第二章函数练习题

〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若 , 则 叫做以 为底 的对数, 记作 , 其中 叫做底数, 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: .（2）几个重要的对数恒等式: , , .（3）常用对数与自然对数：常用对数： , 即 ；自然对数： , 即 （其中 …）. （4）对数的运算性质 如果 , 那么 ①加法: ②减法: ③数乘:④log a N a N = ⑤log log (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数 的定义域为 , 值域为 , 从式子 中解出 , 得式子 . 如果对于 在 中的任何一个值, 通过式子 , 在 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 表示 是 的函数, 函数 叫做函数 的反函数, 记作 , 习惯上改写成 .（7）反函数的求法①确定反函数的定义域, 即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ； ③将 改写成 , 并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称.②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域. ③若 在原函数 的图象上, 则 在反函数 的图象上. ④一般地, 函数 要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题:1. 的值是（ ）A.B. 1C. D. 22. 已知x= +1,则log4(x3－x －6)等于 （ ） A.23 B.45 C.0 D.21 3. 已知lg2=a, lg3=b, 则 等于 （ ） A.B.C. D. 4．已知2lg(x －2y)=lgx ＋lgy, 则 的值为（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 4或-15.函数y=)12(log 21 x 的定义域为（ ） A. ( , ＋∞) B. ［1, ＋∞ C. ( , 1 D. (－∞, 1) 6.已知f(ex)=x, 则f(5)等于 （ ）A. e5B. 5eC. ln5D. log5e7. 若 的图像是 （ ）A B C D8. 设集合等于（）A. B.C. D.9. 函数的反函数为（）A. B.C. D.二、填空题:10. 计算: log2.56.25＋lg ＋ln ＋=11. 函数y=log4(x－1)2(x＜1的反函数为__________ .12. 函数y=(log x)2－log x2＋5在2≤x≤4时的值域为______.三、解答题:13．已知y=loga(2－ax)在区间{0, 1}上是x的减函数, 求a的取值范围．14. 已知函数f(x)=lg[(a2－1) x2＋(a＋1)x＋1], 若f(x)的定义域为R, 求实数a的取值范围.15. 已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb, f(－1)=－2, 当x∈R时f(x)≥2x恒成立, 求实数a的值, 并求此时f(x)的最小值？一、选择题: ABBCBCDCBAAB13. , 14.y=1－2x(x∈R), 15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8, 16.17.解析: 因为a是底, 所以其必须满足a>0 且a不等于1a>0所以2-ax为减函数, 要是Y=loga(2-ax)为减函数, 则Y=loga（Z）为增函数, 得a>1又知减函数区间为[0,1], a必须满足2-a*0>0 2-a*1>0 即得a<2综上所述, 啊的取值范围是（1,2）18、解: 依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.当a2－1≠0时, 其充要条件是: 解得a＜－1或a＞又a=－1, f(x)=0满足题意, a=1, 不合题意.所以a的取值范围是: (－∞, －1]∪( , ＋∞)19、解析：由f(－1)=－2, 得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2, 解之lga－lgb=1,∴=10, a=10b．又由x∈R, f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x, 即x2＋xlga＋lgb≥0, 对x∈R恒成立, 由Δ=lg2a－4lgb≤0, 整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0即(lgb－1)2≤0, 只有lgb=1, 不等式成立．即b=10, ∴a=100．∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3当x=－2时, f(x)min=－3．。

课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。

心尺引州丑巴孔市中潭学校第二章函数练习题1．〔2006年卷〕函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是 〔A 〕〔A 〕2(0)21xxy x =>-〔B 〕2(0)21xxy x =<- 〔C 〕21(0)2x xy x -=>〔D 〕21(0)2x xy x -=< 2．〔2006年卷〕函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是〔 〕 A．,020x x y x ⎧≥⎪=< B．2,00x x y x ≥⎧⎪=< C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩2．解：有关分段函数的反函数的求法，选C 。

3．〔2006年卷〕函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，假设()15,f =-那么()()5f f =__________。

3．解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，那么()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。

4．〔2006年卷〕函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞-B. )1,31(-C. )31,31(-D. )31,(--∞ 4．解：由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，应选B.5．〔2006年卷〕以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A.R x x y ∈-=,3 B. R x x y ∈=,sin C. R x x y ∈=, D. R x x y ∈=,)21(5、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;应选A.7．〔2006年卷〕函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)，那么方程0)(=x f 的根是=xA. 4B. 3C. 2D.17．0)(=x f 的根是=x 2，应选C7．〔〕设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，那么a b+等于〔 C 〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕68．〔〕函数2()24(03),f x ax ax a =++<<假设1212,1,x x x x a <+=-那么 〔A 〕 〔A 〕12()()f x f x > 〔B 〕12()()f x f x <〔C 〕12()()f x f x =〔D 〕1()f x 与2()f x 的大小不能确定9．〔〕为确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文→密文〔加密〕，接收方由密文→明文〔解密〕，加密规那么为：明文,,,a b c d对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，那么解密得到的明文为〔C 〕〔A 〕7,6,1,4 〔B 〕6,4,1,7 〔C 〕4,6,1,7 〔D 〕1,6,4,710．( 2006年卷)如下列图，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，那么函数y =f (x )的图象是 ( D )题 〔９〕图11. 〔2006年春卷〕方程1)12(log 3=-x 的解=x 2 . 12. 〔2006年卷〕函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f[]8,5),5(31∈-x x .13. 〔2006年春卷〕函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，那么当),0(∞+∈x 时，=)(x f 4x x -- .14．〔2006年全国卷II 〕函数y ＝ln x －1(x ＞0)的反函数为 (B )〔A 〕y ＝e x ＋1(x ∈R ) 〔B 〕y ＝e x －1(x ∈R )〔C 〕y ＝e x ＋1(x ＞1) (D )y ＝ex －1(x ＞1)15．〔2006年全国卷II 〕函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点 对称，那么f (x )的表达式为 (D ) (A )f (x )＝1log 2x(x ＞0) (B )f (x )＝log 2(－x )(x ＜0) (C )f (x )＝－log 2x (x ＞0) (D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0) 16．〔2006年卷〕函数)(x f y =的图象与函数x a y =〔0>a 且1≠a 〕的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．假设)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，那么实数a 的取值范围是〔 D 〕A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0( 17. 〔2006年卷〕设()xxx f -+=22lg，那么⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 〔B 〕 A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C.()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 --17．解选B 。

人教A 版（2019）高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题（含答案）一、单选题1．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 2．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 3．已知不等式组121x m mx n +<⎧⎨->⎩的解集为（2，3），则（ ） A ．23m n <⎧⎨>⎩B ．23m n =⎧⎨=⎩C ．23m n >⎧⎨<⎩D ．23m n =⎧⎨=⎩4．设a b c d ,,,为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2c cd >B ．a d b c +<+C ．ad bc <D ．2211a b > 5．下列不等式中成立的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b < 6．已知,,a b c 为正数，则“222a b c +>”是“a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 8．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9二、多选题 9．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a < C ．若0a b >>且0c >，则b c b a c a +>+ D ．222(1)a b a b +≥+- 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -cB ．若a >b ，c >d 则ac >bdC ．若ab >0，bc -ad >0，则c d a b> D ．若a >b ，c >d >0，则a b d c > 11．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则a c b d ->-B ．若a b >，且11a b >，则0ab <C ．若0,0a b c >>>，则b c b a c a +>+D ．若0a b <<，则2a ab <12．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2728a b +≥B ．114a b +≤C ．14ab ≤D ≤三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．14．已知正数a ，b 满足5a b +=，则2112a b++的最小值为___________. 15．已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b ++的最小值为________． 16．已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________．四、解答题17．已知函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-．(1)求()f x 的解析式；(2)当0x >时，求()21f x y x-=的最大值．18．已知函数()()24,f x ax x c a c R =-+∈，满足()29f = ，()f c a < ，且函数()f x 的值域为[)0,+∞ ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()3f x kx g x k R x+-=∈，对任意[]1,2x ∈ ，存在[]01,1x ∈- ，使得()()0g x f x < 求k 的取值范围．19．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围.20．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？21．若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当1m =时，求121144x x +--的值； (2)若120,0x x >>，求1211x x +的值及124x x +的最小值．22．已知集合{24}A x x =<<，集合2{1}B x m x m =-<<.(1)若A B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-． （1）求角A 的值；（2）若5b =，5AC CB ⋅=-，求ABC 的周长；（3）若2sin 2sin b B c C bc +=+，求ABC 面积的最大值参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．C8．C9．BCD10．AC11．BC12．ACD13．1214．34##0.75 15．916．14817．（1）解：因为函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-，那么方程2180ax bx ++=的两个根是3-，2，且0a <，由韦达定理有321318332b a a b a ⎧-+=-=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩所以()23318f x x x =--+．（2）解：()221333133f x x x y x x x x ----⎛⎫===-+- ⎪⎝⎭，由0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以1339x x ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭，当1x =时取等号，∴当1x =时，max 9y =-．18．（Ⅰ）根据()29f =，可得417a c += ．由函数()f x 的值域为[)0,+∞ 知，方程240ax x c -+=，判别式0∆= ，即4ac = . 又()f c a < ，24ac c c a ∴-+< ，即c a < ，解得：4,1a c ==，()2441f x x x ∴=-+ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为1x 2=，则当=-1x 时，()f x 取得最大值为9， 若对任意[]1,2x ∈，存在[]01,1x ∈-，使得()()0g x f x < ，即()244139x x kx g x x-++-=<， 即()241320x k x +--< 对任意[]1,2x ∈恒成立．设()()24132h x x k x =+-- ，则()()1020h h ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即116k k <⎧⎨<⎩，解得k 6< ． k ∴的取值范围是(),6-∞19．（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号， ∴2536a a +≤，解得94a -≤≤.即a 的取值范围是[]9,4-.20．设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得27200848482244896m S x x =++≥=⨯+=， 当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 96m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．21．(1)由题可知关于x 的方程2410x x -+=有两个根12,x x ，所以1212Δ1640,4,1,x x x x =->⎧⎨+==⎩ 故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+． (2)由题意关于x 的方程240x mx m -+=有两个正根，所以有212121212Δ>01640,040,00,m m x x x x m x x x x m ⎧⎧->⎪⎪+>⇒+=>⎨⎨⎪⎪>=>⎩⎩解得14m ＞； 同时12124x x x x +=，由120,0x x >>得12114x x +=， 所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于2112,0x x x x >，所以211244x x x x +≥， 当且仅当21124x x x x =，即122x x =，且12124x x x x +=，解得1233,48x x ==时取得“=”， 此时实数91324m =>符合条件， 故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94． 22．(1) ∵A B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴m ≤5m ≥.(2)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B ，∴2124m m -≤⎧⎨≥⎩，解得：m ≤－2或2≤m ≤3. 所以实数m 的取值集合为{2m m ≤-或}23m ≤≤23．（1）2cos 22sin cos 2sin sin a B c b A B C B =-⇒⋅=-,∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin A B A B B A B A B B ⋅=⋅+-=⋅+⋅-,∴1cos 2A =, 0A π<<,3A π∴=;（2）2()AC CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅-=⋅-255cos 5255832c c c π=⋅⋅-=-=-⇒=， 在ABC 中利用余弦定理得：2222212cos 58258492a b c b c A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 7a ∴=，∴ABC ∆的周长为：58720++=；（3）sin sin b c s A a inB C ====∴sin B =sin C =，∴22b c b c bc a a+=，)2221cos 222a abc a abc A +-=⇒=⇒=⇒a =)222233b c b c bc +-=⇒+=+，323bc bc bc ∴+⇒，等号成立当且仅当b c =， ABC面积的最大值为1sin 2maxbc A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。

第二章解析函数习题及解答2.1 研究下列函数在任一点处的可导性、解析性，若可导求其导数值．1）()33i y x z f -=； 2）()z z f =； 3）()z z f =； 4）()y y z f xx sin ie cos e +=.2.2 证明 如果()()()y x v y x u z f ,i ,+=在区域D 内解析且满足下列条件之一，则()z f 必为一常数.1）()z f 在D 内为实值. 2）()z f 在D 内解析. 3）()z f 在D 内为常数. 4）()z f arg 在D 内为一常数.5）在D 内有()()c y x bv y x au =+,,，其中a ，b ，c 是不全为0的实常数. 6）()()z f Re 或()()z f Im 在D 内为常数. 7）在D 内有()0='z f .2.3 证明在极坐标系下的柯西－黎曼条件为11,uurρϕρρϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂vv【提示：另一证明方法，可利用 cos ,sin x y ρϕρϕ==，然后根据复合函数求导证明】2.4 设()()()y x v y x u z f ,i ,+=在D 内解析．证明()()2222224z f z f y x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂.2.5 证明解析函数()()()y x v y x u z f ,i ,+=的实、虚部所确定的曲线族()C y x u =,与()B y x v =,在()0≠'z f 的点处是正交的.（C ，B 为任意实数）2.6 已知下列调和函数求复势表达式()()()y x v y x u z f ,i ,+=．并写成关于z 的表达式. 1）()()12,-=x y y x u ，()i 2-=f 2）()x yy x v arctan,=，0>x2.7设()y y x v pxsin e ,=，求p 之值，使v 为一调和函数，并求一解析函数()()()y x v y x u z f ,i ,+=.2.8 计算下列复数1）()ii 1+ 2）z 1，其中y x zi +=； 3）()i ln -；4）i1i+； 5）()2ln -; 6)Ln(1+i)2.9 求解方程 sin cos 0z z +=2.10 解下列方程1）0sin =z 2）0e 1=+z2.11 证明，对任何数（复数、实数）ω，方程ω=z cos 均有解. 2.12 求ω，使对任意z ，有()z z sin sin =+ω.2.13 若某解析函数的实部等于虚部的平方，证明该解析函数必为常数.(提示：参考例2.6.1即可证明，这是该例的一个特殊情况)本章计算机编程实践与思考(说明：读者可参考第五部分 计算机仿真编程实践)2.14 计算机编程计算π1ii i21234, (1i), iz ez z z -===+=2.15 计算机编程计算 12Ln (34i), ln(i 1)z z =-+=- 2.16 计算机编程解方程 sin 2z = 2.17 计算机编程计算 tan(1i)Arc + 2.18 计算机求解方程 10ze +=2.19 计算机仿真（Matlab,Mathcad,Mathmatic ）绘出 sin , cos , tan , ctan z z z z 的图形. 2.20 对于下列解析函数，分别用计算机仿真方法（Matlab,Mathcad,Mathmatic ）绘出其实部和虚部的等值曲线图．（如等势线、电力线）23(1)(); (2)()f z z f z z ==本章习题解答2.1 研究下列函数在任一点处的可导性、解析性．1）()33i y x z f -=； 2）()z z f =； 3）()z z f =； 4）()y y z f xx sin ie cos e +=．解 1）()()()y x v y x u y x z f ,i ,i 33+=-=故()3,x y x u =，()3,y y x v -=；23xxu=∂∂，0≡∂∂yu，0≡∂∂xv，23yyv-=∂∂显见，u ，v 在全平面有连续一阶偏导，故()y x u ,，()y x v ,全平面处处可微，又令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y u xv y v x u得2233y x -=，即0022==⇔=+y x y x即，当且仅当0==y x 时，C-R 方程成立．所以()z f 仅在0=z 处可导，其他任何点不可导．由解析的定义可知，()z f 于全平面处处不解析．注 由此结果可见，复变函数可存在孤立的甚至唯一的可导点，而无孤立的解析点．2）()y x z z f i -==，对任一0z ，考虑极限()()⎩⎨⎧≠∆=∆-=∆≠∆=∆+∆∆-∆=∆-∆+→∆→∆0,0,10,0,1i i limlim0000y x y x y x yx z z f z z f z z 即对任一0z ，上述极限不存在，由可导定义知，()z z f =于任一点0z 处不可导．故全平面不解析．3）()()()y x v y x u yx z z f ,i ,22+=+==其中()22,yx y x u +=，()0,≡y x v ．所以，当()()0,0,≠y x 时，有22yx x xu+=∂∂，22yx y yu +=∂∂，0≡∂∂=∂∂yu xv因此，对()()0,0,≠∀y x ，C-R 方程不成立．而当()()0,0,=y x 时，由于()()x xxxxu x u x x x 02limlim0,00,lim→→→=-=-不存在，即()xu ∂∂0,0不存在，同理，()y u ∂∂0,0不存在，故()z z f =在0=z 处不可导．于是，()zz f =于全平面处处不可导，不解析．注 在本题讨论中，仍然采用检验可导充要条件的方法，由于()()0,0,≠y x 时，x u∂∂，y u∂∂，x v∂∂，y v∂∂均连续，故u ，v 可微，但C-R 方程处处不成立．对()()0,0,=y x ，从偏导定义出发，得知x u∂∂与y u∂∂不存在，从而()y x u ,在()0,0处不可微，故对平面任一点，可导的充要条件不满足．4）()()()y x v y x u y y z f xx,i ,sin ie cos e +=+=()y y x u xcos e ,=，()y y x v xsin e ,=y v y x u x ∂∂==∂∂cos e ，x v y y u x ∂∂-=-=∂∂sin e ，且x u ∂∂，y u ∂∂于全平面连续，故()z f 于全平面处处可导，全平面处处解析．又，()x v xu z f ∂∂+∂∂='i因此有()()z f y y z f xx=+='sin ie cos e 注 1.这里用区域解析的充分条件得到结论；2.本题中的()f z 是一性质极好的函数：不仅全平面解析，且具有特性()()z f z f ='，它正是实指数函数xe 在复平面的推广，即()ecos ie sin exp exx zf z y y z '=+==．但应注意这一推广产生的新性质：1） 由于y cos 与y sin 以πk 2为周期，使得ze 以i 2π的整数倍为周期．2） ze 可取到除0以外的任意复值，包括负值．这两点是值得注意的．2.2 证明 如果()()()y x v y x u z f ,i ,+=在区域D 内解析且满足下列条件之一，则()z f 必为一常数．1）()z f 在D 内为实值． 2）()z f 在D 内解析． 3）()z f 在D 内为常数．4）()z f arg 在D 内为一常数．5）在D 内有()()c y x bv y x au =+,,，其中a ，b ，c 是不全为0的实常数． 6）()()z f Re 或()()z f Im 在D 内为常数． 7）在D 内有()0='z f ． 证 首先，由条件()()()y x v y x u z f ,i ,+=在D 内解析⇔a ）u ，v 均在D 内可微，且b ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂x v yu y v x u 在D 内处处成立． 1）因为()z f 在D 内取实值，即()0,≡y x v ，()D y x ∈,．于是0≡∂∂=∂∂yv xv，()Dy x ∈,．将此结果代入C-R 方程b ），得0≡∂∂=∂∂yu xu，()D y x ∈,．所以()A y x u =,．()D y x ∈,．即()A z f = D z ∈（A 为一常数）2）于()()()()()[]y x v y x u y x v y x u z f ,i ,,i ,-+=-=在D 内解析．因而除条件a ），b ）成立之外，条件c ）()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂-∂-=∂∂∂∂-=∂-∂=∂∂x v x v yu y v y v x u成立．联立b ），c ）得y vy v∂∂-=∂∂，x v xv∂∂-=∂∂即0=∂∂=∂∂yv xu，()D y x ∈,．又由b ）或c ）得0=∂∂=∂∂yu xu．所以在D 内，恒有()A y x u =,，()B y x v =,．即()B A z f i +=为常数． 3）由于()()()C y x v y x uz f ≡+=,,22，()D y x ∈,．1若0=C ，则()0≡z f ，()0≡⇔∈z f D z ，D z ∈．2若0≠C ，则由()()0,,222≠≡+C y x v y x u，两端分别关于x ，y 求偏导得：e ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00y v v y u u x v v x uu ()D y x ∈,将b ）代入e ）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂00y u u x u v y u v x uu ()D y x ∈,由()()0,,222≠≡+C y x v y x u 得 0≡∂∂=∂∂yu xu， ()D y x ∈,代入b ）得0≡∂∂=∂∂yv xv， ()D y x ∈,于是()A y x u ≡,，()B y x v ≡,即 ()B A z f i +=， D z ∈（A ，B 为任意实常数） 3）因为()≡z f arg 常数，D z ∈，由主值支ωarg 的表达式得f ）()()≡y x u y x v ,,arctan常数C =，及()()0,,222≠≡+C y x v y x u，()D y x ∈,1若0=C ，则()()⎩⎨⎧>≡0,0,y x u y x v ()D y x ∈,归为1）的情形，得证．2若0≠C ，对c ）两端分别关于x ，y 求偏导得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂-∂∂=+∂∂-∂∂002222vu yu vyv u v u xuvx vu ()022≠+vu 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂00yu vyv ux u v x v u将b ）代入得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂00xu uxv v x u v x v u ()D y x ∈,()()0,,22≠+y x v y x u，=∂∂=∂∂∴xv xu再由b ）即得 0=∂∂y v，0=∂∂yu从而得()B A z f i +=，D z ∈（A ，B 为任意实常数）5）()()c y x bv y x u =+,,a ，()D y x ∈,，且a ，b ，c 是不全为0的实常数． 所以有022≠+b a ．于是对上式两端分别关于x ，y 求偏导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00yv byu a x v b x u a将b ）代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂00xv axu b x v b x u a因为022≠+b a ，故得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00x v x u()D y x ∈,再由条件b ）即得0=∂∂yv，0=∂∂yu．于是得()B A z f i +≡，D z ∈（A ，B 为任意实常数）6）1若()()0Im =≡C z f ，则()z f 在D 内取实值．即1）所证．若()()0Im ≠≡C z f 即()C y x v ≡,， ()D y x ∈,则0≡∂∂xv，0≡∂∂y v，()D y x ∈,，代入b ），即得≡∂∂xu ，0≡∂∂yu．()D y x ∈,，()B A z f i +=∴ ， D z ∈（A ，B 为任意实常数）2若()()C z f ≡Re ，即()C y x u ≡,， ()D y x ∈,则0≡∂∂xu，0≡∂∂xu，则由b ）知0≡∂∂xv，0≡∂∂yv，即()B A z f i += ， D z ∈7）由于()x vxu z f ∂∂+∂∂='i ．所以若在D 内有()0='z f ，则0=∂∂xu，0=∂∂xv()D y x ∈,，由条件b ）即得0=∂∂yu，0=∂∂yv()D y x ∈,．所以()B A z f i +=， D z ∈（A ，B 为任意实常数）．注 以上各命题的论证均是在()z f 于区域D 上解析的前提下进行的，否则结论不一定成立．例如，()zz f =为一实值函数，满足条件1）．但它于全平面不解析（见1-26题，3）．显然()zz f =在任何区域D 上不可能取常数值，即无题中的结论． 2.3 证明在极坐标系下的柯西－黎曼条件为11,uurρϕρρϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂vv【提示：另一证明方法，可利用 cos ,sin x y ρϕρϕ==，然后根据复合函数求导证明】 2.4 设()()()y x v y x u z f ,i ,+=在D 内解析．证明()()2222224z f z f y x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂．证 令()()()()y x G y x v y x uz f ,,,222=+=则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂222222222x v v x u u x v x u xG（1）同理得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂222222222y v v y u uy v y u yG（2）并注意()z f 在D 内解析．所以有()y u yv xv xu z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='ii即()22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='y v y u x v x u z f且u ，v 均为调和函数，即0=∆=∆v u ．于是（1）+（2）得 ()222224z f yG x G'=∂∂+∂∂注 本题证明中用到解析函数三条性质：（1）实、虚部满足C-R 方程．（2）()y uyv xv xu z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='i i ．（3）实部、虚部均为调和函数．即0=∆u ，0=∆v ．2.5 证明解析函数()()()y x v y x u z f ,i ,+=的实、虚部所确定的曲线族()C y x u =,与()B y x v =,在()0≠'z f 的点处是正交的．（C ，B 为任意实数）证 因为在()0≠'z f 的点()y x ,，曲线族()C y x u =,在该点处的切线斜率为x v xu yu xu xy k ∂∂∂∂=∂∂∂∂-==d d 1．曲线族()B y x v =,在该点处的切线斜率为x u xv yv xv xy k ∂∂∂∂-=∂∂∂∂-==d d 2．所以121-=k k ．即曲线族()C y x u =,与曲线族()B y x v =,正交． （2）对使得0≠∂∂x u，0=∂∂xv的点()y x ,，曲线族()C y x u =,在该点处的切线为铅直线（∵d d =yx ），而曲线族()B y x v =,在该点处的切线为水平线（∵0d d =xy），故二者正交，同理，当0≠∂∂xv，0=∂∂xu时，二者也正交．注 1.本题证明中用到曲线与曲线正交即为二者在交点处切线的正交这一概念； 2.本题的结论是解析函数在()0≠'z f 处的又一性质．2.6 已知下列调和函数求复势表达式()()()y x v y x u z f ,i ,+=．并写成关于z 的表达式． 1）()()12,-=x y y x u ，()i 2-=f 2）()x yy x v arctan,=，0>x解 由于()()()y x v y x u z f ,i ,+=解析，所以()y x u ,，()y x v ,满足C-R 方程． 1）()()12,-=x y y x u ，故yxu yv2=∂∂=∂∂．由此得()()x C y y x v +=2,，这里()x C 为x 的任一可导函数．又由y u x v∂∂-=∂∂得()()12--='x x C所以()122C x x x C ++-=，1C 为任一实常数． 于是()1222,C x x y y x v ++-=．令2=z ，即⎩⎨⎧==02y x 得 ()i i 21-==C f ∴ 11-=C于是，满足条件的解析函数为()()()12i 1222-+-+-=x x y x y z f所以()()21i --=z z f2）在极坐标系下，C-R 方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂∂∂-=∂∂r ur v r v r u θθ形式． 令θ==x y v arctan （则由0>x 得⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππθ），有1=∂∂θv ，0=∂∂r v ，所以得1=∂∂r ur ，即r ru1=∂∂解得 ()()θθC r r u +=ln , ()θC 为θ的任一可导函数．又由()0=∂∂-='=∂∂rv rC uθθ得()1C C =θ．1C 为任一实常数．所以 ()1ln ,C r r u +=θ()()()θθθi ln ,i ,1++=+=C r r v r u z f注意z r =，()0arg arctan >==x z x yθ得()1arg i ln C z z z f ++=2.7设()y y x v pxsin e,=，求p 之值，使v 为一调和函数，并求一解析函数()()()y x v y x u z f ,i ,+=．解 因为()y y x v pxsin e,=，所以yp xv pxsin e=∂∂，yp xvpxsin e222=∂∂，yyvpxcos e=∂∂，yyvpxsin e-=∂∂由[]1sin e22222=-=∂∂+∂∂=∆p y yv xv v px，得1±=p ．（1）当1=p 时，()y y x v xsin e ,=．由1-32题的方法易求出调和函数()c y y x u x+=cos e ,，则()C y C y z f zxx+=++=e sin ie cos e 为所求解析函数，其中C 为任意实常数．（2）当1-=p 时，()y y x v xsin e ,-=．可求得调和函数()1cos e,C y y x u x+-=-．（1C 为任一实常数）．于是所求的解析函数为()()()[]111esin i cos esin iecos eC C y y y C y z f xzxx+-=+-+--=++-=---- (全平面解析)2.8 计算下列复数1）()ii 1+ 2）z1，其中y x z i +=； 3）()i ln -；4）i1i+；5）()2ln -解 1）()()2iln 2412i 4i2ln i i 1iln ieee i 1+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++===+πππk k （k 为整数）2）()()()x k x k yk y yx zππππ2sini 2cos ee11k 22i i x i +===-++ () ,2,1,0±±=k当0=k 时得 11=z3）()()πππk k 2i 2i2i i iarg i ln i ln +-=+-+-=- () ,2,1,0±±=k4）()() ,2,1,0iek 22/1±±=+k π；5）()() ,2,1,012i 2ln ±±=++k k π 注 （i ）.以上各题均由定义求得；(ii). 值得注意的是，1只是z 1无穷多个值中的一个值（对应于0=k ），这与实变量函数中的概念不同．2.9 求解方程 sin cos 0z z +=【解】 (2)22sin cos 0(1)(1)2211/4, (0,1,2,)iz iziz iziz izi n ize e e ez z e i ei ii ei eiz n n ππππ-----++=+=∴-=-++=-=-=-∴=-=±±2.10 解下列方程1）0sin =z 2）0e 1=+z解2） ∵i2ee sin i i =-=-zz z∴ zzi i ee-=，即1e 2i =z由对数函数定义得 πk z 2i 1ln 2i == ∴ πk z k =，k 为任意整数． 3）由01e =+z 得1e -=z由对数函数定义得 ()()π12i 1ln +=-=k z k k 为任意整数 主值为i 0π=z2.11 证明，对任何数（复数、实数）ω，方程ω=z cos 均有解． 证在2ee cos i i zz z -+=中，令zt i e=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t z 121cos ，且()x x t yzsin i coseei +==-，所以0≠t ．且t 可取到任意非0值．于是，原方程即为ω=⎪⎭⎫⎝⎛+t t 121，即0122=+-t t ω．所以12-+=ωωt ．（这里12-ω有两个根） 故01e2i ≠-+=ωωz，由对数函数定义得()()1iln 1ln i 122-+-=-+=ωωωωz所以012≠-+ωω．故右端对任意ω均有意义，得证．注 这里的结果说明两点：（1）复变量余弦函数可取到任意值（复、实值），而不象实余弦函数取值区间仅为[]1,1-；（2）所得结果改变z 与ω的位置，即得()1iln 2-+-=z z ω）．这正是z cos =ω的反函数．可对z sin 进行同样讨论，此略． 2.12 求ω，使对任意z ，有()z z sin sin =+ω．解 由z sin 的定义，即求满足方程()()zz z z i i i i e e e e -+-+-=-ωω的一切ω值．整理化简即得 ()()ωωωi i i 2i e1e1ee ----=-⋅z，对任意z 成立．且因0eei 2i ≠⋅ωz．故得0e1i =--ω，即πωk 2i 1ln i ==-．k 为任意整数．所以 πωm 2= () ,2,1,0±±=m注 由此题结果可见，复变量正、余弦函数为周期函数，且周期与实变量正、余弦的相同． 2.13 若某解析函数的实部等于虚部的平方，证明该解析函数必为常数． 【提示，参考例2.6.1即可证明，这是该例的一个特殊情况】。

高一数学第二章函数练习题一、选择题1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2（B ）3（C ）4 （D ）52、已知不等式为27331<≤x ，则x 的取值范围（A ）321<≤-x（B ）321<≤x （C ）R （D ）3121<≤x 3、函数112-=x y 在定义域上的单调性为（A ）在()1,∞-上是增函数，在()+∞,1上是增函数 （B ）减函数 （C ）在()1,∞-上是减增函数，在()+∞,1上是减函数 （D ）增函数 4、函数xxx f -+=11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则 （A ）B B A = （B ）B A ⊆（C ）B B A = （D ）B A =5、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(-(B))4,1(--(C))1,4(--(D))4,1(-6、下列式子或表格①)1)(1(log 1>-+-=a x a y a x ②x y 2=，其中}3,2,1,0{∈x ,}4,2,0{∈y ③122=+y x④)0(122≥=+y y x⑤其中表示y 是x 的函数的是（A ）①②③④⑤ （B ）②③⑤ （C ）③④ （D ）④⑤7、已知函数)(x f y =的反函数)(1x f-的定义域为]1,0[，那么函数))((R m m x f y ∈+=的值域是（A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R8、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a（B ）33≤≤-a （C ）30≤<a （D ）03<≤-a9、已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是(A) ]43,(--∞ (B) )0,43[- (C) ),0[+∞ (D) )1,(--∞10、函数12+=-x a y (0>a ，且1≠a )的图象必经过点(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)11、下列函数中值域为()∞+，0的是 (A) xy -=215(B) xy -⎪⎭⎫⎝⎛=131(C) 121-⎪⎭⎫⎝⎛=xy (D) x y 21-=12、甲乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数课时练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知抛物线()20y ax bx c a =++<经过()1,A x m ，()21,B x m -，()2,C x p ，()11,D x q -，若12x x <时，则m ，p ，q 的大小关系是（ ）A ．m p q <<B ．m p q <=C ．p q m =<D ．p q m <<2、如图，线段AB ＝5，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ，以点A 为圆心，线段AP 长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，⊙A 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．一次函数关系， 二次函数关系D ．正比例函数关系，二次函数关系 3、将抛物线2y x 向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）．A ．()235y x =-+B ．()253y x =-+C ．()235y x =+-D ．()253y x =--4、在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（m ，m 2 - bm ），b 为常数且b > 3．若m 2 - bm b ，m < 2?b ，则点M 的横坐标m 的取值范围是 （ ）A ．0 < mB ．mC m < 3? 2?D ．m < 3? 2?5、关于二次函数y =-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）A ．当x ＞-2时，y 随x 增大而减小B ．当x ＞-2时，y 随x 增大而增大C ．当x ＞2时，y 随x 增大而减小D ．当x ＞2时，y 随x 增大而增大6、已知点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c （a ≠0）上两点，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是（ ）A ．若x 1+x 2＜4，则y 1＜y 2B ．若x 1+x 2＞4，则y 1＜y 2C ．若a （x 1+x 2﹣4）＞0，则y 1＞y 2D ．若a （x 1+x 2﹣4）＜0，则y 1＞y 27、在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线y b =与新函数的图象有3个公共点，则b 的值是（ ）A ．0B ．-3C ．-4D ．-58、下图是抛物线y = ax 2 + bx + c 的示意图，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．0C ．- 1D ．- 29、已知二次函数y ＝a （x +1）2+b （a ＜0）有最大值1，则b 的大小为（ ）A ．﹣1B ．1C ．0D ．不能确定 10、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知P (1x ，1)，Q (2x ，1)两点都在抛物线241y x x =-+上，那么12x x +=________．2、如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论：①0ac <；②b 0a +=；③240b ac -<；④b 0a c ++>．其中正确的是（______）．（填序号）3、从﹣2，﹣1，1，3，5五个数中随机选取一个数作为二次函数y ＝ax 2+x ﹣3中a 的值，则二次函数图象开口向上的概率是 _____．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），直线y kx b =+经过点A ；当1b =时，直线y kx b =+分别与y 轴，抛物线21y x =-交于1P ，1Q 两点；当2b =时，直线y kx b =+分别与y 轴，抛物线21y x =-交于2P ，2Q 两点；……；当b n =（n 为正整数）时，直线y kx b =+分别与y 轴，抛物线21y x =-交于n P ，n Q 两点，则线段n n P Q 长为______．（用含n 的代数式表示）5、二次函数()22y x h k =-+（h 、k 均为常数）的图象经过A （－2，y 1）、B （0，y 2）、C （2，y 3）三点，若y 2＜y 1＜y 3，则h 的取值范围是___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数()()231112x bx x y k x x ⎧---≥⎪=⎨+<⎪-⎩的图象与性质进了探究，请补充完整以下的探索过程．（1）填空：b =______，k =______．（2）①根据上述表格补全函数图象；②写出一条该函数图象的性质：______．=+与该函数图象有三个交点，直接写出t的取值范围．（3）若直线y x t2、小明对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．根据已知条件，列出了下表：（1）根据以上信息求出这个函数的表达式；（2）请将以上表格填全；（3）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；（4）在同一直角坐标系中画出函数y＝-x+1的图象，结合函数图象，写出方程a|x2+bx|+c=-x+1的解：．3、在实施乡村振兴战略和移动互联快速进化的大背景下，某电商平台以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经前期销售发现日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，整理部分数据如下表：（1）求y关于x的函数表达式．（2）为了稳定物价，有关管理部门规定这种农产品利润率不得高于50%，该平台应如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润w最大？（利润=售价－成本，利润率=利润÷成本×100%）4、某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．（1）当售价为60元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？（3）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？5、在平面直角坐标系xOy 中，对于抛物线y ＝ax 2﹣x +1（a ＞0）．（1）求抛物线y ＝ax 2﹣x +1的顶点坐标；（2）当﹣1≤x ≤2时，y 的最大值为7，求a ；（3）分别过点M （t ，0）和点N （t +1，0）作x 轴垂线，交抛物线于点A 和B ．记抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象G （包括A ，B 两点），若对于任意的t ，在图象G 上都存在两点，且这两点纵坐标的差的绝对值不小于1，请直接写出a 的最小值．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由()1,A x m ，()21,B x m -纵坐标相同可以看出AB 关于对称轴对称，即对称轴为1212x x x +-=，再结合C 、D 坐标可得C 、D 关于对称轴对称，再根据12x x <，比较m 和p 的大小即可．【详解】∵()1,A x m ，()21,B x m - ∴对称轴为1212x x x +-=∴()2,C x p ，()11,D x q -关于对称轴对称，即p q =∵12x x < ∴12122212222x x x x x x +-+<<= ∴()2,C x p 在对称轴右边当()1,A x m 也在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵12x x <，∴p q m =<当()21,B x m -在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵221x x -<，∴p q m =<∴p q m =<故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据AB 纵坐标相同可以看出A 、B 关于对称轴对称．2、C【分析】根据题意分别列出y 与t ，S 与t 的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得AP t =，5PB AB AP t =-=-，即5y t =-()05t ≤≤，是一次函数；⊙A 的面积为S =22AP t ππ⨯=，即2S t π=()05t ≤≤，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．3、D【分析】根据抛物线平移的性质计算即可．【详解】∵抛物线2y x 的顶点坐标为（0，0）又∵向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度∴此时顶点坐标为（5，-3）∴移动后抛物线方程为()253y x =--故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线的移动，抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．抛物线的移动主要看顶点的移动，2y ax =的顶点是（0，0），抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移4、B【分析】由m 2 - bm ，得到m 2 - bm =0，因式分解得1m ，2m b =12m m <，故当m 2 - bm b >0时，m <m b >32m <，且m b >m b >.【详解】m 2 - bm b ，∴ m 2- bm b >0，令m 2 - bm =0，则()0m m b +=，则0m 或0m b =，解得：1m 2m b =二次函数y = x 2 - bx ，开口向上，与x 轴交点为x 1，x 2，（且x 1<x 2），则当y >0时，x < x 1，或x >x 2，令x =m ，则y = m 2 - bm =0，解得1m ，2m b =3b >>2b ->即12m m <，∴当m 2 - bm >0时，m <m b > 32b m b <>，， 332m m b b ∴<>>，，则332m b ∴>， 32m <，且m b >m b >m ∴<故选：B 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象的性质，对m b >是解答此题的关键.5、C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2--23y x =（）＋， ∴抛物线开口向下，对称轴为x =2，顶点坐标为（2，3），∵二次函数的图象为一条抛物线，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，x ＜2时，y 随x 增大而增大 ∴C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a （x -h ）2+k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．6、C【分析】先求出抛物线的对称轴为2x =，然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减性，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c ， ∴抛物线的对称轴为：422a x a=-=-， 当点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）恰好关于2x =对称时，有1222x x +=， ∴124x x +=，即1240x x +-=，∵x 1＜x 2，∴122x x <<；∵抛物线的开口方向没有确定，则需要对a 进行讨论，故排除A 、B ；当0a >时，抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c 的开口向下，此时距离2x =越远，y 值越小；∵a （x 1+x 2﹣4）＞0，∴1240x x +->，∴点P 2（x 2，y 2）距离直线2x =较远，∴12y y >；当0a <时，抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c 的开口向上，此时距离2x =越远，y 值越大；∵a （x 1+x 2﹣4）＞0，∴1240x x +-<，∴点P 1（x 1，y 1）距离直线2x =较远，∴12y y >；故C 符合题意；D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析．7、C【分析】由图可知，当y b =与新函数有3个交点时，y b =过新函数的顶点D ，求出点D 的坐标，其纵坐标即为所求．【详解】解：原二次函数()222314y x x x =-++=--+，∴顶点()1,4C ，翻折后点C 对应的点为()1,4D -，∴当直线y b =与新函数的图象有3个公共点，直线y b =过点D ，此时4b =-．故选：C .【点睛】本题主要考查了翻折的性质，抛物线的性质，确定翻折后的顶点坐标；利用数形结合的方法是解本题的关键．8、A【分析】根据二次函数的图象确定a 的取值范围即可得．【详解】解：根据二次函数图象可得：开口向上，∴0a >，故选：A ．【点睛】题目主要考查根据函数图象确定二次函数字母系数的取值范围，熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题关键．9、B【分析】根据二次函数的性质，由最大值求出b 即可．【详解】解：∵二次函数y ＝a （x +1）2+b （a ＜0），∴抛物线开口向下，又∵最大值为1，即b ＝1，∴b ＝1．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．10、C【分析】由抛物线开口向上得a >0，由抛物线的对称轴为直线x =-2b a>0得b <0，判断①；由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得c <0，则abc >0判断②，利用图象将x =1，-1，2代入函数解析式判断y 的值，进而对③④⑤所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a >0，∵抛物线的对称轴x =-2b a>0， ∴b ＜0，∵-2b a ＞1， ∴2a >-b ，∴2a-b＞-2b，∵b＜0，∴-2b>0，即2a-b>0，故①错误；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴abc＞0，所以②错误；如图所示：当x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确；当x=-1时，y=a-b+c>0，故④正确；当x=2时，y=4a+2b+c>0，故⑤正确，故错误的有3个．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．二、填空题1、4【分析】根据P(1x，1)，Q(2x，1)的纵坐标相等，得出关于抛物线对称轴对称，即可求解．【详解】解：P(1x，1)，Q(2x，1)两点都在抛物线241y x x=-+上，根据纵坐标相等得，P (1x ，1)，Q (2x ，1)关于抛物线的对称轴对称，12222x x b a +∴=-=， 124x x ∴+=，故答案是：4．【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性求解．2、①②④【分析】根据开口方向、对称轴以及抛物线与y 轴的交点可判断①，根据对称轴可判断②，根据与x 轴的交点个数可判断③，根据特殊点可判断④．【详解】解：①∵抛物线开口向下，∴0a <，∵抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴，∴0c >，∴0ac <，①正确； ②∵抛物线的对称轴为122b x a =-=， ∴b a =-，∴0a b +=，②正确；③根据图象可得：抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，③错误；④∵抛物线的对称轴为x ＝12，∴1x =与0x =时y 值相等，∵当0x =时，0y c =＞，∴当1x =时，0y a b c =++＞，④正确．综上所述：正确的结论为①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a 、b 、c 之间的关系是解题的关键．3、35 【分析】二次函数图象开口向上得出a ＞0，从所列5个数中找到a ＞0的个数，再根据概率公式求解可得．【详解】解：∵从﹣2，﹣1，1，3，5五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有1，3，5这3种结果， ∴该二次函数图象开口向上的概率为35， 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．4、2(1)n +【分析】根据抛物线解析式结合题意可求出A 点坐标，又点A 在直线上，即可求出k b =，即得出直线解析式．当b n =时，直线解析式即为y nx n =+，即可求出此时n P 的坐标．联立抛物线解析式和直线解析式，即可求出n Q 的坐标，再代入抛物线解析式，可求出其纵坐标．最后利用两点的距离公式就出结果即可．【详解】∵21y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），令0y =，则210x -=，解得：11x =-，21x =． ∴A 点坐标为(-1，0)．∵直线y kx b =+经过点A ，∴0k b =-+，解得：k b =，∴该直线解析式为y bx b =+．当b n =时，直线解析式为y nx n =+，令0x =，则y n =，∴n P 的坐标为(0，n )．联立21y x y nx n ⎧=-⎨=+⎩，即()1(1)0x n x -++=⎡⎤⎣⎦， 解得：11x =-，21x n =+．∴n Q 的横坐标为n +1．将1x n =+代入21y x =-中，得：22y n n =+，∴n Q 的坐标为(212n n n ++，)．∴n n P Q ==2(1)n ==+ 故答案为：2(1)n +．【点睛】本题为二次函数与一次函数综合题，较难．考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与一次函数图象的交点以及两点的距离公式．正确求出n P 和n Q 的坐标是解答本题的关键．5、1<<0h -【分析】首先判定出二次函数开口向上，对称轴为x h =，然后根据二次函数的增减性求解即可．【详解】解：∵二次函数()22y x h k =-+（h 、k 均为常数），∵2>0，∴二次函数开口向上，对称轴为x h =，∵图象经过A （－2，y 1）、B （0，y 2）、C （2，y 3）三点，由y 2＜y 1＜y 3可得，点A 离对称轴比点B 离对称轴远，点C 离对称轴比点A 离对称轴远，∴20<222>2h h -+⎧⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩，解得：1<<0h -． 故答案为：1<<0h -．【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．三、解答题1、（1）4-，1；（2）①作图见解析；②当1x <时，y 随x 增大而减少；（3）314x -<<-【分析】（1）将表格中的数据代入解析式即可求得k 、b 的值.（2）描点画图即可，由图象可得函数图象性质，答案不唯一．（3）求出直线y x t =+与抛物线243y x x =-+-有两个交点的t 的取值范围，若直线与该函数图象有三个交点，则曲线y =112x +-至少与直线有一个交点才可满足，即可由此得出t 的取值范围． 【详解】解：（1）将（1，0）代入()231y x bx x =---≥ 则130b ---=解得b =-4将（0，12）代入()112k y x x =+<- 则1122k +=- 解得k =1（2）函数图象如图所示，函数性质：如：当1x <时，y 随x 增大而减少．答案不唯一（3）联立243y x x y x t =-+-=+，得2330x x t -+--=即()()224341334b ac t t =-=-⨯-⨯--=--令0>即340t -->34t <- 即当34t <-时，直线y x t =+与抛物线243(1)y x x x =-+-≥有两个交点．当y x t =+过点（1，0）时与y =11(1)2x x +<-有一个交点， 此时直线y x t =+与该函数图象有三个交点将点（1，0）代入y x t =+1+t =0解得此时t =-1则此时直线解析式为1y x =-由图像可知，直线再向下移动则与y =11(1)2x x +<-没有交点 ∵直线y x t =+与抛物线243(1)y x x x =-+-≥最多有两个交点∴直线y x t =+与曲线y =11(1)2x x +<-至少一个交点 故1t >- 综上所述314t -<<-时，直线y x t =+与该函数图象有三个交点．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，熟悉一次函数、反比例函数以及二次函数的图象及其性质，结合图象计算交点个数，运用数形结合方法是解题的关键．2、（1）y ＝|x 2﹣4x |﹣3；（2）见解析；（3）见解析；（4）1231,1,4x x x =-==【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；（2）将x =-1，2，5分别代入解析式计算即可；（3）描点，用平滑的曲线连接即可；（4）结合图形写出交点横坐标即可；【详解】解：（1）将（0，-3）（1，0）（3，0）代入y ＝a |x 2+bx |+c 得301093c a b c a b c ⎧-=⎪=++⎨⎪=++⎩解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 所以表达式为y ＝|x 2﹣4x |﹣3（2）当x =-1时，y =2；当x =2时，y =1当x =5时，y =2（3）如图：（4）y ＝-x +1与y ＝|x 2﹣4x |﹣3图象的交点即为方程a |x 2+bx |+c =-x +1的解，由图可知交点为：（-1，2）（1，0）（4，-3）即答案为：1231,1,4x x x =-==【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的关系解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．3、（1）y 关于x 的函数表达式为1002200y x =-+；（2）当销售价格为15元时，才能使日销售利润最大．【分析】（1）设y 关于x 的函数表达式为y kx b =+，然后由表格任取两个数据代入求解即可；（2）由（1）及题意易得()()()2101002200100163600w x x x =--+=--+，然后根据“规定这种农产品利润率不得高于50%”及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）设y 关于x 的函数表达式为y kx b =+，则把12,1000x y ==和13,900x y ==代入得： 12100013900k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1002200k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 关于x 的函数表达式为1002200y x =-+；（2）由（1）及题意得：()()()22101002200100320022000100163600w x x x x x =--+=-+-=--+， ∴-100＜0，开口向下，对称轴为直线16x =，∵这种农产品利润率不得高于50%，∴101050x -≤⨯％，解得：15x ≤，∴当15x ≤时，w 随x 的增大而增大，∴当15x =时，w 有最大值；答：当销售价格为15元时，才能使日销售利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，解题的关键是得到销售量与销售价格的函数关系式．4、（1）400千克（2）60元或80元（3）当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；（2）设每千克水果售价为x 元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；（3）设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y 元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．（1）解：当售价为60元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（60﹣50）＝400千克；答：当售价为60元/千克时，每月销售水果400千克．（2）解：设每千克水果售价为x元，由题意可得：8000＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，解得：x1＝60，x2＝80，答：每千克水果售价为60元或80元；（3）解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，因为水果销售量不少于400千克，所以，500﹣10（m﹣50）≥400，解得，m≤60，∵﹣10＜0，当m＜70时，y随x增大而增大，∴当m＝60时，y有最大值为8000元，答：当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．5、（1）顶点坐标为（12a，114a-）．（2）2a=（3）a的最小值为1．【分析】（1）先求出函数的对称轴，将对称轴代入二次函数解析式，求出顶点纵坐标．（2）根据对称轴是否在x 的取值范围的中间值的左右两侧，分成两类情况进行讨论即可．（3）先明确只要使得1t x t ≤≤+上的最大值与最小值之差不小于1，就能找到满足条件的两点，由于1t x t ≤≤+不固定，故最后要找到所有t 中，使得最大值与最小值之差最小的那个t ，此时只需让最小的差值不小1即可，此时利用不等式，就可求出a 的取值范围，进而得到a 的最小值．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线1122x a a-=-= ∴将12x a =代入抛物线解析式中，求得2111()11224y a a a a=⨯-+=-． ∴ 抛物线顶点坐标为（12a ，114a-）． （2）解：由（1）可知：抛物线的对称轴为：102x a =>，且抛物线开口向上， ∴当﹣1≤x ≤2时，按照对称轴在x 的取值范围的中间值左右两侧，分为两类情况求解抛物线的最大值，情况1：当1121222a -+≤=，即1a ≥时， 此时：2x =时，y 有最大值为7，故27221a =⨯-+，解得：2a = ，2a ∴= ，情况2：当1121222a -+≥=，即01a <≤时， 此时：1x =-时，y 有最大值为7，故27(1)(1)1a =⨯---+，解得：5a =，01a <≤5a ∴=不符合题意，综上所述：2a =．（3）解：若对于任意的t ，在图象G 上都存在两点，且这两点纵坐标的差的绝对值不小于1，故只需要对于每一个固定的1t x t ≤≤+中的最大值与最小值之差都不小于1即可，对于不同的t 的取值范围，其取值范围上的最大值与最小值之差都不相同，∴需要在所有的t 的取值范围中找到最大值与最小值之差最小的那一个， 由二次函数的性质可知：当对称轴12x a =处在 1t x t ≤≤+的中间位置时，即1121222t t t a +++==，此时的最大值与最小值之差在整个t 的取值中最小，∴此时：12x a =，y 有最小值为：114a-， x =1122a +时， y 有最大值为：114a a -+， 11(1)(1)144a a a∴-+--≥，解得：1a ≥ ， ∴a 的最小值为1．【点睛】本题主要是考查了二次函数的对称轴、动点区间求最值问题，根据题意，找到分类讨论的依据，利用二次函数的图像与性质，正确找出最大值与最小值，这是解题的关键．。

必修1第二章_基本初等函数练习题§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）1. 44(3)-的值是（ ）.A. 3B. －3C. ±3D. 81 2. 625的4次方根是（ ）.A. 5B. －5C. ±5D. 25 3. 化简22()b -是（ ）.A. b -B. bC. b ±D. 1b4. 化简66()a b -= .5. 计算：33(5)-= ；243 . 做一做1. 计算：（1）510a ； （2） 397.2. 计算34a a -⨯和3(8)a +-，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？3. 对比()nnnab a b =与()n nna a bb=，你能把后者归入前者吗？§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（ ）.A. mmnn a a a ÷= B. m n mn a a a ⋅=C. ()nm m n a a += D. 01n n a a -÷=2. 化简3225的结果是（ ）.A. 5B. 15C. 25D. 125 3. 计算()1222--⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）.A ．2B ．2- Ｃ．22D ．22-4. 化简2327-= .5. 若102,104mn==，则3210m n-= .做一做1. 化简下列各式： （1）3236()49； （2）233aba b ab.2. 计算：34333324381224a abb a a ab a⎛⎫-÷- ⎪ ⎪++⎝⎭. §2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）1. 329的值为（ ）.A. 3B. 33C. 3D. 729 2.354aa a(a >0)的值是（ ）.A. 1B. aC. 15aD. 1710a3. 下列各式中成立的是（ ）.A ．1777()nn m m= B ．4312(3)3-=-C ．33344()x y x y +=+ D ．3393=4. 化简3225()4-= .5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷= .做一做1. 已知32x a b --=+, 求42362x a x a ---+的值.2. 探究：()2n n n n a a a +=时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.§2.1.2 指数函数及其性质（1）1. 函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值 2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）.A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2) 3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5. 函数1()19x y =-的定义域为 .做一做 1. 求函数y =1151xx --的定义域2. 探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？§2.1.2 指数函数及其性质（2）1. 如果函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象与函数y =b x(b >0,b ≠1)的图象关于y 轴对称，则有（ ）. A. a >b B. a <bC. ab =1D. a 与b 无确定关系2. 函数f (x )=3－x－1的定义域、值域分别是（ ）. A. R ， R B. R ，(0,)+∞ C. R ，(1,)-+∞ D.以上都不对3. 设a 、b 均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）.A. y =a x 的图象与y =a －x 的图象关于y 轴对称B. 函数f (x )=a 1－x (a >1)在R 上递减C. 若a2>a21-，则a >1 D. 若2x >1，则1x >4. 比较下列各组数的大小：122()5- 320.4-（）；0.7633（）0.753-（）.5. 在同一坐标系下，函数y =a x , y =b x , y =c x , y =d x 的图象如右图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是 . 做一做1. 已知函数f (x )=a －221x+(a ∈R)，求证：对任何a R∈， f (x )为增函数.2. 求函数2121xxy -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.§2.2.1 对数与对数运算（1）1. 若2log 3x =，则x =（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 92. (1)log (1)n n n n +-++= （ ）.A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2lo g (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,5)-∞B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5) 4. 计算：21log(322)++= .5. 若log (21)1x +=-，则x =________，若2l og 8y =，则y =___________.做一做1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. （1）53243=； （2）51232-=； （3）430a=（4）1() 1.032m=； （5）12log 164=-；（6）2log 1287=； （7）3log 27a =. 2. 计算：（1）9log 27； （2）3log 243； （3）43log 81；（3）(23)log (23)+-； （4）345log 625.§§2.2.1 对数与对数运算（2）1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+= D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）. A ．x =a +3b －c B ．35ab x c=C ．35ab x c=D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）.A ．y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x = 4. 计算：（1）99log 3log 27+= ； （2）2121log log 22+=.5. 计算：315lg lg523+=.做一做 1. 计算： （1）lg27lg 83lg 10lg 1.2+-；（2）2lg 2lg 2lg 5lg 5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b-=.§2.2.1 对数与对数运算（3）1. 25log ()5a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A ．－aB ．a 2C ．｜a ｜D ．a2. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（ ）. A. 3 B. 23 C. 22 D. 32 3. 已知35a b m ==，且112a b +=，则m 之值为（ ）.A ．15B ．15C ．±15D ．2254. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 .5. 已知lg 20.3010=，lg1.07180.0301=，则lg 2.5= ；1102= ．做一做 1. 化简： （1）222lg 5lg 8lg 5lg 20(lg 2)3+++；（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5. 2. 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求x y的值．§2.2.2 对数函数及其性质（1）1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）. A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. [)2,+∞ D. [)3,+∞3. 不等式的41log 2x >解集是（）.A. (2,)+∞B. (0,2) B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)24. 比大小： （1）log 67 log 7 6 ； （2）log 31.5 log 2 0.8.5. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 . 做一做1. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小： （1）3log m ＜3log n ； （2）0.3log m ＞0.3log n ； （3）log a m ＞log a n (a ＞1)2. 求下列函数的定义域： （1）2log (35)y x =-；（2）0.5log 43y x =-.§2.2.2 对数函数及其性质（2）1. 函数0.5log y x =的反函数是（ ）.A.0.5log y x =-B. 2log y x =C. 2x y =D. 1()2x y =2. 函数2x y =的反函数的单调性是（ ）. A. 在R 上单调递增 B. 在R 上单调递减C. 在(0,)+∞上单调递增D. 在(0,)+∞上单调递减 3. 函数2(0)y x x =<的反函数是（ ）. A. (0)y x x =±> B. (0)y x x =>C. (0)y x x =->D. y x =±4. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 .5. 右图是函数1log a y x =，2log a y x =3log a y x=，4log a y x =的图象，则底数之间的关系为 .做一做1. 现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg 30.477,lg 20.301==）. 2. 探究：求(0)ax b y ac cx d +=≠+的反函数，并求出两个函数的定义域与值域，通过对定义域与值域的比较，你能得出一些什么结论？ §2.2 对数函数（练习） 1. 下列函数与y x =有相同图象的一个函数是（ ） A. 2y x= B. 2xy x=C. log (01)a xy aa a =>≠且 D. log xa y a =2. 函数12log (32)y x =-的定义域是（ ）. A. [1,)+∞ B. 2(,)3+∞ C. 2[,1]3D. 2(,1]33. 若(ln )34f x x =+，则()f x 的表达式为（ ） A. 3ln x B. 3ln 4x + C. 3x e D. 34x e +4.函数2()lg (8)f x x =+的定义域为 ，值域为 ．5. 将20.3，2log 0.5，0.5log 1.5由小到大排列的顺序是 . 做一做1. 若定义在区间(1,0)-内的函数2()lo g (1)a f x x =+满足()0f x >，则实数a 的取值范围.2. 已知函数211()log 1x f x x x+=--，求函数()f x 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．§2.3 幂函数1. 若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0 B ．α<0 C ．α=0 D ．不能确定2. 函数43y x =的图象是（）.A. B. C. D.3. 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）.A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a4. 比大小：（1）11221.3_____1.5；（2）225.1______5.09--.5. 已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2)，则它的解析式为 . 做一做1. 已知幂函数f （x ）＝13222pp x -++（p ∈Z ）在(0,)+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f （x ）. 2. 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比． （1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为400cm 3/s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率． 第二章 基本初等函数复习 1. 函数2322x x y --+=的单调递增区间为（ ）.A. 3(,)2-∞ B. 3(,)2+∞ C. 3(,)2-∞- D. 3(,)2-+∞2. 设2(log )2(0)xf x x =>，则(3)f 的值是（ ）.A. 128B. 256C. 512D. 8 3. 函数22log (1)y x x =++的奇偶性为（ ）.A ．奇函数而非偶函数B ．偶函数而非奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇且偶函数4. 函数2y x -=在区间1[,2]2上的最大值是 .5. 若函数12(lo g )x y a =为减函数，则a 的取值范围是 .做一做1. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？ 2. 某公司经过市场调查，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生产的产品全部销售出去. 为了追求最大的利润，该公司计划从当月开始，每月让产品生产量递增，且10个月后设法将该商品的生产量翻两番，求平均每月生产量的增长率.课堂练习 1．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是 （ ） A ．41B ．21C ．2D ．42．下列函数是幂函数的是（ ）Ａ、22y x = B 、3y x x =+ C 、3xy = D 、12y x = 3．计算331log 12log 22-=（ ）A. 3B. 23C.21 D.34．在区间),0(+∞上不是增函数的是( ) A.2xy = B x y log2=C.xy 2=D.122++=x x y5．方程lg lg(3)1x x +-=的解为 （ ） A 、5或-2 B 、5 C 、-2 D 、无解 6．函数)1(log )(++=x a x f a x在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( )A. 41B. 21C. 2D. 47函数22()log (2)x f x x =-的定义域是 ．8．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝_____．9．已知函数)]91(f [f ,)0x (20)(x x log )x (f x3则，，⎩⎨⎧≤>=的值为10．函数(2)x y a =-在定义域内是减函数，则a 的取值范围是 11．计算：4160.2503432162322428200549-⨯+--⨯--（）（）（）（）12．设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩, 求满足()f x =41的x 的值． 13．已知()2x f x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．14．画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －１｜＝k 无解？有一解？有两解？15．已知定义域为R 的函数12()22xx b f x +-+=+是奇函数。

函数的应用1．题型为选择题或填空题，主要考查零点个数的判断及零点所在区间．2．函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．[典题示例] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －2＋ln x ，x ＞0的零点个数为________．[解析] 令f (x )＝0，得到⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≤0，解得x ＝－1；或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋ln x ＝0，x ＞0，在同一个直角坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象，观察交点个数，如图所示．函数y ＝2－x 和y ＝ln x ，x ＞0，在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f (x )在x ＜0时的零点有一个，在x ＞0时零点有一个，所以f (x )的零点个数为2.[答案] 2 [类题通法]确定函数零点个数的方法(1)解方程f (x )＝0有几个根．(2)利用图象找y ＝f (x )的图象与x 轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数． (3)利用f (a )·f (b )与0的关系进行判断．[题组训练]1．函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9)D ．(9,10)解析：选D ∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0，f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0， ∴f (9) · f (10)＜0.函数的零点问题∴f (x )＝lg x －9x的零点的大致区间为(9,10)．2．已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2＜0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120＜0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121＞0， ∴x 0∈(2,3)．3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝⎛⎭⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m ＜1.答案：(0,1)1．通过对近几年高考试题的分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．2．函数实际应用的示意图[典题示例] 某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p (件)与销售价格x (元)的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．(1)写出周销售量p (件)与销售价格x (元)的函数关系式； (2)写出利润周利润y (元)与销售价格x (元)的函数关系式；函数的应用(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润． [解] (1)由题设知，当12≤x ≤20时，设p ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝26，20a ＋b ＝10，∴a ＝－2，b ＝50. ∴p ＝－2x ＋50，同理得，当20＜x ≤28时，p ＝－x ＋30，所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋50，12≤x ≤20，－x ＋30，20＜x ≤28.(2)当12≤x ≤20时，y ＝(x －12)(－2x ＋50)－20＝－2x 2＋74x －620； 当20＜x ≤28时，y ＝(x －12)(－x ＋30)－20＝－x 2＋42x －380.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋74x －620，12≤x ≤20，－x 2＋42x －380，20＜x ≤28. (3)当12≤x ≤20时，y ＝－2x 2＋74x －620， ∴x ＝372时，y 取得最大值1292. 当20＜x ≤28时，y ＝－x 2＋42x －380， ∴x ＝21时，y 取得最大值61. ∵1292＞61，∴该消费品销售价格为372时，周利润最大，最大周利润为1292. [类题通法]建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x ，y 分别表示． (2)建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．[题组训练]1.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速率越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的是序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0＜α＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.3．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：时需上交0.05x 2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x (x ∈N)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．解：(1)由题知y 1＝10x －(20＋ax )＝(10－a )x －20,0≤x ≤200且x ∈N ；y 2＝18x －(40＋8x )－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x ≤120且x ∈N.(2)∵3≤a ≤8，∴10－a ＞0， ∴y 1＝(10－a )x －20为增函数． 又0≤x ≤200，x ∈N ，∴x ＝200时y 1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10－a )×200－20＝1 980－200a (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N ，∴x ＝100时y 2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则该函数的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＜0时，令x (x ＋4)＝0，解得x ＝－4；当x ≥0时，令x (x －4)＝0，解得x ＝0或4.综上，该函数的零点有3个．2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选A f (1)＝ln 2－2＝ln 2e 2＜ln 1＝0，f (2)＝ln 3－1＝ln 3e＞ln 1＝0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是(1,2)．3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设该家具的进货价是x 元，由题意得132(1－10%)－x ＝x ·10%，解得x ＝108元．4．下列函数：①y ＝lg x ；②y ＝2x ；③y ＝x 2；④y ＝|x |－1，其中有2个零点的函数是( ) A ．①② B ．③④ C ．②③D ．④解析：选D 分别作出这四个函数的图象，其中④y ＝|x |－1的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，选D.5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根解析：选B 由于f (a )f (b )＜0，则f (a )＜0＜f (b )或f (b )＜0＜f (a )，又函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，则至多有一个实数x 0∈[a ，b ]，使f (x 0)＝0，即方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内至多有一实根．6．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：选A 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A.7．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大． 答案：18．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元(价格为整数)，则a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购买x (x ≤50)套应付a 元， 则a ＝xy .再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元，则a ＝(x ＋11)(y －30)，其中x ＋11＞50.∴xy ＝(x ＋11)(y －30)(39＜x ≤50)．∴3011x ＝y －30.又x ∈N ，y ∈N(因价格为整数)，39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，a ＝44×150＝6 600. 答案：6 6009．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞)10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在规定的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．(1)请写出规定时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式，并写出x 的定义域； (2)在规定的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．解：(1)由题意知，生产第x 个档次的产品每件的利润为8＋2(x －1)元，该档次的产量为60－3(x －1)件．则规定时间内第x 档次的总利润y ＝(2x ＋6)(63－3x )＝－6x 2＋108x ＋378，其中x ∈{x ∈N *|1≤x ≤10}．(2)y ＝－6x 2＋108x ＋378＝－6(x －9)2＋864，则当x ＝9时，y 有最大值为864.故在规定的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．11．A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)求x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小． 解：(1)x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝0.25×20x 2＋0.25×10(100－x )2＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003. 则当x ＝1003km 时，y 最小． 故当核电站建在距A 城1003km 时，才能使供电费用最小．12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S 元， 则S ＝100x －y＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2} C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}解析：选D A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D. 2．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1. ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：选A ∵y ＝x－1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B 、D ，又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C ，只有选项A 符合题意．5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )解析：选D 函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到： y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 设f (x )＝x α，则22＝⎝⎛⎭⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12. 7．函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(10,100)D ．(100，＋∞)解析：选B ∵f (1)＝－1＜0，f (10)＝1－110＝910＞0，f (100)＝2－1100＞0， ∴f (1)·f (10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间为(1,10)．8．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. 9．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) 解析：选C ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C. 11．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.于是lg a ＋lg b ＝0. 故ab ＝1.因而abc ＝c .由图知10<c <12，故abc ∈(10,12)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |x ＞1}， ∴∁U A ＝{x |x ≤1}．由B ＝{x |x ＞a }，(∁U A )∪B ＝R 可知a ≤1. 答案：(－∞，1]14．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，解得n ≥log 215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________． 解析：∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵2＞1，∴f (2)＝4＋2a ，∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：216．已知函数f (x )＝lg(2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析：∵要使f (x )＝lg(2x －b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x 在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2＜2x ＜8}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2＜2x ＜8}＝(1,3)，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}＝[2,5]，故A ∩B ＝[2,3)．(2)∁R A ＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．故由B ⊆∁R A 知，a ＋3≤1或a ≥3，故实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)由已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)，则2＝log a 4，即a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，定义域为(－1,1)．(3)g (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，其单调减区间为[0,1)．19．(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2.解：(1)在f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2＝f (6)＋f (6)．∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，x ＋32<6.解得－3<x <9， 即不等式的解集为(－3,9)．20．(本小题满分12分)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及开来，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x (元)(60≤x ≤300，x ∈N *)，用y (元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解：(1)当60≤x ≤90，x ∈N *时，y ＝750x －1 725；当90＜x ≤300，x ∈N *时，y ＝[750－3(x －90)]x －1 725，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧750x －1 725，60≤x ≤90，x ∈N *，－3x 2＋1 020x －1 725，90＜x ≤300，x ∈N *. (2)对于y ＝750x －1 725,60≤x ≤90，x ∈N *，∵y 在[60,90](x ∈N *)上单调递增，∴当x ＝90时，y max ＝65 775.对于y ＝－3x 2＋1 020x －1 725＝－3(x －170)2＋84 975，90＜x ≤300，x ∈N *，当x ＝170时，y max ＝84 975.∵84 975＞65 775，∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多．21．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －1.(1)求f (3)＋f (－1)；(2)求f (x )的解析式；(3)若x ∈A ，f (x )∈[－7,3]，求区间A .解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (3)＋f (－1)＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6.(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝2－x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2－x ＋1，x ＜0.(3)作出函数f (x )的图象，如图所示．根据函数图象可得f (x )在R 上单调递增，当x ＜0时，－7≤－2－x ＋1＜0， 解得－3≤x ＜0；当x ≥0时，0≤2x －1≤3，解得0≤x ≤2；∴区间A 为[－3,2]．22．(本小题满分12分)对于函数f (x )＝a －2b x＋1(a ∈R ，b ＞0，且b ≠1)． (1)探索函数y ＝f (x )的单调性；(2)求实数a 的值，使函数y ＝f (x )为奇函数；(3)在(2)的条件下，令b ＝2，求使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解的实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a －2bx 1＋1－⎝⎛⎭⎫a －2bx 2＋1＝2(bx 1－bx 2)(bx 1＋1)(bx 2＋1).当b ＞1时，由x 1＜x 2，得bx 1＜bx 2，从而bx 1－bx 2＜0，于是f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，此时函数f (x )在R 上是单调增函数； 当0＜b ＜1时，由x 1＜x 2，得bx 1＞bx 2，从而bx 1－bx 2＞0，于是f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)， 此时函数f (x )在R 上是单调减函数．(2)函数f (x )的定义域为R ，由f (0)＝0得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－2b x ＋1＝b x －1b x ＋1， f (－x )＝1－2b －x ＋1＝b －x －1b －x ＋1＝1－b x 1＋b x . 满足条件f (－x )＝－f (x )，故a ＝1时，函数f (x )为奇函数．(3)f (x )＝1－22x＋1， ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，2x ＋1∈[2,3]，22x＋1∈⎣⎡⎦⎤23，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，13， 要使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解，则0≤m ≤13，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，13.。