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数学建模之传染病模型

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第五章 微 分 方 程 模 型

如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.

§1 传 染 病 模 型

建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.

考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.

一. SI 模 型

假设条件：

1. 人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类人，简称为健康人和病人，在时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作ts和ti.

2. 每个病人每天有效接触的平均人数是(常数)，称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.

试建立描述ti变化的数学模型.

解： 1tits NNtiNts

由假设2知，每个病人每天可使ts个健康者变为病人，又由于病人数为tiN，每天共有tiNts个健康人被感染.

于是isN就是病人数iN的增加率，即有

isNdtdiN………………………………………………(1)

isdtdi 而1is. 精选文库

— 78 又记初始时刻(0t)病人的比例为0i，则

001iiiidtdi

这就是Logistic模型，其解为 teiti11110

［结果分析］

作出tti~和idtdi~的图形如下：

1. 当21i时，dtdi取到最大值mdtdi，此时刻为

11ln01itm

2. 当t时，1i即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.

二. SIS 模 型

在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS模型.

假设1、2同SI模型，增加假设: i

0 mt t 21

21 i 0 dtdi

mdtdi 精选文库

— 79 3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然1是这种传染病的平均传染期.

解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为

iNiNsdtdiN

于是 001iiiiidtdi

解得

　＝　　　　　　　　　　　　－,1,11010iteitit

［结果分析］

1. 令.

注意到和1的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.

　011i 11

0 t 1

11 0ii

0i0 t 1 i

1

1 精选文库

— 80 2. 接触数1是一个阈值.

当1时，病人比例ti越来越小，最终趋于零.

当1时，ti的增减性取决于0i的大小，其极限值11i.

3. SI模型是SIS模型中0的情形.

三. SIR 模 型

大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为

1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR模型.三类人在总人数N中占的比例分别记作is、ti和tr.

1. 病人的日接解率为，日治愈率为（与SIS模型相同），传染期接触数为＝.

解：由假设1，有

1trtits 0dtdrdtdidtds

由假设2，得iNdtdrN NiNisdtdiN

iisdtdiidtdr 又设00,0,000riiss

于是

00s0s,0iiisdtdsiisdtdi……………………………………………(2) 精选文库

— 81 我们在相平面上来讨论解的性质.

相轨线的定义域为

1s,0,0s,siiiD

由(2)式消去dt，得

0ss01s1siiddi 这里 

解得000ssln1s-isi………………………………………(3)

在定义域D内，(3)式表示的曲线即为相轨线.

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数学建模——传染病模型

数学建模——传染病模型

.志明精选文档

.志明精选文档 传染病模型

摘要

当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。

本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。

关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。.志明精选文档

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一、问题重述

有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。

2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。

3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。

传染病传播数学模型

传染病传播数学模型

第二节 传染病传播的数学模型

很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。

一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。

一.最简单的模型

假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。

以i(t)表示t时刻的病人数，0k表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 0i表示最初时有0i个传染病人，则在t时间内增加的病人数为0ittitkitt 两边除以t，并令t→0得微分方程

000ditkitdtii ………… （2.1）

其解为 00ktitie

这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t→∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。

数学模型对传染病

数学模型对传染病

数学模型对传染病（以SARS为例）的重要性：

传染病一直伴随着人类的发展，对人类的生命健康造成重大危害。历史上，我们对传染病总是无可奈何的。我们不知道它是如何出现的；如何科学的统计分析它；如何用有效的方式进行治疗。传染病的到来，对当时的人类来说就是灭顶之灾，能够做到的也不过是以一城人的命换取全国的命。

随着近代的到来，医疗卫生水平，科技水平等有了显著的提高，但传染病并未离我们而去，仍在时刻威胁着我们的生命。这意味着我们需要加大对传染病的研究推进。而在传染病传播的研究方面，我们可以得知早在19世纪英国霍乱的爆发中，约翰医生利用数学的知识找到了霍乱的传染源，在极短时间内控制了霍乱的进一步爆发。

在21世纪，以SARS为例，我们可以得知，数学尤其是数学建模可以解决许多关于传染病方面的问题。如：利用数学模型预测新增与疑似病例增长；预测疫情的发展情况；在不同情况下疫情的发展等等。如果可以做到这些，即使模型的结果可能并不十分准确，那么也将会为遏制传染病的发展提供一份力量。

传染病问题研究(数学建模精讲)

传染病问题研究(数学建模精讲)

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1 / 9 传染病问题的研究

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。本论文通过建立传染病模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来等等。

一﹑模型假设

1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。

2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。

二﹑模型构成

在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：

在假设1中显然有：

s(t) + i(t) + r(t) = 1

对于病愈免疫的移出者的数量应为

rtdNNid s i λsi r μi 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

2 / 9 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为0s（0s＞0），0i（0i＞0），0r=0.