人教版数学高一 1.3《空间几何体的表面积和体积》学案(新人教版A版必修2)

20212A版

- 1 - 第2节 空间几何体的表面积和体积

考试要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

知 识 梳 理

1。多面体的表(侧）面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和。

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r1＋r2）l

3.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体 表面积 体积

柱 体 S表面积＝S侧＋V＝S底h 20212A版

- 2 - (棱柱和圆柱) 2S底

锥 体

（棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝错误!S底h

台 体

（棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h

球 S＝4πR2 V＝错误!πR3

［常用结论与微点提醒］

1。正方体与球的切、接常用结论

正方体的棱长为a,球的半径为R，

(1)若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；

（2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；

(3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a。

2。长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b，c，外接球的半径为R,则2R＝错误!。

3。正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。

诊 断 自 测

1。判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×")

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积。（ ) 20212A版

- 3 - （2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方。（ )

(3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（ )

(4）已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a，则R＝错误!a。( ）

解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.

（2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.

答案 （1）× （2）× （3)√ (4)√

§1.2空间几何体的三视图和直观图

一、 基础知识

1.光由一点向外散射形成的投影叫做 ；在一束平行光线照射下形成的投影叫做 .

2.三视图的主视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 、 、

观察几何体画出的轮廓线，画三视图的基本要求是 和

高度一样； 和 长度一样 ；

和 宽度一样.

3.斜二测画法的规则是:

(1)在已知图形中建立直角坐标系xoy ,画直观图 时，它们分别对应x和y 轴，两轴交于点o，使yox ，它们确定的平面表示水平平面.

(2) 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成

(3)已知图形中平行于x轴的线段的长度 ,在直观图中 ;平行于 y轴的线段，在直观图中

二.基础练习

1.下列说法正确的是( )

A.矩形的中心投影 一定是矩形

B.两条相交直线 的平行投影不可能平行

C.梯形的中心投影一定是梯形

D.平行四边形的中心投影一定是梯形

2.如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（ ）

3.以下说法正确的是（ ）

A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关 B.任何物体的三视图都与于物体的摆放位置无关

C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关

D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形

4.两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ ）

A.两条平行直线

B.一点和一条直线

C.两条相交直线

晨鸟教育

Earlybird 1．2 空间几何体的三视图和直观图

1．2.1 中心投影与平行投影

1．2.2 空间几何体的三视图

[目标] 1.了解中心投影与平行投影；2.能画出简单空间图形的三视图；3.能识别三视图所表示的立体模型．

[重点] 画简单空间图形的三视图．

[难点] 识别三视图所表示的立体模型．

知识点一

投影的有关概念

[填一填]

1．概念：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子的现象．

2．投影线与投影面：投影线是光线，投影面是留下物体影子的屏幕．

3．分类：

(1)投影 中心投影：光由一点向外散射形成的投影.平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.

(2)平行投影 正投影：投影线正对着投影面.斜投影：投影线没有正对着投影面.

[答一答]

1．平行投影和中心投影有什么区别和联系？

提示：平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别：

①中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．

②平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．

③画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．

2．正投影与平行投影之间有什么关系？

提示：正投影是平行投影的特例，即投射线和投射面垂直的平行投影，所以正投影也具有平行投影的性质．

3．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC( B )

A．全等 B．相似 晨鸟教育

Earlybird C．不相似

D．以上都不对

知识点二

空间几何体的三视图

[填一填]

1．三视图的概念：

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图．

(2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图．

(3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图．

1 1.3 空间几何体的表面积与体积

知识梳理

1.圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆台的侧面展开图是扇环.

2.几何体的表面积是指几何体表面的大小,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求各个面的面积和,圆柱、圆锥、圆台的表面积就是求侧面和底面的面积和.

3.设直棱柱的底面周长为C,高为h则S直棱柱侧=Ch.

4.设正棱锥的底面周长为C,斜高为h′,则S正棱锥侧=21Ch′.

5.设正棱台的上、下底面的周长分别为C、C′,斜高为h′,则S正棱台侧=21(C+C′)h′.

6.设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S侧=2πrl,圆柱的表面积S=2πrl+2πr2.

7.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S侧=πrl,圆锥的表面积S=πrl+πr2

8.设圆台的上、下底面的半径分别为r1、r2,母线长为l,则圆台的侧面积S侧=π(r1+r2)l,圆台31的表面积S=π(r1+r2)l+π(r12+r22).

9.设柱体的底面积为S,高为h,则V柱体=Sh;设锥体的底面积为S,高为h,则V锥体=31Sh;设台体的上、下底面的面积分别为S上,S下,高为h,则V台体=31 (S上+S下+下上SS)h.

10.球的表面积和体积都是半径R的函数,其中S球面=4πR2,V球=34πR3.

知识导学

要学好本节内容,可从我们熟悉的长方体、正方体的展开图入手,分析展开图与表面积的关系.

表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系.

几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义,而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间.相同几何体的体积相等,但体积相同的几何体不一定相同.