高等数学下册期末考试试题及答案

0 高等数学 A(下册)期末考试一试题【A 卷】

考试日期： 2009 年

院（系）别

班级

学号

姓名

成绩

大题

一

二

三

四

五

六

七 小题 1 2 3 4 5

得分

一、填空题：（此题共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分， 把答案直接填在题中横线上 ）

r r r r r r r

2 r r

．

1、已知向量 a 、 b 知足 a b 0 ， a 2 ， b ，则 a b

2、设 z x ln( xy) ，则 3 z ．

x y 2

3、曲面 x2 y 2 z 9 在点 (1, 2, 4) 处的切平面方程为 ．

4、设 f (x) 是周期为 2 的周期函数，它在 [ , ) 上的表达式为 f (x) x ，则 f (x) 的傅里叶级数

在 x 3 处收敛于 ，在 x 处收敛于 ．

5、设 L 为连结 (1, 0) 与 (0,1) 两点的直线段，则 ( x y)ds ．

L

※以下各题在答题纸上作答 ，答题时一定写出详尽的解答过程 ，并在每张答题纸写上 ：姓名 、学号、班级．

二、解以下各题：（此题共 5 小题，每题 7 分，满分 35 分）

1、求曲线 2x2 3y2 z2 9在点 M0 (1, 1,2) 处的切线及法平面方程．

z2 3x2 y2

2、求由曲面 z 2x2 2 y2 及 z 6 x2 y2 所围成的立体体积．

3、判断级数 ( 1)n ln n 1 能否收敛？假如是收敛的，是绝对收敛仍是条件收敛？

n 1 n

4、设 z f (xy, x ) sin y ，此中 f 拥有二阶连续偏导数，求 z , 2 z ．

y x x y

5、计算曲面积分 dS, 此中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部．

z

三、（此题满分 9 分）

抛物面 z x2 y 2 被平面 x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

四、（此题满分 10 分）

计算曲线积分 ( x sin y ) ( x cos ) dy ， m dx mx L

此中 m 为常数， L 为由点 A(a,0) 至原点 O(0,0) 的上半圆周 x2 y2 ax (a 0) ．

五、（此题满分 10 分）

xn

求幂级数 的收敛域及和函数．

n 1 3n n

六、（此题满分 10 分）

计算曲面积分 I 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy ，

此中 为曲面 z 1 x2 y 2 ( z 0) 的上侧．

七、（此题满分 6 分）

设 f ( x) 为连续函数， f (0) a ， F (t ) [ z f ( x2 y2 z2 )]dv ，此中 t 是由曲面 zx2 y2

t

与 zt 2 x 2 y 2 所围成的闭地区，求 lim F (t) ．

t 3

t 0

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备注：①考试时间为 2 小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面 答题纸 底稿纸由表及里依序对折上交；

不得带走试卷。

高等数学 A(下册 ) 期末考试一试题 【A 卷】

参照解答与评分标准

2009年6月

一、填空题 【每小 4 分，共 20 分】 1、 4 ； 2 1 ； 3、 2x 4y z 14； 4、3，0； 5、 2 . 、

2 y

二、试解以下各题【 每小 7 分，共 35 分】

dy dz 2x

3 y z dy 5x dz 7 x 1、解：方程两 x 求 ，得 dx dx

dy dz ， 进而 ， dx ⋯⋯⋯⋯ .. 【4】

3x dx 4 y 4z

y z

dx dx

ur (1,5 , 7) 1 (8,10,7). 曲 在 1, 1,2 的切向量 T

4 8 8

⋯⋯⋯⋯ ..【5】

故所求的切 方程 x 1 y 1 z 2

8 10 7 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. 【6】

法平面方程 8 x 1 10 y 1 7 z 2 0 即 8x 10 y 7z 12⋯⋯ .. 【 7】

２、解： z 2x2 2 y2 x 2 y 2 2 ， 立体 在 xOy 面上的投影地区 Dxy : x2 y2 2．⋯..

z 6 x2 y2

【 2】

故所求的体 V

dv 2 2 6 2 2

2)d

d

d 2 dz

2

(6 3 6 ⋯⋯.. 【 7】

0 0 2 0

３、解：由 lim n un lim nln(1 1) lim ln(1 1 )n 1 0 ，知 数 un 散⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【 3】

n n n n n n 1

又 | un | ln(1 1) ln(1 1 ) | un 1 | , lim | un | lim ln(1 1 ) 0 . 故所 数收 且条件收 ． 【7】

n n 1 n n n

４、解： z ( f1 y f2 1 ) 0 yf1 1 f 2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【 3】

x y y

2 z f 1 y[ f x f 12 ( x )] 1 f 2 1 [ f 21 x f 22 ( x )] f1 xyf11 1 f2 x 【 7】

x y 11

y 2

y 2

y

y 2

y 2 3 f22 .

y

５、解： 的方程 z a2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影地区 Dxy {( x, y) | x2 y2 a2 h2} ．

又 1 zx2 zy2 a a2 x2 y2 ，⋯ .. ⋯⋯⋯【 ３】

dS adxdy 2 a2 h2 d 1 ln( a2 a2 h2

2 ) 故 Dxy a 2 2 y 2 a d a 2 2 2 a

z x 0 0 2 0

2 a ln a

h

.. 【7】

三、【9 分】解： M (x, y, z) 上的任一点， 点 M 到原点的距离 d x2 y2 z2 ⋯⋯【 1】

令 L ( x, y, z) x2 y 2 z2 ( z x2 y 2 ) ( x y z 1) ，

Lx 2x 2 x 0

Ly 2 y 2 y 0 1 3

Lz

2z

0 ，解得 x

2 m 3

由 y 2 ， z ．于是获得两个可能极 点

z x2 y2

x y z 1

M1( 1 3 , 1

2 3 ,2 3), M 2 ( 1 3 , 1 3 ,2 3). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【 7】

2 2 2

又由 意知，距离的最大 和最小 必定存在，因此距离的最大 与最小 分 在 两点 获得．

故 dmax |OM2| 9 5 3, dmin |OM1 | 9 5 3. ⋯⋯【 9】 四、

分】 解： L

与直 段 OA 所 成的 地区 D

， 由格林公式，得

【 10

I 2 ? (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy m d ma2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯【 5】

L

D 8

OA

而 I1 (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy

m a ma⋯⋯⋯⋯【 8】

dx

OA 0

(ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy I 2 I 1 ma ma2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【 10】

L 8

a n3n 1 ( 3,3) ⋯⋯⋯⋯【 2】 五、【 10 分】解： lim n 1 lim n 1 R 3，收 区 an 3 n n n 1 3

1 ， 散；当 x 1 n

又当 x 3 ， 数成 3 ， 数成 ，收 ．⋯⋯【 4】

1n

n 1 n n

故 数的收 域 3,3 ⋯⋯⋯【 5】

令 s x xn （ 3 x 3 ），

n 1 n3n

s (x) xn 1 1 ( x )n 1 1 1 1 , ( | x | 3) ⋯⋯【 8】

n 1 3n 3 n 1 3 31 x / 3 3 x

于 是 s( x) x x dx ln 3 x x 3 ） ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯. s (x)dx ln 3 ln 3 x ，（ 3 x

0 0 3 x 0

【 10】

【 10 分】解：取

1 z 0( x 2

y 2

1) 的下 ， 与 1 所 成的空 地区 ， 由高斯公式， 六、

有 I2 ò2x3dydz 2 y3dzdx 3 z2 1 dxdy 6 x2 y2 z dv ⋯⋯⋯⋯ . ⋯ 【 5】

1