下载文档原格式
矩阵在线性方程组AX b
求解的应用
一、利用克拉默法则
1.克拉默法则若含有n个变量和n个方程的线性方程组
的系数行列式D不为零，则该方程组有且仅有惟一解x j=D j/D,j=1,2,...,n.
局限性:
(1)Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组；
(2)Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解；
即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数行列式等于零，则Crammer法则失效。
(3）计算量大，要计算n+1 个n 阶行列式的值。
2.改进:
当系数矩阵A行列式不为零时，逆矩阵存在,此时X=A-1.b
二、Gauss消元法
一般的n元线性方程组
(或写成矩阵形式AX=B)解法是首先将其增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵，这样方程组就等价于一个阶梯形的方程组，然后再把不处于每行中第一个非零系数的变元x j挪到方程的右边，令它们为任意参数，则方程组就可以解出了．
定理.设A与分别是n元线性方程组系数矩阵与增广矩阵．若秩，则方程组无解；若秩，则方程组有解．当时，方程组有惟一解；当时，有无穷多个解，且通解一定含n―r个任意常数．
在Mathcad中求解,我们首先利用上述定理判断是否有解,有解时调用rref函数，计算出rref(),所得结果最右面的列就是该方程组的解
说明: rref(M) 返回对矩阵M的行施行初等变换后化简的矩阵
问题:
1.求解线性方程组
2.求解下列线性方程组
题A
题B
.
题C。
线性方程组的解法及应用线性方程组是数学中常见的问题，其解法和应用十分广泛。
本文将介绍线性方程组的几种常见解法，并探讨了其在实际应用中的意义和重要性。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换，将线性方程组转化为上三角矩阵或对角矩阵的形式，进而求解未知数。
通过逐行消元和回代过程，可以求得方程组的解。
高斯消元法是一种时间复杂度较低的求解线性方程组的方法，适用于各种规模的问题。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的求解线性方程组的方法。
根据矩阵的定义和性质，可以通过求解系数矩阵的逆矩阵，进而求得线性方程组的解。
这种方法较为简便，尤其适用于方程组的系数矩阵可逆的情况。
然而，由于求逆矩阵的计算复杂度较高，这种方法在处理大规模问题时可能变得不切实际。
三、克莱姆法则克莱姆法则是一种通过行列式的性质求解线性方程组的方法。
根据法则的定义，通过计算系数矩阵和常数矩阵的各个子行列式，可以得到线性方程组的解。
克莱姆法则具有简单的结构和直观的操作步骤，但其计算量较大，仅适用于小规模问题。
以上是几种常见的线性方程组解法，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，我们根据问题的特点和数据的规模，选择合适的解法以提高计算效率和准确性。
线性方程组求解的应用涉及到众多学科和领域，下面我们将探讨其中几个重要的应用。
四、物理学中的应用线性方程组在物理学中有着广泛的应用。
以力学为例，在分析力学问题中，往往需要通过线性方程组求解物体的运动状态和力的分布。
通过建立合适的力平衡方程和动力学方程，可以将问题转化为线性方程组，并求解得到物体的位移、速度和加速度等关键信息。
这对于理解物体的运动规律和进行工程设计具有重要意义。
五、经济学中的应用线性方程组在经济学中也有广泛的应用。
以宏观经济学为例，经济学家通常会建立一系列的数学模型，通过线性方程组描述经济系统中的供求关系、市场机制和宏观调控等。
通过求解线性方程组，可以得到不同经济指标之间的关系，帮助政策制定者做出科学的决策，推动经济稳定和发展。
利用矩阵的逆矩阵求解线性方程组线性代数是数学的一个重要分支，其研究诸多重要的数学对象，例如向量空间、矩阵、线性变换等。
线性代数的应用非常广泛，例如在物理、工程、计算机科学等领域都有着深入的应用。
矩阵是线性代数研究的核心对象，其可以用于解决许多实际问题，如在计算机图形学中用于表示三维图形的转换矩阵、在物理中用于表示方程组的矩阵等。
线性方程组是线性代数中的一个重要概念，其可以用于描述诸多实际问题，如平衡问题、电路问题、最优化问题等。
线性方程组可以表示为Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是已知向量。
如果A是一个可逆矩阵，即它的行列式不为0，那么我们可以用矩阵的逆矩阵来求解该线性方程组。
具体来说，我们可以通过Ax=b得到x=A^(-1)b，其中A^(-1)是A的逆矩阵。
下面我们通过一个简单的例子来说明如何利用矩阵的逆矩阵求解线性方程组。
例1：求解以下线性方程组x + 2y = 53x + 4y = 11解：将该线性方程组转化为矩阵形式，得到$\begin{bmatrix}1 & 2\\3 &4\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix}5\\ 11\end{bmatrix}$我们可以计算出系数矩阵A的行列式为-2，因此它是可逆矩阵。
接下来，我们需要求出A的逆矩阵A^(-1)。
通过一些计算，我们可以得到A^(-1)等于下面这个矩阵：$\begin{bmatrix}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{bmatrix}$现在，我们可以用矩阵的逆矩阵求解线性方程组。
具体来说，我们可以计算出x=A^(-1)b等于下面这个向量：$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}5\\ 11\end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix}-3\\4\end{bmatrix}$因此，该线性方程组的解为x=-3，y=4。
龙源期刊网 矩阵在解线性方程组中的应用研究作者：李羿如来源：《文理导航》2017年第02期【摘要】线性方程组求解时数学学科的核心内容，是整个数学解题的基础工具，我们在学习过程中，要掌握方程组解答的相关理论和经验，提高线性方程组的解题速度和准确率。
我们在学习中发现，矩阵可以应用于线性方程组解答，将线性方程组系数和常数为行列式矩阵为基础，把复杂的方程组进行简化，可以帮助我们更好地解答线性方程组。
【关键词】矩阵；线性方程组；高中数学在高中数学学习中，求解线性方程组是重要的知识点，对于方程组的求解，我们通常有两个求解方向，一种是寻找线性方程组的规律，根据学习经验对方程组进行变换，将方程组变形为基本的微积分问题进行求解；第二种是进行简化求解，以线性方程组的系数和常数列成矩阵，通过矩阵变化计算来求解线性方程组的解。
1.基本数学概念分析线性方程组是指在一个方程组中包含了多个未知数，同时未知数均为一次，在一般的线性方程组中，会有m个公式组成，包含了n个未知数，我们要对每一个方程进行加减换算，最终得到只包含一个未知项的方程进行求解，得出第一个未知项的数值，然后将求得的未知数代入到其他的方程组中，依次求解不同的未知项数值。
矩阵是高中数学中常用的解题工具，关于矩阵的知识可以延伸出零矩阵、单位矩阵、矩阵的和、矩阵乘积、逆矩阵、转置矩阵、对称矩阵、行列式、矩阵特征方程及特征向量等。
矩阵在线性方程组求解中应用简化了求解过程，通过将方程式列成矩阵可以找到未知项之间的关系，确定求解的方向，在矩阵中往往会出现相关联的元素，将这些元素列成行和列的方式能够快速找出未知项的解答关系。
对于一个线性方程组可以得到系数矩阵A和未知项矩阵X，并且方程的常数项也可以列成矩阵b，这样就可以得出一个简约化的Ax=b的线性方程组。
2.矩阵在解线性方程组中的应用2.1克莱姆法则应用对于线性方程组的解答，我们应用矩阵进行方程组求解，将方程组变换为特殊的矩阵形式，其中最为常用的就是矩阵的克莱姆法则，如果线性方程组的未知项个数和方程数量相同，我们就可以应用这一法则进行求解。
矩阵解方程组的方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵解方程组也是线性代数中的基础内容之一。
在实际应用中，往往会遇到包含多个未知数和多个方程的方程组，如何通过矩阵的方法来高效地解决这些方程组成了一项重要的技能。
本文将介绍矩阵解方程组的方法，包括高斯消元法、矩阵求逆法以及克拉默法则等。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种基本方法。
它的基本思想是通过对方程组进行一系列的行变换，将其转化为简化的阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。
下面通过一个具体的例子来说明高斯消元法的应用。
考虑如下的线性方程组：\begin{cases}2x + 3y - z = 1 \\3x + 2y + z = 3 \\x - y + 2z = 9\end{cases}首先将上述的方程组写成增广矩阵的形式：然后通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为简化的阶梯形：\begin{bmatrix}1 & -1 &2 & | & 9 \\0 & 5 & -5 & | & -10 \\0 & 0 & 1 & | & 0\end{bmatrix}最后通过反向代入法，可以求得方程组的解为x=2, y=-2, z=0。
二、矩阵求逆法A = \begin{bmatrix}1 &2 \\2 & 1\end{bmatrix}，X = \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}，B = \begin{bmatrix}3 \\4\end{bmatrix}然后求解系数矩阵A 的逆矩阵A^{-1}：最后通过矩阵乘法，可以求得方程组的解为X = A^{-1}B =\begin{bmatrix}1 \\1\end{bmatrix}。
三、克拉默法则首先求解系数矩阵A 的行列式|A|：然后求解系数矩阵A 分别替换成结果矩阵B 的行列式|B_x| 和|B_y|：最后通过克拉默法则，可以求得方程组的解为x = \frac{|B_x|}{|A|} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}，y = \frac{|B_y|}{|A|} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}。
用矩阵求解线性方程组在数学中，线性方程组是描述多个未知量和它们之间关系的方程组。
如果未知量数目等于方程数目，并且每个方程都是线性的，则方程组称为“线性方程组”。
解决线性方程组的常用方法之一是使用矩阵。
在本文中，我们将讨论使用矩阵求解线性方程组的方法。
1. 线性方程组和矩阵线性方程组可以用矩阵形式表示。
例如，以下线性方程组：2x + 3y - z = 1x - y + 2z = 3x + 2y - z = 0可以表示为矩阵方程：\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}其中，矩阵\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}称为系数矩阵，向量\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}称为未知向量，向量\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}称为常向量。
2. 矩阵求解线性方程组的基本思路将线性方程组转换为矩阵方程后，可以使用矩阵的逆来求解未知向量。
具体来说，对于实数域上的矩阵方程AX = B如果矩阵A可逆，则可以将等式两边左乘A的逆矩阵A^-1，得到X = A^(-1)B其中，X和B都是列向量，A^-1是A的逆矩阵。
逆矩阵的定义是，如果存在一个矩阵A^-1，使得A^-1A = I其中，I是单位矩阵，则称A是可逆的，A^-1是A的逆矩阵。
对于实数域上的矩阵，如果矩阵的行列式不为0，则该矩阵可逆。
函数和矩阵：矩阵的运算和应用函数和矩阵是数学中重要的概念和工具。
函数是描述变量之间关系的一种数学表达方式，而矩阵则是一种方阵形式的数组，可用于表示多个变量和它们之间的线性关系。
本文将介绍函数和矩阵的基本概念，并讨论它们在数学和实际应用中的运算和应用。
一、函数的定义和性质函数是将一个数集映射到另一个数集的规则。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以是显式定义的，也可以是隐式定义的。
例如，y = f(x) = 2x+1是一个显式函数，而x^2 + y^2 = 1则是一个隐式函数。
函数具有许多重要性质，包括定义域、值域、单调性等。
定义域是函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的可能取值。
单调性描述了函数的增减情况，可以分为递增和递减两种。
二、矩阵的定义和运算矩阵是一个按照长方形排列的数表，可以用于表示线性关系和进行线性变换。
矩阵由行和列组成，通常用大写字母表示。
例如，A是一个m行n列的矩阵，可以表示为A=[a_ij]，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵的运算包括加法、减法和乘法等。
矩阵加法是将两个矩阵对应位置的元素相加得到新矩阵，矩阵减法则是将对应位置的元素相减。
矩阵乘法是将矩阵的行与列按照一定规则相乘并相加得到新矩阵。
三、矩阵的应用矩阵在数学和实际应用中有广泛的应用。
在数学中，矩阵可用于求解线性方程组和描述线性变换。
通过矩阵求解线性方程组可以简化计算过程，而线性变换可应用于几何、物理等领域的模型建立和分析。
在实际应用中，矩阵可用于数据处理和图像处理。
例如，矩阵与向量的乘法可用于对数据进行线性变换，提取数据的特征。
矩阵还可以表示图像的像素值，通过矩阵运算可以对图像进行模糊、锐化等处理。
另外，矩阵还可应用于网络分析和优化问题。
例如，在社交网络中，矩阵可用于描述用户之间的关系，通过矩阵运算可以发现社交网络中的影响力节点和社群结构。
在优化问题中，矩阵可用于表示约束条件和目标函数，通过矩阵运算可以求解最优解。
线性方程组的解法与矩阵运算线性方程组是数学中的常见问题之一，它可以用来描述多个变量之间的线性关系。
解决线性方程组的常见方法是使用矩阵运算。
本文将介绍线性方程组的解法以及如何使用矩阵运算来求解。
一、线性方程组的基本概念线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是形如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn = b的线性等式，其中a₁, a₂, ..., an为系数，x₁, x₂, ..., xn为变量，b为常数。
一个线性方程组可能有一个解、无穷多个解或者无解。
二、线性方程组的解法1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。
其步骤如下：(1) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；(2) 通过矩阵的行变换，将增广矩阵化简为上三角矩阵；(3) 回代求解未知数。
2. 矩阵求逆法当线性方程组的系数矩阵可逆时，我们可以通过矩阵求逆的方法求解。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组的系数矩阵A和常数矩阵B写成增广矩阵的形式[A，B]；(2) 若A可逆，则通过矩阵的逆A⁻¹求得解矩阵X，其中X = [X₁, X₂, ..., Xn]；(3) 解矩阵X即为线性方程组的解。
三、矩阵运算和线性方程组的关系矩阵运算在解决线性方程组时起着重要作用，它可以简化计算过程并提高求解效率。
以下是一些常用的矩阵运算与线性方程组的关系。
1. 矩阵加法和减法矩阵加法和减法可以用于表示线性方程组的系数矩阵和常数矩阵之间的运算关系。
通过矩阵加法和减法，我们可以合并或拆分线性方程组，方便进行计算。
2. 矩阵乘法矩阵乘法可应用于连立方程组和线性变换的计算过程。
通过定义两个矩阵的乘积，我们可以将线性方程组转化为矩阵运算的形式，从而简化求解过程。
3. 矩阵的转置和伴随矩阵转置矩阵和伴随矩阵在解决线性方程组时有重要作用。
转置矩阵可以用于求解方程组的转置方程组，而伴随矩阵则可以用于求解方程组的伴随方程组。
四、总结线性方程组的解法与矩阵运算密切相关。
矩阵与线性变换的性质与应用矩阵与线性变换是线性代数中的重要概念，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵与线性变换的基本性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的基本性质1. 矩阵的定义矩阵是一个由一定数量的数按照长方阵列排列而成的矩形数表。
一般表示为m×n(m行n列)。
矩阵中的元素可以是实数、复数或者其他代数元素。
2. 矩阵的运算矩阵与矩阵之间有加法和乘法运算。
对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应位置上元素的和。
矩阵的乘法定义为A × B = D，其中D的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置后的矩阵记作A^T。
对于方阵A，如果存在一个矩阵B使得A × B = B × A = I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
逆矩阵可以用来解线性方程组，求解矩阵的逆矩阵需要满足一定的条件。
二、线性变换的基本性质1. 线性变换的定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的映射。
对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T必须满足两个性质：T(u + v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。
2. 线性变换的表示与矩阵每个线性变换都可以由一个矩阵表示。
对于向量空间V中的一组基底B = {b1, b2, ..., bn}，线性变换T定义为T(v) = Av，其中A 是一个由线性变换将基底B中的向量映射到对应的新坐标系中的向量所得到的矩阵。
3. 线性变换的性质线性变换具有以下性质：- 保持原点不变：T(0) = 0- 保持直线性质：对于直线上的点，线性变换后仍然在直线上- 保持比例关系：对于两个向量u和v，如果它们的比例关系为u = cv，那么它们的线性变换后的比例关系为T(u) = cT(v)三、矩阵与线性变换的应用1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，可以用来判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的逆矩阵。
高中数学矩阵在解线性方程组中的应用作者：霍健强来源：《大东方》2018年第06期摘要：在现代线性代数学科中求解线性方程组的问题是其中最重要的核心内容，而在研究求解的过程当中，我们发现很多涉及行列式、矩阵、逆矩阵、初等变换等方面的问题，为了阐述它们对线性方程组求解所起到的作用，我们根据线性方程组的基本概念，系数、常数等所构成的行列式矩阵，并以逐步深入递进的方式探讨它们之间的联系，最终达到理顺它们之间关系的目的，从而对线性代数的学习起到重要指导作用。
通过该论文的研究可以使我们对矩阵及其在解线性方程组中的应用有更深刻了解。
通过矩阵来解线性方程组，使得纯代数的数学问题与几何学科进行联系，交叉学科的研究使得问题的解题思路更加严谨，解题方法更加广泛关键词：矩阵；线性方程；应用一、线性方程组基本知识点1.线性方程组概念用数学分析实际问题是科学求证真理的必要手段，有两种思路可以对一般线性方程组进行求解，即有经验的方程组和特殊规律的方程组，利用最基本的理论或推论，用一些基本的概念转化成基本的微积分问题来解决；还有就是利用线性方程组的系数和常数提炼出来，然后构成一矩阵方程，进而通过矩阵的定义及相关定理，按照一定的解题思路进行求解。
线性方程组，即指在一个方程组中，至少含有一个未知数，且均为一次未知数，例如下列方程组（1）即为一次线性方程组。
以上关于未知数的矩阵，常数的矩阵，还有系数的矩阵构成的方程组可表示为。
其中全部为零，即用，这就是所说的其次方程组；如果不全部为零，即，叫做非其次线性方程组。
有一种特殊情况，即在系数的值固定的情况下，非齐次方程组的通解可看作是齐次方程组的解与非齐次方程组的通解，看成了两者的和。
2.线性方程组的解法线性方程组的求解，除了特殊的变换方法外，一般有两种方法可用：一是用克莱姆法则进行求解：其法则是建立在逆矩阵的基础上使用的，此法则在用的时候有两个必要条件需要注意：一是未知解的线性方程组的求解个数必须和方程组中方程个数必须是相同的，系数组成的矩阵必须不为零。
矩阵在解线性方程组中的应用摘要线性方程组的求解是代数学中一个比较重要的内容. 线性方程组求解过程中，掌握各种求解线性方程组的方法是至关重要的. 基于线性方程组和矩阵之间的联系，可以用线性方程组系数和常数项所构成的行列式矩阵来研究线性方程组的求解问题. 本文主要讨论矩阵的秩在方程组的解的判断中的应用、矩阵的初等变换在解线性方程组中的应用. 关键词: 矩阵；线性方程组；矩阵的秩；初等变换一、引言矩阵和线性代数在高等代数中占据重要的位置，而解线性方程组在高等代数中也是十分重要的知识点. 中学时我们也初步了解并学习了解简单的线性方程组，知线性方程组的重要性，但是不是每一个线性方程组都有解，所以我们首先要做的就是判断线性方程组有无解， 通过对矩阵的学习，我们知道矩阵的秩可以判断线性方程组有无解，在有解的情况下可以利用矩阵求解线性方程组.在文献[1]中总结了矩阵、线性方程组的相关概念；文献[2]给出了线性方程组的一般解法的主要内容；文献[3-5]给出了矩阵的初等变换、矩阵的逆的相关概念概念以及龝矩阵的逆的一些相关问题；文献[6]给出了线性方程组解的判断条件；文献[7-10]给出了一些关于矩阵分析和解线性方程组问题分析中的简单的概念和应用. 本文主要研究矩阵和线性方程组的一些基本概念和其应用，通过矩阵来解线性方程组，并结合具体实际问题说明矩阵在解线性方程组中的应用，为今后的学习与研究提供有利工具.二、线性方程组的有关概念1. 线性方程组的定义定义 1[1] 一般线性方程组的定义是形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 的方程组，这里的n x x x ，，， 21代表n 个未知量，s 则表示为线性方程的未知个数. 如果我们知道一个线性方程组的全部系数以及它的常数项，那么这个线性方程组就可以确定了，线性方程组就可以用下面的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s sns s n n b a a a b a a ab a a a 21222221111211进行表示. 令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b b 21，可知线性方程组的系数矩阵A ，未知数矩阵为X ，常数项矩阵为b ，则可得到b AX =. 若常数项矩阵为零矩阵即0=AX ，那么我们称之为齐次线性方程组. 反之，若常数项矩阵b 为非零矩阵，则称为非齐次线性方程组. 2. 线性方程组的一般解法对于线性方程组的求解，除了可以进行特殊变换而获得特定形式的特殊型之外，还有两种线性方程组的一般解法： （1）消元法[2]所谓消元法，就是在方程中利用矩阵的初等变换，一步一步地消去未知量的个数，最终得到一个具有阶梯性的方程组，如果我们把最终初等变换得到的关于“00=”的恒等式(如果出现的话)全部去掉，观察其余的阶梯形方程看是否有零等于一个非零的常数的，如果有，这个常数的方程组无解，如果没有，则有解. 假设在方程组有解的情况下，令r 为阶梯形方程中未知量的个数，由上述定义1知，s 则表示为线性方程的未知个数，当s r =时，方程组有唯一确定的解；当s r <时，方程组可以有无穷多个解. 消元法也是我们在中学时解线性方程组是常用的一种方法，但当未知量有n 个的时候，一个一个的消元工作量也会很大. （2）克拉默法则[2]克拉默法则是建立在逆矩阵的使用基础上，对于线性方程组进行的一般解法，但要注意的是，使用克拉默法则求解线性方程组是有条件的：一是方程组必须是线性的，二是待求解的线性方程组中的方程的个数和未知量的个数相等，三是满足未知系数的矩阵行列式D 不等于0，即0≠D ，满足以上三种情况则可使用克拉默法则.定义 2[1]给出克拉默法则的一般描述：如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式，即它的系数行列式为0≠=A d 那么这个线性方程组有解，有且只有唯一的解，其系数的表达如下：d d x 11=，d dx 22=， ，dd x n n =，则可以得到线性方程组的解. 但克拉默法则并不适用于所有的满足条件的线性方程组，因为它的计算量太大，一般我们也不怎么会使用克拉默法则的方法求解线性方程组.三、矩阵的有关概念1. 矩阵的概念定义 3[1] 由n m ⨯个数),,2,1,,,2,1(n j m i a ij ==构成m 行n 列并括以圆括弧或方括弧的数表. 即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a La a M M M M a L a a a L a a A 212222111211称为n m ⨯矩阵. 例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=852*******A .2. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换不仅在矩阵的学习中是一个重要内容，在线性方程组中也有广泛的应用，首先，给出矩阵的初等变换.定义 4[3] 下面三种变换成为矩阵的初等变换（1）交换矩阵的两行（列）；（2）用一个非零数k 乘矩阵的某行（列）； （3）矩阵的某行（列）的k 倍加到另一行（列）.3. 矩阵的秩[4]讨论矩阵和线性方程组的关系时，矩阵的秩是较为重要的概念. 定义 5 矩阵的秩是指矩阵()nm ija A ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rankA 或rA . 显然),min()(n m A r ≤易得：若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在),min(n m r <时，A 中所有的1+r 阶子式全为零，则A 的秩为r .矩阵的秩是判断线性方程组是否有解的重要条件. 因此，如何求解矩阵的秩是至关重要的. 目前，矩阵的秩的求解有如下两种方法.（1）矩阵的初等变换可以求解矩阵的秩（2）若矩阵为k 行，则先计算k 阶子式，若k 阶子式不为零，则秩为k ；如果k 阶子式为零，则计算1-k 阶子式，若1-k 阶子式中有一个不零，则秩为1-k ，若所有的1-k 阶子式都为零，则计算2-k 阶子式，以此类推，指导计算到m k -阶子式中不全为零，则秩为m k -为止.但第二种方法适应于k 较小时，当k 较大时，计算量大，也容易出错，此时可以利用矩阵的初等变换求矩阵的秩.有关矩阵的秩的求解，下面，我们提供了一些例题. 例 1[5] 求下列矩阵的秩⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1003011-60302-42-20121-1A . 解 由题意，利用初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000100300400001211040001403004000012111003014030040000121110030116030242201211------------， 所以矩阵A 的秩为3.例 2 求下列矩阵的秩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=814331116321B .解 矩阵B 经过初等变换，可得到矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110010101001， 则矩阵B 的秩为3.例 3 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=510312223A 的秩. 解 矩阵A 有3行，则计算0=A ，则计算2阶子式. 因为01-22-3≠，所以2)(=A r .下面总结了用初等变换法求矩阵的秩在解题过程中的步骤主要为： (1)通过初等行（列）变换将矩阵化为阶梯形；(2)由定理可知非零行的个数即为该矩阵的秩数，因此可以求出秩.4. 基于矩阵的线性方程组解的判断条件定理 1 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111有解的充分必要条件为：线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即r(A )=r(A )，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s sn s s n nb a a a b a a a b a a a A21222221111211. 若是n n ⨯阶的线性方程组，在判定线性方程组有解的条件下，我么还能通过矩阵的秩来进一步判定线性方程组解的个数：当n r <时，线性方程组有无穷解； 当n r =时，线性方程组有唯一的解.在一个齐次线性方程组中有非零行方程组解的充要条件，也就是它的系数增广矩阵的行列式等于零.例 4[6]判断下面的方程组有无解⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346212432131321x x x x x x x x 解 由题意可以知道，上式方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=426101214A ，它的增广矩阵可以写为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=341621011214A ，由初等变换，我们可以将增广矩阵化为矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9-2-1021012000， 可知2)(=A r ,3)(=A r ，因为2≠3，所以方程组无解.我们学会了利用矩阵的秩来判断方程组是否有解，那在方程组有解的情况下，我们就应该利用矩阵求解线性方程组.四、矩阵在解线性方程组中的应用以及解题思路矩阵的初等变换是解线性方程组的基本的方法，主要是将矩阵化为阶梯形的矩阵，主要的步骤有以下几步：第一步，写出线性方程组的一个增广矩阵；第二步，通过将增广矩阵化为阶梯形以此来判断线性方程组到底是否有解，当解存在时可以对矩阵进行以下步骤：第三步，把矩阵通过初等变换化为最简形式； 第四步，求出线性方程组的一个特解； 第五步，求线性方程组的一个通解. 例 5[7] 解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++8433632321321321x x x x x x x x x解 由题意，利用初等行变换可得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110010101001110032100101110032106321121032106321814331116321--- 可得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===111321x x x ， 所以原方程的解为（1,1,1）.例 6[8] 解下列齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-=+++=-++-=+-+=++-0441520410305202302343214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 分析 这是一个齐次线性方程组，但它的未知量的个数比较多，用消元法计算量还是很大的，这时我们就应该选择一种简单的方法去求解，我们可以利用矩阵的初等变换求线性方程组的解，这时我们只要把方程的系数矩阵描述出来，不写未知量，这也为我们节省了大量的计算和时间.解 方程的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡44-152-411031-152-21-31121-3 将系数矩阵初等化为阶梯形矩阵，可得→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡55-10031-11031-1105-510-021-3144-152-411031-152-121-321-3144-152-411031-152-21-31121-3⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000095-1001-41021-310000005-9002-41021-31⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000000095-100920109130010000000095-10092010913031 所以方程的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=434241959297x x x x x x ， 其中4x 为未知量. 当取94=x 时，方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=952-7-η，所以原方程通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==9527k k X η.例 7[9] 求解下列线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=-+-=+--0411226234432134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x分析 首先计算出方程组的系数矩阵和增广矩阵，并对这两个矩阵进行简化，然后对比两个矩阵的秩是否相等从而判断解的存在情况. 解：对增广矩阵进行下列变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000004-000022-500113-1-12-25-0026-150022-500113-1-104112-262-34-431-21-1113-1-1A ，首先判断方程组是否有解，根据增广矩阵A 和系数矩阵A 的关系可以知道,2)(=A r ,3)(=A r ，可以看出32≠，所以我们可以知道这个线性方程组没有解.例 8[10] 讨论b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有唯一解；无解；无穷多解，当有无穷多解时，求出通解.分析 此线性方程组为非齐次线性方程组，这题中通过判断线性方程组是否有解来求出未知数，判断线性方程组是否有解，就是要判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相同，若有解，则可求出线性方程组的解.解 对线性方程组的增广矩阵进行过下列变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=01000101001221001111132102310122100111110232-31-01221001111a b a a b a a b a A（1）当1≠a 时，方程组有唯一的解； （2）当11-≠=b a 且时，方程组无解； （3）当11-==b a 且时，方程组有无穷多解. 此时方程组为⎩⎨⎧=++=+++12204324321x x x x x x x ， 可得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011-α，导出组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-1012-121ηη，，于是通解为2211ηηαβk k ++=.总结 在解线性方程组的问题中，首先先准确地判断方程组是否有解，以在方程组解存在的情况下为基础，那么在齐次线性方程组中，若齐次线性方程组的任何一组基础解为r n -ξξξ，，， 21，我们称它为方程组的一个基础解系，齐次线性方程组的任何一解都能表成r n -ξξξ，，， 21的线性组合.而在非齐次线性方程组中，应先求出0=Ax 的基础解系，则0=Ax 的通解为r n r n k k k x --+++=ξξξ...2211，设η为非齐次线性方程组b Ax =的特解，r n -ξξξ，，， 21为对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则b Ax =的通解为ηξξξ++++=--r n r n k k k x ...2211，在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.结论矩阵在我们求解解线性方程组中已经有了广泛的研究和应用，主要是通过矩阵的初等变换求线性方程组的解，而且矩阵的初等变换还可以很好地帮助我们更准确地判断线性方程组解是否存在的实际情况. 另外，通过矩阵的初等变换可以求出矩阵的秩以此来快速判断线性方程组的解也是非常重要的一种解题方法. 总而言之，矩阵再解线性方程组中有重要的作用，能够帮助我们更好地理清这类复杂问题的基本解题方法和思路，从而能让我们在实践中更好的灵活运用矩阵来快速求解线性方程组.参考文献[1] 北京大学数学系前代数小组. 高等代数[M]. 第四版. 北京：高等教育出版社，2013. [2] 林清. 矩阵在解线性方程组中的应用[J]. 湛江市高级技工学校，2015(11)：583. [3] 郑庆云，宋一杰，杨晓叶. 利用矩阵初等变换求解方程组的解[J]. 阴山学刊，2017(01)： 23-26.[4] 王玉兰. 矩阵求逆和齐次线性方程组的基础解系的统一算法[J]. 内蒙古科技与经济，2002(11)：142.[5] 吴英柱. 矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨[J]. 广东石油化工学院学报，2017(1)：71-75,94.[6] 王卿文. 线性代数核心思想及应用[M]. 北京：科学出版社，2012.[7] 辛奎东. 关于线性方程组新解法的探索[J]. 黑龙江科技信息，2012(02)：222-222.[8] 于永新. 用矩阵的初等行变换求齐次线性方程组的标准正交解系[J]. 辽宁科技大学学报， 2016(3)：17.[9] 付美鑫. 利用行列式、矩阵求解线性方程组[J]. 黑龙江科学，2017(3)：45-46.[10] 骆旗，褚青涛. 浅析矩阵在解线性方程组中的作用[J]. 时代教育，2018(7)：139-139.11。
