇒xx x x 令y x x =+14,2502032212-==⇒=-+⇒y y y y 21,2212121==⇒=+⇒x x x x21,2212121==⇒=+⇒x x x x对于第二种偶次倒数方程，可将方程的左边倒数多项式分解成包含)1(+x ,)1(-x 及标准型倒数多项式的积，然后再按标准型倒数方程的解法加以求解.例4 解方程025*******456=-++--x x x x x解：对方程左边倒数多项式进行因式分解0)25852)(1(2342=+----⇒x x x x x⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-⇒)2(025852)1(012342x x x x x ,由(1)得:1,121-==x x (2)两边同时除以2x 得:08)1(5)1(222=-+-+x x xx ,令y x x =+1 23,401252212-==⇒=--⇒y y y y ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+23141x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧±-=±=⇒473326,54,3i x x 故原方程的根分别为473,32,1i±-±±. 3 奇次倒数方程的解法第一种奇次倒数方程，可将方程左边的倒数多项式分解成含)1(+x 与标准型倒数多项式的积，然后按标准型倒数方程加以求解.例5 解方程0233223=+--x x x解：将原方程化为0)252)(1(0)1(3)1(223=+-+⇒=+-+x x x x x x01=+⇒x 或2,21,102523212==-=⇒=+-x x x x x . 第二种奇次倒数方程，可将方程左边的倒数多项式分解成含)1(-x 与标准型倒数多项式的积，然后再按标准型倒数方程加以求解例6 解方程0125522345=--+-+x x x x x 解：将原方程化为0)1(5)1(2)1(235=---+-x x x x x0)1323)(1(234=++-+-⇒x x x x x ⎩⎨⎧=++-+=-⇒)4(01323)3(01234x x x x x 由（3）得11=x ，(4)是标准倒数方程，按照前面所给的方法进行求解得32,2315,43,2±-=±-=x ix . 4 其他倒数方程的解法有一类高次方程，从表面上看不像是倒数方程，但通过因式分解、换元及适当整理等同解变形后，可以化为我们所熟悉的倒数方程加以求解.下面举例加以说明.例7 解方程0)1(27)1(42232=--+-x x x x解：从形式上看，它不是倒数方程.但展开得)5(0412326312423456=+--+--x x x x x x3)5(x ÷⇒026)1(3)1(12)1(42233=++-+-+xx x x x x ,令y x x =+1⇒0)52)(2(05015124223=-+⇒=+--y y y y y25,2321==-=⇒y y y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+⇒25121x x xx ⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒2,2116,54,32,1x x x .三 超越方程的特殊解法所谓超越方程就是等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程，如指数函数、对数函数、三角函数等.众所周知，这类方程一般是没有统一的求解方法的，解这类方程，对于初学者来说，往往感到无从下手，很是困难.因此，下面介绍函数的某些性质或图像在解这类方程中的妙用. 1 利用函数的有界性在解某些超越方程时，若能够巧妙、合理地应用函数的有界性可使问题简捷获解. 例8 解方程N n x x nn ∈=-,1sin cos 解：对n 分两种情况讨论A 当n 是偶数时，则,0sin ,0cos ≥≥x x n n 将原方程改为,1sin cos +=x x nn 1cos ≤x n,而∴≥+,1sin 1x n要使等号成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==0sin 1cos x x nn,即⎩⎨⎧=±=0sin 1cos x x ，于是)(z k k x ∈=π是当n 为偶数时原方程的解B 当n 是奇数时，由于01sin cos ≥+=x x n n 与01cos sin ≤-=x x nn1cos 0≤≤⇒x 与0sin 1≤≤-xi 当0sin =x 时,代入原方程得z k k x x ∈=⇒=,21cos πii 当1sin -=x 时，代入原方程得z k k x x ∈-=⇒=,220cos ππiii 当0sin 1<<-x 时，则,1cos 0<<x①若1=n 时有1cos sin cos sin cos 122=+>+=-=x six x x x x x 矛盾，即原方程无解.②若n 是大于等于3的奇数时, nnnn x x x x sin cos sin cos 1+=-=1sin cos 22=+<x x 矛盾，即原方程无解.综上所述，当n 是偶数时，原方程的解是)(z k k x ∈=π， 当n 是奇数时，原方程的解是πk x 21=，z k k x ∈-=,222ππ.2 应用函数的极限应用函数的极值和不等na a a a a a nn n ++≤2121，其中n i a i 2,1,0=>解某些超越方程方法新颖，简洁明快.例9解方程2)10189(log )(cos )cot(2312++-=y y xy xy解：由于2)(2sin 2)cos()cot()(cos )cot(22≥==xy xy xy xy xy ，而∴≥+-=+-,11)1(91018922y y y 01log )10189(log 31231=≤+-y y⇒22)10189(log 231≤++-y y要使等号成立，当且仅当⎩⎨⎧==1)(2sin 1xy y ⎪⎩⎪⎨⎧∈+==⇒πππk k x y ,21 综上所述，原方程的解是⎪⎩⎪⎨⎧∈+==πππk k x y ,21. 3 利用函数的单调性例10 解方程xxx543=+解：显然2=x 是原方程的一个根，下面我们利用函数的单调性来说明原方程只有唯一根2=x 事实上，原方程可以改写为1)54()53(=+x x ，已知)10(<<=a a y x是严格减函数，所以，当2>x 时有1)54()53()54()53(22=+<+x x ；当2<x 时有1)54()53()54()53(22=+>+x x ，这表明任何不等于2的R x ∈都不是原方程的解，故2=x 是原方程的唯一解.一般地，若已知c b a ,,是正实数，且c b c a >>,或c b c a <<,时，方程xx x c b a =+有一个解，且它的解是惟一的.事实上，已知0,0>>>>c b c a 可将原方程改为1)()(=+xxcb ca ，设0x x =是原方程的解，即1)()(00=+x x cbc a ，已知)1(>A A x 是严格增函数，所以.当时有0x x <1)()()(00=+<+x x x x c b c a c b c a ）（，当时有0x x >1)()()(00=+>+x x x x cb c a c b c a ）（，这表明任何不等于0x 的实数x 都不是原方程的解，所以原方程的解是唯一的.同理可证c b c a <<<<0,0的情况从略.4 利用函数的图像利用函数的图像解某些方程直观明了，可起到化繁为简、化难为易的功效 例11 b 是参数，讨论方程b x x x +=-236的解的个数情况.解：该题目若将b 分为各种情况爱讨论方程解的个数，显然麻烦，若借助函数的图像就方便得多.在同一直角坐标系中，作出函数)20(362≤≤-=x x x y 与b x y +=的图像，并注意b x y +=的图像是平行于x y =的一组平行线，且随参数b 的变化而变化，这两个图像交点的个数就是方程解的个数（图1）由图1可以看出：①当02-<≤b 或1b =时方程有一个解 ②当1b 0<≤时方程有两个解 ③当1>b 或2<b 时方程无解5 利用反函数的对称性已知互为反函数的两个函数的图像关于直线x y =对称，利用这一性质可以简化某些方程的解法.例12 在实数范围内，解方程x x x x --=++21222122 解：方程的定义域是221<≤x ，因为函数22122++=x x y 与xx --=212y 互为反函数，所以它们的图像关于直线x y =对称，故两个图像的交点必在直线x y =上，因此方程x x x =++22122的解1=x 就是原方程的一个解.从上面的例子我们可以看到，函数性质及图像对解某些超越方程的确有它的独特作用，倘若能熟练的运用，可以解决一些难以解决的问题.以上是本文作者搜集大量资料，归纳总结出的一些常见的，我们通过中学知识就可以求出的三类特殊方程的常用求解方法，相信通过本文读者不会再对这几类特殊方程束手无策了.另外，通过以后更深层次的学习，解决这类问题的方法也将会越来越多.参考文献[1]余元希.初等代数研究(上册)[M].高等教育出版社,1988. 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