材料力学第三章答案
薄壁钢管外径为mm 114，受扭矩m kN 8⋅作用，用薄壁圆管的近似公式确定所需的壁厚t 值。设容许切应力[]MPa 100=τ。 解：[][]mm r T t t r T 92.3100572108222622=⨯⨯⨯=≥⇒≤=πτπτπτ，取mm t 4=。
3.1 如图所示为圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上的切应力分布图。
解：
3.2 直径为mm d 50=的圆轴受力如图所示，求：(1)截面上处A 点的切应力；(2)圆轴上的最大切应力。
解：MPa I T p 4.205.125032
10146
=⋅⨯⨯==πρτρ MPa W T t 7.4016
5010136
max =⨯⨯==πτ 3.3 图示圆轴的直径mm 100=d ，mm 500=l ，
kN.m 71=M ，kN.m 52=M ，已知材料GPa 82=G 。试求：
（1）轴上的最大切应力，并指出其所在位置；（2）C 截面相对于A 截面的相对扭转角。
解：扭矩图如下
x
25T/kN m .
MPa W T t 5.2516
10010536max max =⨯⨯==πτ，发生在BC 段外表面。 11.00019.03210010825001053210010825001024364362211-=-=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=+=+=rad GI l T GI l T P P BC
AB AC ππϕϕϕ。
3.4 图示阶梯形圆轴ABC ，其中AB 段为直径为1d 的实心轴，BC 段为空心轴，其外径125.1d D =。为了保证空心段BC 的最大切应力与实心段AB 的最大切应力相等，试确定空心段内径d 2。
解：()242422
31121max 1616t t t t W d D D d W W T W T =-==⇒==ππτ ()21431322292.037.1D d d D D d ==-=⇒
3.5 图示AB 轴的转速min 120r n =，从B 轮输入功
率=kW 13.44=P ，功率的一半通过锥形齿轮传给垂直
轴II ，另一半由水平轴I 输出。已知mm 6001=D ，
mm 2402=D ，mm 801=d ，mm 602=d ，mm 1003=d ，[]MPa 20=τ。试校核各轴的扭转强度。 解：m kN n P T ⋅=⨯=⨯=51.312013.4455.955.93 m kN n P T ⋅=⨯=⨯=76.1120065.2255.92/55.91 m
kN D D n P T ⋅=⋅⨯=⋅⨯=70.0240/600120065.2255.9/2/55.9212
MPa W T t 5.1716
801076.136111max =⨯⨯==πτ MPa W T t 6.161660107.036222max =⨯⨯==πτ；MPa W T t 9.1716
100105.336333max =⨯⨯==πτ
3.6 三个皮带轮安装在阶梯轴上，其相关尺寸示于图中。中间皮带轮为主动轮，输入功率为kW 40，左、右各有一只从动轮，其输出功率分别为kW 15和kW 25。已知轴的转速为min 180r ，轴材料的许用应力为[]MPa 80=τ。试校核轴的强度。
解：m N n P M A A ⋅=⨯=⨯=8.795180
1595509550 m N n P M B B ⋅=⨯=⨯=2.2122180
4095509550 m N n P M C C ⋅=⨯=⨯=4.1326180
2595509550 []τπτ≤=⨯⨯===MPa W M W T t A t 3.631640108.795331111max ；[]τπτ≤=⨯⨯===MPa W M W T t C t 3.3116
60104.1326332222max 所以，该轴满足强度要求。
3.7 由厚度mm 8=δ的钢板卷制成的圆筒，平均直径为mm 200=D 。接缝处用铆钉铆接（如图所示）。若铆钉直径mm 201=d ，许用切应力[]MPa 60=τ，许用挤压应力[]MPa 160=bs σ，筒的两端受扭转力偶矩m kN 30⋅=e M 作用，试确定
铆钉之间允许的最大间距s 。
解：考虑无接缝的圆筒，其纵向切应力
δ
πδπττ2222D M r T e ===' 假设整个圆筒长度为l ，则整个长度上形成的剪切合力为
2
2D l M l F e πδτ='= 考虑有接缝的圆筒，剪切合力应由铆钉（假设共有n 个，则n
l s =
）承担，每个铆钉承受的剪力或挤压力为 s D M n D l M n F F F e e bs s ⋅====2
222ππ 由剪切条件：
[][]mm M d D s d D s M A F e e s s s 5.39103082020060886
2222122212=⨯⨯⨯⨯⨯=≤⇒≤⋅⋅==ππττππτ 由挤压条件：
[][]mm M d D s d D s M A F e bs bs e bs bs bs 6.5310302820200160226
21212=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=≤⇒≤⋅⋅==πδπσσδπσ 故铆钉之间允许的最大间距s 为39.5mm 。
3.8 图示为外径D 及壁厚t 的圆杆，左端A 为固定端，承受载荷集度为m 的均布力偶作用。设该圆轴的扭
转刚度p GI 为常数，试求自由端B 的扭转角ϕ。
解：任意x 位置截面的扭矩为
()()x L m x T -=
()()dx GI x T x d p =ϕ 故()()p L p L p AB B GI mL dx GI x L m dx GI x T 2200⎰⎰=-===ϕϕ
3.9 直径mm 50=d ，长度为5m 的实心铝制圆轴，最大切应力为40MPa ，铝的剪切弹性模量GPa 3.26=G 。求轴两端的相对扭转角。
解： 4.17304.050
103.26500040223max max max ==⨯⨯⨯⨯=====rad Gd l GI l W GI Tl W T p t p t ττϕτ；
3.10 图示实心圆轴ABC ，转速为min 420r ，传递的总功率为kW 300。假设许用单位长度扭转角[]m 5.0 ='ϕ，剪切弹性模量GPa 80=G 。试确定AB 段的直径d 及BC 段的直径D 。 解：m N n P M A A ⋅=⨯=⨯=0.1819420
8095509550 m N n P M C C ⋅=⨯=⨯=4.5002420
22095509550 ()()[]mm d m d mm rad d G d T GI T AB p AB AB 8.71/10001801080100.181932/1080100.181932323433
433≥⇒'≤⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯==='ϕπ
πππϕ
()()[]mm D m D mm rad D G D T GI T BC p BC BC 4.92/10001801080104.500232/1080104.500232323433433≥⇒'≤⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==='ϕππππϕ ，取[][]mm D mm d 9372==；。
