直线方程斜率公式

南京小娜老师教学团队精致教学，致力莘莘学子学业有成，金榜题名！直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的

倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

2．斜率公式

(1)定义式：直线l的倾斜角为α)2(，则斜率k＝tanα.

(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.

3．直线方程的五种形式名称方程适用范围

点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线

斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线

两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线

y＝y1(y1≠y2)

截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点

的直线

一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用

二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；

(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；

(3)y轴的方程为x＝0；

(4)x轴的方程为y＝0.

考点一直线的倾斜角与斜率

[典例](1)直线2xcosα－y－3＝0])3,6[(的倾斜角的取值范围是()

A.]3,6[B.]3,4[C.]2,4[D.]32,4[

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．南京小娜老师教学团队精致教学，致力莘莘学子学业有成，金榜题名！[解析](1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈]3,6[，所以12≤cosα≤32，

因此k＝2·cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．

数学高一专系列之 倾斜角与直线方程

一、直线的斜率：

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα

二、直线的斜率公式:

三、直线方程：

1.点斜式：11()yykxx，当l的90时, l的方程为1.xx

2.斜截式: ykxb，其中b称为直线在y轴上的截距

3.两点式：1112122121(,)yyxxxxyyyyxx

注意！①当l的0时,l的方程为1yy

②当l的90时, l的方程为1.xx

4.截距式：1xyab 其中,ab分别是直线在x轴和y轴上的横截距和纵截距,简称截距.

注意！①当l的a 不存在,b存在时,l的方程为yb

②当l的b不存在, a存在时,l的方程为xa

③当l的a、b都存在, 且都为零时,l的方程为ykx其中k为直线的斜率.

5.直线方程的一般式：0AxByC22(0)AB

（1）任何一条直线的方程都是关于x、y的一次方程

（2）任何关于x、y的一次方程0AxByC22(0)AB表示直线

四、求直线方程：

题型一：基础题型

1．已知A(3,1)，B(－1，k)，C(8,11)三点共线，则k的取值是( ) A．－6 B．－7

C．－8 D．－9

[答案] B

[解析] ∵A，B，C三点共线，

∴k－1－1－3＝11－18－3.

∴k＝－7.

2．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案] C

[解析] 由A·C<0及B·C<0，可知A≠0，B≠0，

又直线Ax＋By＋C＝0过(－CA，0)，(0，－CB)，

且－CA>0，－CB>0，

∴直线不过第三象限．

变式练习

1.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为( )

直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结

一、倾斜角：

重点：取值范围：0≤a＜180°

二、斜率k：

1、当a≠90°时，斜率k=tana；

2、当a=90°时，斜率k不存在；（联系正切函数的定义域去理解）

3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：）间的斜率公式：

k=y2-y1/x2-x1

理解：

①两点间斜率要求x1≠x2，因为当x1=x2时，直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率k不存

在；在；

②当x1≠x2且y1=y2时，直线垂直于y轴，倾斜角为0°，斜率k=0

三、各表达式之间的区别与联系：

名称名称 公式公式 备注备注

点斜式点斜式 y-y0=k(x-x0) 1、联系斜率公式进行理解联系斜率公式进行理解

2、已知一定点P0（x0，y0）和斜率k；

斜截式斜截式 y=kx+b 1、 联系点斜式进行理解；联系点斜式进行理解；

2、 此时是已知一定点P（0，b）和斜

率k；

3、 b表示直线在y轴上的截距轴上的截距

两点式两点式 y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1

1、 两点式要求x1≠x2且y1≠y2；

2、 当x1=x2且y1≠y2时，直线垂直于x

轴；轴；

3、 当x1≠x2且y1=y2时，直线垂直于y

轴。轴。

截距式截距式 x/a+y/b=1 1、 联系两点式进行理解；联系两点式进行理解；

2、 点P1（a，0），P2（0，b）分别为直

线与坐标轴的交点坐标；线与坐标轴的交点坐标；

一般式一般式 Ax+By+C=0（A、B不同时为零）不同时为零） 1、 联系二元一次方程组的相关知识点

理解；理解；

2、 熟练掌握A、B、C对直线位置的影

响作用。响作用。

四、斜率k与截距b对直线位置的影响：

1、k对直线位置的影响：对直线位置的影响：

①当k＞0时，直线向右上方倾斜；时，直线向右上方倾斜；

②当k＜0时，直线向右下方倾斜；时，直线向右下方倾斜；

③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；轴；

直线与直线垂直斜率的关系

直线与直线垂直斜率的关系是，如果一条直线和另一条直线垂直，那么它们之间的斜率相乘必然等于-1。斜率是用来衡量两条直线张力及方向的一个量度，它是描述直线在平面上的倾斜程度的量度。换句话说，斜率就是两点之间的斜对角线长度与水平距离之比。

斜率可以用分数表示，也可以用函数表示，用函数表示时，斜率就是函数的导数。当两条直线垂直时，它们的斜率之积必须等于-1，因此可以简单的用斜率之积来判断两条直线是否垂直。

具体来说，斜率的定义是：设点A (x1,y1) 和点B

(x2,y2) 是一条直线上的两点，则这条直线的斜率k 就是：

k=（y2-y1）/（x2-x1）

注意：当x2=x1时，斜率k不存在，即斜率无穷大，这也是两条直线垂直的特征之一。

所以，如果要判断两条直线是否垂直，只需要将两条直线的斜率进行相乘，如果斜率之积等于-1，则说明两线垂直，否则，就不垂直。 例如，有一条直线的斜率为k1，另一条直线的斜率为k2，如果k1*k2=-1，则说明这两条直线是垂直的，如果k1*k2≠-1，则说明这两条直线不垂直。

另外，还有一种特殊情况，即直线斜率为0或无穷大。如果一条直线的斜率等于0，则说明这条直线是水平的；如果一条直线的斜率为无穷大，则说明这条直线是垂直的。

总之，如果两条直线中，有一条斜率为0或无穷大，那么这两条直线就一定是垂直的；如果两条直线都不是水平也不是垂直的，那么可以通过斜率之积来判断它们是否垂直，即斜率之积等于-1时，说明这两条直线是垂直的，斜率之积不等于-1时，说明这两条直线不是垂直的。