高等数学下册期末考试试题及答案

高等数学(下册)期末考试试题

考试日期：2012年

院（系）别 班级 学号 姓名 成绩

大题 一 二 三 四 五 六 七

小题 1 2 3 4 5

得分

一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）

1、已知向量a、b满足0ab，2a，2b，则ab ．

2、设ln()zxxy，则32zxy ．

3、曲面229xyz在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．

4、设()fx是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为()fxx，则()fx的傅里叶级数

在3x处收敛于

，在x处收敛于 ．

5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lxyds ．

※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．

二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

1、求曲线2222222393xyzzxy在点0M(1,1,2)处的切线及法平面方程．

2、求由曲面2222zxy及226zxy所围成的立体体积．

3、判定级数11(1)lnnnnn是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛

4、设(,)sinxzfxyyy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxxy．

5、计算曲面积分,dSz其中是球面2222xyza被平面(0)zhha截出的顶部． 三、（本题满分9分）

抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

四、 （本题满分10分）

计算曲线积分(sin)(cos)xxLeymdxeymxdy，

其中m为常数，L为由点(,0)Aa至原点(0,0)O的上半圆周22(0)xyaxa．

五、（本题满分10分）

求幂级数13nnnxn的收敛域及和函数．

六、（本题满分10分）

计算曲面积分332223(1)Ixdydzydzdxzdxdy，

其中为曲面221(0)zxyz的上侧．

七、（本题满分6分）

设()fx为连续函数，(0)fa，222()[()]tFtzfxyzdv，其中t是由曲面22zxy与222ztxy所围成的闭区域，求 30()limtFtt．

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备注：①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；

不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】

参考解答与评分标准 2009年6月

一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4； 2、21y；3、2414xyz； 4、3，0； 5、2.

二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1、解：方程两边对x求导，得323dydzyzxdxdxdydzyzxdxdx， 从而54dyxdxy，74dzxdxz…………..【4】

该曲线在1,1,2处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T…………..【5】

故所求的切线方程为1128107xyz………………..【6】

法平面方程为 81101720xyz 即 810712xyz……..【7】

２、解：2222226zxyzxy222xy，该立体在xOy面上的投影区域为22:2xyDxy．…..【2】

故所求的体积为Vdv222262200202(63)6dddzd……..【7】

３、解：由11limlimln(1)limln(1)10nnnnnnunnn，知级数1nnu发散…………………【3】

又111||ln(1)ln(1)||1nnuunn,1lim||limln(1)0nnnun.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

４、解：121211()0zfyfyffxyy， …………………………………【3】

2111122212222211[()][()]zxxfyfxfffxfxyyyyy111222231.xfxyfffyy【7】

５、解：的方程为222zaxy，在xOy面上的投影区域为2222{(,)|}xyDxyxyah．

又222221xyzzaaxy，…..………【３】 故2222222200xyahDdSadxdydadzaxya2222012ln()2ln2ahaaaah..【7】

三、【9分】解：设(,,)Mxyz为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为222dxyz……【1】

令22222(,,)()(1)Lxyzxyzzxyxyz，

则由22220220201xyzLxxLyyLzzxyxyz，解得132xy，23z．于是得到两个可能极值点

1213131313(,,23),(,,23).2222MM…………………【7】

又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．

故max2min1||953,||953.dOMdOM ……【9】

四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得

22(sin)(cos)8xxDLOAIeymdxeymxdymdma．………………【5】

而10(sin)(cos)axxOAIeymdxeymxdymdxma…………【8】

221(sin)(cos).8xxLeymdxeymxdyIImama ………………………【10】

五、【10分】解：1131limlim3133nnnnnnanRan，收敛区间为 (3,3)…………【2】

又当3x时，级数成为11nn，发散；当3x时，级数成为11nnn，收敛．……【4】

故该幂级数的收敛域为3,3………【5】

令13nnnxsxn（33x），则

11111111()()33331/33nnnnnxxsxxx, (||3x) ……【8】 于是000()()ln3ln3ln33xxxdxsxsxdxxxx，（33x）………………….【10】

六、【10分】解：取1为220(1)zxy的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有133222222316Ixdydzydzdxzdxdyxyzdv………….… 【5】

2211200062ddzdz…………………….…【7】

而221133221122313133xyIxdydzydzdxzdxdyzdxdydxdy….… 【9】

2123.III…………………….… 【10】

七、【6分】解：2224000sincostFtddrfrrdr….… 【2】

3224400002sincossinttdrdrdfrrdr

4220228ttrfrdr….… 【4】

故32223200022()22222limlimlim().333tttttftFtftatt 【6】