解析几何 点变换

y
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x
sin


y
cos
,

z z
这就是旋转 σ 及其逆变换 σ-1 的公式.
两个变换的合成(复合),也是一个变换.
例如一个点P(x,y,z)经过平移 变
成 P x, y, z ,即
x

y

x y

a1 , a2 ,

z

z

a3 .
如果点 P x, y, z ,接着又经过旋转σ变成点P' (x', y', z'),即

x y

x cos1 x cos2

y y
cos cos
1 2

z z
cos 1 , cos 2,
z x cos3 y cos 3 z cos3.
cos1 cos2 cos3
cos 1 cos 2 cos 3
cos 1 cos 2 1. cos 3
x x cos y sin ,

y

x
sin


y
cos
,
那么其结果是点P(xz,y ,zz).变成了P' (x', y', z')：

x y

x x
cos sin

y sin y cos

a1 a1
cos sin
a2 a2
定义1 在空间中，从点到点的一个1-1对应φ称为空间 中的一个变换；点P的对应点称为P在下的像,记作φ(P) ； 点P称为φ(P)的原像.
可以设想,一个变换就是把空间中的点重新排列一下,把 点P安排到φ(P).因为变换是1-1对应,所以不同的点总有不同 的像,并且每一点都可作为某一点的像.
对于一个变换φ,每一个点P'都有唯一的原像P. 这样,把一个点对应到它的原像,就得到一个变换,称为的 逆变换,记作φ-1.于是,恒有
5.2 点变换 (Point transformation)
在前面学习了空间直角坐标变换.
在坐标变换中,几何图形(如空间直线和平面,曲线和曲面 等)不变,坐标系在变.
现在要用另一个观点来看,坐标系不变,图形在变,这就是 点变换.
在现实世界中,运动是永恒的,任何事物都在不断的发展 变化中.坐地日行八万里,巡天遥看一千河,就是宇宙运动变化 的生动写照.而点变换的观点,正是反映了这种思想.
5.2.1 点变换的定义 (Definition of Point transformation)
先看一个最简单的例子.整个空间的一个变动称为一个平 移,如果空间中各点都朝着同一个方向移动了相等的距离,也就 是说,各点的位移都是相同的向量.所以一个向量 a 确定一个平
移 ,它把一点P变成一点P',使
a11 a12 a21 a22 a31 a32
其中一次项系数aij满足正交条件.
a13 a23 1. a33
空间中点的旋转变换由不共线的三对对应点唯一确定.
事实上,在旋转变换公式(5.2-2)中,有9个待定系数,其中有8 个是独立的,要确定待定系数,需要不共线的三对对应点.
例 1 求出把点(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别变成(0,0,0), (0,0,1), (1,0,0)的旋转变换.
解 根据题意设旋转变换为
φ

x y

a11x a21x
PP a 这样,一个平移 对于空间的每一点P就唯一确定一点P'.
这种唯一确定的关系和函数关系式一样的,只是现在考虑的是
点而不是数.因此,把点P对应点P'记作 (P).
反过来,对于空间任意一点P',还存在唯一一点P使(P)
=P'.这就是说,一个平移对于空间中的点建立了一个1-1对应 关系.下面要讨论的就是这样的一个1-1对应关系,因此引进 下面的概念.
1 P P
这种情况和反函数是一样的.
5.2.2 点的平移
(Translation of Point)
如前所述,空间中的点的平移，是把空间中的各点都朝着 同一个方向移动了相等的距离,它可以由一个向量 a 所确定.
下面来看平移的坐标表示.任取一个坐标系,设向量 a=(a1,a2,a3).需求出点 P(x, y, z) 的像P' 的坐标.设P'的坐标为 (x', y', z').因为 PP a ,故
且其一次项系数满足正交条件.
例如 绕z轴右旋转一个角度θ,就得到一个旋转σ. 如果点(x,y,z)变成(x', y', z'),那么就有：
x x cos y sin,

:

y

x
sin


y
cos
,

z z.
x xcos ysin ,

1
:

:

x y

x y

a1, a2 ,
或
z z a3.

x y

x y

a1, a2 ,
z z a3.
这就是空间点的平移公式.
这个公式在形式上与坐标系平移的变换是完全相同,但 是意义却完全不同,在坐标变换中,点没有动,变动的是坐标 系.现在是坐标系没有动,而是点动了.
sin , cos ,

z z a3.
这个经过 后又经过 σ 的合成变换,称为与的乘积,记作 σ .
这种情况与复合函数是一样.
P P.
同样,先作 σ 后作 就有乘积
,显见,

x y

x x
cos sin

y sin y cos
此外,坐标系的前移相当于点的后移,反之亦然.
不难证明,空间中点的平移由一对对应点P,P'唯一确定.
5.2.3 点的旋转 (Rotation of Point)
和空间中点的平移类似,点的旋转变换公式和坐标系旋 转变换公式完全相同,只是意义不同而已.实际上,点的一个 左旋转变换相当于坐标系一个右旋转变换,故空间点的旋转 变换公式为


a1, a2,
z z a3.
一般地有
.

说明变换的合成(乘积)不满足交换律.
的公式为
有时也将变换公式写成下面的形式

x y

a11x a21x

a12 a22
y y

a13z, a23z,
z a31x a32 y a33z,