人教版人教课标高中数学必修5A版等比数列

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高中数学人教A版必修5《2.4.1等比数列》课件

等比数列
an q an1
q叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m
例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项
a q 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是，那么
消
a1q 2
a1q
3
12 18
a1
16 3
q
3 2
a2
a1q
16 3
3 2
8
元
答：这个数列的第1项与第2项分别为 16 与 8
其定义式为：
或
注意：
1. 公比是等比数列从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数。
思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？ (3) 既是等差数列又是等比数列的数列
存在吗？ (4) 常数列都是等比数列吗？
判定下列数列是否可能是等比数列？
如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… 2 4 8 16
一种计算机病毒可以查找计算机中的地址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：
1， 20，202 ， 203， …
比一比
(1) 1, 2, 22 , 23 , ……
, 263
(2)
……
以上4个数列有
(3） 1,20,20 2 ,203 什么共同特点？
（4） 9，92，93，94，95，96， 97

等比数列人教A版高中数学必修五PPT课件

解：设原来的三个数是：a, aq, aq 2
则必有(a2qaq
a 4)2
(aq 2 a(aq
32) 2 32)
① ②
由①得q 4a 2 a
代入②得a 2，q 5或a 2，q 13 9
故原来的三个数是：2,20,50或 2，26，338 99 9
例2、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 1)求证数列{an+1}是等比数列; 2)求an的表达式
解：设首项为a1，公比为q，则有
a1 a1
q q
2 3
12 18
解得
q
3 2 ,a1
16 3
an
32 9
(
3 2
)
n，a
2
8
例2、在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
aa11qq52
20 160
解得
q 2 a1 5
因此，an=5×2n-1
(二)等比数列的通项公式由定义可知：
a2 q，a3 q，a4 q，，an1 q，an q
a1
a2
a3
an2
a n1
(n-1个等式)
观察上式，可以把每一个等式的左边相乘，右边也相乘，等式还成立。
a2 a3 a4 an1 an q q q q
a1 a2 a3
an2 an1
1 q
4、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项符号相同。
(五)等比数列的性质
5、若{an },{bn }为项数相同的等比数列，则
(1)数列{c
a
n
},
{

新课标人教A版数学必修5全部课件：等比数列

(5) (6) 5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
n 1
x 1 n ( ) 2
n 1
an 5 1
n 1
5
a n ( 1)
n 1
等比数列的图象1
20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0
● ●
（1）数列：1，2，4，8，16，…
●
an 2
n 1
等比数列的有关概念
观察数列，共同特点是： (1) 2，4，8，16，32，64.
(2)
公比 q=2 递增数列
1，3，9，27，81，243，… 公比 q=3 递增数列
公比 d= x 公比 q= 递减数列
(5) (6)
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列公比q= -1 摆动数列
答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.
等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的第4，5项：（1） 5，-15，45，… （2）1.2，2.4，4.8，…
例3、求下列各等比数列的通项公式： 1、 a1 = 2, a 3 = 8
2、 a1=5, 且 2 an+1 = 3 an
3、 a1=5, 且
例4、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证：证：由题设：b2=ac 得：也成 GP。
也成GP
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子
粒.
等比数列的通项公式例题2
例2 、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，
求它的第1项与第2项.
答：这个数列的第1项与第2项分别是
例3 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？解：设平均每次降价的百分率是x，由已知条件，有

高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)

2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
追踪
利用等比数列的性质填空：
练在等比数列{an}中：习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
提升
利用等比数列的性质填空：
练习
(4)若a4·a8=30，则a2·a6·a10=＿＿＿。
(5) 若 an>0 ， a2a4+2a3a5+a4a6=25 ，
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛砖在等比数列{an}中：引玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d
公差（比）
d
q
递推公式
通项公式等差(比)
中项
an=an-1+d an= a1+(n-1)d
an=an-1 q an=a1qn-1

人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件5

关于等差等比数列的基本运算，一般通过其通项公式及前n项和公式构造关于a1和d或q的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差等比数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差等比数列问题的认识.
注意利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论.
三、预测押题不能少 1．已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a22＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列的公差为d，d>0.由题意得， (2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－6＝(d＋3)(d－2)＝0，得d＝2. 故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n，得an＝2n.
数列与函数的交汇
数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．
一、经典例题领悟好
[例1] (2013·湖南五对任意的正数x，y都有f(x·y )
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n. Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n) ＝2＋22n·n＋4·11－－44n ＝n2＋n＋4n＋31－4.
等差、等比数列的判定与证明一、基础知识要记牢数列{an}是等差或等比数列的证明方法： (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明aan＋n 1(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．

人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件

的公比，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比，公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中（1）an=akqn-k；（2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义：或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得

新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.4等比数列

1
2
n1
105 , 105 , 105 , , 10 5 ,.
求证：
(1) 这个数列成等比数列;
(2) 这个数列中的任一项是它后面第五
项的 1 ;
10
(3) 这个数列的任意两项的积仍在这个
数列中．
第二十九页，编辑于星期日：十三点十七分。
练习:
教材P.53练习第3、4题．
第三十页，编辑于星期日：十三点十七分。
第十五页，编辑于星期日：十三点十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
第十六页，编辑于星期日：十三点十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
am ·an＝ap ·aq.
第十七页，编辑于星期日：十三点十七分。
(1) 5, 15, 45,; (2) 1.2, 2.4, 4.8,; (3) 2 , 1 , 3 ,;
328 (4) 2, 1, 2 .
2
第六页，编辑于星期日：十三点十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？
第七页，编辑于星期日：十三点十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
{an}是递增数列;
2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时, {an}是递减数列;
3. 当q＝1时, {an}是常数列;
第二十六页，编辑于星期日：十三点十七分。
等比数列的增减性:
1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列; 2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时,

人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)

an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ，． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，即 an an1 an1 (n 2) ．

人教A版高中数学必修5等比数列PPT课件

证明：设数列{an}的公比为p; 数列{bn}的公比为q,
pq 因为
an • bn an • bn
an1 • bn1
an1 bn1
它是一个与n无关的常数，
所以an • bn是一个以pq为公比的等比数列。
你能利用本例的条件，构造其他数列吗？并判断该数列是不是等比数列？
思考(1)c是不为0的常数,{an }是等比数列, 则{ c ·an }是等比数列吗？
你能得到什么结论？
人教A版高中数学必修5等比数列PPT课件
若n +m= 2t m,n,t ∈N*, 则 at2=an·am .
4.等比数列的性质人教A版高中数学必修5等比数列PPT课件
等差数列与等比数列的类比
定义
首项、公差（公比）取值有无限制
等差数列 an an1 d (n 2)
a1 R, d R
等比数列
an q (n 2) an1
a1 0, q 0
通项公式
an a1 (n 1)d
an a1qn1
主要性质
(1)an am (n m)d
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) 则 am+an=as+ar . (3)2an=an-1+ an+1 . (4)(等差中项）
(4).已知数列{an}为等比数列 (1)若an 0,且a2a4 2a3a5 a4a6 25, 求a3 a5; (2)a1 a2 a3 7, a1a2a3 8, 求an
(5).已知等比数列{an}中，
a1
a2
a3
7, a1a2a3
8, 求
1 a1
1 a2
1 a3

人教A版高中数学必修五 2.4等比数列课件

方程组
a6
=
a1q6-1
=
16 3
（3）5 = 2
81 2
答：这个数列的第6项为 81 .
2
等比数列的通项公式：an = a1qn-1 (q 0)
练一练
(1)求等比数列 2 , 2, 6, 的通项公式与第7项. an 2 3n2
3
a7 486
(2)等比数列{an}中，a4=27， q=-3，求an. an （ 3）n1
二、等比数列的通项公式：
an = a1qn-1 (q 0)
三、数学方法及思想：归纳法、方程思想
小试牛刀
1.在等比数列{an}中，若a3=4，a7=9，求a5.
2.在等比数列中，已知a1＝5,且2an＋1＝-3an，求该数列的通项公式.
2.4 等比数列
第1课时
实例引入 1.观察细胞分裂的过程：
细胞分裂个数构成数列：1，2，4，8，…
2.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。
如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到数列：
11
2
1 4
1 8
1 ······
16
3.计算机病毒问题：
1(

1 )n1 2
= ( 1)n1 2
a10
=
1(
1 )10-1 2
=
(
1 )9 2
=
1 512
答：这个数列的第10项为
1 512
.
例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与 18，求它的第6项.
解：由题意得：a3=12，a4=18，即
a1q a1q

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银行存款的复利计算方式是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式是本利和=本金×（1+利率）存期
现存入银行10000元钱，年利率是1.98%,那么按照复利计算， 5年内各年末得到的本利和：
10000 ×（1+ 1.98%）， 10000 ×（1+ 1.98%）2， 10000 ×（1+ 1.98%）3 …
9 4
3 q 2
3 若q , a 1 1 2; 2 3 若q , a 1 1 2 2
辨析定义 3、等比中项
• 如果在a,b中插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G叫做a,b的等比中项如果G是a与b的等比中项,那么 G b ,即G2=ab,因此, G ab a G
an (4)数学语言： q(q 0, n 2） . a n 1
思考：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？如果是,a必须满足什么条件？ (1) a＝0; 它只是等差数列。 (2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
例：判断下列数列是否为等比数列。若是，则公比是多少，若不是，请说明理由.
2.4 等比数列
人民教育出版社必修5
教学过程教学目标探究定义授课过程辨析定义课堂小结巩固练习课后作业
有链接
教学目标
1.掌握等比数列的定义和通项公式； 2.掌握等比数列的一些性质；
3.根据已知条件会求数列的每一项或公比。
探究定义
细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1，2，4，8，„
n 1 3
a3 4 2
n 1
q2
课堂小结
小结：等差、等比数列对照表
名称等差数列
如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示. 等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.
定义
数学式子表示
an+1-an=d a n = a 1 +（ n - 1 ） d
an+1 =q (q≠0) an an=a1· qn-1（q≠0）
12，18，求它的第1项和第2项。
解：设这个等比数列第的一项是 a 1，公比是 q，那么 a 1q 2 12 a 1 q 3 18 3 二者相除，得 q 2 3 2 既，a 1 q a 1q 12 2 16 则，a 2 8 a1 3
辨析定义 2、通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an 1.不完全归纳法 2.迭乘法（累乘法）
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
辨析
注1、方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用
注2：通项公式的推广公式 a n a mq
n m
(n,m N )
*
练习
例：一个等比数列的第3项与第4项分别是
a n 1.在等比数列中
(1)a4 27, q 3, 求a7 ;
(1)解：a 7 a 4 q 3 27 (3)3 729
( 2)解：a 4 a 2 q 2 8 q 2 1 8 q
2
(2)若a2 18, a4 8, 求a1与q
(另解：求出 a1 )
解：（ 1）a 2 a 4 2a 3a 5 a 4 a 6 a 3 2a 3a 5 a 5 (a 3 a 5 ) 25 因a n 0, 所以a 3 a 5 5
2 2 2
练习
解：（ 2）a1 a 2 a 3 7 a1a 2 a 3 a 2 8 a2 2 即a 1 a 3 5 a1 a 3 4 易得a1 1 a n a1 q
1)、 16，8，4，2， 1， … ； 2)、 5，-25，125，- 625，…； 3) 、1，0，1，0，1，…； 4)、 2，2，2，2，2，…； 5)、 0，0，0，0，0，…；
公比是0.5 公比是-5 不是
公比是1
不是
注意
公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比；防止把被除数与除数弄颠倒；公比可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0
上面四个例子中得到下列4各数列：
1. 1，2，4，8…
2. 1 ,
1 1 1 , , 2 4 8
3. 1，20，202，203 … 4. 10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983 10000×1.01984 ……
结论：
⒈“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ⒉隐含：任意一项an≠0且q≠0；
Байду номын сангаас
练习
1、已知数列 {a n }为等比数列 (1)若a n 0, 且a 2 a 4 2a 3a 5 a 4 a 6 25, 求a 3 a 5 ; ( 2)a 1 a 2 a 3 7, a 1a 2 a 3 8, 求a n
析：先让学生利用性质自己做题，然后再演示完整步骤。
归纳共同点
一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 注：通常用a1,a2„„an表示数列中的每一项；两项之间的比用q表示,即：an/an-1=q。
辨析定义 1.定义理解
（1）等比数列的首项不为0, 即a1≠0。（2）等比数列的每一项都不为0，即an≠0。（3）公比不为0，即q≠0。
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“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列是 1，＿＿，＿＿，＿＿，＿＿ …
某种计算机病毒可以通过邮件传播，如果把制作者发送病毒称为第一轮，接收者发送病毒称为第二轮，以此类推，每轮每台计算机感染20台，在不重复的状态下，每轮感染病毒的计算机台数构成的数列是： 1，20，202，203，„