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数学解决复杂方程的三种方法数学方程是数学领域中常见的问题，解决复杂方程需要运用特定的方法和技巧。
本文将介绍三种常用的方法来解决数学中的复杂方程。
1.因式分解法因式分解法是解决数学方程的常见方法，尤其适用于多项式方程。
通过将方程转化为其因式的形式，可以简化计算过程。
为了演示这种方法，我们以一个示例方程为例：X^2 + 5X + 6 = 0为了解这个方程，我们首先要将其转化为因式的形式。
通过观察，我们可以发现该方程的因式为：(X + 2)(X + 3) = 0得到这个因式后，我们可以将每一个因式设置为零，得到两个解：X + 2 = 0 或 X + 3 = 0解方程得到：X = -2 或 X = -32.配方法配方法也是解决复杂方程的一种有效方法。
它适用于求解二次方程以及特定的高阶方程。
我们以一个二次方程为例：X^2 + 6X + 9 = 0这个方程不能直接进行因式分解，因此我们需要应用配方法。
配方法的关键是找到一个合适的常数，使得加入这个常数后方程可以被分解为两个完全平方的和：(X + a)^2 + b = 0观察给定的方程，我们可以发现X^2 + 6X + 9可以写成(X + 3)^2，即：(X + 3)^2 = 0接下来，我们将方程开根号，得到：X + 3 = 0解方程得到：X = -33.代入法代入法是一种比较灵活的方法，适用于各种类型的方程。
通过将已知方程中的一个变量表达式代入到另一个方程中，我们可以简化方程并得到解。
为了说明这种方法，我们以联立方程为例：2X + 5Y = 103X - 2Y = 1我们可以选择其中一个方程（比如第一个方程）解出一个变量（比如Y），然后将该变量的表达式代入第二个方程中，得到一个新的方程：Y = (10 - 2X)/5将这个表达式代入第二个方程中，可以得到：3X - 2(10 - 2X)/5 = 1通过化简这个方程，我们可以解出X的值。
进一步代入第一个方程，可以求得Y的值。
特殊代数方程的几种解法一. 换元法例1. 解方程解析：这是一个一元高次方程，观察方程各项系数的特点，可发现方程中各项系数关于中间项是对称的，且，因此，给方程两边同除以，得：令，则，即得解得：代入令式得：本题所给方程称之为倒数方程，一般要通过观察找到各项之间的关系，然后利用换元法求解，解这类较为复杂的方程换元法通常是一种常用的技巧。
二. 配方法例2. 解方程解析：由于此方程给出的项中含有两个未知数，通过配方，再利用非负实数的性质，将其转化为关于x、y的方程组来解。
原方程可化为：即有因为解得配方法是一种常见的解方程的有效方法，要做到灵活应用，需要举一反三的训练。
同学们不妨试做下列一题加以巩固：解方程［］三. 变更主元法例3. 已知，解关于x的方程解析：若直接按x解这个方程，次数较高，无从下手。
若注意到参数a的最高次幂仅为二次，所以可采用变更主元的方法，视a为主变量，x为“常量”即可方便求解。
原方程变形为：解得或即或解得：或变更主元法主要运用于转化变量与参数或常数的位置关系，以达到化繁为简的目的。
此种解法可以说是一种逆向思维法，再看下列一例：例4. 解方程解析：观察这个方程系数11多次出现，即可通过“常值代换”，进行逆向转换，然后转化成二次方程求解。
令，原方程变形为：解得或即或解得，四. 综合法例5. 解方程解析：由于与互为倒数，本题可有如下综合解法。
令，，则有所以a、b是方程的解解这个关于t的方程，得所以或解得或.。
分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。
其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。
但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。
因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。
1. 分组通分例1 解方程65327621--+--=--+--x x x x x x x x 分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。
解：移项，得21653276-----=-----x x x x x x x x 两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4--=--x x x x 所以)2)(6()3)(7(--=--x x x x 解得29=x 经检验，知29=x 是原方程的根。
2. 用“带余除法”将分子降次例2 解方程x x x x x x x 211112323=+--++++ 分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。
解：原方程可化为x x x x x x x 212112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-所以121222+-=++x x x x 即1122+-=++x x x x所以002==x x ，经检验，知x=0是原方程的根。
3. 拆项相消例3 解方程 1011009900199165123112222=+++++++++++x x x x x x x x 分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有AB A B -的形式。
因此，可用BA AB A B 11-=-将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。
解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1=+++++++++++x x x x x x x x 拆项得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-100199131212111111x x x x x x x x 101100= 化简得10110010011=+-x x 即01011002=-+x x 解得101121-==x x ， 经检验，知11=x 和1012-=x 都是原方程的解。
浅谈线性微分方程的若干解法
线性微分方程是微分方程的一种特殊形式，它的解法有若干种。
本文将从常数变易法、特征根法和伯努利方程三个方面讨论线性微分方程的解法。
1. 常数变易法：常数变易法适用于一阶线性微分方程，形如y'+P(x)y=Q(x)。
首先求出对应的齐次方程y'+P(x)y=0的通解y_c(x)，然后假设非齐次方程的解y_p(x)为常数C(x)乘以y_c(x)，即y_p(x)=C(x)y_c(x)。
将这个解代入非齐次方程中可得到C(x)的表达式，进而得到非齐次方程的通解y(x)=y_c(x)+y_p(x)。
2. 特征根法：特征根法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，形如y''+ay'+by=0。
首先求出对应的特征方程r^2+ar+b=0的根r_1和r_2，如果r_1≠r_2，则通解为
y(x)=C_1e^(r_1x)+C_2e^(r_2x)，其中C_1和C_2为常数；如果r_1=r_2=r，则通解为
y(x)=(C_1+C_2x)e^(rx)，其中C_1和C_2为常数。
常数变易法适用于一阶线性微分方程，特征根法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，伯努利方程适用于一阶非线性微分方程。
这些方法在求解线性微分方程时都有一定的局限
性和适用条件，需要根据具体的微分方程形式来选择合适的解法。
初中数学特殊方程组的特殊解法有些二元一次方程组有特殊的结构，选择适当的方法可以使方程组的求解变得简单易行：1、换元法例1 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+.16y x 2y x ,1)y x (4)y x (3 分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应该先将每一个方程都进行化简，化成二元一次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。
但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x ＋y ）和（x －y ）两种，可以把它们分别看成一个整体，利用换元法解（通过阅读下面的解答，你会明白什么是换元法）。
解：设.y x b ,y x a -=+= 原方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.16b 2a ,1b 4a 3解得⎪⎩⎪⎨⎧==.1b ,35a 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.1y x ,35y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31y ,34x例2 解方程组⎩⎨⎧=-=+.35y 5|x |4,9y 2|x |3 分析：方程组中的|x|不要一开始就讨论，先用换元法将方程组化成一般形式，最后一步再去掉绝对值符号。
解：设|x |a =。
原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+.35y 5a 4,9y 2a 3解得⎩⎨⎧-==.3y ,5a 所以⎩⎨⎧-==.3y ,5|x |所以原方程组的解为⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==.3y ,5x ,3y ,5x 22112、连等式方程组的解法 例3 解方程组.33y x 5y x 2=+=- 分析：这是一个连等形式的方程组，可以写成如下一般形式的方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-;35y x 2,3y x 5y x 2 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-;33y x ,3y x 5y x 2 （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-.33y x ,35y x 2 其中最简单的是方程组（3）。
如果⎩⎨⎧==b y ,a x 是方程组（3）的解，那么它一定满足35y x 2=-和33y x 5y x 2=+=-。
教学实践新课程NEW CURRICULUM 摘要：方程是研究事物间的等量关系，并为人们提供已知量推求未知量的重要方法。
它是代数学最基本的内容之一。
对于一元高次方程的求解，只限于一些特殊类型的方程。
关键词：一元；高次；特殊；方程一般的，我们把a n x n +a n -1x n-1+…+a 1x +a 0=0（a n ≠0，n ≥2且n ∈N ）的方程，叫做一元高次方程。
为了求解一元高次方程，我们可以采用“判根法”“因式定理及综合除法法”“倒数方程求根法”“三项方程换元法”等。
一、±1判根法例1.解方程x 4+x 3-6x 2-x +5=0解：因为原方程各项系数之和为1+1-6-1+5=0（注：把常数项算在偶数项系数中）由口诀“系和1，+1根”，即：原方程一定有一个因式为x -1，利用综合除法原方程可分解为（x -1）（x 3+2x 2-4x -5）=0，再观察方程x 3+2x 2-4x -5=0的偶次项系数之和为2-5=-3，奇次项系数之和为1-4=-3，由口诀“偶等奇，根-1”，即此方程一定有因式x +1，再一次使用综合除法，得：x 3+2x 2-4x -5=（x +1）（x 2+x -5）=0，利用一元二次方程的求根公式：x 2+x -5=（x --1+21√2）（x --1-21√2），从而x 4+x 3-6x 2-x +5=（x -1）（x +1）（x --1+21√2）（x --1-21√2）=0即：原方程的根为：-1，1，-1+21√2，-1-21√2。
二、因式定理①及综合除法法例2.解方程3x 3-2x 2+9x -6=0解：可能的试除数为：±1，±2，±3，±6，±13，±23，因为f （x ）=3x 3-2x 2+9x -6的奇次项系数为正，偶次项系数为负，故只选1，2，3，6，13，23。
因为f （1）≠0，排除。
特殊分式方程的几种特殊解法解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法，会简化解题过程。
一. 比例法例1. 解方程x x a b a bb -+=-+≠110() 分式：观察方程，形如：A B D C =的形式，可根据比例“两外项之积等于两内项之积”而直接求解。
解：原方程化为()()()()x a b a b x -+=-+11整理得22bx a =b x a b ≠∴=0，例2. 解方程：23313222--=-+x x x x 解：原方程化为()()()()23223231-+=--x x x x整理得137x =，∴=x 713经检验x =713是原方程的根。
二. 换元法例3. 解方程y y y y -+-+-=324830 分析：本题若移项，形如A B D C=，如果用比例法则去分母后方程变为324702y y ++=，对一元二次方程我们还不能求解。
因此，经观察发现483423y y y y +-=⋅+-，其中y y +-23与y y -+32互为倒数关系，可利用换元法简便求解。
解：设y y A -+=32，则原方程变形为A A-=40 整理得A 24= ∴=±A 2当A =2时，y y -+=322，解得y 17=-； 当A =-2时，y y -+=-332，解得y 213=- 经检验，y y 12713=-=-，都是原方程的解。
例4. 解方程组32511442x y x y y x x y --+=--+=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()分析：方程（1），（2）中都含有11x y x y -+，，因此可运用换元法， 设11x y a x yb +=-=， 则方程组变形为32544b a b a -=+=⎧⎨⎩解这个二元一次方程组，求出a 、b 的值，代入11x y x y+-和中，即可解出x ，y 的值。
数学问题：解决复杂方程的常用方法引言解决复杂方程是数学中重要的任务之一。
无论是在纯粹的理论研究还是实际应用中，我们经常需要找到方程的解。
本文将介绍一些常用的方法来解决复杂方程。
1. 代数ic方法代数ic方法是通过代数运算对方程进行求解的一种方法。
下面列出了三种经典的代数ic方法：1.1 因式分解法因式分解法适用于具有明显因子项的多项式方程。
首先，我们观察方程是否可以进行因式分解，并将其写成多个乘积形式，然后令每个因子等于零，再求解得到方程的根。
例子：考虑如下方程：x^2 - x = 0 我们可以将该方程因式分解为 x(x-1) = 0，并得到两个根x=0和x=1。
1.2 全等变换法全等变换法是通过对等价关系进行变换来简化或转换方程的求解过程。
通过使用合适的等价变换规则，我们可以将复杂的方程转化为简单易解的形式。
例子：考虑如下非线性方程：x^2 + 4x + 4 = 0 通过将方程进行平移，我们得到(x+2)^2 = 0，从而解得唯一根x=-2。
1.3 系数比较法系数比较法是通过观察多项式方程的系数之间的关系来求解方程。
通过比较系数，我们可以获得一些等式或不等式，然后根据这些关系求解方程。
例子：考虑如下二次方程：ax^2 + bx + c = 0 通过比较系数的大小和符号，我们可以推导出判别式D=b^2-4ac的值与方程根的关系。
如果D>0，则有两个实根；如果D=0，则有一个实根；如果D<0，则有两个复数根。
2. 数值近似法当遇到无法用代数方法直接求解的复杂方程时，我们可以利用数值近似法来获取近似解。
以下是几种常见的数值近似方法：2.1 迭代法迭代法是一种逐步逼近真实解的方法。
它基于初始猜测，并使用递归公式反复迭代直到满足预设精度要求为止。
例子：考虑如下非线性方程：f(x)=0 我们可以选择一个初始猜测值x_0，并使用递归公式x_{n+1}=g(x_n)进行迭代，直到达到预设的精度要求。
高难度技巧方程求解在数学中，方程求解是一种常见的技巧，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。
然而，有些方程难度较高，需要运用一些特殊的技巧和方法来求解。
本文将介绍一些高难度技巧方程求解的方法。
一、分解方程有些方程的难度在于它的形式非常复杂或者未知数之间存在很多交叉项。
这时可以尝试将方程分解成多个简单的部分，然后逐个求解。
例如，对于一个三次方程 x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0，我们可以尝试将其分解成两个二次方程的乘积：(x^3 - 3x^2) + (x - 3) = 0x^2(x - 3) + 1(x - 3) = 0(x^2 + 1)(x - 3) = 0然后，我们可以分别求解两个简单的二次方程x^2 +1 = 0 和 x - 3 = 0，得到解 x = ±i 和 x = 3。
二、代入法有些方程的难度在于未知数之间存在复杂的关系，很难直接解出。
这时可以尝试引入一个新的未知数，然后代入原方程，通过求解新方程来得到原方程的解。
例如，对于方程 x^3 + 2x + 1 = 0，我们可以引入一个新的未知数 y = x + 1，然后代入原方程：(y - 1)^3 + 2(y - 1) + 1 = 0y^3 - 3y^2 + 4y = 0通过求解新方程y^3 - 3y^2 + 4y = 0，我们可以得到解 y = 0、y = 1 和 y = 4，然后再通过反向代换得到原方程的解 x = -1、x = 0 和 x = 3。
三、递推法有些方程的难度在于它涉及到数列或递推关系。
这时可以通过逆向求解的方法来得到方程的解。
例如，对于方程x^3 - 3x + 1 = 0，它的难度在于无法直接求解。
然而，我们可以利用一个已知的递推关系来求解。
假设数列 {a_n} 满足递推关系 a_n = 3a_{n-1} - a_{n-2}，并且已知 a_0 = 1 和 a_1 = 3。
我们可以尝试找到一个数列和方程的关系，将方程转化成求解数列的问题。
浅谈几种特殊方程的求解【摘 要】 利用代换等数学思维将标准一元三次方程转化为缺二次项型的一元三次方程进行求解；巧妙通过代换配方等方法给出倒数方程的解;利用函数的图像及其性质给出超越方程的数值解.【关键词】 一元三次方程；倒数方程；超越方程通过对一元一次方程、一元二次方程的初步学习，我们已经了解到运用方程去解决一些数学问题以及生活问题是非常清晰、简单明了的，那么如何通过已知方程得出方程的解呢？我们如何运用已学的知识方法来给出一些特殊方程的解呢？本文将着重给出三类特殊方程的一些求解方法.一 一元三次方程的特殊解法当方程未知数最高次数高于二次时我们称之为高次方程. 四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法，有各自的求根公式，但是五次和五次以上的一元整式方程就不存在用根号表示根的一般公式，所以，对于一元代数方程的求解，只能局限于一些特殊类型的方程.方程的变换：解一元高次方程除去使用降次这一基本方法以外，有时还需要把方程作适当的变换，使它变为便于求解的形式.常用的变换方法有以下三种：定理1 方程0)(=ky f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根的k 倍. 证：设),,3,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根.因为0)(=i a f ，所以0)()(==i ia f kka f .因此，i ka 是n 次方程0)(=k y f 的根.因为0)(=k y f 只有n 个根，所以，0)(=ky f 的各个根分别是0)(=x f 的各个根的k 倍.定理2 方程0)(=+k y f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根减去k .证：设),,3,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根.因为0)(=i a f ，所以0)(])[(==+-i i a f k k a f .因此，k a i -是n 次方程0)(=+k y f 的根.因为0)(=+k y f 只有n个根，所以0)(=+k y f 的各个根分别等于0)(=x f 的各个根减去k .如果要将多项式n n n n a x a x a x a x f ++++=-- 22110)(化为不含1-n 次项的多项式，那么只要将)(x f 表示为)(1n a x --的幂构成的多项式，即经过代换n au x 1-=，可化为不含1-n 次项的多项式.这是因为n n n n a n a u a n a u a n a u n a u f ++-+-+-=--- 21211111)()()()(，将)(1nau f -表示为)(u g ，则.)(1111 +++-=--n n nu a ua u u g +=n u u g )(，这里的圆点表示关于u 的次数低于1-n 的各项的和.因为)]([)()()(11nax g n a x g u g x f --=+==，所以，这一变换实际上是将多项式)(x f 变换成由)(1na x --的幂构成的多项式. 定理 3 如果方程0)(=x f 没有等于零的根，那么方程0)1(=yf 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根的倒数.证：设),,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根，并且0≠i a .因为0)(=i a f 所以0)()11(==i ia f a f .因此i a 1是0)1(=y f 的根.因为n 次方程只有n 个根，所以0)1(=y f 的各个根分别是0)(=x f 的各个根的倒数.一元三次方程的一般形式是)0(023≠=+++a d cx bx ax ，把它的各个根减去ab3-，并且设2233ab ac p -=，332279227a abc bd a q -+=，就可以变换成一个不含有二次项的方程（未知元仍然用x 表示）03=++q px x .所以，研究三次方程的解法，只需要研究这种形式的方程.1 03=++q px x 型的卡当公式设v u x +=，于是uvx v u v u uv v u x 3)(333333++=+++=，即0)(3333=+--v u uvx x ，从而有uv p 3-=，)(33v u q +-=.根据一元多项式根与系数的关系可知33,v u 是二次方程02732=-+p qy y 的两个根，解这个二次方程，得2742323p q q u ++-=，2742323p q q v ---=（1），并且满足3puv -=（2），设1u 是（1）的任意一个解，则u 的另外两个解分别为21312,w u u w u u ==，这里的w 是1的三次单位根.由（2）得与321,,u u u 相应的v 的三个解是w v v w v v u pv 1321211,,3==-=.因此，03=++q px x 三个解的公式是33233211127422742pq q p q q v u x +--+++-=+=,332233222227422742p q q w p q q w v u x +--⋅+++-⋅=+=，332332233327422742p q q w p q q w v u x +--⋅+++-⋅=+=.例1. 解方程0316633=-+x x解： 这里的316,63-==q p ，代入公式得：43727634)316(231627634)316(23163323321=-=+----++-+--=x222 732x w w w w ==-=-+i w w w w x 3523727634)316(231627634)316(2316233233223--=-=+----⋅++-+--⋅= 2 b ax x =+33型韦达天才解法 韦达采取换元思想，巧妙令y yax -=，则原方程化为关于3y 的二次方程0336=-+a by y ，解之求出3y ，再求y 求x .再解例1，令y yx -=21，这里316,21363===b a ，则原方程化为021316336=-+y y .解之1851582214316316323±-=⨯-±-=y =27或-343.得3=y 或7-=y ，则4=x ,求出x 的一个解，其他两个解就不难求出了. 3 双试位法求近似解利用逼近思想，设1x 和2x 在方程0)(=x f 根的两边，并且得接近x 的两个数，则连接（)(,11x f x ）和))(,(22x f x 的弦与x 轴交点给出所求的一个近似值)()()()(2121123x f x f x f x x f x x --=.这种方法局限于只能求出一个解而且是近似解再解例1: 解方程0316633=-+x x 在3与5之间的根.解:1003163633)3(3-=-⨯+=f 1243165635)5(3=-⨯+=f则89.32248721241001243)100(53≈--=--⨯--⨯=x ,这个近似解和上面两种解法得到的结果是一致的.4 不完全三次方程03=++c bx ax 几何求法在直角坐标系中，画出3x y =和0=++c bx ay 就可得其根，这里不作详细介绍.二 倒数方程的求解何谓倒数方程?与首末两端等距的任何两项系数都相等的一元n 次方程，叫做倒数方程或叫反商方程.形如：)0(000122111122212120≠=++++++++++--+---a a x a x a x a x a x a x a x a x a m m m m m m m m m（第一种偶次倒数方程）)0(0001121120≠=+++++++++b b x b x b x b x b x b m m m m m m (第一种奇次倒数方程) )0(00012121220≠=----++++++c c x c x c x c x c x c m m m m m m (第二种偶次倒数方程) )0(0001121120≠=----+++++d d x d x d x d x d x d m m m m m m (第二种奇次倒数方程)其特点是：方程的左边（称为倒数多项式）是与首末两项等距的任何两项的系数都相等（A 型）或互为相反的数（B 型）倒数方程有以下性质：a.倒数方程的根不等于0b.若α是倒数方程的根，那么α1也是这个方程的根c. 第一种偶次倒数方程又称为标准倒数方程，其他各类（第一种奇次, 第二种偶次, 第二种奇次）倒数方程，都可以归结到标准型方程加以求解1 两项型倒数方程的巧解定理4 方程aba x fb x f +=+)()(①与方程a x f =)(和a b x f =)(是同解方程，其中0)(≠x bf 当定理中的1,)(±==b x x f 时，方程①便简化成aa x x 11±=±②，方程②的两边各由两个互为倒数或互为负倒数的式子组成，它的两个解也互为倒数或互为负倒数，因此在形如方程②这类最简单的两项型倒数方程时，不必再作复杂的变形而从头解起，同时也可以省去检验这个步骤.例2 解方程381=-x x 略解：原方程化为3131-=-x x ，由定理知31,321==x x .2 偶次倒数方程的解法第一种偶次倒数方程---标准型倒数方程，其解法为：用mx去除方程两边：0011110=++++++--mm m m m x a x a a x a x a ，然后设y x x =+1，将原方程降为m 次方程求解. 例3 解方程0231632234=++-+x x x x解：0≠x ，方程两边同除以2x 得223223160x x x x +-++=020)1(3)1(22=-+++⇒xx x x 令y x x =+14,2502032212-==⇒=-+⇒y y y y 21,2212121==⇒=+⇒x x x x21,2212121==⇒=+⇒x x x x对于第二种偶次倒数方程，可将方程的左边倒数多项式分解成包含)1(+x ,)1(-x 及标准型倒数多项式的积，然后再按标准型倒数方程的解法加以求解.例4 解方程025*******456=-++--x x x x x解：对方程左边倒数多项式进行因式分解0)25852)(1(2342=+----⇒x x x x x⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-⇒)2(025852)1(012342x x x x x ,由(1)得:1,121-==x x (2)两边同时除以2x 得:08)1(5)1(222=-+-+x x xx ,令y x x =+1 23,401252212-==⇒=--⇒y y y y ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+23141x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧±-=±=⇒473326,54,3i x x 故原方程的根分别为473,32,1i±-±±. 3 奇次倒数方程的解法第一种奇次倒数方程，可将方程左边的倒数多项式分解成含)1(+x 与标准型倒数多项式的积，然后按标准型倒数方程加以求解.例5 解方程0233223=+--x x x解：将原方程化为0)252)(1(0)1(3)1(223=+-+⇒=+-+x x x x x x01=+⇒x 或2,21,102523212==-=⇒=+-x x x x x . 第二种奇次倒数方程，可将方程左边的倒数多项式分解成含)1(-x 与标准型倒数多项式的积，然后再按标准型倒数方程加以求解例6 解方程0125522345=--+-+x x x x x 解：将原方程化为0)1(5)1(2)1(235=---+-x x x x x0)1323)(1(234=++-+-⇒x x x x x ⎩⎨⎧=++-+=-⇒)4(01323)3(01234x x x x x 由（3）得11=x ，(4)是标准倒数方程，按照前面所给的方法进行求解得32,2315,43,2±-=±-=x ix . 4 其他倒数方程的解法有一类高次方程，从表面上看不像是倒数方程，但通过因式分解、换元及适当整理等同解变形后，可以化为我们所熟悉的倒数方程加以求解.下面举例加以说明.例7 解方程0)1(27)1(42232=--+-x x x x解：从形式上看，它不是倒数方程.但展开得)5(0412326312423456=+--+--x x x x x x3)5(x ÷⇒026)1(3)1(12)1(42233=++-+-+xx x x x x ,令y x x =+1⇒0)52)(2(05015124223=-+⇒=+--y y y y y25,2321==-=⇒y y y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+⇒25121x x xx ⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒2,2116,54,32,1x x x .三 超越方程的特殊解法所谓超越方程就是等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程，如指数函数、对数函数、三角函数等.众所周知，这类方程一般是没有统一的求解方法的，解这类方程，对于初学者来说，往往感到无从下手，很是困难.因此，下面介绍函数的某些性质或图像在解这类方程中的妙用. 1 利用函数的有界性在解某些超越方程时，若能够巧妙、合理地应用函数的有界性可使问题简捷获解. 例8 解方程N n x x nn ∈=-,1sin cos 解：对n 分两种情况讨论A 当n 是偶数时，则,0sin ,0cos ≥≥x x n n 将原方程改为,1sin cos +=x x nn 1cos ≤x n,而∴≥+,1sin 1x n要使等号成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==0sin 1cos x x nn,即⎩⎨⎧=±=0sin 1cos x x ，于是)(z k k x ∈=π是当n 为偶数时原方程的解B 当n 是奇数时，由于01sin cos ≥+=x x n n 与01cos sin ≤-=x x nn1cos 0≤≤⇒x 与0sin 1≤≤-xi 当0sin =x 时,代入原方程得z k k x x ∈=⇒=,21cos πii 当1sin -=x 时，代入原方程得z k k x x ∈-=⇒=,220cos ππiii 当0sin 1<<-x 时，则,1cos 0<<x①若1=n 时有1cos sin cos sin cos 122=+>+=-=x six x x x x x 矛盾，即原方程无解.②若n 是大于等于3的奇数时, nnnn x x x x sin cos sin cos 1+=-=1sin cos 22=+<x x 矛盾，即原方程无解.综上所述，当n 是偶数时，原方程的解是)(z k k x ∈=π， 当n 是奇数时，原方程的解是πk x 21=，z k k x ∈-=,222ππ.2 应用函数的极限应用函数的极值和不等na a a a a a nn n ++≤2121，其中n i a i 2,1,0=>解某些超越方程方法新颖，简洁明快.例9解方程2)10189(log )(cos )cot(2312++-=y y xy xy解：由于2)(2sin 2)cos()cot()(cos )cot(22≥==xy xy xy xy xy ，而∴≥+-=+-,11)1(91018922y y y 01log )10189(log 31231=≤+-y y⇒22)10189(log 231≤++-y y要使等号成立，当且仅当⎩⎨⎧==1)(2sin 1xy y ⎪⎩⎪⎨⎧∈+==⇒πππk k x y ,21 综上所述，原方程的解是⎪⎩⎪⎨⎧∈+==πππk k x y ,21. 3 利用函数的单调性例10 解方程xxx543=+解：显然2=x 是原方程的一个根，下面我们利用函数的单调性来说明原方程只有唯一根2=x 事实上，原方程可以改写为1)54()53(=+x x ，已知)10(<<=a a y x是严格减函数，所以，当2>x 时有1)54()53()54()53(22=+<+x x ；当2<x 时有1)54()53()54()53(22=+>+x x ，这表明任何不等于2的R x ∈都不是原方程的解，故2=x 是原方程的唯一解.一般地，若已知c b a ,,是正实数，且c b c a >>,或c b c a <<,时，方程xx x c b a =+有一个解，且它的解是惟一的.事实上，已知0,0>>>>c b c a 可将原方程改为1)()(=+xxcb ca ，设0x x =是原方程的解，即1)()(00=+x x cbc a ，已知)1(>A A x 是严格增函数，所以.当时有0x x <1)()()(00=+<+x x x x c b c a c b c a ）（，当时有0x x >1)()()(00=+>+x x x x cb c a c b c a ）（，这表明任何不等于0x 的实数x 都不是原方程的解，所以原方程的解是唯一的.同理可证c b c a <<<<0,0的情况从略.4 利用函数的图像利用函数的图像解某些方程直观明了，可起到化繁为简、化难为易的功效 例11 b 是参数，讨论方程b x x x +=-236的解的个数情况.解：该题目若将b 分为各种情况爱讨论方程解的个数，显然麻烦，若借助函数的图像就方便得多.在同一直角坐标系中，作出函数)20(362≤≤-=x x x y 与b x y +=的图像，并注意b x y +=的图像是平行于x y =的一组平行线，且随参数b 的变化而变化，这两个图像交点的个数就是方程解的个数（图1）由图1可以看出：①当02-<≤b 或1b =时方程有一个解 ②当1b 0<≤时方程有两个解 ③当1>b 或2<b 时方程无解5 利用反函数的对称性已知互为反函数的两个函数的图像关于直线x y =对称，利用这一性质可以简化某些方程的解法.例12 在实数范围内，解方程x x x x --=++21222122 解：方程的定义域是221<≤x ，因为函数22122++=x x y 与xx --=212y 互为反函数，所以它们的图像关于直线x y =对称，故两个图像的交点必在直线x y =上，因此方程x x x =++22122的解1=x 就是原方程的一个解.从上面的例子我们可以看到，函数性质及图像对解某些超越方程的确有它的独特作用，倘若能熟练的运用，可以解决一些难以解决的问题.以上是本文作者搜集大量资料，归纳总结出的一些常见的，我们通过中学知识就可以求出的三类特殊方程的常用求解方法，相信通过本文读者不会再对这几类特殊方程束手无策了.另外，通过以后更深层次的学习，解决这类问题的方法也将会越来越多.参考文献[1]余元希.初等代数研究(上册)[M].高等教育出版社,1988. [2]余元希.初等代数研究(下册)[M].高等教育出版社,1988. [3]徐名亮.方程巧解[M].同济大学出版社,1994. [4]张远长.浅谈高次方程[M].湖北教育出版社,1983.[5]杨世明.中国初等数学研究文集[M].河南教育出版社,1992.[6]赵振威.中学教学教材教法(第二分册)[M].华东师范大学出版社,1995. [7]刘培娜.一元代数方程[M].科学出版社,1985. [8]马克杰.代数方程与不等式[M].山东教育出版社,1982[9]于兴华.一类高次方程、超越方程的一种解法[J].数学通讯,1993年12期. [10]林新澄.一类高次方程、超越方程的一种解法的推广[J].数学通讯,1995年1期. [11]李建章.方程0=++q px x n根的探讨[J].数学通讯,1992年10期. [12]何定明.一类方程的图形[J].数学通报,1992年4期.[13]C.N.诺洼塞洛夫.恒等式与方程的概念[J].数学通报,1956年1期. [14]张君达.倒数方程及其部分应用[J].数学通报,1980年12期.[15]R.W.D.Nickalls. A new approach to solving the cubic:Cardan ’s solution revealed[J]. The Mathematical Gazette,1993.[16]W.S.Anglin & mbek .Mathematics in the Renaissance[M].1995.[17]Lucye Guilbeau.The History of the Solution of the Cubic Equation[J].Mathematics News Letter.。
