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传染病模型数学建模论文

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数学建模

1 甲型H1N1流感传播模型研究

摘要

本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。

一、问题重述 邹健：甲型H1N1流感传播模型研究

2 近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。

二、问题分析

甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。

美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：

时间 确诊（包括死亡病例） 死亡（累计）

4月23日 5 0

4月24日 8 0

4月25日 11 0

4月26日 20 0

4月27日 40 0

4月28日 64 0

4月29日 91 0

4月30日 109 1

5月1日 141 1

5月2日 160 1

5月3日 226 1

5月4日 279 1

5月5日 403 1

5月6日 642 2

5月7日 896 2

5月8日 1639 2

5月9日 2254 2

5月10日 2532 3

5月11日 2600 3

5月12日 3009 3

5月13日 3352 4

5月14日 4298 4

5月15日 4714 4

三、建立模型

（一）、不考虑潜伏期的数学模型

1、模型假设

（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N亿不变，既不考虑生死，也不数学建模

3 考虑迁移，人群分为易感染者S，发病人群I和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。

（2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为。

病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为。治愈

的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。

（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。

2、模型构成

易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()St，()NIt个发病者平均每天能使()()StNIt个易感者成为病毒潜伏者。所以有：

()()()dStStItdt （1）

单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即

()()dRtItdt （2）

发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即

()()()()dItStItItdt （3）

记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S、0R（不妨设0R=0）。

3、模型求解

方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 /，于是可以求出方程的解为：

0001()lnsisiss （4）

下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况：

a、不论初始条件0S、0R如何，病人最终将消失，即0i。

b、最终未被感染者的健康者的比例是s，是方程

0001()ln0ssiss在(0,1/)内的根。

C、若01/s，则开始有：()it先增加。当01/s时，()it达到最大值，然后()it减小且趋于零，()st则单调减小至s。

d、若01/s，则()it单调减小至5，()st则单调减小至s。

我们发现人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越高，于是越邹健：甲型H1N1流感传播模型研究

4 小，所以提高卫生水平和医疗水平有利于传染病的蔓延。

结合美国的具体情况和假设条件进行分析：

根据所得的数据画出美国患病人数变化曲线和治愈人数变化曲线：

数学建模

5

根据图形来看，甲型h1n1流感在美国呈现出蔓延的形式，即现在属于01/s

的情况，即 0/1/s。由假设条件可知的取值范围在1.4~1.6之间。现在我们取=1.6，则表示0/(1/)1.6s，即美国每天平均治愈的人数最多为1.6人，这与美国疾病预防与控制中心所发布的数据不同。如果美国平均每天治愈1.6个人的话，那么从4月23日期，治愈的总人数为1.6*2336.8人，这与实际的情况相差甚远。产生这个问题的原因有以下几个方面：

第一：对每个病人每天有效接触的平均人数估计值偏小。不是简单的成正比关系，应该是成多次方关系，甚至是指数关系。

第二：美国疾病预防与控制中心所得到的数据具有滞后性。

第三：在美国00s不一定成立。可以把那些身体强壮的、注意自己个人卫生的人排除在外。

（二）、考虑潜伏期的数学模型

1、模型假设

（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S，病毒潜伏人群E,发病人群I和退出人群R(括死亡者和治邹健：甲型H1N1流感传播模型研究

6 愈者)四类，时刻t内这三类人在总人数中所占比例分别为stetitrt、、、。

（2）、每个病人每天有效接触的平均人数为，称为日接触率，当已感染者与易感染者有效接触时，使易感染者变为病毒潜伏人群，病毒潜伏人群过一段时间再转换成发病人群，发病人群被治愈。

2、模型构成

易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()()tSt，()NIt个发病者平均每天能使()()()tStNIt个易感者成为病毒潜伏者。

所以有()()()()dStNtStNItdt 化简得：

()()()()dSttStItdt

病毒潜伏人群的变化等于易感人群转入数量减去转化为发病人群的数量，即

()()()()()()dEttStIttEtdt

其中()t表示潜伏期日发病率，即每个潜伏者平均有效发病的人数。

单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即

()()()dRttItdt

其中()t表示日退出率，即每个病人平均有效病情结束的人数。

发病人群的变化等于潜伏人群转入的数量，即

()()()()()dIttEttItdt

()()()1stitrt

初始时刻易感染者，已感染者与病愈免疫者的比例分别是

00000(0),(0),0ssiir

3、模型求解

由于潜伏期的人群数量不能确定，所以可视为是易感人群的一部分，因此求解过程跟忽略潜伏期的一样。

四、模型的改进

就如何确定日接触率的值。就如何确定日接触率可以进行改进，根据以前的流感疫数学建模

7 情治愈率，加权平均得到值，而不是简单的是一个正比关系。病毒在人群中的传播刚开始阶段一个有一个爆发阶段，该阶段的日接触率很大，可设为是一个冲激变量。

参考文献：

[1]姜启源 谢金星 叶俊 数学建模（第四版）高等教育出版社

[2]数据来源：美国疾病预防控制中心

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传染病动力学的数学建模与研究

传染病动力学的数学建模与研究

上海大学

硕士学位论文

传染病动力学的数学建模与研究

姓名：王晓微

申请学位级别：硕士

专业：系统分析与集成

指导教师：娄洁

20090401摘要

传染病一直危害着人类的健康，历史上传染病的一次次流行给人类生存和国计

民生都带来了巨大的灾难．．人类面临着传染病长期而严峻的威胁，．因此对传染病的

发病机理、传染规律和控制策略的研究就显得尤为重要．目前，对传染病研究的方

法主要分四大类：描述性研究、分析性研究、试验性研究和理论性研究．传染病动

力学是对传染病进行理论研究的一种重要方法．它通过数学建模更好的从传播机理

方面来反头疾病的流行规律，从而了解疾病流行的全局性态．

本文共分三个部分．第一部分介绍了研究传染病的重要思想以及传染病动力学

的几个基本概念、基本形式和研究现状．

第二部分介绍了我们在传染病动力学的宏观建模与研究方面所做的一些工作．

在本章，我们结合我国实际情况，建立了两个关于狗和人之间的狂犬病常微分动力

学方程模型．我们用Ｃａｓｔｉｌｌｏ—ｃｈａｖｅｚ等人的经典方法计算得到了基本再生数凰

和无病平衡点的全局稳定性，并通过构造一个李雅普诺夫函数讨论染病平衡点的全

局稳定性．在采取措施的控制模型中，我们比较了３种控制狂犬病的措施（捕杀，

免疫，捕杀＋免疫）的有效性．我们计算出了控制狂犬病的最低捕杀率和最低免疫

率，以及当获知某一地区的免疫率（或捕杀率）后，我们可以计算出该地方的最低

捕杀率（或免疫率），这样可以避免对狗的滥杀．通过数值模拟结果，我们发现在

三个措施中，免疫的效果是最好的，捕杀是其中最差的选择．最后，我们建议采取

在城市对狗以免疫为主，在农村以捕杀和免疫相结合为主的策略来控制狂犬病的传

播．

第三部分介绍了我们在传染病动力学的微观建模与研究方面所做的一些工作．

考虑到癌症在ＨＩＶ感染者中的高发特点，我们建立了两个艾滋病与癌症相结合的

ＨＩＶ－１动力学模型；一个ＯＤＥ模型；一个ＤＤＥ模型．系统有四个平衡态．我们讨

论了在不同的免疫状况下这些平衡态的存在性、稳定性以及其生物学意义．在ＤＤＥ

传染病传播数学模型

传染病传播数学模型

第二节 传染病传播的数学模型

很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。

一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。

一.最简单的模型

假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。

以i(t)表示t时刻的病人数，0k表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 0i表示最初时有0i个传染病人，则在t时间内增加的病人数为0ittitkitt 两边除以t，并令t→0得微分方程

000ditkitdtii ………… （2.1）

其解为 00ktitie

这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t→∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。

(完整word版)数学建模——传染病模型

(完整word版)数学建模——传染病模型

(完整word版)数学建模——传染病模型

1 传染病模型

摘要

当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律,建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述,且针对甲流,SARS等新生传染病模型进行建模和分析。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系,并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果,从而不断完善文中的模型。

本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作.

关键词：传染病模型,简单模型，SI,SIS，SIR,微分方程，Matlab。(完整word版)数学建模——传染病模型

2

一、问题重述

有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型,利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究,以期对其传播蔓延进行必要的控制,减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题,建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望.

1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。

2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。

传染病的传播及控制分析数学建模

传染病的传播及控制分析数学建模

传染病的传播及控制分析

摘要

为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系，本文通过建

立传染病的传播模型，了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可

靠、足够的信息。

本文针对该问题建立了 SEIR 微分方程模型，对病毒的传播过程进行了模拟

分析，得出了患者人数随时间的变化规律。我们将人群分为五类：患者、疑似患

者、正常人、治愈者和死亡者。前三者作为传染系统。我们认为治愈者获得终身

免疫，和死亡者一样移出传染系统，即后两者合并为移出者。

本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分：控制前和控制后。在控制前，相

当于没有对病毒扩散做任何限制，患者数量短时间内大量增长，并以死亡的形式

退出传染系统；在控制后，由于对潜伏者进行了一定强度的隔离，与此同时，确

诊患者得到有效的治疗，使得传染源数量减少，患者平均每天接触的人数减少，

治愈者增多，并作为主要的移出者移出传染系统。

在模型建立的基础上，通过 Matlab 软件拟合出患者人数随时间变化的曲线

关系图，得到如下结果：控制前，患者人数呈指数增长趋势；控制后，在 p=0.4

时，患者人数大致在 7 天时到达最大值，在 25 天时基本没有患者；在 p=0.3 时，

患者人数大概在第 8 天到达最大值 186383，大概在 28 天之后基本没有患者；在

p=0.6 时，大概在第 5 天患者人数到达峰值为 47391，在 21 天时基本没有患者。

综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。针对所得结果，对

H7N9 的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。

关键词：隔离强度 潜伏期 SEIR 模型

0

一、问题重述：

2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最

近又有研究显示，H7N9有变异的可能。假设已知有一种未知的现病毒 [1]潜伏期为

a : a 天，患病者的治愈时间为 a 天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接